專題5二次根式最熱考點(diǎn)——閱讀材料題（原卷版）

第一部分典例精析+支式訓(xùn)練

類型一分母有理化

典例1（2022秋?萬柏林區(qū)校級月考）閱讀材料：

材料一：兩個含有二次根式而非零的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含二次根式，那么這兩個代數(shù)式互為有理化因

式.

例如：V3xV3=3,（V6-V2）（V6+V2）=6-2=4,我們稱舊的一個有理化因式是遮，傷-魚的一個有理

化因式是遍+V2.

材料二：如果一個代數(shù)式的分母中含有二次根式，通?？蓪⒎肿印⒎帜竿朔帜傅挠欣砘蚴?，使分母中不含根

號，這種變形叫做分母有理化.

1lxV3V388V3xV38(V6+V2)「r-

例如若=—-------4=2V6+2V2.

V3V3X\33V6—V2(V6—V2)(V6+V2)4

請你仿照材料中的方法探索并解決下列問題:

（1）質(zhì)的有理化因式為—，V7+展的有理化因式為—；（均寫出一個即可）

311

（2）將下列各式分母有理化：①』；②（要求：寫出變形過程）

V152V5-3

變式訓(xùn)練

1.（2022秋?修水縣期中）閱讀下面的材料，解答后面所給出的問題：

兩個含二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二次根式，我們就說這兩個代數(shù)式互為有理化因式.例如:

與^/^+1與丁^—1.

（1）請你寫出兩個二次根式，使它們互為有理化因式：.

化簡一個分母含有二次根式的式子時(shí)，可以采用分子、分母同乘分母的有理化因式的方法.例如：等方=

V3-V2

/普+產(chǎn)=史工=&+2.

（V3-V2）（V3+V2）3-2

3

（2）請仿照上述方法化簡：

V5-V2

11

⑶比較前與訪萬的大小.

類型二二重根式的化簡

典例2(2022秋?鄲城縣期中)請閱讀下列材料：

形如Jzn±2gi的式子的化簡，我們只要找到兩個正數(shù)a,"使a+b=m,ab=n,BP(V?)2+(VF)2=m,直XVF=

Vn,那么便有Jni±2低=J(迎±迎)2=8±乃(a>6).

例如：化簡正7+4相.

解：首先把-7+4舊化為+2g,這里根=7,”=12,

由于4+3=7,4x3=12,即(75)2+(遮a=7,74x73=V12,

所以,7+4b=77+2V12=J(V4+V3)2=2+V3.

請根據(jù)材料解答下列問題：

(1)填空：V5-2V6=.(2)化簡：近1一12a(請寫出計(jì)算過程).

變式訓(xùn)練

1.(2022秋?沙縣期中)閱讀材料：我們己經(jīng)知道，形如的無理數(shù)的化簡要借助平方差公式：

例如：°3向=二內(nèi)、=產(chǎn)=6+下面我們來看看完全平方公式在無理數(shù)化簡

2-V3(2-V3)(2+V3)22-(圾24-3

中的作用.

問題提出：,7+4百該如何化簡?

建立模型:形如Jm+2訴的化簡,只要我們找到兩個數(shù)a,b,使〃+。=加,出?=小這樣(迎產(chǎn)+(Vb)2=m,y/a-VF=

Vn,

那么便有：Jm±2y/n=J(V?±Vfe)2=y[cc+>JbQa>b),

問題解決：化簡：V17+4V3，

解：首先把J7+4舊化為,7+2g,這里m=7,〃=12,由于4+3=7,4x3=12,BP(V4)2+(V3)2=7,V4xV3=

V12.1.V7+4V3=V7+2V12=J(V4+V3)2=2+百.

模型應(yīng)用1：利用上述解決問題的方法化簡下列各式：

(1)76+2V5；(2)V13-4^10；

模型應(yīng)用2：

(3)在RSABC中，NC=90。，AB=4—舊，AC=a,那么BC邊的長為多少？(結(jié)果化成最簡).

類型三運(yùn)用整體思想運(yùn)算

典例3(2022秋?皇姑區(qū)校級期中)閱讀理解：己知尤=V2+1,求代數(shù)式/-2%-5的值.王紅的做法是:根據(jù)x=V2+1

得(x-1)2=2,.'.x2-2x+l—2,得：X2-2x—l.把％2-2%作為整體代入：得%2-2尤-5=1-5=-4.即：把

已知條件適當(dāng)變形，再整體代入解決問題.

請你用上述方法解決下面問題：

(1)己知戶遍-2,求代數(shù)式f+4尤-5的值；

(2)已知苫=與工求代數(shù)式工3+7+1的值.

針對訓(xùn)練

1.(2022春?江都區(qū)期末)請閱讀下列材料：

問題：已知尢=逐+2,求代數(shù)式/-4x-7的值.

小明的做法是：根據(jù)久=遍+2得(%-2)2=5,.,./-4x+4=5,X2-4x—1.把/-4x作為整體代入，得：/

-4%-7=1-7=-6.即：把已知條件適當(dāng)變形，再整體代入解決問題.

仿照上述方法解決問題：

(1)已知久=VTU-3,求代數(shù)式S+6X-8的值；

(2)己知x=與上求代數(shù)式尤3+27的值.

類型四基本不等式求最值

典例4(2021春?新泰市期中)觀察，計(jì)算，判斷：(只填寫符號：>,<,=或與<)

(1)①當(dāng)〃=2,匕=2時(shí)，——Vab；②當(dāng)4=3,8=3時(shí)，——VaF;

2-------2--------

③當(dāng)a=4,匕=4時(shí)，——Vab;④當(dāng)〃=3,Z?=5時(shí)，——Vab.

2--------2--------

(2)觀察以上式子，猜想寫出關(guān)于學(xué)與政(〃>0,b>0)之間的數(shù)量關(guān)系：—并進(jìn)行探究證明；(提示:

(yfa—VF)2>0)

(3)實(shí)踐應(yīng)用：要制作面積為1平方米的長方形鏡框，直接利用探究得出的結(jié)論，寫出鏡框周長的最小值為

變式訓(xùn)練

1.(2022春?海淀區(qū)校級期中)閱讀下面材料：

我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了《二次根式》和《乘法公式》，聰明的你可以發(fā)現(xiàn)：

當(dāng)。>0,6>0時(shí)：(迎一迎)2—a-2y[ab+b>0,a+b>2y[ab,當(dāng)且僅當(dāng)a=6時(shí)取等號.

請利用上述結(jié)論解決以下問題：

(1)請直接寫出答案：當(dāng)了>0時(shí)，的最小值為.當(dāng)尤<0時(shí)，x+日的最大值為.

(2)若y=x(x>-1),求y的最小值.

(3)如圖，四邊形A8C。的對角線AC、8。相交于點(diǎn)O,“08、△CO。的面積分別為4和10,求四邊形A8CD

面積的最小值.

類型五以=時(shí)的化簡

典例5(2022秋?仁壽縣校級月考)在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，我們一般先仔細(xì)閱讀題干，找出有用信息作為已知條件,

然后利用這些信息解決問題，但是有的題目信息比較明顯，我們把這樣的信息稱為顯性條件；而有的信息不太明

顯，需要結(jié)合圖形、特殊式子成立的條件、實(shí)際問題等發(fā)現(xiàn)隱含信息作為條件，我們把這樣的條件稱為隱含條件；

所以我們在做題時(shí)，要注意發(fā)現(xiàn)題目中的隱含條件.

閱讀下面的解題過程，體會如何發(fā)現(xiàn)隱含條件并回答下面的問題.

化簡：(V1—3%)2-11-x\,

1

解：隱含條件1-3吐0,解得1-x>0,，原式=(1-3x)-(1-x)=1-3x-l+x=-lx.

(1)試化簡：J(%-3)2—(V2—%)2；

(2)已知a,b,c為kABC的三邊長，化簡：J(a+b+c)2+^/(a—b—c)2+y/(b—a—c)2+^/(c—b—a)2；

(3)已知。、b滿足J(2—a)2=a+3,Va—b+1=a—b+1,求。。的值.

變式訓(xùn)練

1.（2022秋?唐河縣月考）閱讀下列解題過程：

例：若代數(shù)式J（a—1尸+—3>的值是2,求a的取值范圍.

解：原式=|a-l|+|a-3|,

當(dāng)a<l時(shí)，原式=（1-a）+（3-a）—4-2a—2,解得a=l（舍去）.

當(dāng)l<a<3時(shí)，原式=（tz-1）+（3-a）=2,符合條件.

當(dāng)a>3時(shí)，原式=（a-1）+（a-3）=2a-4=2,解得a=3（舍去）.

綜上所述，。的取值范圍是14W3.

上述解題過程主要運(yùn)用了分類討論的方法，請你根據(jù)上述理解，解答下列問題.

（1）當(dāng)2<a<5時(shí)，化簡：'（a-W+代-5）2=；

（2）若等式J（3—a）2+J（a-7尸=4成立,求a的取值范圍.

類型六糾正解題過程中的錯誤

典例6（2022秋?金水區(qū)校級期中）計(jì)算：下面是李明同學(xué)在解答某個題目時(shí)的計(jì)算過程，請認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)

任務(wù).

（V6+V5）2-（V6—V5）2

=（V6）2+（V5）2-（V6）2+（V5）2....第一步

=6+5-6+5.......第二步

=10……第三步

任務(wù)一：填空：以上步驟中，從第步開始出現(xiàn)錯誤，這一步錯誤的原因是；

任務(wù)二：請寫出正確的計(jì)算過程；

任務(wù)三：除糾正上述錯誤外，請你根據(jù)平時(shí)的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，就二次根式運(yùn)算時(shí)還需注意的事項(xiàng)給其他同學(xué)提一條建

議.

針對訓(xùn)練

4

-

1.（2022春?大同期末）下面是小明同學(xué)計(jì)算3近百）的過程，請認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù).

解：(V12—V75)=―*(2百—5>/3).......第一■步

11

步

第

-X2-二

￥-2V3￥2

步

第

￥-V3-三

￥-

步

第

--1767V3五

任務(wù)一：小明同學(xué)的解答過程從第步開始出現(xiàn)錯誤，這一步錯誤的原因是

任務(wù)二：請你寫出正確的計(jì)算過程.

類型7分子有理化求最值和比較大小

典例7（2020秋?梁平區(qū)期末）閱讀下述材料：

我們在學(xué)習(xí)二次根式時(shí)，熟悉了分母有理化及其應(yīng)用.其實(shí)，有一個類似的方法叫做“分子有理化”:

與分母有理化類似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，從而消掉分子中的根式.比如：V7-V6=

（"一避）（"+逐）1

0+V66+-/6

分子有理化可以用來比較某些二次根式的大小，也可以用來處理一些二次根式的最值問題.例如:

11

比較近-遙和歷-有的大小.可以先將它們分子有理化.如下：巾3=V6-V5=

y[7+-/6V6+V5^

因?yàn)榻?逐>遍+6，所以夕一連〈述一遍.

再例如：求y=V久+2—，久一2的最大值.做法如下:

4

解:由x+2>0,x-2>0可知x>2，而y=y/x+2—Vx—2

Jx+2+Jx-2

當(dāng)x=2時(shí)，分母SE+S—有最小值2,所以y的最大值是2.

解決下述問題:

（1）比較3魚-4和2遍-同的大小;

（2）求y=pl+x-F的最大值.

針對訓(xùn)練

1.（2021秋?即墨區(qū)期中）我們在學(xué)習(xí)二次根式時(shí)，了解了分母有理化及其應(yīng)用.其實(shí)，還有一個類似的方法叫做“分

子有理化”，即分母和分子都乘以分子的有理化因式，從而消除分子中的根式.

1

比如:小-…飛打）

V7+V6

分子有理化可以用來比較某些二次根式的大小，也可以用來處理一些二次根式的最值問題.例如：比較：V7-V6

和灰一有的大小可以先將它們分子有理化如下：近一回春，逐一回春?

因?yàn)榻?遍〉乃+遮，所以，V7-V6<V6-V5.

再例如，求y=Nx+2-7x—2的最大值、做法如下:

4

解:由x+2>0,x-2>0可知x>2，而y=Vx+2—V%—2=

Vx+2+V%—2

當(dāng)％=2時(shí)，分母4%+2+-2有最小值2.所以y的最大值是2.

利用上面的方法，完成下面問題:

（1）比較畫-同和畫-舊的大小;

（2）求產(chǎn)W+1—-1+2的最大值.

第二部分專題提優(yōu)訓(xùn)練

1.(2022秋?蕭縣期中)先閱讀下面提供的材料，再解答相應(yīng)的問題:

若斤二和后行都有意義，尤的值是多少？

解：：正二！和我"都有意義，

Ax-1>0且1-x>0.

又1和1-X互為相反數(shù)，

Ax-1=0,且1-x=0,

??x=1.

問題：若y=72x—l—+2,求爐的值.

2.(2022秋?駐馬店期中)閱讀材料：(一)如果我們能找到兩個正整數(shù)x,y使x+y=a且醐=6,這樣Ja+2仍=

](?尸+(折)2+2日.后=J(y+?2=石+技那么我們就稱Ja+2仍為“和諧二次根式”,則上述過

程就稱之為化簡“和諧二次根式”.

例如：73+2V2=J(VT)*2+(V2)2+2V1-V2=J(l+V2)2=1+V2.

(二)在進(jìn)行二次根式的化簡與運(yùn)算時(shí)，我們有時(shí)還會碰上如言樣的式子，其實(shí)我們還可以將其進(jìn)一步化簡：

=2安二)=V3-1.那么我們稱這個過程為分式的分母有理化.根據(jù)閱讀材料解決

V3+1(V3+1)(V3-1)(V3)2-l2

下列問題：

(1)化簡"和諧二次根式"：①J11+2同=；②J7-4百=.

11m—n

(2)已矢口m=,=fYI—,=f求的值.

〔5+2.15-2.m+n

1\5-v4r-r-1

3.(2021秋?廣平縣期末)閱讀下列解題過程：~~7==—y=~~r-r-7=-=\5-V4，-j=~~7==

V5+V4(V5+V4)(V5-V4)V6+V5

(V「6+V、5)一(V"6-VL5)=J—二

1

(1)觀察上面的解答過程，請寫出「一尸=__________.

Vn+1+vn

11111

(2)利用上面的解法，請化簡：r-+-7=~~+-7=~~7=+??-+-7=~~7=+r——~~7=.

V2+1V3+V2V4+V3V99+V98V100+V99

4.(2022秋?南召縣月考)閱讀下面的材料，解答后面提出的問題：

在二次根式計(jì)算中我們常常遇到這樣的情況：(2+V3)x(2-V3)=l,

(V5+V2)x(V5-V2)=3,它們的積不含根號，我們說這兩個二次根式互為有理化因式，其中一個是另一個的

有理化因式.于是，二次根式的除法可以這樣解：

1lxV3V32+V3(2+V3)X(2+V3)廠

V3—V3XV3—3，2-V3—(2-V3)X(2+V3)一+7

像這樣通過分子、分母同乘一個式子把分母中的根號化去的方法，叫做分母有理化.

解決問題:

(1)4+V7的一個有理化因式是

V3+V2,11

(2)已知x=43―4^則一+-=

V3-V2'y_V3+V2'xy

11111

(3)利用上面所提供的解法，請化簡-----+-------+------+*.'+--------+---------

1+V2V2+V3V3+V4V98+V99V99+V100-

(2。22秋?峰城區(qū)校級月考)閱讀下列材料，然后回答問題：再進(jìn)行二次根式運(yùn)算時(shí)，我們有時(shí)會碰上如意高

5.

這樣的式子，其實(shí)我們還可以將其進(jìn)一步化簡:

55xV^5[―

-P=~p=-V3；

V3V3xV33

22x(b-1)2x(V3-l)「

V3+1―(V3+1)(V3-1)-(V3)2-l-V3T.

以上這種化簡的過程叫做分母有理化.

(1)請根據(jù)以上方法化簡：

441

①丑②石;③洋

(2)直接寫出：2—百的倒數(shù)是—；

(3)計(jì)算：

1111,____

++-p+...+『,)?(V2023+1)

V2+V1V3+V2V4+V3V2023+V2022

6.(2022春?昭化區(qū)期末)【閱讀材料】像m**=a(a>0),WE+1)(Vb-1)=6-1(應(yīng)0)這樣的兩個含有二

次根式的代數(shù)式相乘，積不含有二次根式，我們稱這兩個代數(shù)式互為有理化因式.例如，遮與遮，百+1與百-1,

都互為有理化因式.進(jìn)行含有二次根式的分式計(jì)算時(shí)，利用有理化因式，可以化去分母中的根號.

【解決問題】

(1)填空：V7-3的有理化因式為

abr~

(2)已知正整數(shù)a,b滿足京一五=3-2正,求a,6的值.

7.(2022春?新余期末)閱讀下列解題過程：

例：若代數(shù)式J(2—a)2+J(a-4尸=2,求a的取值.

解：原式=|a-2|+|a-4|,

當(dāng)a<2時(shí)，原式=(2-cz)+(4-a)—6-2a—2,解得a=2(舍去)；

當(dāng)2ga<4時(shí)，原式=(a-2)+(4-a)—2,等式恒成立；

當(dāng)介4時(shí)，原式=(a-2)+(a-4)—2a-6—2,解得a=4；

所以，a的取值范圍是2WaW4.

上述解題過程主要運(yùn)用了分類討論的方法，請你根據(jù)上述理解，解答下列問題：

(1)當(dāng)3<a<7時(shí)，化簡：V(3-a)2+J(a-7)2；

(2)若J(a+1)2+J(a_3)2=6,求。的取值；

(3)請直接寫出滿足J①-+J(a-6尸=5的。的取值范圍

8.(2022秋?輝縣市期中)【閱讀學(xué)習(xí)】

小明在學(xué)習(xí)二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號的式子可以寫成另一個式子的平方，如3+2應(yīng)=(1+V2)2.善于思考

的小明進(jìn)行了以下探索：

設(shè)a+b近=(m+ns/2)2(其中a,b,m,“均為整數(shù))，貝!］有a+從厲=租2+2層+2/"〃?.

.'.a—nr+^n2,b—2mn.這樣小明就找到了一種把a(bǔ)+從口的式子化為平方式的方法.

【解決問題】

(1)當(dāng)a,b,MJ,〃均為正整數(shù)時(shí)，若°+從后=(777+71V3)2,用含力,〃的式子分別表示a,b,得：a—,

b=；

(2)利用(1)的結(jié)論，找一組正整數(shù)a,b,m,n(m^n),使得a+匕B=(m+nV3)2成立，且a+b+7"+〃的值

最小.請直接寫出a,b,m,n的值；

(3)若。+64=(m+?V5)°,且°,小，〃均為正整數(shù)，求a的值.

9.(2022春?祁江區(qū)期末)閱讀下列材料，并回答問題：

把形如a+b而與a-b標(biāo)(a、b為有理數(shù)且6>0,m為正整數(shù)且開方開不盡)的兩個實(shí)數(shù)稱為共軌實(shí)數(shù).

(1)請你舉出一對共軟實(shí)數(shù)：二+/_和_^-V2_；

(2)-2強(qiáng)和24是共輾實(shí)數(shù)嗎？若是請指出a、6的值；

(3)若兩個共軌實(shí)數(shù)的和是10,差的絕對值是4百，請求出這兩個共輾實(shí)數(shù).

10.（2022春?武江區(qū)校級期末）請閱讀下列材料:

問題：已知％=遙+2,求代數(shù)式W-4x-7的值.小敏的做法是：根據(jù)x=代+2得（x-2）2=5,-4X+4

=5,得：

?-4x=l.把/-以作為整體代入：得7-4%-7=1-7=-6.即：把已知條件適當(dāng)變形，再整體代入解決問

題.請你用上述方法解決下面問題：

（1）已知工=而-2,求代數(shù)式/+4x-10的值；

（2）己知》=與1求代數(shù)式x3+/+l的值.

11.（2021秋?寬城縣期末）（1）計(jì)算：（遮—遮）（遮+遮）+1；

（2）計(jì)算：V125+9J備—}-24+（V5）2；

（3）下面是王鑫同學(xué)進(jìn)行實(shí)數(shù)運(yùn)算的過程，認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)的問題：

/一皿海+3場

=^-V12x（V24+3J|）……第一步

=-2V3x2V6+2V3x3J|……第二步

=竽-12V2+6V2……第三步

=竽……第四步

①以上化簡步驟中第一步化簡的依據(jù)是：;

②第步開始出現(xiàn)錯誤，請寫出錯誤的原因，該運(yùn)算正確結(jié)果應(yīng)是

12.（2021秋?岳陽期末）王老師讓同學(xué)們根據(jù)二次根式的相關(guān)內(nèi)容編寫一道題，以下是王老師選出的兩道題和她自

己編寫的一道題.先閱讀，再回答問題.

(1)小青編的題，觀察下列等式：

22(V3-1)2(V3-1)2(V3-1)「

V3+1―(V3+1)(V3-1)—(V3)2-l2-3-1—7—；

22(V5-V3)2(V5-V3)2(V5-V3)「r-

V5+V3—(V5+V3)(V5-V3)—(V5)2-(V3)2.5-3-神一73；

直接寫出以下算式的結(jié)果：

22

e6~,("為正整數(shù))=______；

\7+\