第一單元分?jǐn)?shù)乘法

（一）分?jǐn)?shù)乘法意義：

1、分?jǐn)?shù)乘整數(shù)的意義與整數(shù)乘法的意義相同，就是求幾個(gè)相同加數(shù)的

和的簡(jiǎn)便運(yùn)算。

“分?jǐn)?shù)乘整數(shù)"指的是第二個(gè)因數(shù)必須是整數(shù)，不能是分?jǐn)?shù)。

2、一個(gè)數(shù)乘分?jǐn)?shù)的意義就是求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少。

“一個(gè)數(shù)乘分?jǐn)?shù)"指的是第二個(gè)因數(shù)必須是分?jǐn)?shù)，不能是整數(shù)。（第一個(gè)

因數(shù)是什么都可以）

（二）分?jǐn)?shù)乘法計(jì)算法則：

1、分?jǐn)?shù)乘整數(shù)的運(yùn)算法則是：分子與整數(shù)相乘，分母不變。

（1）為了計(jì)算簡(jiǎn)便能約分的可先約分再計(jì)算。（整數(shù)和分母約分）（2）

約分是用整數(shù)和下面的分母約掉最大公因數(shù)。（整數(shù)千萬不能與分母相乘，

計(jì)算結(jié)果必須是最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)）。

2、分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的運(yùn)算法則是：用分子相乘的積做分子，分母相乘的積

做分母。（分子乘分子，分母乘分母）

（1）如果分?jǐn)?shù)乘法算式中含有帶分?jǐn)?shù)，要先把帶分?jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù)再計(jì)

算。

（2）分?jǐn)?shù)化簡(jiǎn)的方法是：分子、分母同時(shí)除以它們的最大公因數(shù)。

（3）在乘的過程中約分，是把分子、分母中，兩個(gè)可以約分的數(shù)先劃

去，再分別在它們的上、下方寫出約分后的數(shù)。（約分后分子和分母必須

不再含有公因數(shù)，這樣計(jì)算后的結(jié)果才是最簡(jiǎn)單分?jǐn)?shù)）。

（4）分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)：分子、分母同時(shí)乘或者除以一個(gè)相同的數(shù)（0

除外），分?jǐn)?shù)的大小不變。

（三）積與因數(shù)的關(guān)系：

一個(gè)數(shù)（0除外）乘大于1的數(shù)，積大于這個(gè)數(shù)。axb=c，當(dāng)b>1時(shí)，c>3o

一個(gè)數(shù)（0除外）乘小于1的數(shù)，積小于這個(gè)數(shù)。axb=c，當(dāng)b<1時(shí)，c<a（b*0）o

一個(gè)數(shù)（0除外）乘等于1的數(shù)，積等于這個(gè)數(shù)。axb=c，當(dāng)b=1時(shí)，c=a。

在進(jìn)行因數(shù)與積的大小比較時(shí)，要注意因數(shù)為0時(shí)的特殊情況。

（四）分?jǐn)?shù)乘法混合運(yùn)算

1、分?jǐn)?shù)乘法混合運(yùn)算順序與整數(shù)相同，先乘、除后加、減，有括號(hào)的

先算括號(hào)里面的，再算括號(hào)外面的。

2、整數(shù)乘法運(yùn)算定律對(duì)分?jǐn)?shù)乘法同樣適用；運(yùn)算定律可以使一些計(jì)算

簡(jiǎn)便。

乘法交換律：axb=bxa乘法結(jié)合律：（axb）xc=ax（bxc）

乘法分配律：ax（b±c）=axb±axc

（五）倒數(shù)的意義：乘積為1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)。

1、倒數(shù)是兩個(gè)數(shù)的關(guān)系，它們互相依存，不能單獨(dú)存在。單獨(dú)一個(gè)數(shù)

不能稱為倒數(shù)。（必須說清誰是誰的倒數(shù)）

2、判斷兩個(gè)數(shù)是否互為倒數(shù)的唯一標(biāo)準(zhǔn)是：兩數(shù)相乘的積是否為"1"。

例如：axb=l則a、b互為倒數(shù)。

3、求倒數(shù)的方法：

①求分?jǐn)?shù)的倒數(shù)：交換分子、分母的位置。

②求整數(shù)的倒數(shù)：整數(shù)分之1。

③求帶分?jǐn)?shù)的倒數(shù)：先化成假分?jǐn)?shù)，再求倒數(shù)。

④求小數(shù)的倒數(shù)：先化成分?jǐn)?shù)再求倒數(shù)。

4、1的倒數(shù)是它本身，因?yàn)?x1=1

0沒有倒數(shù)，因?yàn)槿魏螖?shù)乘0積都是0,且0不能作分母。

5、真分?jǐn)?shù)的倒數(shù)是假分?jǐn)?shù)，真分?jǐn)?shù)的倒數(shù)大于1,也大于它本身。

假分?jǐn)?shù)的倒數(shù)小于或等于1。帶分?jǐn)?shù)的倒數(shù)小于1。

（六）分?jǐn)?shù)乘法應(yīng)用題一一用分?jǐn)?shù)乘法解決問題

1、求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少？（用乘法）

已知單位"1"的量，求單位"1"的量的幾分之幾是多少，用單位"1〃的量與

分?jǐn)?shù)相乘。

2、巧找單位“1”的量：在含有分?jǐn)?shù)（分率）的語句中，分率前面的量就

是單位"1”對(duì)應(yīng)的量，或者"占""是""比"字后面的量是單位“1"。

3、什么是速度？

速度是單位時(shí)間內(nèi)行駛的路程。

速度=路程+時(shí)間時(shí)間=路程+速度路程=速度x時(shí)間

單位時(shí)間指的是1小時(shí)1分鐘1秒等這樣的大小為1的時(shí)間單位，每分

鐘、每小時(shí)、每秒鐘等。

4、求甲比乙多（少）幾分之幾？

多：（甲-乙）一乙少：（乙-甲）一乙

第二單元位置與方向（二）

1、什么是數(shù)對(duì)？

數(shù)對(duì)：由兩個(gè)數(shù)組成，中間用逗號(hào)隔開，用括號(hào)括起來。括號(hào)里面的數(shù)

由左至右為列數(shù)和行數(shù)，即"先列后行”。

數(shù)對(duì)的作用：確定一個(gè)點(diǎn)的位置。經(jīng)度和緯度就是這個(gè)原理。

2、確定物體位置的方法：

（1）、先找觀測(cè)點(diǎn)；（2）、再定方向（看方向夾角的度數(shù)）；（3）、

最后確定距離（看比例尺）。

描繪路線圖的關(guān)鍵是選好觀測(cè)點(diǎn)，建立方向標(biāo)，確定方向和路程。

位置關(guān)系的相對(duì)性：兩地的位置具有相對(duì)性在敘述兩地的位置關(guān)系時(shí)，

觀測(cè)點(diǎn)不同，敘述的方向正好相反，而度數(shù)和距離正好相等。

相對(duì)位置：東--西；南-北；南偏東--北偏西。

第三單元分?jǐn)?shù)的除法

一、分?jǐn)?shù)除法的意義：分?jǐn)?shù)除法是分?jǐn)?shù)乘法的逆運(yùn)算，已知兩個(gè)數(shù)的積

與其中一個(gè)因數(shù)，求另一個(gè)因數(shù)的運(yùn)算。

二、分?jǐn)?shù)除法計(jì)算法則：除以一個(gè)數(shù)（0除外），等于乘上這個(gè)數(shù)的倒

數(shù)。

1、被除數(shù)一除數(shù)=被除數(shù)x除數(shù)的倒數(shù)。

2、除法轉(zhuǎn)化成乘法時(shí)，被除數(shù)一定不能變，"+"變成"X",除數(shù)變成它的

倒數(shù)。

3、分?jǐn)?shù)除法算式中出現(xiàn)小數(shù)、帶分?jǐn)?shù)時(shí)要先化成分?jǐn)?shù)、假分?jǐn)?shù)再計(jì)算。

4、被除數(shù)與商的變化規(guī)律：

①除以大于1的數(shù)，商小于被除數(shù)：a+b=c當(dāng)b>l時(shí)，c<a（a^O）

②除以小于1的數(shù)，商大于被除數(shù)：a+b=c當(dāng)b<l時(shí)，c>a（a^ObwO）

③除以等于工的數(shù)，商等于被除數(shù)：a+b=c當(dāng)b=l時(shí)，c=a

三、分?jǐn)?shù)除法混合運(yùn)算

1、混合運(yùn)算用梯等式計(jì)算，等號(hào)寫在第一個(gè)數(shù)字的左下角。

2、運(yùn)算順序：

①連除：同級(jí)運(yùn)算，按照從左往右的順序進(jìn)行計(jì)算；或者先把所有除法

轉(zhuǎn)化成乘法再計(jì)算；或者依據(jù)“除以幾個(gè)數(shù)，等于乘上這幾個(gè)數(shù)的積"的簡(jiǎn)便

方法計(jì)算。力口、減法為一級(jí)運(yùn)算，乘、除法為二級(jí)運(yùn)算。

②混合運(yùn)算：沒有括號(hào)的先乘、除后加、減，有括號(hào)的先算括號(hào)里面，

再算括號(hào)外面。

(a±b)+c=a+c±b+c

第四單元比

比：兩個(gè)數(shù)相除也叫兩個(gè)數(shù)的比

1、比式中，比號(hào)(：)前面的數(shù)叫前項(xiàng)，比號(hào)后面的項(xiàng)叫做后項(xiàng)，比號(hào)

相當(dāng)于除號(hào)，比的前項(xiàng)除以后項(xiàng)的商叫做比值。

連比如：3：4：5讀作：3比4比5

2、比表示的是兩個(gè)數(shù)的關(guān)系，可以用分?jǐn)?shù)表示，寫成分?jǐn)?shù)的形式，讀

作幾比幾。

例：12：20==12+20==0.612：20讀作：12比20

區(qū)分比和比值：比值是一個(gè)數(shù)，通常用分?jǐn)?shù)表示，也可以是整數(shù)、小數(shù)。

比是一個(gè)式子，表示兩個(gè)數(shù)的關(guān)系，可以寫成比，也可以寫成分?jǐn)?shù)的形

式。

3、比的基本性質(zhì)：比的前項(xiàng)和后項(xiàng)同時(shí)乘以或除以相同的數(shù)（0除外），

比值不變。

4、化簡(jiǎn)比：化簡(jiǎn)之后結(jié)果還是一個(gè)比，不是一個(gè)數(shù)。

（1）、用比的前項(xiàng)和后項(xiàng)同時(shí)除以它們的最大公約數(shù)。

（2）、兩個(gè)分?jǐn)?shù)的比，用前項(xiàng)后項(xiàng)同時(shí)乘分母的最小公倍數(shù)，再按化

簡(jiǎn)整數(shù)比的方法來化簡(jiǎn)。也可以求出比值再寫成比的形式。

（3）、兩個(gè)小數(shù)的比，向右移動(dòng)小數(shù)點(diǎn)的位置，也是先化成整數(shù)比。

5、求比值：把比號(hào)寫成除號(hào)再計(jì)算，結(jié)果是一個(gè)數(shù)（或分?jǐn)?shù)），相當(dāng)

于商，不是比。

6、比和除法、分?jǐn)?shù)的區(qū)別：

除法：被除數(shù)除號(hào)（一）除數(shù)（不能為0）商不變性質(zhì)除法是一種運(yùn)

算

分?jǐn)?shù)：分子分?jǐn)?shù)線（一）分母（不能為0）分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)分?jǐn)?shù)是一

個(gè)數(shù)

比：前項(xiàng)比號(hào)（：）后項(xiàng)（不能為0）比的基本性質(zhì)比表示兩個(gè)數(shù)的

關(guān)系

商不變性質(zhì)：被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)乘或除以相同的數(shù)（0除外），商不變。

分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)：分子和分母同時(shí)乘或除以相同的數(shù)（0除外），分?jǐn)?shù)

的大小不變。

分?jǐn)?shù)除法和比的應(yīng)用

1、已知單位"甘的量用乘法。

2、未知單位"甘的量用除法。

3、分?jǐn)?shù)應(yīng)用題基本數(shù)量關(guān)系（把分?jǐn)?shù)看成比）

（1）甲是乙的幾分之幾？

甲=乙乂幾分之幾乙=甲+幾分之幾幾分之幾=甲一乙

（2）甲比乙多（少）幾分之幾？

4、按比例分配：把一個(gè)量按一定的比分配的方法叫做按比例分配。

5、畫線段圖：

（1）找出單位"1”的量，先畫出單位"1",標(biāo)出已知和未知。

（2）分析數(shù)量關(guān)系。（3）找等量關(guān)系。（4）列方程。

兩個(gè)量的關(guān)系畫兩條線段圖，部分和整體的關(guān)系畫一條線段圖。

第五單元圓

一、圓的特征

1、圓是平面內(nèi)封閉曲線圍成的平面圖形。

2、圓的特征：外形美觀，易滾動(dòng)。

3、圓心0：圓中心的點(diǎn)叫做圓心.圓心一般用字母0表示。

圓多次對(duì)折之后，折痕的相交于圓的中心即圓心。圓心確定圓的位置。

半徑r：連接圓心到圓上任意一點(diǎn)的線段叫做半徑。在同一個(gè)圓里，有

無數(shù)條半徑，且所有的半徑都相等。半徑確定圓的大小。

直徑d:通過圓心且兩端都在圓上的線段叫做直徑。在同一個(gè)圓里，有無

數(shù)條直徑，且所有的直徑都相等。直徑是圓內(nèi)最長(zhǎng)的線段。

同圓或等圓內(nèi)直徑是半徑的2倍：d=2i?或r=d+2

4、等圓：半徑相等的圓叫做等圓，等圓通過平移可以完全重合。

同心圓：圓心重合、半徑不等的兩個(gè)圓叫做同心圓。

5、圓是軸對(duì)稱圖形：如果一個(gè)圖形沿著一條直線對(duì)折，兩側(cè)的圖形能

夠完全重合，這個(gè)圖形是軸對(duì)稱圖形。折痕所在的直線叫做對(duì)稱軸。

有一條對(duì)稱軸的圖形：半圓、扇形、等腰梯形、等腰三角形、角。

有二條對(duì)稱軸的圖形：長(zhǎng)方形

有三條對(duì)稱軸的圖形：等邊三角形

有四條對(duì)稱軸的圖形：正方形

有無條對(duì)稱軸的圖形：圓，圓環(huán)

6、畫圓

(1)圓規(guī)兩腳間的距離是圓的半徑。(2)畫圓步驟：定半徑、定圓心、

旋轉(zhuǎn)一周。

二、圓的周長(zhǎng)：圍成圓的曲線的長(zhǎng)度叫做圓的周長(zhǎng)，周長(zhǎng)用字母C表示。

1、圓的周長(zhǎng)總是直徑的三倍多一些。

2、圓周率：圓的周長(zhǎng)與直徑的比值是一個(gè)固定值，叫做圓周率，用字

母7T表示o

即：圓周率n=周長(zhǎng)+直徑=3.14

所以，圓的周長(zhǎng)(c)=直徑(d)x圓周率(冗)一周長(zhǎng)公式:c=nd,c=2nr

圓周率兀是一個(gè)無限不循環(huán)小數(shù)，3.14是近似值。

3、周長(zhǎng)的變化的規(guī)律：半徑擴(kuò)大多少倍直徑也擴(kuò)大多少倍，周長(zhǎng)擴(kuò)大

的倍數(shù)與半徑、直徑擴(kuò)大的倍數(shù)相同。

4、半圓周長(zhǎng)=圓周長(zhǎng)一半+直徑=nr+d

三、圓的面積s

1、圓面積公式的推導(dǎo)

如圖把一個(gè)圓沿直徑等分成若干份，剪開拼成長(zhǎng)方形，份數(shù)越多拼成的

圖像越接近長(zhǎng)方形。

圓的半徑=長(zhǎng)方形的寬

圓的周長(zhǎng)的一半=長(zhǎng)方形的長(zhǎng)

長(zhǎng)方形面積=長(zhǎng)、寬

所以：圓的面積=圓的周長(zhǎng)的一半（nr）x圓的半徑（r）

S圓=nrxr=nr2

2、幾種圖形，在面積相等的情況下，圓的周長(zhǎng)最短，而長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)

最長(zhǎng)；反之，在周長(zhǎng)相等的情況下，圓的面積則最大，而長(zhǎng)方形的面積則

最小。

周長(zhǎng)相同時(shí)，圓面積最大，利用這一特點(diǎn)，籃子、盤子做成圓形。

3、圓面積的變化的規(guī)律：半徑擴(kuò)大多少倍,直徑、周長(zhǎng)也同時(shí)擴(kuò)大多少

倍，圓面積擴(kuò)大的倍數(shù)是半徑、直徑擴(kuò)大的倍數(shù)的平方倍。

4、環(huán)形面積=大圓-小圓=nR2-nr2

扇形面積=nr2xn+360（n表示扇形圓心角的度數(shù)）

5、跑道：每條跑道的周長(zhǎng)等于兩半圓跑道合成的圓的周長(zhǎng)加上兩條直

跑道的和。因?yàn)閮蓷l直跑道長(zhǎng)度相等，所以，起跑線不同，相鄰兩條跑道

起跑線也不同，間隔的距離是：2X7TX跑道寬度。

一個(gè)圓的半徑增加a厘米，周長(zhǎng)就增加2na厘米。

一個(gè)圓的直徑增加b厘米，周長(zhǎng)就增加杜厘米。

6、任意一個(gè)正方形的內(nèi)切圓即最大圓的直徑是正方形的邊長(zhǎng)，它們的

面積比是4：no

7、常用數(shù)據(jù)

TT=3.142n=6.283n=9.424n=12.565n=15.7

小學(xué)數(shù)學(xué)六年級(jí)上冊(cè)重點(diǎn)、難點(diǎn)、知識(shí)總結(jié)

一、分?jǐn)?shù)乘法

一、分?jǐn)?shù)乘法

（一）分?jǐn)?shù)乘法的意義：

1、分?jǐn)?shù)乘整數(shù)與整數(shù)乘法的意義相同。都是求幾個(gè)相同加

數(shù)的和的簡(jiǎn)便運(yùn)算。

例如：：X5表示求5個(gè)我和是多少？

2、分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)是求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少。

例如：Jx］表示求：的］是多少？

9494

（二）、分?jǐn)?shù)乘法的計(jì)算法則：

1、分?jǐn)?shù)與整數(shù)相乘：分子與整數(shù)相乘的積做分子，分母不

變。（整數(shù)和分母約分）

2、分?jǐn)?shù)與分?jǐn)?shù)相乘：用分子相乘的積做分子，分母相乘的

積做分母。

3、為了計(jì)算簡(jiǎn)便，能約分的要先約分，再計(jì)算。

注意：當(dāng)帶分?jǐn)?shù)進(jìn)行乘法計(jì)算時(shí)，要先把帶分?jǐn)?shù)化成假分

數(shù)再進(jìn)行計(jì)算。

（三）、規(guī)律：（乘法中比較大小時(shí)）

一個(gè)數(shù)（0除外）乘大于1的數(shù)，積大于這個(gè)數(shù)。

一個(gè)數(shù)（0除外）乘小于1的數(shù)（0除外），積小

于這個(gè)數(shù)。

一個(gè)數(shù)（0除外）乘1,積等于這個(gè)數(shù)。

（四）、分?jǐn)?shù)混合運(yùn)算的運(yùn)算順序和整數(shù)的運(yùn)算順序相同。

（五）、整數(shù)乘法的交換律、結(jié)合律和分配律，對(duì)于分?jǐn)?shù)乘法

也同樣適用。

乘法交換律：aXb=bXa

乘法結(jié)合律：（aXb）Xc=aX（bXc）

乘法分配律：（a+b）Xc=ac+bcac+

bc=（a+b）Xc

二、分?jǐn)?shù)乘法的解決問題

（已知單位“1”的量（用乘法）,求單位“1”的幾分之幾

是多少）

1、畫線段圖：

（1）兩個(gè)量的關(guān)系：畫兩條線段圖；（2）部分和

整體的關(guān)系：畫一條線段圖。

2、找單位“1”：在分率句中分率的前面:或“占”、

“是”、“比”的后面

3、求一個(gè)數(shù)的幾倍：一個(gè)數(shù)X幾倍；求一個(gè)數(shù)的幾

分之幾是多少：一個(gè)數(shù)X4。

4、寫數(shù)量關(guān)系式技巧：

（1）“的”相當(dāng)于“X”“占”、“是“、“比”相

114工“_”

（2）分率前是“的”：?jiǎn)挝弧?”的量X分率=

2

分率對(duì)應(yīng)量

(3)分率前是“多或少”的意思：?jiǎn)挝弧?”的量X(1士分

率)二分率對(duì)應(yīng)量

三、倒數(shù)

1、倒數(shù)的意義：乘積是1的兩個(gè)數(shù)目為倒數(shù)。

強(qiáng)調(diào)：互為倒數(shù)，即倒數(shù)是兩個(gè)數(shù)的關(guān)系，它們互相依存，

倒數(shù)不能單獨(dú)存在。

(要說清誰是誰的倒數(shù))。

2、求倒數(shù)的方法：

(1)、求分?jǐn)?shù)的倒數(shù)：交換分子分母的位置。

(2)、求整數(shù)的倒數(shù)：把整數(shù)看做分母是1的分?jǐn)?shù)，再交換

分子分母的位置。

(3)、求帶分?jǐn)?shù)的倒數(shù)：把帶分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)，再求倒數(shù)。

(4)、求小數(shù)的倒數(shù)：把小數(shù)化為分?jǐn)?shù)，再求倒數(shù)。

3、1的倒數(shù)是1；0沒有倒數(shù)。因?yàn)镮X1=1;。乘任何數(shù)

都得0,1(分母不能為0)

4、對(duì)于任意數(shù)a("0),它的倒數(shù)為L(zhǎng)非零整數(shù)a的倒數(shù)為L(zhǎng)

aa

分?jǐn)?shù)2的倒數(shù)是f；

5、真分?jǐn)?shù)的倒數(shù)大于1;假分?jǐn)?shù)的倒數(shù)小于或等于1;帶分?jǐn)?shù)

的倒數(shù)小于lo

3

二、分?jǐn)?shù)除法

一、分?jǐn)?shù)除法

1、分?jǐn)?shù)除法的意義：

乘法：因數(shù)X因數(shù)=積除法：積+一

個(gè)因數(shù)=另一個(gè)因數(shù)

分?jǐn)?shù)除法與整數(shù)除法的意義相同，表示已知兩個(gè)因數(shù)的積和

其中一個(gè)因數(shù)，求另一個(gè)因數(shù)的運(yùn)算。

2、分?jǐn)?shù)除法的計(jì)算法則：

除以一個(gè)不為0的數(shù)，等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)。

3、規(guī)律（分?jǐn)?shù)除法比較大小時(shí)）：

（1）、當(dāng)除數(shù)大于1,商小于被除數(shù)；

（2）、當(dāng)除數(shù)小于1（不等于0）,商大于被除數(shù)；

（3）、當(dāng)除數(shù)等于1,商等于被除數(shù)。

4、“[]”叫做中括號(hào)。一個(gè)算式里，如果既有小括號(hào)，又有

中括號(hào)，要先算小括號(hào)里面的，再算中

括號(hào)里面的。

二、分?jǐn)?shù)除法解決問題

（未知單位“1”的量（用除法）:已知單位“1”的幾分之幾

是多少，求單位“1”的量。）

1、數(shù)量關(guān)系式和分?jǐn)?shù)乘法解決問題中的關(guān)系式相同:

4

（1）分率前是“的”：?jiǎn)挝弧?”的量X分

率=分率對(duì)應(yīng)量

（2）分率前是“多或少”的意思：?jiǎn)挝弧?”的量X（1±分

率）=分率對(duì)應(yīng)量

2、解法：（建議：最好用方程解答）

（1）方程：根據(jù)數(shù)量關(guān)系式設(shè)未知量為X,用方程解答。

（2）算術(shù)（用除法）:分率對(duì)應(yīng)量+對(duì)應(yīng)分率=單位“1”

的量

3、求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾分之幾：就一個(gè)數(shù)+另一個(gè)數(shù)

4、求一個(gè)數(shù)比另一個(gè)數(shù)多（少）幾分之幾：兩個(gè)數(shù)的相差

量+單位“1”的量或：

①求多幾分之幾：大數(shù)+小數(shù)-1

②求少幾分之幾：1-小數(shù)+大數(shù)

三、比和比的應(yīng)用

（一）、比的意義

1、比的意義：兩個(gè)數(shù)相除又叫做兩個(gè)數(shù)的比。

2、在兩個(gè)數(shù)的比中，比號(hào)前面的數(shù)叫做比的前項(xiàng)，比號(hào)后面

的數(shù)叫做比的后項(xiàng)。比的前項(xiàng)除以后項(xiàng)所得的直，叫做比

值。

例如15：10=15+10=|（比值通常用分?jǐn)?shù)表示，也可

5

以用小數(shù)或整數(shù)表示）

前項(xiàng)比號(hào)后項(xiàng)比值

3、比可以表示兩個(gè)相同量的關(guān)系,即倍數(shù)關(guān)系。也可以表示

兩個(gè)不同量的比,得到一個(gè)新量。例：路程?速度=時(shí)間。

4、區(qū)分比和比值

“比：表示兩個(gè)數(shù)的關(guān)系,可以寫成比的形式，也可以用

分?jǐn)?shù)表示。

比值：相當(dāng)于商，是一個(gè)數(shù),可以是整數(shù)，分?jǐn)?shù)，也可

、以是小數(shù)。

5、根據(jù)分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系，兩個(gè)數(shù)的比也可以寫成分?jǐn)?shù)形式。

6、比和除法、分?jǐn)?shù)的聯(lián)系：

比前項(xiàng)比號(hào)“：”后項(xiàng)比值

除法被除數(shù)除號(hào)“：”除數(shù)商

分?jǐn)?shù)分子分?jǐn)?shù)線分母分?jǐn)?shù)值

a__，，

7、比和除法、分?jǐn)?shù)的區(qū)別：除法是一種運(yùn)算，分?jǐn)?shù)是一個(gè)數(shù),

比表示兩個(gè)數(shù)的關(guān)系。

8、根據(jù)比與除法、分?jǐn)?shù)的關(guān)系，可以理解比的后項(xiàng)不能為0。

6

體育比賽中出現(xiàn)兩隊(duì)的分是2：0等，這只是一種記分的形

式，不表示兩個(gè)數(shù)相除的關(guān)系。

（二）、比的基本性質(zhì)

1、根據(jù)比、除法、分?jǐn)?shù)的關(guān)系：

<商不變的性質(zhì)：被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)乘或除以相同的數(shù)（0

除外），商不變。

分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)：分?jǐn)?shù)的分子和分母同時(shí)乘或除以相同的

數(shù)時(shí)（0除外），分?jǐn)?shù)值不變。

比的基本性質(zhì)：比的前項(xiàng)和后項(xiàng)同時(shí)乘或除以相同的數(shù)（0

（除外），比值不變。

2、最簡(jiǎn)整數(shù)比：比的前項(xiàng)和后項(xiàng)都是整數(shù)，并且是互質(zhì)數(shù)，

這樣的比就是最簡(jiǎn)整數(shù)比。

3、根據(jù)比的基本性質(zhì)，可以把比化成最簡(jiǎn)單的整數(shù)比。

依

據(jù)'①用比的前項(xiàng)和后項(xiàng)同時(shí)除以它們的最大公因數(shù)。

比

(1)的②兩個(gè)分?jǐn)?shù)的比：用前項(xiàng)后項(xiàng)同時(shí)乘分母的最小公倍數(shù)，再按化簡(jiǎn)整

基

本數(shù)比的方法來化簡(jiǎn)。

性

、③兩個(gè)小數(shù)的比：向右移動(dòng)小數(shù)點(diǎn)的位置，先化成整數(shù)比再化簡(jiǎn)。

（2）用求比值的方法。注意：最后結(jié)果要寫成比的形式。

如：15：10=154-10=3=3：2

2

5.按比例分配：把一個(gè)數(shù)量按照一定的比來進(jìn)行分配。這種

方法通常叫做按比例分配。

如：已知兩個(gè)量之比為a:b,則設(shè)這兩個(gè)量分別為

ox和hro

6、路程一定，速度比和時(shí)間比成反比。（如：路程相同，

速度比是是5,時(shí)間比則為5：4）

工作總量一定，工作效率和工作時(shí)間成反比。

（如：工作總量相同，工作時(shí)間比是3：2,工作效率比則是

2：3）

三、圓

一、認(rèn)識(shí)圓

1、圓的定義：圓是由曲線圍成的一種平面圖形。

2、圓心：將一張圓形紙片對(duì)折兩次，折痕相交于圓中心的一

點(diǎn)，這一點(diǎn)叫做圓心。

一般用字母。表示。它到圓上任意一點(diǎn)的距離都相

等.

3、半徑：連接圓心到圓上任意一點(diǎn)的線段叫做半徑。一般用

字母r表示。

把圓規(guī)兩腳分開，兩腳之間的距離就是圓的半徑。

4、直徑：通過圓心并且兩端都在圓上的線段叫做直徑。一般

用字母d表示。

直徑是一個(gè)圓內(nèi)最長(zhǎng)的線段。

8

5、圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小。

6、在同圓或等圓內(nèi)，有無數(shù)條半徑，有無數(shù)條直徑。所有的

半徑都相等，所有的直徑都相等。

7.在同圓或等圓內(nèi)，直徑的長(zhǎng)度是半徑的2倍，半徑的長(zhǎng)度

是直徑的9

2

用字母表示為：d=2r或r=%

8、軸對(duì)稱圖形：

如果一個(gè)圖形沿著一條直線對(duì)折，兩側(cè)的圖形能夠完全重

合，這個(gè)圖形是軸對(duì)稱圖形。

折痕所在的這條直線叫做對(duì)稱軸。（經(jīng)過圓心的任意一條直

線或直徑所在的直線）

9、長(zhǎng)方形、正方形和圓都是對(duì)稱圖形，都有對(duì)稱軸。這些圖

形都是軸對(duì)稱圖形。

10、只有1一條對(duì)稱軸的圖形有：角、等腰三角形、等腰梯

形、扇形、半圓。

只有2條對(duì)稱軸的圖形是：長(zhǎng)方形

只有3條對(duì)稱軸的圖形是：等邊三角形

只有4條對(duì)稱軸的圖形是：正方形；

有無數(shù)條對(duì)稱軸的圖形是：圓、圓環(huán)。

二、圓的周長(zhǎng)

1、圓的周長(zhǎng)：圍成圓的曲線的長(zhǎng)度叫做圓的周長(zhǎng)。用字母C

表示。

9

2、圓周率實(shí)驗(yàn)：

在圓形紙片上做個(gè)記號(hào)，與直尺?？潭葘?duì)齊，在直尺上滾

動(dòng)一周，求出圓的周長(zhǎng)。

發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律，就是圓周長(zhǎng)與它直徑的比值是一個(gè)固定數(shù)

(n)。

3.圓周率：任意一個(gè)圓的周運(yùn)與它的直徑的比值是一個(gè)固定

的數(shù)，我們把它叫做圓鯉。

用字母JI(pai)表示。

(1)、一個(gè)圓的周長(zhǎng)總是它直徑的3倍多一些，這個(gè)比值是

一個(gè)固定的數(shù)。

圓周率n是一個(gè)無限不循環(huán)小數(shù)。在計(jì)算時(shí)，一般取口

%3.140

(2)、在判斷時(shí)，圓周長(zhǎng)與它直徑的比值是冗倍，而不是3.14

倍。

(3)、世界上第一個(gè)把圓周率算出來的人是我國(guó)的數(shù)學(xué)家也

沖之。

4、圓的周長(zhǎng)公式:C=nd'Ad=C-Tn

或C=2nr■>-r=C4-2n

5,在一個(gè)正方形里畫一個(gè)最大的圓，圓的直徑等于正方形的邊長(zhǎng)。

在一個(gè)長(zhǎng)方形里畫一個(gè)最大的圓，圓的直徑等于長(zhǎng)方形的寬。

6、6分周長(zhǎng)的一半和半圓的周長(zhǎng):

(1)周長(zhǎng)的一半：等于圓的周長(zhǎng)+2計(jì)算方法：2nr+2即nr

(2)半圓的周長(zhǎng)：等于圓的周長(zhǎng)的一半加直徑。計(jì)算方法：nr+2r即5.14r

10

三、圓的面積

1、圓的面積：圓所占平面的大小叫做圓的面積。用字母s表示。

2、一條弧和經(jīng)過這條弧兩端的兩條半徑所圍成的圖形叫做扇形。頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角。

3、圓面積公式的推導(dǎo):

(1)、用逐漸逼近的轉(zhuǎn)化思想:體現(xiàn)化圓為方，化曲為直；化新為舊，化未知為已知，化復(fù)

雜為簡(jiǎn)單，化抽象為具體。

(2)、把一個(gè)圓等分(偶數(shù)份)成的扇形份數(shù)越多，拼成的圖像越接近長(zhǎng)方形。

(3)、拼出的圖形與圓的周長(zhǎng)和半徑的關(guān)系。

its-「…二

卜￡g”)長(zhǎng)力名

圓的半徑=長(zhǎng)方形的寬

圓的周長(zhǎng)的一半=長(zhǎng)方形的長(zhǎng)

因?yàn)椋洪L(zhǎng)方形面積=長(zhǎng)X寬

所以：圓的面積=圓周長(zhǎng)的一半X圓的半徑

S圓=nrXr

圓的面積公式:S圓=nr2>r2=S4-n

4、環(huán)形的面積：

一個(gè)環(huán)形，外圓的半徑是R,內(nèi)圓的半徑是r。(R=r+環(huán)的寬度.)

S環(huán)二五R2一冗1或

環(huán)形的面積公式:s環(huán)=兀(R2-r2)O

5、一個(gè)圓，半徑擴(kuò)大或縮小多少倍，直徑和周長(zhǎng)也擴(kuò)大或縮

小相同的倍數(shù)。

而面積擴(kuò)大或縮小的倍數(shù)是這倍數(shù)的平方倍。例如:

在同一個(gè)圓里，半徑擴(kuò)大3倍，那么直徑和周長(zhǎng)就都擴(kuò)大3

倍，而面積擴(kuò)大9倍。

11

6、兩個(gè)圓：半徑比=直徑比=周長(zhǎng)比；而面積比等于這

比的平方。例如：

兩個(gè)圓的半徑比是2：3,那么這兩個(gè)圓的直徑比和周長(zhǎng)比

都是2:3,而面積比是4:9

7、任意一個(gè)正方形與它內(nèi)切圓的面積之比都是一個(gè)固定值，

即：4：n

8、當(dāng)長(zhǎng)方形，正方形，圓的周長(zhǎng)相等時(shí)，圓面積最大,正方

形居中，長(zhǎng)方形面積最小。反之，面積相同時(shí)，長(zhǎng)方形的

周長(zhǎng)最長(zhǎng)，正方形居中，圓周長(zhǎng)最短。

9、確定起跑線：

(1)＞每條跑道的長(zhǎng)度=兩個(gè)半圓形跑道合成的圓的周長(zhǎng)+

兩個(gè)直道的長(zhǎng)度。

(2)、每條跑道直道的長(zhǎng)度都相等，而各圓周長(zhǎng)決定每條跑

道的總長(zhǎng)度。(因此起跑線不同)

(3)、每相鄰兩個(gè)跑道相隔的距離是：2XnX跑道的寬度

(4)、當(dāng)一個(gè)圓的半徑增加a厘米時(shí)，它的周長(zhǎng)就增加2Ji

a厘米；當(dāng)一個(gè)圓的直徑增加a厘米時(shí)，它的周長(zhǎng)就

增加冗a厘米。

11、常用各n值結(jié)果：

n=3.145兀=15.79n=28.2636n=113.04

2Ji=6.286n=18.8410n=31.464n=200.96

3兀=9.427n=21.9816n=50.2496n=301.44

4冗=12.568兀=25.1225n=78.5

12

12、常用平方數(shù)結(jié)果

22,22

12-45=225

14456996

,28，192

6-256=289-3241=36

分?jǐn)?shù)

四

百

一、百分?jǐn)?shù)的意義和寫法

1、百分?jǐn)?shù)的意義：表示一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的百分之幾。

百分?jǐn)?shù)是指的兩個(gè)數(shù)的比，因此也叫百分率或百

分比。

2、千分?jǐn)?shù)：表示一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的千分之幾。

3、百分?jǐn)?shù)和分?jǐn)?shù)的主要聯(lián)系與區(qū)別：

(1)聯(lián)系：都可以表示兩個(gè)量的倍比關(guān)系。

(2)區(qū)別：

①、意義不同：百分?jǐn)?shù)只表示兩個(gè)分的倍比關(guān)系,不能表示具體的

數(shù)量，所以不能帶單位;

分?jǐn)?shù)既可以表示具體的數(shù)，又可以表示兩個(gè)數(shù)的關(guān)系，表示具本

數(shù)時(shí)可以帶單位。

②、百分?jǐn)?shù)的分子可以是整數(shù)，也可以是小數(shù)；

分?jǐn)?shù)的分子不能是小數(shù)，只能是除。以外的自然數(shù)。

4、百分?jǐn)?shù)的寫法：通常不寫成分?jǐn)?shù)形式，而在原來分子后面加上

“％”來表示。

二、百分?jǐn)?shù)和分?jǐn)?shù)、小數(shù)的互化

(一)百分?jǐn)?shù)與小數(shù)的互化：

13

1、小數(shù)化成百分?jǐn)?shù)：把小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)兩位，同時(shí)在后面添上百分

號(hào)。

2.百分?jǐn)?shù)化成小數(shù)：把小數(shù)點(diǎn)向左移動(dòng)兩位，同時(shí)去掉百分號(hào)。

（二）百分?jǐn)?shù)的和分?jǐn)?shù)的互化

1、百分?jǐn)?shù)化成分?jǐn)?shù)：

先把百分?jǐn)?shù)化成分?jǐn)?shù)，先把百分?jǐn)?shù)改寫成分母是否100的分?jǐn)?shù)，

能約分要約成最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)。

2、分?jǐn)?shù)化成百分?jǐn)?shù)：

①用分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，把分?jǐn)?shù)分母擴(kuò)大或縮小成分母是100的分

數(shù)，再寫成百分?jǐn)?shù)形式。

②先把分?jǐn)?shù)化成小數(shù)（除不盡時(shí)，通常保留三位小數(shù)）,再把小數(shù)

化成百分?jǐn)?shù)。

（三）常見的分?jǐn)?shù)與小數(shù)、百分?jǐn)?shù)之間的互化

-=0.5=50%-=0.2=20%-=0.625=62.5%

258

2

-=0.25=25%-=0.4=40%-=0.125=12.5%

458

-=0.75=75%-=0.6=60%-=1.375=37.5%

458

47

—=0.0625=6.25%-=0.8=80%-=0.875=87.5%

1658

1234

—=0.04=4%—=0.08二=8%—=0.12=二12%—=0.16=16%

25252525

三、用百分?jǐn)?shù)解決問題

（一）一般應(yīng)用題

1、常見的百分率的計(jì)算方法:

14

①合格率二:^^x,00%發(fā)芽種子數(shù)

②發(fā)芽率X100%

種子總數(shù)

③出勤率=喘*、儂％達(dá)標(biāo)學(xué)生人數(shù)

④達(dá)標(biāo)率X100%

學(xué)生總?cè)藬?shù)

成活的數(shù)量粉的重量

⑤成活率=總數(shù)量、100%⑥出粉率X100%

出粉物的重量

烘干后的重量⑧含水率=烘干前鬻曲需的重量,％

⑦烘干率=xlOO%

烘干前的重量

一般來講，出勤率、成活率、合格率、正確率能達(dá)到100%,出

米率、出油率達(dá)不到100%,完成率、增長(zhǎng)了百分之幾等可以超過

100沆（一般出粉率在70、80%,出油率在30、40%o）

2、已知單位“1”的量（用乘法），求單位“1”的百分之幾是多少

的問題：

數(shù)量關(guān)系式和分?jǐn)?shù)乘法解決問題中的關(guān)系式相同：

（1）分率前是“的”：?jiǎn)挝弧?”的量X分率=分

率對(duì)應(yīng)量

（2）分率前是“多或少”的意思：?jiǎn)挝弧?”的量X（1±分率）=

分率對(duì)應(yīng)量

3、未知單位“1”的量（用除法），已知單位“1”的百分之幾是多

少,求單位“1”。

解法：（建議：最好用方程解答）

（1）方程：根據(jù)數(shù)量關(guān)系式設(shè)未知量為X,用方程解答。

（2）算術(shù)（用除法）:分率對(duì)應(yīng)量+對(duì)應(yīng)分率=單位“1”的量

4、求一個(gè)數(shù)比另一個(gè)數(shù)多（少）百分之幾的問題:

兩個(gè)數(shù)的相差量+單位“1”的量X100%或.

15

①求多百分之幾：（大數(shù)+小數(shù)-1）X100%

②求少百分之幾：（1-小數(shù)+大數(shù)）X100%

（二）、折扣

1、折扣：商品按原定價(jià)格的百分之幾出售，叫做折扣。通稱“打折”。

幾折就表示十分之幾，也就是百分之幾十。例如八折=2=80%,

六折五=0.65=65%

2、一成是十分之一，也就是10%o三成五就是十分之三點(diǎn)五，也

就是35%

（三）、納稅

1、納稅：納稅是根據(jù)國(guó)家稅法的有關(guān)規(guī)定，按照一定的比率把集體

或個(gè)人收入的一部分繳納給國(guó)家。

2、納稅的意義：稅收是國(guó)家財(cái)政收入的主要來源之一。國(guó)家用收來

的稅款發(fā)展經(jīng)濟(jì)、科技、教育、文化和國(guó)防安全等事業(yè)。

3、應(yīng)納稅額：繳納的稅款叫做應(yīng)納稅額。

4、稅率：應(yīng)納稅額與各種收入的比率叫做稅率。

5、應(yīng)納稅額的計(jì)算方法：應(yīng)納稅額=總收入X稅率

（四）利息

1、存款分為活期、整存整取和零存整取等方法。

2、儲(chǔ)蓄的意義：人們常常把暫時(shí)不用的錢存入銀行或信用社，儲(chǔ)蓄

起來，這樣不僅可以支援國(guó)家建設(shè)，也使得個(gè)人用錢更加安

全和有計(jì)劃，還可以增加一些收入。

3、本金：存入銀行的錢叫做本金。

4、利息：取款時(shí)銀行多支付的錢叫做利息。

16

5、利率：利息與本金的比值叫做利率。

6、利息的計(jì)算公式：利息=本金X利率X時(shí)間

7、注意：如要上利息稅（國(guó)債和教育儲(chǔ)藏的利息不納稅），貝I：

稅后利息=利息-利息、的應(yīng)納稅額=利息「利息X利息稅率=利息X

（1-利息稅率）

五、扇形統(tǒng)計(jì)圖

一、扇形統(tǒng)計(jì)圖的意義：

用整個(gè)圓的面積表示總數(shù)，用圓內(nèi)各個(gè)扇形面積表示各部分?jǐn)?shù)量

同總數(shù)之間的關(guān)系。

也就是各部分?jǐn)?shù)量占總數(shù)的百分比（因此也叫百分比圖）。

二、常用統(tǒng)計(jì)圖的優(yōu)點(diǎn)：

1、條形統(tǒng)計(jì)圖：可以清楚的看出各種數(shù)量的多少。

2、折線統(tǒng)計(jì)圖：不僅可以看出各種數(shù)量的多少，還可以清晰看

出數(shù)量的增減變化情況。

3、扇形統(tǒng)計(jì)圖：能夠清楚的反映出各部分?jǐn)?shù)量同總數(shù)之間的關(guān)

系。

三、扇形的面積大?。涸谕粋€(gè)圓中，扇形的大小與這個(gè)扇形的圓

心角的大小有關(guān)，圓心角越大，扇形越大。（因此扇形面積占圓

面積的百分比，同時(shí)也是該扇形圓心角度數(shù)占圓周角度數(shù)的百

分比。）

六、比例

17

1、比例的意義：表示兩個(gè)比相等的式子叫做比例。如：2：1=6：

3

2、組成比例的四個(gè)數(shù)，叫做比例的項(xiàng)。兩端的兩項(xiàng)叫做外項(xiàng)，

中間的兩項(xiàng)叫做內(nèi)項(xiàng)。

3、比例的性質(zhì)：在比例里，兩個(gè)外項(xiàng)的積等于兩個(gè)兩個(gè)內(nèi)向

的積。這叫做比例的基本性質(zhì)。例如：由3：2=6:4可知3X4=2X6；

或者由xX1.5=yXL2可知x：y=1.2:1.5。

（利用比例的意義和比例的基本性質(zhì)可以判斷兩個(gè)比是否成比

例）

4、解比例：根據(jù)比例的基本性質(zhì)，如果已知比例中的任何三

項(xiàng)，就可以求出這個(gè)數(shù)比例中的另外一個(gè)未知項(xiàng)。求比例中的未知

項(xiàng)，叫做解比例。

例如：3：x=4：8,內(nèi)項(xiàng)乘內(nèi)項(xiàng)，外項(xiàng)乘外項(xiàng)，貝I」：4x=3X8,

解得x=6o

5、正比例和反比例：（1）、成正比例的量：兩種相關(guān)聯(lián)的量,

一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)

數(shù)的比值（也就是商）一定，這兩種量就叫做成正比例的量，他們

的關(guān)系叫做正比例關(guān)系。用字母表示y/x=k（一定）

例如：①、速度一定，路程和時(shí)間成正比例；因?yàn)椋郝烦?時(shí)間=

速度（一定）。

②、圓的周長(zhǎng)和直徑成正比例，因?yàn)椋簣A的周長(zhǎng)4"