專題03分式

內(nèi)容導(dǎo)航

的考點聚焦：核心考點+高考考點，有的放矢

1重點速記：知識點和關(guān)鍵點梳理，查漏補缺

難點強化：難點內(nèi)容標注與講解，能力提升

「復(fù)習(xí)提升：真題感知+提升專練，全面突破

???考點聚焦<<<

*核心考點聚焦

1、分式有意義的條件

2、分式化簡求值

3、解分式方程

4、分式的求值

5、根據(jù)分式方程解的情況求值

6、分式方程的應(yīng)用

>中考考點聚焦

常考考點真題舉例

分式有意義的條件2024?安徽?中考真題

分式化簡求值2024?寧夏?中考真題

分式方程的其它實際問題2024?寧夏?中考真題

解分式方程2024?江蘇徐州?中考真題

分式方程的經(jīng)濟問題2024?江蘇宿遷?中考真題

分式的求值2024?四川雅安?中考真題

根據(jù)分式方程解的情況求值2024?黑龍江牡丹江?中考真題

???重點速記<<<

IJ

-.解分式方程的步驟

解分式方程基本步驟：①去分母；②解整式方程；③驗根

分式方程的增根：使分式方程分母=0的未知數(shù)的值；

分式方程會無解的幾種情況

①解出的X的值是增根，須舍去，無解

②解出的x的表達式中含參數(shù)，而表達式無意義，無解

③同時滿足①和②，無解

求有增根分式方程中參數(shù)字母的值的一般步驟：

①讓最簡公分母為0確定增根；

②去分母，將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程；

③將增根帶入（當(dāng)有多個增根時，注意分類，不要漏解）；

④解含參數(shù)字母的方程的解。

二,與分式方程的解有關(guān)的問題

1.由分式方程的解的情況求字母系數(shù)的取值范圍，一般解法是：

①根據(jù)未知數(shù)的范圍求出字母的范圍；

②把使分母為0的未知數(shù)的值代入到去分母后的整式方程中，求出對應(yīng)的字母系數(shù)的值;

③綜合①②，求出字母系數(shù)的范圍.

2.依據(jù)分式方程的增根確定字母參數(shù)的值的一般步驟：

1）先將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程；

2）由題意求出增根；

3）將增根代入所化得的整式方程，解之就可得到字母參數(shù)的值.

三.分式方程的應(yīng)用

用分式方程解決實際問題的步驟：

審：理解并找出實際問題中的等量關(guān)系；

設(shè)：用代數(shù)式表示實際問題中的基礎(chǔ)數(shù)據(jù)；

列：找到所列代數(shù)式中的等量關(guān)系，以此為依據(jù)列出方程；

解：求解方程；

驗：考慮求出的解是否具有實際意義;+

1）檢驗所求的解是否是所列分式方程的解.

2）檢驗所求的解是否符合實際意義.

答：實際問題的答案.

/X

???難點強化<<<

J」

【題型1解分式方程】

1.(2025八年級下?全國?專題練習(xí))解方程：

(1)—=+1；(2)—=--2.

''x-2X2-4''x-33-x

【答案】⑴無解

(2)%=1

【分析】本題考查解分式方程，熟練掌握解分式方程的方法步驟是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)解分式方程的方法步驟(去分母，去括號，移項，合并同類項，系數(shù)化為1,檢驗，)求解,

即可解題;

(2)解題方法與(1)類似.

【詳解】(1)解：吃=3+1

X-2%2-4

化為整式方程得，%(%+2)=8+/—生

去括號得，%2+2%=%2+4,

移項、合并同類項得，2x=4,

系數(shù)化為1得，％=2,

檢驗：把％=2代入久2—4=4—4=0,

以=2是原方程的增根，原方程無解；

(2)解：-=--2

x-33-x

化為整式方程得，4—x=—1—2(x—3),

去括號得，4—x=-1—2x+6,

移項、合并同類項得，X=1,

檢驗：把％=1代入久—3=1—3=—2W0,

0%=1是原方程的解.

2.(2025八年級下?江蘇?專題練習(xí))解方程.

(1)-=—;--------=1.

xx-1X2-42-x

【答案】⑴久口一2

(2)x=-3

【分析】本題考查了分式方程的計算，熟知運算法則是解題的關(guān)鍵.

(1)先去分母，再計算一元一次方程即可；

(2)先去分母，再計算一元一次方程即可.

【詳解】(1)解”三三,

Xx-1

方程兩邊同乘%(%-1),得2(x-1)=3%,

解得：x=-2,

檢驗：K=—2時，x(x-1)0,

0x=-2是該分式方程的解；

(2)解：丁--------=1

X2-42-x

方程兩邊同乘(x+2)(x-2),得2+x(x+2)=x2-4,

解得：x=-3,

檢驗：x=—3時，(x+2)(%-2)0,

回x=-3是該分式方程的解.

3.(2025八年級下?全國?專題練習(xí))解方程：

V—QQ124

(1)------F1=；(2)------------=——.

''x-22-x'fx-lx+1x2-l

【答案】(l)x=1

(2)無解

【分析】本題考查了解分式方程，熟知分式方程需檢驗是解題的關(guān)鍵.

(1)先將分式方程化為一元一次方程，再解一元一次方程，最后檢驗即可求解;

(2)先將分式方程化為一元一次方程，再解一元一次方程，最后檢驗即可求解.

【詳解】⑴解：芍+1=2，

x-22-x

團式一3+%—2=-3,

解得：％=1,

檢驗：當(dāng)％=1時，％-2。0,

0%=1是原分式方程的解.

(2)解：------=4,

x-lx+1x2-l

團工+1—2(%—1)=4,

解得：X=-1,

經(jīng)檢驗，X=—1時—1=1—1=0,

團原方程無解.

【題型2分式化簡求值】

1.(2025?山東濟寧?二模)若關(guān)于x的方程二。+4=1的解為正數(shù)，則m的值可以為()

x-22-x

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】本題考查了分式方程的解以及解一元一次不等式，求出方程的解是解題的關(guān)鍵.

先用含m的代數(shù)式表示x,再根據(jù)解為正數(shù)，列出關(guān)于m的不等式，求解即可.

【詳解】解：由三+E=i,

去分母得:2x—m=x—2,

解得：x=m—2且％W2,

團關(guān)于X的方程二+—=1的解是正數(shù)，

x-22-x

0m—2>0且m—2W2,解得：m>2且mH4,

回m的值可以為3,

故選：C.

2.(2025?重慶?一模)先化簡再求值：(1+=)++言,其中乂是從一1,0,2中選取的一個合適

\x-lJxz-2x+lx2-l

的數(shù).

【答案】等；0

【分析】此題考查了分式的化簡求值，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵.原式括號中兩項通分并利

用同分母分式的加法法則計算，同時利用除法法則變形，約分得到最簡結(jié)果，再選取合適的值代入計

算即可求出值.

【詳解】解：原式=x不-lx然(x+l)+(ax+l丁)(x-l4)

_2(x-l)2

x+1x+1

_2%—4

=,

x+1

xW0且久W—1,

當(dāng)％=2時，原式=~~~=0，

3.(2025?江西贛州?二模)先化簡，再求值：(1—丟三，其中a=2.

\a+2/a2+4a+4

【答案】*，4

a-1

【分析】本題主要考杳分式的化簡求值，根據(jù)分式的減法法則，除法法則把原式化簡，再把a=2代入

計算即可.

|詳解】解:(1一總)

'a2+4a+4

a+2-1(a+2>

a+2(a+l)(ci-1)

a+2

把a=2代入得：原式==4

2—1

4.(2025?廣東深圳?二模)先化簡，再求值：(全+專)+高言，再從一2,0，L2中，選個合適的值作

為x代入求值.

【答案】圭；1

【分析】本題考查分式的化簡求值，熟練掌握運算法則是解答本題的關(guān)鍵.先通分括號內(nèi)的式子，同

時將括號外的除法轉(zhuǎn)化為乘法，再約分，然后從-2,0,1,2中，選一個使得原分式有意義的值代入

化簡后的式子計算即可.

【詳解】解：原式=（圭+專）?金

(%-2)

x—2/2x(%—2)

(%-2)

(%+2)(%—2)2x(%—2)

一,

x+2

回％+2%—2。0,

0-2,0,1,2中，只有％=1符合題意，

當(dāng)％=1時，原式=

5.（2025?廣東深圳?二模）下面是小甜化簡分式」7+三+當(dāng)?shù)倪^程，請認真閱讀，并完成相應(yīng)的任務(wù).

x+1x+1x2-l

1?(%+1)(%—1)

_LX~~

（1）化簡過程中，從第（填序號）步開始出現(xiàn)錯誤.錯誤的原因是.

⑵請寫出正確的化簡過程，并求出當(dāng)久=-2時，該代數(shù)式的值.

【答案】（1）①；未遵循分式混合運算中應(yīng)先算乘除、再算加減的優(yōu)先級規(guī)則

2—；0

''x+1

【分析】本題主要考查了分式的混合運算，分式的化簡求值，解題的關(guān)鍵是熟練掌握分式混合運算的

法則.

（1）按照混合運算的運算順序進行判斷即可；

（2）先進行分式的除法運算，然后再進行分式的加減，最后代數(shù)求值即可.

【詳解】（1）解：從第①步開始出現(xiàn)錯誤，

未遵循分式混合運算中應(yīng)先算乘除、再算加減的優(yōu)先級規(guī)則；

(%-1)(%+1)

當(dāng)％=-2時，原式=0.

【題型3根據(jù)分式解的情況求值】

1.（24-25八年級下?河南周口?階段練習(xí)）己知關(guān)于x的分式方程三-4=4.

x-l1-X

（1）若方程的解為％=—1,求小的值.

(2)若方程的解為非負數(shù)，求機的取值范圍.

【答案】(1)6=—7

(2)m>—4且m力—1

【分析】本題主要考查解分式方程和一元一次不等式，解題的關(guān)鍵是注意分式方程隱含的分母不為零.

(1)把方程的解代入方程求解即可；

(2)根據(jù)分式方程的求解方法，注意分母不為零，且解為非負數(shù)的條件.

【詳解】(1)解：當(dāng)久=—1時，二一4=三，

-1-11+1

解得7H=-7.

(2)解：—---4=――,

x-l1-X

去分母得%-4(%—1)=—m,

解得第=等，

??,分式方程有解且解為非負數(shù)，且久W1,

???—>0且比W1,

33

解得m>一4且mH—1.

2.(24-25八年級上?廣西防城港?階段練習(xí))關(guān)于久的分式方程：卷=守.

x-33-x

(1)當(dāng)血=2時，求此時方程的解.

⑵若這個方程占="絲的解為正數(shù)，求小的取值范圍.

x—33—x

【答案】(1比=—4

(2)m>6且m*9

【分析】此題主要考查了解分式方程及不等式的解法，注意解分式方程要進行檢驗是解題關(guān)鍵.

(1)直接利用解分式方程的方法求解即可；

(2)先解分式方程，然后依據(jù)題意求解不等式即可.

【詳解】(1)解：當(dāng)a=2時，分式方程為之=4，

x-33-x

方程兩邊同乘(％-3),

解得汽=-4,

檢驗：當(dāng)％=-4時，

所以當(dāng)m=2時，

分式方程的解為久=-4；

(2)—,

x—33-x

方程兩邊同乘。-3),

解得久=771—6,

這個方程三=了的解為正數(shù),

m-6>0且m—6力3,

解得zn>6且m豐9.

【題型4分式方程的應(yīng)用】

1.(2025?山東濟南?二模)人工智能被稱為世界三大尖端技術(shù)之一，近年來得到了迅猛發(fā)展，取得了豐碩成

果.2024年12月26日，中國人工智能公司發(fā)布DeepSeek-U3模型，引發(fā)了科技行業(yè)高度關(guān)注.某

校積極響應(yīng)國家"科教興國”戰(zhàn)略，開設(shè)智能機器人編程的校本課程，學(xué)校購買了A,8兩種型號的機器

人模型,A型機器人模型單價比B型機器人模型單價多200元，用4000元購買A型機器人模型和用2400

元購買B型機器人模型的數(shù)量相同.

⑴求A型，8型機器人模型的單價分別是多少元？

(2)學(xué)校準備再次購買A型和B型機器人模型共40臺，購買2型機器人模型不超過A型機器人模型的3

倍，且商家給出了兩種型號機器人模型均打八折的優(yōu)惠.問購買A型和2型機器人模型各多少臺時花

費最少？最少花費是多少元？

【答案】(1)4型機器人模型單價為500元，8型機器人模型單價為300元

(2)購買A型機器人10臺、2型機器人30臺時花費最少，最少花費是11200元

【分析】本題考查分式方程的實際應(yīng)用，一元一次不等式和一次函數(shù)的實際應(yīng)用，正確的列出方程，

不等式和一次函數(shù)，是解題的關(guān)鍵：

(1)設(shè)8型機器人模型單價為x元，根據(jù)用4000元購買A型機器人模型和用2400元購買2型機器人

模型的數(shù)量相同，列出分式方程進行求解即可；

(2)設(shè)購買A型機器人m臺，根據(jù)購買2型機器人模型不超過A型機器人模型的3倍，列出不等式求

出小的取值范圍，設(shè)共花費w元，列出一次函數(shù)解析式，利用一次函數(shù)的性質(zhì)，求最值即可.

【詳解】(1)解：設(shè)2型機器人模型單價為尤元，則A型機器人模型單價為(X+200)元.

解得x=300,

經(jīng)檢驗，x=300是所列分式方程的解,

300+200=500(元).

答：A型機器人模型單價為500元，2型機器人模型單價為300元.

(2)設(shè)購買A型機器人機臺，則購買8型機器人(40-m)臺.

根據(jù)題意，得40-mW3m,

解得m>10.

設(shè)共花費w元，則w=0.8X500m+0.8x300(40—m)=160m+9600,

0fc=160>0,

回卬隨機的減小而減小,

0m>10,

回當(dāng)m=10時，w值最小.

w最小=160x10+9600=11200,

40-10=30（臺）.

答：購買A型機器人10臺、3型機器人30臺時花費最少，最少花費是11200元.

2.（2025?遼寧盤錦?一模）據(jù)燈塔專業(yè)版數(shù)據(jù)，截至2025年2月18日，《哪吒之魔童鬧海》總票房達123.2

億元，登頂全球動畫電影票房榜，是亞洲首部票房過百億的影片，并創(chuàng)造了全球單一電影市場最高票

房紀錄.該片來源于哪吒鬧海的傳統(tǒng)故事，但又重塑了全新的"魔童"哪吒形象：表面吊兒郎當(dāng)，實則勇

敢堅毅，強烈反差引發(fā)情感共鳴；"我命由我不由天”的不屈精神，讓觀眾淚目.為滿足兒童對哪吒的喜

愛，某玩具店決定各用300元購進了4、B兩種哪吒玩偶.已知一個B種哪吒玩偶是一個4種玩偶價格的

2倍，且購進兩種玩偶的數(shù)量共15個.

AR

（1）求購進力、B兩種哪吒玩偶的單價各是多少元？

⑵因銷售效果不錯，該玩具店決定再次購進力、B兩種哪吒玩偶共80個，且4種哪吒玩偶的數(shù)量不多于

8種哪吒玩偶數(shù)量的3倍，問此次購進最少要花多少錢？

【答案】（1）A種哪吒玩偶單價是30元，B種哪吒玩偶單價是60元

（2）3000元

【分析】本題考查了分式方程的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用以及一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）

找準等量關(guān)系，正確列出分式方程；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，找出w關(guān)于。的函數(shù)關(guān)系式.

（1）設(shè)購進A種哪吒玩偶的單價是x元，則購進8種哪吒玩偶的單價是次元，利用數(shù)量=總價+單價,

結(jié)合購進兩種玩偶的數(shù)量共15個，可列出關(guān)于尤的分式方程，解之經(jīng)檢驗后，可得出x的值（即購進

A種哪吒玩偶的單價），再將其代入2x中，即可求出購進8種哪吒玩偶的單價；

（2）設(shè)購進A種哪吒玩偶a個，則購進8種哪吒玩偶（80-a）個，根據(jù)購進A種哪吒玩偶的數(shù)量不多

于8種哪吒玩偶數(shù)量的3倍，可列出關(guān)于。的一元一次不等式，解之可得出。的取值范圍，設(shè)該玩具

店再次購進A、2兩種哪吒玩偶共花費w元，利用總價=單價x數(shù)量，可找出w關(guān)于。的函數(shù)關(guān)系式，再

利用一次函數(shù)的性質(zhì)，即可解決最值問題.

【詳解】（1）解：設(shè)A種哪吒玩偶的單價為x元，則2種哪吒玩偶的單價為2x元.

根據(jù)題意，得：—+—=

x2x15

解得：%=30

經(jīng)檢驗：x=30是原分式方程的解

?,'B種：2X30=60兀

答：A種哪吒玩偶單價是30元，B種哪吒玩偶單價是60元.

(2)解：設(shè)購進A種哪吒玩偶a個，則購進2種哪吒玩偶(80-a)個

根據(jù)題意，得：0<aW3(80—a)

解得：0<aW60

花費y=30a+60(80-a)

整理，得：y=-30a+4800

0-30<0,當(dāng)0<久W60時，y隨x的增大而減小

回當(dāng)a=60時，ymin=3000元

答：此次購進最少要花3000元.

3.(2025?山東煙臺?一模)"低碳生活，綠色出行”的理念已逐漸深入人心，某自行車專賣店有A,B兩種規(guī)

格的自行車，4型車的售價為。元/輛，B型車的售價為萬元/輛，該專賣店十月份前兩周銷售情況如下：

A型車銷售(輛)2型車銷售量(輛)總銷售額(元)

第一周101236600

第二周121545000

(1)求a,b的值；

(2)已知一輛A型車比一輛2型車進價少花300元，老板在第三個周進貨時，用48000元購進A型自行

車數(shù)量與用60000元購進B型自行車數(shù)量相等，求A、2兩種的自行車進貨單價分別是多少元？

⑶若計劃第四周售出A、B兩種型號自行車共25輛，其中8型車的銷售量大于A型車的銷售量，且不

超過A型車銷售量的2倍，該專賣店售出A型、B型車各多少輛才能使第四周總銷售額最大，最大總

銷售額是多少元？

【答案】(嚙二疏

(2)A型號一輛進價為1200元，B型號一輛進價為1500元

⑶該專賣店第三周售出A型車9輛，8型車16輛，銷售總額為最大，為42300元

【分析】本題主要考查了一次函數(shù)的實際應(yīng)用，二元一次方程組的實際應(yīng)用，分式方程的實際應(yīng)用，

一元一次不等式的實際應(yīng)用，正確理解題意列出方程，不等式和函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)第一周和第二周的銷售額建立方程組求解即可；

(2)設(shè)8型車進價每輛x元，則A型車進價每輛(X-300)元，根據(jù)用48000元購進A型自行車數(shù)量與

用60000元購進B型自行車數(shù)量相等建立方程求解即可；

(3)設(shè)該專賣店第三周售出A型車m輛，8型車(25-m)輛，銷售總額為w元，分別求出售出A型車

和8型車的銷售額，二者求和可得w關(guān)于尤的函數(shù)關(guān)系式，再列不等式求出他的取值范圍，進而根據(jù)

一次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.

【詳解】⑴解：由題意得｛第常湍,

解得.(a=150°

tb=1800

(2)解：設(shè)8型車進價每輛x元，則A型車進價每輛(x-300)元,

根據(jù)題意得4800060000

X-300X

解得：%=1500

經(jīng)檢驗x=1500是原分式方程的解.

x-300=1200(元)

答：A型號一輛進價為1200元，B型號一輛進價為1500元.

(3)解：設(shè)該專賣店第三周售出A型車ni輛，2型車(25-zn)輛，銷售總額為w元,

由題意得：w=1500m+1800(25—m)=-300m+45000,

由m<25—m<2m,解得g<m<y,

m取整數(shù)，m=9,10,11,12,

回w隨著m的增大而減小,

回當(dāng)?n=9時，w取得最大值，此時w=42300(元).

答：該專賣店第三周售出A型車9輛，B型車16輛，銷售總額為最大，為42300元.

4.(2025?廣東深圳?二模)綜合實踐

背隨著我國科技事業(yè)的不斷發(fā)展，國產(chǎn)無人機越來越多應(yīng)用于實際生活，為人們的生

景活帶來了便利.

某農(nóng)業(yè)公司預(yù)購進A,3兩種型號的植保無人機用來噴灑

素農(nóng)藥，A型機比8型機平均每小時少噴灑2公頃農(nóng)田，4

材型機噴灑40公頃農(nóng)田所用時間與B型機噴灑50公頃農(nóng)田

1所用時間相等.

素若農(nóng)業(yè)公司共購進20架無人機，A型無人機5萬元/架，8型無人機6萬元/架.

材

2

問題解決

任A,2兩種型號無人機平均每小時分別噴灑多少公頃地?

務(wù)

1

任若公司要求這批無人機每小時至少噴灑180公頃農(nóng)田，那么該公司如何購買A型和

務(wù)B型無人機，才能使總成本最低？并求出最低成本.

2

【答案】任務(wù)1：A型無人機每小時噴灑8公頃，8型無人機每小時噴灑10公頃；任務(wù)2：采購A型無

人機10臺，B型機10臺時總費用最少，最少費用為110萬元

【分析】本題考查了分式方程的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用以及一次函數(shù)的應(yīng)用，找準等量關(guān)系，

正確列出分式方程和一次函數(shù)是解題的關(guān)鍵.

任務(wù)1,設(shè)A型無人機每小時送噴灑x公頃，則3型每小時噴灑(x+2)公頃，列分式方程求解即可；

任務(wù)2,設(shè)A型無人機。臺，則3型無人機(20-a)臺，總費用為w萬元，根據(jù)題意得

8a+10(20—a)>180,求出a<10；w=5a+6(20—a)=—a+120,當(dāng)a=10,w最小=—10+

120=110(萬元)，此時B型無人機=20-10(臺).

【詳解】解：任務(wù)1，設(shè)A型無人機每小時送噴灑x公頃，則2型每小時噴灑(x+2)公頃

由題意可得：”=鳥

xx+2

解得：%=8

經(jīng)檢驗：久=8是原分式方程的根，

答：A型無人機每小時噴灑8公頃，B型無人機每小時噴灑10公頃.

任務(wù)2,設(shè)A型無人機。臺，則2型無人機(20-a)臺，總費用為卬萬元，

由題意可知：8a+10(20—a)2180

解得：aW10

w=5a+6(20—a)=-a+120

0-1<0,

Elw隨a的增大而減小，

回當(dāng)a=10,w最小=-10+120=110(萬元)

此時8型無人機=20-10(臺).

答：采購A型無人機10臺，B型機10臺時總費用最少，最少費用為"0萬元.

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?真題感知

1.(2024?四川雅安?中考真題)已知冬+工=l(a+bK0).則*=()

aba+b

A.-B.1C.2D.3

2

【答案】c

【分析】本題考查的是條件分式的求值，由條件可得2b+a=ab,再整體代入求值即可;

【詳解】解：屋+《=i(a+6A0),

ab

團2b+a=ab,

^a+ab

回---

a+b

a+a+2b

a+b

2（a+b）

a+b

=2；

故選C

2.（2024?黑龍江大興安嶺地?中考真題）已知關(guān)于x的分式方程旦-2=三無解，則上的值為（）

x-33-x

A.fc=2或k=-1B.k=-2C.k=2或k=1D.k=-1

【答案】A

【分析】本題考查了解分式方程無解的情況，理解分式方程無解的意義是解題的關(guān)鍵.先將分式方程去

分母，化為整式方程，再分兩種情況分別求解即可.

【詳解】解：去分母得，kx-2（x-3）=-3,

整理得，（攵―2）%=-9,

當(dāng)k=2時，方程無解，

當(dāng)kH2時，令％=3,

解得k=-1,

所以關(guān)于X的分式方程二一2=合-無解時，卜=2或々=一1.

x-33-x

故選：A.

3.（2024?安徽?中考真題）若分式七有意義，則實數(shù)X的取值范圍是

x-4

【答案】XH4

【分析】本題主要考查分式有意義的條件.根據(jù)分式有意義的條件:分式的分母不能為0,得到比-4A0,

據(jù)此求解即可.

【詳解】解：回分式上有意義，

x-4

回％—4W0,即久W4.

故答案為：

4X—1.y

—至少有2個整數(shù)解，且關(guān)于y的分式方程

{2（%+1）>—%+a

餐=2-2的解為非負整數(shù)，則所有滿足條件的整數(shù)a的值之和為.

y-11-y

【答案】16

【分析】本題考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式組.先解不等式組，根據(jù)關(guān)于％的一元一次

不等式組至少有兩個整數(shù)解,確定a的取值范圍a<8,再把分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程,解得y=等,

由分式方程的解為非負整數(shù)，確定a的取值范圍a22且aK4,進而得到2WaW8且a力4,根據(jù)范圍確

定出a的取值，相加即可得到答案.

r型八鏟甘。+1①

【詳角牛】角牛：J3,

2(%+1)>—x+a②

解①得：x<4,

解②得:久2詈，

,??關(guān)于萬的一元一次不等式組至少有兩個整數(shù)解,

二.等W2,

解得Q<8,

解方程W=2-2，得丫=?，

y-11-yJ2

???關(guān)于y的分式方程的解為非負整數(shù)，

等2。且等片1,a—2是偶數(shù)，

解得aN2且a74,a是偶數(shù)，

???2<a<8且aW4,。是偶數(shù)，

則所有滿足條件的整數(shù)a的值之和是2+6+8=16,

故答案為：16.

5.(2024?黑龍江大慶?中考真題)先化簡，再求值：(1+旦)+一三，其中％=—2.

\X-37x2-6x+9

【答案】2，-2

x+3

【分析】本題考查了分式的化簡求值.原式括號中兩項通分并利用同分母分式的減法法則計算，同時

利用除法法則變形，約分得到最簡結(jié)果，把尤的值代入計算即可求出值.

【詳解】解：(1+W)十金

/x-33\(x+3)(%—3)

\x—3x—3/(x—3)2

xx—3

x—3%+3

__X

-%+3，

當(dāng)％=—2時，原式=——=—2.

—2+3

6.(2024?山東日照?中考真題)【問題背景】2024年4月23日是第18個"世界讀書日"，為給師生提供更加

良好的閱讀環(huán)境，學(xué)校決定擴大圖書館面積，增加藏書數(shù)量，現(xiàn)需購進20個書架用于擺放書籍.

【素材呈現(xiàn)】

素材一：有4B兩種書架可供選擇，A種書架的單價比8種書架單價高20%；

素材二：用18000元購買A種書架的數(shù)量比用9000元購買2種書架的數(shù)量多6個;

素材三：A種書架數(shù)量不少于8種書架數(shù)量的泉

【問題解決】

(1)問題一：求出4B兩種書架的單價；

(2)問題二：設(shè)購買a個A種書架，購買總費用為w元，求w與。的函數(shù)關(guān)系式，并求出費用最少時的

購買方案；

⑶問題三：實際購買時，商家調(diào)整了書架價格，A種書架每個降價機元，8種書架每個漲價1小元，按

問題二的購買方案需花費21120元，求機的值.

【答案】①1200元；1000元

(2)w=200a+20000(a>8)；購買A種書架8個，3種書架12個

(3)120

【分析】本題考查運用分式方程，一次函數(shù)，一元一次方程解決實際問題.

(1)設(shè)8種書架的單價為x元，則A種書架的單價為(1+20%)無元，用18000元購買A種書架石愣立

個，用9000元購買8種書架理個，根據(jù)素材一即可列出方程，求解并檢驗即可解答；

X

(2)根據(jù)總費用=A種書架的總費用+8種書架的總費用即可列出函數(shù)，根據(jù)資料三求出自變量”的

取值范圍，再根據(jù)一次函數(shù)的增減性即可求出總費用的最小值;

(3)根據(jù)總費用=A種書架的總費用+8種書架的總費用列出一元一次方程，求解即可解答.

【詳解】(1)解：設(shè)8種書架的單價為x元，則A種書架的單價為(1+20%)久元.

180009000,

由題意得=6,

(1+20%)%x

解得x=1000,

經(jīng)檢驗，％=1000是分式方程的解，且符合題意,

???(1+20%)x=1200.

答：4B兩種書架的單價分別為1200元，1000元.

(2)解：購買a個A種書架時，購買總費用w=1200a+1000(20—a),

即w=200a+20000,

由題意得，。應(yīng)滿足：a2|(20—a),解得a28.

200>0,

Ew隨著a的增大而增大，

當(dāng)a=8時，w的值最小，最小值為200x8+20000=21600,

.,?費用最少時購買A種書架8個，8種書架12個.

(3)解：由題意得

(1200-m)x8+(1000+(m)x12=21120,

解得m=120.

7.(2024?四川雅安?中考真題)某市為治理污水，保護環(huán)境，需鋪設(shè)一段全長為3000米的污水排放管道，

為了減少施工對城市交通所造成的影響，實際施工時每天的工效比原計劃增加25%,結(jié)果提前15天完

成鋪設(shè)任務(wù).

⑴求原計劃與實際每天鋪設(shè)管道各多少米？

（2）負責(zé)該工程的施工單位，按原計劃對工人的工資進行了初步的預(yù)算，工人每天人均工資為300元,

所有工人的工資總金額不超過18萬元，該公司原計劃最多應(yīng)安排多少名工人施工？

【答案】（1）原計劃與實際每天鋪設(shè)管道各為40米，50米

⑵該公司原計劃最多應(yīng)安排8名工人施工

【分析】此題考查了分式方程的應(yīng)用，以及一元一次不等式的應(yīng)用，弄清題意是解本題的關(guān)鍵.

（1）設(shè)原計劃每天鋪設(shè)管道x米，則實際施工每天鋪設(shè)管道（l+25%）x,根據(jù)原計劃的時間=實際的

時間+15列出方程，求出方程的解即可得到結(jié)果；

（2）設(shè)該公司原計劃應(yīng)安排y名工人施工，根據(jù)工作時間=工作總量+工作效率計算出原計劃的工作天

數(shù)，進而表示出所有工人的工作總額，由所有工人的工資總金額不超過18萬元列出不等式，求出不等

式的解集，找出解集中的最大整數(shù)解即可.

【詳解】（1）解：設(shè)原計劃每天鋪設(shè)管道x米，則實際施工每天鋪設(shè)管道（1+25%）比=1.25x米，

rpt-Lpzigpr一方日3000yl3000

根據(jù)題息得：五+15=丁,

解得：x=40,

經(jīng)檢驗x=40是分式方程的解，且符合題意，

01.25%=50,

則原計劃與實際每天鋪設(shè)管道各為40米，50米；

（2）解：設(shè)該公司原計劃應(yīng)安排y名工人施工，3000-40=75（天）,

根據(jù)題意得：300X75y<180000,

解得：y<8,

團不等式的最大整數(shù)解為8,

則該公司原計劃最多應(yīng)安排8名工人施工.

8.（2024?廣西?中考真題）綜合與實踐

在綜合與實踐課上，數(shù)學(xué)興趣小組通過洗一套夏季校服，探索清洗衣物的節(jié)約用水策略.

【洗衣過程】

步驟一：將校服放進清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后擰干；

步驟二：將擰干后的校服放進清水中，充分漂洗后擰干.重復(fù)操作步驟二，直至校服上殘留洗衣液濃

度達到洗衣目標.

假設(shè)第一次漂洗前校服上殘留洗衣液濃度為0.2%,每次擰干后校服上都殘留0.5kg水.

濃度關(guān)系式：4后=布焉.其中d前、d后分別為單次漂洗前、后校服上殘留洗衣液濃度；卬為單次漂洗

所加清水量（單位：kg）

【洗衣目標】經(jīng)過漂洗使校服上殘留洗衣液濃度不高于0.01%

【動手操作】請按要求完成下列任務(wù)：

⑴如果只經(jīng)過一次漂洗，使校服上殘留洗衣液濃度降為0.01%,需要多少清水？

(2)如果把4kg清水均分，進行兩次漂洗，是否能達到洗衣目標？

⑶比較(1)和(2)的漂洗結(jié)果，從洗衣用水策略方面，說說你的想法.

【答案】⑴只經(jīng)過一次漂洗，使校服上殘留洗衣液濃度降為0.01%,需要9.5kg清水.

⑵進行兩次漂洗，能達到洗衣目標；

⑶兩次漂洗的方法值得推廣學(xué)習(xí)

【分析】本題考查的是分式方程的實際應(yīng)用，求解代數(shù)式的值，理解題意是關(guān)鍵；

0.5d加

(1)把d尸=0.01%,d前=。.2%代入4尸=—~再解方程即可；

后刖后0.5+w

(2)分別計算兩次漂洗后的殘留洗衣液濃度，即可得到答案；

(3)根據(jù)(1)(2)的結(jié)果得出結(jié)論即可.

0.5%

【詳解】(1)解：把d后=0.01%,d前=0.2%代入d后=指得

得0.01%=°,5x0,2%,

0.5+w

解得w=9.5.經(jīng)檢驗符合題意；

國只經(jīng)過一次漂洗，使校服上殘留洗衣液濃度降為0.01%,需要9.5kg清水.

(2)解：第一次漂洗：

把w=2kg,d前=0.2%代入4后=言削

0.5X0.2%

回d后=0.04%,

0.5+2

第二次漂洗:

把w=2kg,d前=0.04%代入d后=國5

0.5X0.04%

Hid后==0.008%,

0.5+2

而0.008%<0.01%,

團進行兩次漂洗，能達到洗衣目標；

(3)解：由(1)(2)的計算結(jié)果發(fā)現(xiàn)：經(jīng)過兩次漂洗既能達到洗衣目標，還能大幅度節(jié)約用水，

回從洗衣用水策略方面來講，采用兩次漂洗的方法值得推廣學(xué)習(xí).

9.(2024?重慶?中考真題)某工程隊承接了老舊小區(qū)改造工程中1000平方米的外墻粉刷任務(wù)，選派甲、乙

兩人分別用力、B兩種外墻漆各完成總粉刷任務(wù)的一半.據(jù)測算需要力、B兩種外墻漆各300千克，購買

外墻漆總費用為15000元，已知2種外墻漆每千克的價格比B種外墻漆每千克的價格多2元.

⑴求4B兩種外墻漆每千克的價格各是多少元？

(2)已知乙每小時粉刷外墻面積是甲每小時粉刷外墻面積的點乙完成粉刷任務(wù)所需時間比甲完成粉刷任

務(wù)所需時間多5小時.問甲每小時粉刷外墻的面積是多少平方米？

【答案】(1)4種外墻漆每千克的價格為26元，貝種外墻漆每千克的價格為24元.

(2)甲每小時粉刷外墻的面積是25平方米.

【分析】本題考查的是分式方程的應(yīng)用，一元一次方程的應(yīng)用，理解題意建立方程是解本題的關(guān)鍵；

(1)設(shè)4種外墻漆每千克的價格為x元，貝種外墻漆每千克的價格為(x-2)元，再根據(jù)總費用為15000

元列方程求解即可；

(2)設(shè)甲每小時粉刷外墻面積為y平方米，則乙每小時粉刷外墻面積是gy平方米；利用乙完成粉刷任

務(wù)所需時間比甲完成粉刷任務(wù)所需時間多5小時.從而建立分式方程求解即可.

【詳解】(1)解：設(shè)4種外墻漆每千克的價格為x元，貝UB種外墻漆每千克的價格為(％-2)元，

0300%+300(%-2)=15000,

解得：x=26,

回％—2=24,

答：4種外墻漆每千克的價格為26元，B種外墻漆每千克的價格為24元.

(2)設(shè)甲每小時粉刷外墻面積為y平方米，則乙每小時粉刷外墻面積是gy平方米；

L.500_500

%——5=—，

py

解得：y=25,

經(jīng)檢驗：y=25是原方程的根且符合題意，

答：甲每小時粉刷外墻的面積是25平方米.

?提升專練

1.(2024?重慶九龍坡?模擬預(yù)測)若關(guān)于x的不等式組5有且只有3個偶數(shù)解，且關(guān)于y的分

式方程管-義=1的解為正數(shù)，則符合條件的所有整數(shù)a的和為

y-2y+2

【答案】-7

【分析】本題考查分式方程的解，不等式組的解，解關(guān)于x的不等式組，根據(jù)其解的情況確定a的取值范

圍；解關(guān)于y的分式方程，根據(jù)其解的情況確定a的取值范圍，從而確定符合條件的所有整數(shù)a的值并求

和即可.掌握分式方程、一元一次不等式及不等式組的解法是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：，XT1二藝，

1—3%+a<2(2)

解不等式①得：x<4,

解不等式②得：久〉等，

0—<x<4,

3

回不等式組有且只有3個偶數(shù)解，

0-2W等<0,

0-4<a<2；

牌—旦=1,

y-2y+2

在方程兩邊同乘以(y+2)(y-2),得：

(y+a)(y+2)-a(y-2)=(y+2)(y-2),

解得：y--2(a+1),

團分式方程的解為正數(shù)，

El—2(a+1)>0,

回a<-1,

回y=2或-2是分式方程的增根，

團aH0或aW—2,

團一4<a<—1且a*—2,

國a為整數(shù)，

團a可以是-4,-3,

團―4—3=-7,

團符合條件的所有整數(shù)a的和為-7.

故答案為：-7.

2.（2024?安徽?模擬預(yù)測）關(guān)于工的方程3=白的解為非負數(shù)，則M的取值范圍是.

x-l1-X

【答案】m>—3且THW—1

【分析】本題主要考查解分式方程，分式方程的解，解一元一次不等式，先解出方程￡-3=3的解

x-l1-x

為久=等，再根據(jù)題意列出不等式知等20且等力1,最后求解即可，掌握知識點的應(yīng)用是解題的

關(guān)鍵.

【詳解】解：￡-3=看，

x-l1-x

團m—3（%—1）=—%,

團m—3x+3=-x,

回％=——771+3,

2

由題意可知等Z0且等W1,

解得m>一3且THH-1,