第01講相交線

??s?

制卜角：衢卜角互補(bǔ)

TS情況----------------------

相-----------對頂角：對頂角相等

-----------------------------

交-----------存在性和唯f

相交成直角一垂線

線----------------------垂線段最短T點(diǎn)到直線的距離

?市—一士d二'同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角

JH兩條直線被第三條直線所載-------------------------

國板回回

知識點(diǎn)1：相交線

1.相交線的定義

在同一平面內(nèi)，如果兩條直線只有一個(gè)公共點(diǎn)，那么這兩條直線叫做相交線，公共點(diǎn)稱為兩條直線的

交點(diǎn).如圖1所示，直線AB與直線8相交于點(diǎn)O.

圖1

2.對頂角的定義

若一個(gè)角的兩條邊分別是另一個(gè)角的兩條邊的反向延長線，那么這兩個(gè)角叫做對頂角.

如圖2所示，/I與N3、/2與/4都是對頂角.

注意：兩個(gè)角互為對頂角的特征是:

（1）角的頂點(diǎn)公用;

（2）角的兩邊互為反向延長線;

（3）兩條相交線形成2對對頂角.

3.對頂角的性質(zhì)：對頂角相等.

4.鄰補(bǔ)角的定義

如果把一個(gè)角的一邊反向延長，這條反向延長線與這個(gè)角的另一邊構(gòu)成一個(gè)角，此時(shí)就說這兩個(gè)角互為

鄰補(bǔ)角.如圖3所示，N1與/2互為鄰補(bǔ)角，由平角定義可知/1+/2=180。.

知識點(diǎn)2：垂線

1.垂線的定義：如果兩條直線相交所成的四個(gè)角中有一個(gè)角是直角，那么這兩條直線互相垂直，其中的一

條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點(diǎn)叫做垂足.如下圖，兩條直線互相垂直，記作或ABLCD

垂足為點(diǎn)O.

注意：垂直的定義具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性質(zhì)，即：

ZAOC=90°、暨'CDLAB.

'性質(zhì)

2.垂線的畫法：過一點(diǎn)畫已知直線的垂線，可通過直角三角板來畫，具體方法是使直角三角板的一條直角

邊和己知直線重合，沿直線左右移動(dòng)三角板，使另一條直角邊經(jīng)過已知點(diǎn)，沿此直角邊畫直線，則所畫直

線就為已知直線的垂線(如圖所示).

(1)如果過一點(diǎn)畫已知射線或線段的垂線時(shí)，指的是它所在直線的垂線，垂足可能在射線的反向延長線上,

也可能在線段的延長線上.

(2)過直線外一點(diǎn)作已知直線的垂線，這點(diǎn)與垂足間的線段為垂線段.

3.垂線的性質(zhì)：

(1)在同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直.

(2)連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短.簡單說成：垂線段最短.

4.點(diǎn)到直線的距離：

定義：直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長度叫做點(diǎn)到直線的距離.

圖4

如圖4所示，式的垂線段PB的長度叫做點(diǎn)P到直線m的距離.

注意：

（1）點(diǎn)到直線的距離是垂線段的長度，是一個(gè)數(shù)量，不能說垂線段是距離；

（2）求點(diǎn)到直線的距離時(shí)，要從已知條件中找出垂線段或畫出垂線段，然后計(jì)算或度量垂線段的長度.

知識點(diǎn)3：三線八角

兩條直線被第三條線所截，可得八個(gè)角，即“三線八角”，如圖5所示.

（1）同位角：可以發(fā)現(xiàn)/I與N5都處于直線/的同一側(cè)，直線。、6的同一方，這樣位置的一對角就是同

位角.圖中的同位角還有/2與N6,/3與N7,/4與/8.

（2）內(nèi)錯(cuò)角：可以發(fā)現(xiàn)/3與/5處于直線/的兩旁，直線。、〃的兩方，這樣位置的一對角就是內(nèi)錯(cuò)角.圖

中的內(nèi)錯(cuò)角還有/4與/6.

（3）同旁內(nèi)角：可以發(fā)現(xiàn)N4與/5都處于直線/的同一側(cè)，直線6的兩方，這樣位置的一對角就是同

旁內(nèi)角.圖中的同旁內(nèi)角還有/3與/6.

圖5

應(yīng)回生晅

，考點(diǎn)剖析

考點(diǎn)一：鄰補(bǔ)角

【典例1】如圖所示，直線A3,CO交于點(diǎn)0,射線ON平分NAOC,若=36。，則—3OC等于（）

C.108°D.54°

【變式1-1】下列圖形中，4與N2是鄰補(bǔ)角的是（）

【變式1-3】如圖，已知。是直線C。上的點(diǎn)，平分/30C,ZAOC=35°,則-30。的度數(shù)為.

考點(diǎn)二：對頂角及其性質(zhì)

【典例2］如圖，已知直線AB與CD相交于點(diǎn)孔E4平分NCEE,若NCFE=70°,則N3ED度數(shù)是（）

【變式2-1】光線從空氣射入水中會發(fā)生折射現(xiàn)象，如圖①所示.小華為了觀察光線的折射現(xiàn)象，設(shè)計(jì)了圖

②所示的實(shí)驗(yàn)：通過細(xì)管可以看見水底的物塊，但從細(xì)管穿過的直鐵絲，卻碰不上物塊.圖③是實(shí)驗(yàn)的示

意圖，點(diǎn)4C,B在同一直線上，下列各角中，的對頂角是（）

法線

I

A.ZBCDB.NFDBC.ZBDND./CDB

【變式2-2］如圖，兩條直線相交于點(diǎn)。，若/1+/2=60。，貝1/2=度.

【變式2-3】【真實(shí)問題情境】如圖，為了測量古塔外墻底角/AO3的度數(shù)，王明設(shè)計(jì)了如下方案：作40,

BO的延長線OD,0C,量出NCOD的度數(shù),就得到了-493的度數(shù)，王明這樣做的依據(jù)是

考點(diǎn)三：垂線的定義

【典例3】如圖，直線至，CZ）相交于點(diǎn)O,NAOC:NAOD=7:11,OE_LO￡OE平分N30D,則ZDO尸

的度數(shù)為（）

F

C

A.55°B.45°C.65°D.70°

【變式3-1］如圖，在同一平面內(nèi)，OALl,OBU,垂足為。，則。4與。8重合的理由是（）

"B

<<A

——#---------/

A.兩點(diǎn)確定一條直線

B.垂線段最短

C.同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直

D.垂直于同一直線的兩條直線平行

【變式3-2］如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)于點(diǎn)。，且/BQD=35。，則/COE=（）

【變式3-3］如圖，OA1m,OB1m,則A,O,5三點(diǎn)共線的理由是（）

A

_______c______m

O

B

A.垂線段最短

B.兩點(diǎn)確定一條直線

C.過一點(diǎn)只能作一條垂線

D.在同一平面內(nèi)，經(jīng)過一點(diǎn)有且只有一條直線垂直于已知直線

考點(diǎn)四：垂線的畫法

【典例4】如圖，已知直線8C和直線外一點(diǎn)A,按下列要求作圖：過點(diǎn)C作垂足為點(diǎn)D

A

B

【變式4-1】下列各圖中，過直線/外一點(diǎn)尸畫它的垂線CO,三角板操作正確的是（）

D

P

C

C.C.

MM

A--BA--B

圖1圖2

⑴若要從C走到碼頭V,請?jiān)趫D1中作出最短路線示意圖.

（2）現(xiàn)欲用水管從河邊AB將水引到C處，請?jiān)趫D2上作出所需水管最短的鋪設(shè)方案.

考點(diǎn)五：垂線段的性質(zhì)

【典例5】如圖，測量運(yùn)動(dòng)員跳遠(yuǎn)成績選取的是AB的長度，其依據(jù)是（）

起

跳「

8

線LL

4

短

線段最

B.垂

直線

定一條

兩點(diǎn)確

A.

定義

垂直的

D.

短

線段最

點(diǎn)之間

C.兩

斑

走過

方向

路的

直馬

沿垂

行人

覺得

.小麗

馬路

通過

全地

人安

導(dǎo)行

了引

是為

作用

線的

，斑馬

】如圖

5-1

【變式

）

是（

依據(jù)

數(shù)學(xué)

現(xiàn)的

法體

一想

，這

合理

更為

馬線

段最短

.垂線

垂直B

直線

已知

線與

條直

有一

且只

點(diǎn)有

過一

A.

直線

定一條

兩點(diǎn)確

D.

短

線段最

間，

點(diǎn)之

C.兩

后

。，然

點(diǎn)

于

作

點(diǎn)P

家，過

水到

引河

小河

門前

劃從

處，計(jì)

在點(diǎn)尸

暢家住

，小

所示

】如圖

5-2

【變式

是.

依據(jù)

法的

樣做

，這

工錢

料和

省材

可節(jié)

管，

鋪水

沿尸。

一

上的

段AD

為線

,E

接AO

點(diǎn)，連

意一

的任

邊上

為BC

,。

BC

AC±

中，

ABC

角形

，三

如圖

5-3］

【變式

）

為（

小值