暑假預(yù)習(xí)專題13幕、指數(shù)與對數(shù)

預(yù)習(xí)三步曲

第一步：導(dǎo)

思維導(dǎo)圖助力掌握知識框架、學(xué)習(xí)目標(biāo)明確內(nèi)容掌握

第二步：學(xué)

教材精講精析、全方位預(yù)習(xí)

核心考點(diǎn)精準(zhǔn)練

第三步：測

過關(guān)測點(diǎn)提升小試牛刀檢測預(yù)習(xí)效果、查漏補(bǔ)缺快速提升

串知識?訊框架

知猊導(dǎo)圖慌理

幕與指數(shù)

幕、指數(shù)與對數(shù)

對數(shù)

@析教材?學(xué)知識

知識點(diǎn)1指數(shù)塞H重占

1.。的〃次塞

如果。是一個(gè)實(shí)數(shù)，n是一個(gè)正整數(shù)，那么稱

a=七區(qū)二二3為。的〃次暴.

nia

正整數(shù)指數(shù)塞的運(yùn)算性質(zhì)：

對任意給定的實(shí)數(shù)a,b及正整數(shù)s,t,有

⑴asal=as+t

X

(2)a=a

(3)(ab)1=ab'.

2.整數(shù)指數(shù)冥

a—1,

當(dāng)awO時(shí)，可以定義《小"=々.(〃為正整數(shù))

這樣，可以證明對任意給定的非零實(shí)數(shù)a、b及整數(shù)s、t，上述暴的運(yùn)算性質(zhì)(1)到(3)仍然成立

3根式

(1)一般地，如果n為大于1的整數(shù)，且x"=a,那么x叫做。的〃次方根.式子后叫做a

的n次根式，n叫做根指數(shù)，a叫做被開方數(shù).

(2)a的〃次方根

?%=后,當(dāng)“為奇數(shù)且”〉1吐

x=<

x=土布,當(dāng)〃為偶數(shù)且〃>1時(shí).

4.有理數(shù)指數(shù)塞

m___

正分?jǐn)?shù)指數(shù)哥：a〃=(a>0,加、〃為正整數(shù)箱>1)

上11

幕的概念負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)募：an=—=-j=(tz>0,m〃為正整數(shù),〃〉1)

0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)暴等于0,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)幕無意義

alas=at+\a>0/sGQ)

有理數(shù)指幕的運(yùn)算性

質(zhì)

(a)=as\a>O.t.seQ)

(ab)'=ab\a>0,b>0,teQ)

知識點(diǎn)2幕的運(yùn)算性質(zhì)重占

性質(zhì)對任意給定的正數(shù)。、6及實(shí)數(shù)隊(duì)才有

asat=as+t

(as)'=as>

(ab)'=a'b'

特別提醒

實(shí)數(shù)指數(shù)幕運(yùn)算的注意事項(xiàng)

：(1)實(shí)數(shù)指數(shù)森的運(yùn)算性質(zhì)是由有理數(shù)指數(shù)取、整數(shù)指數(shù)森的運(yùn)算性質(zhì)推廣而來的，有理數(shù)指數(shù)幕、整數(shù)指

，數(shù)氟的運(yùn)算性質(zhì)對于實(shí)數(shù)指數(shù)募也同樣適用.

[⑵在運(yùn)算性質(zhì)中，特別要注意賽的底數(shù)是正數(shù)的規(guī)定，若改變等式成立的條件，則等式有可能不成立.

知識點(diǎn)3塞的基本不等式

定理當(dāng)Q〉1,S〉0時(shí),>1.

W方法總結(jié)

r-------------------------------------------------

;無論給出的條件是a>\還是0<。<1,我們都可以通過倒數(shù)，進(jìn)行調(diào)整；無論給出的條件是5>0

a

[還是5<0,我們都可以通過相反數(shù)進(jìn)行調(diào)整.將條件調(diào)整到底數(shù)大于1,指數(shù)大于0,進(jìn)而應(yīng)

儲森的基本不等式.

知識點(diǎn)4對數(shù)

1.對數(shù)的定義

在,且N〉0的條件下，唯一滿足qX=N的數(shù)x,稱為N以。為底的對數(shù)，并用

符號log〃N表示，而N稱為真數(shù)

*知識剖析

I----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

："log"的含義

對于初學(xué)對數(shù)的同學(xué)們來說，"log"這個(gè)符號似乎很難理解，但是如果將"log"類比成""或者

產(chǎn)"的運(yùn)算來看，其實(shí)就不難理解.對數(shù)運(yùn)算不過是將運(yùn)算的符號寫在數(shù)字的前面，是已知一個(gè)底數(shù)和它

分母

的需求指數(shù)的運(yùn)算.

2.常用對數(shù)與自然對數(shù)

名稱定義符號

常用對數(shù)以10為底的對數(shù)logioN記為IgN

以無理數(shù)c(c的值約為2.71828...)

自然對數(shù)logcN記為InN

為底的對數(shù)

3.對數(shù)與指數(shù)的關(guān)系

(1)只有符合且N〉0這三個(gè)條件的情況下，才有a=N^x=logflN,如

(-2)4=16不可轉(zhuǎn)化為對數(shù)式.

(2)兩個(gè)式子是同一數(shù)量關(guān)系的滿種不同表現(xiàn)形式，它們互為逆運(yùn)算.

知識點(diǎn)5對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)

i.兩個(gè)常用結(jié)論

(1)對數(shù)恒等式：3°g“N=N(a〉o,awi且N〉0).

(2)logaa=b(a>0且awl).

2.對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)

性質(zhì)1：當(dāng)M〉0,N〉0時(shí)，loga(MN)=logaM+logaN.

M

性質(zhì)2：當(dāng)M>0,N>0時(shí)，logfl—=logflM-logflN.

c

性質(zhì)3：當(dāng)N〉0時(shí)，對任何給定的實(shí)數(shù)c?log.N=c\ogaN.

知識點(diǎn)6對數(shù)的換底I重占

1.對數(shù)換底公式

logN

當(dāng)N〉0時(shí)，logbN=fy

log的

*方法總結(jié)

(1)換底公式成立的條件是公式中的每一個(gè)對數(shù)式都有意義.

(2)換底公式的意義在于改變對數(shù)式的底數(shù)，把不同底數(shù)問題轉(zhuǎn)化為同底數(shù)問題進(jìn)行化簡、計(jì)算及證明.

(3)換底公式在實(shí)際應(yīng)用中應(yīng)當(dāng)根據(jù)已知的條件選擇適當(dāng)?shù)摹暗住保话銚Q成以10或e為底的對數(shù).

2.常用推論

推論1:logflb-log^a=1，即logqb=--―.

log/

推論2:logq6?log6c=log4c.f相當(dāng)于"約分"

n

推論3：logmN=—logaN.可看作運(yùn)算性質(zhì)3的推廣

am

◎練考點(diǎn)?裁知識

題型一、根式的化簡求值

例1分?jǐn)?shù)指數(shù)塞與根式運(yùn)算的轉(zhuǎn)化.

（1）CL一（a>0,加,"為正整數(shù)，〃>1）

_絲1

（2）an=~=（〃>0,m,〃為正整數(shù)，n>\）.

an

l1

【答案】而忑

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合指數(shù)暴的運(yùn)算法則與運(yùn)算性質(zhì)，即可求解.

【詳解】解：（1）由指數(shù)幕的運(yùn)算法則與運(yùn)算性質(zhì)，可得a?=萬；

—11

（2）由指數(shù)幕的運(yùn)算法則與運(yùn)算性質(zhì)，可得a"『=訴.

,-1

故答案為：痂；#.

1-1（24-25高一上?上海?期末）當(dāng)x<0時(shí)，化簡：濘+“T+W=

【答案】—

【分析】利用根式化簡計(jì)算即可；

【詳解】因?yàn)閤<0

所以V?+y[x^+\x\-X-X—X=-X,

故答案為：-X

1-2（23-24高一上?上海?期中）化簡：#一3『+#（兀T=—.

【答案】兀-e

【分析】由根式的計(jì)算求解即可.

【詳解】《（e—3）4+1（兀-3丫=|e-3|+K-3=3-e+K-3=7i-e?

故答案為：兀-e.

1-3（24-25高一上?上海?期中）化簡：W==_______.

X-y/X

【答案】

【分析】利用根式和分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的運(yùn)算求解.

故答案為：x~6

1-4（24-25高一上?上海浦東新?期中）當(dāng)3＜。＜6時(shí)，化簡J/_6a+9+〃274a+49=

【答案】4

【分析】將根式里面進(jìn)行配方，結(jié)合。的范圍即可化簡.

【詳解】因?yàn)?＜。＜6,所以。-3＞0,0-7＜0,

所以yJa2-6a+9+A/02-14a+49=^（a-3）2+Ja-j=（a-3）+（7-a）=4,

故答案為：4.

題型二、指數(shù)塞的運(yùn)算

例2（24-25高一上?上海?期中）設(shè)a＞0,下列計(jì)算中正確的是（）

【答案】B

【分析】利用指數(shù)幕的運(yùn)算法則，對各個(gè)選項(xiàng)逐一計(jì)算判斷即可得解.

323213

【詳解】對于選項(xiàng)A,C衣tLI/—C一l——尸Ct故選項(xiàng)A錯誤，

3232

2x3,

對于選項(xiàng)B,（^a2y=tz=a故選項(xiàng)B正確，

對于選項(xiàng)C,/.〃4=/+4=4。=1,故選項(xiàng)C錯誤，

32325

對于選項(xiàng)D,”——聲…故選項(xiàng)D錯誤，

故選：B.

2-1（24-25高一上?上海閔行?期末）若。＞0,用有理數(shù)指數(shù)幕的形式表示4夜=

3

【答案】a

【分析】痂=/,結(jié)合指數(shù)塞運(yùn)算法則進(jìn)行求解.

【詳解】a＞0,a?=a-a。=a。,

3

故答案為：a2

2-2（24-25高一上?上海?階段練習(xí)）已知3"=2,3"=5,則3?所“=

4

【答案】y/0.8

【分析】應(yīng)用指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算即可.

【詳解】解：因?yàn)?"=2,3〃=5,所以32。8=占=@1=凹=3.

至3〃55

4

故答案為：—

8a哈

=

2-3（24-25高一上?上海?期中）已知。＞01＞0,化簡式子：（13y4±

a6b2--ai2b2

IJI3）

【答案】-6b&

【分析】根據(jù)指數(shù)累的運(yùn)算法則計(jì)算化簡即可.

3

8a啥31131

4612b22=_6a2b=-6by[a

［詳解］r12Y4n

62n2

［abJI--3abJ

故答案為：-6b?

2-4（24-25高一上?上海?期中）若。＞0,則可以用有理數(shù)指數(shù)暴的形式表示二.媯=

【答案】，

【分析】根據(jù)根式與有理數(shù)指數(shù)幕的關(guān)系及有理數(shù)指數(shù)幕的運(yùn)算化簡即可.

【詳解】由"0,則行.媯=_號=_上=二.

故答案為：

2-5（24-25高一上?上海浦東新?期中）化簡：〔J

3麗

【答案】-4a

【分析】根據(jù)幕的運(yùn)算法則計(jì)算.

3

（8^6戶.一6二戶_1_

［詳解］］*X（-6）2xl+l-l1+2-11

——326〃26二一4〃?

j_11

3M3

題型三、分?jǐn)?shù)指數(shù)塞與根式的互化

5

y/例3（24-25高一上?上海?期中）已知。＞0,化簡言.

【答案】a

【分析】根據(jù)根式與指數(shù)累的互化與指數(shù)塞的運(yùn)算公式化簡可得解.

5/1＞7,-5351.3

【詳解】因?yàn)?7.1.Vo?=a7-a7-a7=a777-

故答案為：a.

3T（24-25高一上?上海浦東新?階段練習(xí)）若x_i3=6吧25，貝”=_______

16

Q

【答案】i-

【分析】根據(jù)題意，利用指數(shù)塞的運(yùn)算法則，以及根式的互化，準(zhǔn)確計(jì)算，即可求解.

【詳解】由x-=M，可得$=等，即蔡，所以x=±（2]%=±且.

16yjx4166251^5）125

O

故答案為：土不不

5

3-2（24-25高一上?上海?開學(xué)考試）化簡：行.'『./二.

【答案】1

【分析】根據(jù)指數(shù)幕的運(yùn)算法則計(jì)算即可.

【詳解】解:由題意可知。＞0,

5

555

-55_55------F—

所以正.仕32601

?a6=a3-a2.Q6=Q=a=1-

\a

故答案為：1

a2

3-3（23-24高一上?上海閔行?期末）用有理數(shù)指數(shù)幕的形式表示,（其中。>0,6>0）

b3

3

【答案】

ab2

【分析】先將根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)幕,再根據(jù)指數(shù)塞的運(yùn)算求解.

【詳解】由題意可得:

故答案為：a-

題型四、指數(shù)幕的化簡'求值

例4（24-25高一上?上海?期中）已知a+“T=3,則勺二

a+a

【答案】

【分析】條件等式兩邊平方可求。2+12,結(jié)合立方和公式求"+13,由此可得結(jié)論.

【詳解】因?yàn)椤?°T=3,

所以（儲+/）=9,故/+尸+2=9,

故+尸=7,

又/+0-3+2）,

所以a，+a3=3x6=18，

rriM+q-3

所以F—ZT=-.

Q+Q7

乂行4d18

故答案為：—.

22ii

4T（24-25高一上?上海?期中）已知爐+戶=5（x>0），那么/+/§等于.

【答案】V7

/j_A22_211

【分析】根據(jù)=x3+x3+2,再結(jié)合X>0時(shí)，則/>0,”>0，即可求解.

7

（］_2_2

【詳解】由—+-=/+x§+2=5+2=7,

\7

,11

因?yàn)閤>0,則/>0,”>0，

故x3+xF>0,即得:+”=，■?

故答案為：V7.

4-2（24-25高一上?廣西玉林?開學(xué)考試）己知0+人=6,貝U1一的值為.

【答案】I或-3

（L_J_>2

【分析】根據(jù)題意，先求［混-,即可得解.

,2_j_A2

【詳解】根據(jù)題意，層-a。=a+a~l—2=6—2=4,

\7

所以/->=±2，

.111111

川Q2—a2a2_a2=a2_a2_］=］或-3.

故答案為：1或-3.

4-3（25?26高一上?上海?單元測試）已知片廠+廣，化簡行三演薩=.

1

【答案】同

【分析】根據(jù)已知條件化簡求得解.

【詳解】-2〃-3、+4—6=#（工一.-3）2=^^~二輸

1

故答案為：回

題型五、對數(shù)的概念判斷與求值

7^例5（22-23高一上?上海?期中）若坨。=-3.1476,則關(guān)于1g。的首數(shù)與尾數(shù)的敘述中正確的是（）

A.首數(shù)為-3,尾數(shù)為0.1476B.首數(shù)為-3,尾數(shù)為0.8524

C.首數(shù)為-4,尾數(shù)為0.8524D.首數(shù)為-4,尾數(shù)為0.1476

【答案】C

【分析】利用首數(shù)與尾數(shù)的概念求解即可.

【詳解】1g。=1g（10「4X10°8524）=]g10-4+[g]00.8524=_4+1g10。出24

，首數(shù)為-4,尾數(shù)為1g10-24=08524

故選：C.

5-1（22-23高一上?上海松江?期中）對數(shù)log.6中的實(shí)數(shù)。的取值范圍與下列哪個(gè)不等式的解相同（

A.a>0B.—^―<0C.a（a-l）>0D.磯“0>0

6Z—1Q—1

【答案】D

【分析】根據(jù)對數(shù)中底數(shù)的取值要求進(jìn)行求解判斷即可.

【詳解】對數(shù)bg,6中的實(shí)數(shù)。的取值要求為：a>0且awl,

A：本選項(xiàng)顯然不符合題意；

B：3<0=（）<。<1,顯然不符合題意；

a-1

C：a（a-l）20na21,或顯然不符合題意；

D：^^>0na（a-l）2>0且。一1片0,所以有。>0且。片1,顯然符合題意，

a-1

故選：D

5-2（24-25高一上?上海?期中）關(guān)于x的方程3工=2嗨5的解集為.

【答案】｛logs5｝

【分析】整理可得V=5,結(jié)合對數(shù)解方程即可.

【詳解】因?yàn)?*=2喻$=5,可得x=logs5,

所以方程3,=2臉$的解集為｛logs5）.

故答案為：｛logs5｝.

5-3（23-24高一上?上海奉賢?期中）對數(shù)式bg2（l-3x）中x的取值范圍為.

【答案】（-鞏-

【分析】根據(jù)題意，由條件列出不等式，即可得到結(jié)果.

【詳解】由題意可得，l-3x>0,解得x<；,所以x的取值范圍為1-哈，.

故答案為：卜叫J

5-4（22-23高一上?上海浦東新?期中）若Iog3[log5（bg2x）]=0,則》=

【答案】32

【分析】由對數(shù)的概念運(yùn)算求解即可.

【詳解】由對數(shù)運(yùn)算的定義，有

?■"log3[log5（log2x）]=0,

.-.log5（log2x）=l,

log2x=5,

x=25=32.

故答案為：32.

題型六、指數(shù)式與對數(shù)式的互化

、^例6（24-25高一上?上海?期中）指數(shù)式2。=6化成對數(shù)式為—

【答案】a=log2b

【分析】根據(jù)指數(shù)式與對數(shù)式互化關(guān)系即可求解.

【詳解】因?yàn)?"=6,所以a=log2"

故答案為：a^\og2b

6-1（24-25高一上?上海?期中）己知bg03=2,則實(shí)數(shù)。=.

【答案】V3

【分析】根據(jù)指數(shù)式與對數(shù)式的互化得解.

【詳解】因?yàn)閎g,3=2,

所以/=3,解得0=6或°=（由底數(shù)為正數(shù)，舍去），

故答案為：百

6-2將下列指數(shù)式與對數(shù)式互化：

（1）log?64=6,指數(shù)式為；

（2）log^3=2,指數(shù)式為；

-

(3)gj4-x，對數(shù)式為;

(4)e'=9,對數(shù)式為.

2q

【答案】2,=64；(6)=3；log81x=——；ln9=x.

【分析】運(yùn)用指對互化規(guī)則，“底不變，其他換”即可解題.

【詳解】運(yùn)用指對互化規(guī)則，“底不變，其他換”得到.

(1)log264=6,指數(shù)式為2=64；

(2)log63=2,指數(shù)式為(省了=3；

33

(3)8廠區(qū)="對數(shù)式為log8iX=-1；

(4)e*=9,對數(shù)式為ln9=x.

故答案為：2,=64；(6)=3；log81x=--；ln9=x.

題型七、對數(shù)的運(yùn)算

7)例7若log”,1崎。6是方程2/_人+1=0的兩個(gè)實(shí)根，則成的值等于(

A.2B.1C.100D.而

【答案】C

【分析】依題意，由韋達(dá)定理得1。81"+1。當(dāng)。6=2,解等式即可.

2

【詳解】因?yàn)閘og1。?,log10b是方程2X-4X+1=0的兩個(gè)實(shí)根

-4

所以log10a+log10b=--—=2

即log10(")=2

所以06=IO?=ioo

故選：C

7-1(24-25高一上?上海長寧?期末)已知Ig5=a,lg7=b,則用。力表示log249為—

一2b

【答案】--

1-0

【分析】由換底公式和對數(shù)的計(jì)算公式即可得到結(jié)果.

lg4921g72b

【詳解】log249=

lg2-l-lg51-Cl

故答案為：----.

\-a

小應(yīng)用d，表示器.

7-2（24-25高一上?上海?期中）已知電2=。

2a+b

【答案】

1—Q+b

【分析】根據(jù)條件，利用對數(shù)的運(yùn)算，即可求解.

Igl2_lg4+lg3_21g2+lg3

【詳解】因?yàn)橛謑g2=a,lg3=6,

Igl5-lg5+lg3-l-lg2+lg3

lgl22a+6

所以

lgl51—a+b

7-3計(jì)算下列各式:

(l)43+10g45;

⑵產(chǎn)2+1；

ln3

(3)log3V3-lgVH)+e.

【答案】⑴320

⑵6

(3)3

【分析】由指數(shù)和對數(shù)運(yùn)算計(jì)算即可.

【詳解】(1)原式=43.4哨,=64x5=320.

(2)原式=3log3?x3=2x3=6.

1111

22

(3)M^=log33-lgl0+3=---+3=3

題型八、對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用

^^例8已知?w1,log產(chǎn)=2,log””=5,貝！|log/=(

1110

A.—B.—D.

107T

【答案】D

【分析】應(yīng)用對數(shù)運(yùn)算律結(jié)合已知計(jì)算求解.

【詳解】因?yàn)閍bwljog。加=2,logb冽=5,則log加4=；108加6=：,

則log,/b=log,”。+bg/=-+-=—>

,110

則----7=v.

log,*7

故選：D.

8-1標(biāo)準(zhǔn)的圍棋盤共19行19歹！J,361個(gè)格點(diǎn)，每個(gè)格點(diǎn)上可能出現(xiàn)“黑”“白”“空”三種情況，因此有3361種不

同的情況；而我國北宋學(xué)者沈括在他的著作《夢溪筆談》中，也討論過這個(gè)問題，他分析得出一局圍棋不

同的變化大約有“連書萬字五十二”種，即1000（）52,下列數(shù)據(jù)最接近色工的是（）（參考數(shù)據(jù)：lg3?0.477）

1000052

A.10*B.1035C.IO。D.10-37

【答案】C

【分析】對上五取對數(shù)，利用對數(shù)的運(yùn)算求解即可得.

1000052

q361

36152

【詳解】1g1000（）52=1g3-1g10000=361xlg3-52x4=361x0.477-52x4=-35.803,

所以上;士10一35.8。3,分析選項(xiàng)知C中IO年與其最接近.

1000052

故選：C.

8-2（24-25高一上?上海奉賢?期中）數(shù)學(xué)上將形如2"-1⑺為素?cái)?shù)）的素?cái)?shù)稱為“梅森素?cái)?shù)”，試估計(jì)“梅森

素?cái)?shù)，，2刈7T的位數(shù)為（）.

A.607B.608C.609D.610

【答案】B

【分析】由題意求出lg2刈7的近似值，可將2洶7-1寫成10"的形式，即可得到結(jié)果.

【詳解】因?yàn)?2。17-1。22°”,則吆22。"=2017吆2a2017x0.301a607.117,

即22017-1a1O607117,所以22017-1的位數(shù)為607+1=608.

故選：B.

8-3（24-25高一上?上海?期中）設(shè)a是不等于1的正數(shù)，M,N是任意給定的正數(shù)，c是任意給定的實(shí)數(shù)，

則下列性質(zhì)中錯誤的是（）

M

A.logaa=1B.log—=logaM-loga7V

C.log”AT=clog.MD.loga(MN)=log?MJog,N

【答案】D

【分析】對于ABC：根據(jù)對數(shù)的定義和運(yùn)算性質(zhì)分析判斷即可；對于D：舉反例說明即可.

【詳解】因?yàn)?。是不等?的正數(shù)，M,N是任意給定的正數(shù)，c是任意給定的實(shí)數(shù)，

對于選項(xiàng)A：log。4=1,故A正確；

.M.

對于選項(xiàng)B：10gaR=10gaA/■-lOgqN,故B正確；

對于選項(xiàng)C：log。AT=clogqV,故C正確；

對于選項(xiàng)D：例如q=M=N=2,

則log。(MN)=log24=2,logflM=logaN=log22=1,

止匕時(shí)log<7W)wk)gaM?k)g,N,故D錯誤；

故選：D.

M

8-4(24-25高一上?上海?期中)"In—成立”是"InAf-In2V成立”的()條件.

N

A.充分非必要B.必要非充分C.既非充分也非必要D.充要

【答案】B

【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)將對數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，注意使對數(shù)有意義的條件，然后根據(jù)充分、必要條件的定

義作出判斷即可

MM>Qfw<0

【詳解】In?成立，則§>0,分為斯八或斯八兩種情況，

NN[N〉0[N<0

[M>QM

若L八，則ln=成立，能推出In"-InN成立，

[N〉0N

[MM

但斯c，則In^成立，不能推出ln〃-InN,

[N<0N

M

而InAf-lnN成立一定能推出In一成立，

N

M

所以“In—成立”是“InM-InN成立”的必要而不充分條件，

N

故選：B

8-5(24?25高一上?上海?期中)已知1暇27=〃，用。的代數(shù)式表示1暇2=.

【答案】—:

a

【分析】應(yīng)用對數(shù)運(yùn)算律計(jì)算化簡即可.

【詳解】因?yàn)閲u627=。，則Iog276==；log36=；(log32+log33)=：

所以log32=±3—l=?3—a

aa

故答案為：一3—a.

題型九、運(yùn)用換底公式化簡計(jì)算

則工+：=

例9（24-25高一上?上海閔行?期中）已知2"=3〃=5

ab

【答案】log56

【分析】先利用對數(shù)的定義可得a=bg25,^=log35,代入利用對數(shù)的換底公式計(jì)算即可求值.

【詳解】因?yàn)?"=3〃=5,所以a=log25,b=log35,

111111

一+1="（-----+-------=logs2+log53=log56,所以一+7=iog56.

ablog25log35ab

故答案為：logs6.

9-1（24-25高一上?上海徐匯?期末）已知Ig2=a,lg3=6,則用表示唾625=.

2-2a

【答案】

a+b

【分析】利用換底公式和對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)即可.

所以1…整21g52（l-lg2）2-2a

【詳解】因?yàn)镮g2=a,lg3=6,

Ig2+lg31g2+1g3a+b

2-2a

故答案為:

a+b

9-2（24-25高一上?上海?期中）設(shè)&,9是方程lg?x-lgx-3=0的兩根，則log1夕+log*=

【答案】.7

【分析】先由韋達(dá)定理得lga+lg〃=l,Igalg尸=-3,然后化簡求解即可.

【詳解】因?yàn)閍,〃是方程lg2x-lgx-3=0的兩根,

所以由韋達(dá)定理可知lga+lg￡=l,lgalg￡=-3.

lg.Jga=Ig2/+lg2a

則log。（3+log2a=

Igalg/7Igarlg/?

（lg/+lga『-21galg夕_U6__7

Igalg夕-33

7

故答案為：--.

9-3（24-25高一上?上海?期中）已知e是自然對數(shù)的底，求值：（InlOOO）x（lgVej=.

3

【答案】-/1.5

【分析】利用對數(shù)的換底公式求解.

【詳解】解：（lnl000）x（lgC）=黑詈x（glge]=g,

3

故答案為：—

9-4（23-24高一上?上海浦東新?期中）若方程lg2%—21gx-2=0的兩個(gè)解為3，聲，求1嗎々+1奧々玉的值為

【答案】-4

【分析】利用換底公式，得到log*%+log.,為=譬+警，再結(jié)合韋達(dá)定理求值.

1gX]\gx2

IgXj+lgx2=2

【詳解】由題意:

IgXj-lgx2=-2

又log,X,+log,,「3!+■=d+(lg/)2=(lgX|+lgX2)2-21gx「lgX2=4+4=_4_

IgX]lgx2Ig^j.[gx2lgxrlgx2-2

故答案為：-4.

9-5（24-25高一上?上海?期中）若log23="，貝加啷,2用。來表示是.

1

【答案】

1+2。

【分析】根據(jù)題意利用換底公式以及對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解.

,、1111

【詳解】^log23=fl,所以log]82=^~—=i---——-=-~~r—r.~=

log218log22+log29log22+21og231+2〃

1

故答案為:

1+2。

題型十、運(yùn)用換底公式證明恒等式

/例10（24-25高一上,上海?單元測試）已知a、b、c為正實(shí)數(shù)，且a、b、c均不等于1,

⑴求證：bg“640gz.c?log。a=1；

（2）設(shè)《，a2,■■■,a,為正實(shí)數(shù)且。尸1（此1且iwN）,請把（1）中結(jié)論進(jìn)行推廣，并證明.

【答案】（1）證明見解析；

⑵推廣：log可的Jog”,見…bg%,q,bg?%=1,證明見解析.

【分析】(1)利用換底公式通過計(jì)算證明；

(2)類比推理進(jìn)行推廣，再利用換底公式通過計(jì)算證明.

【詳解】⑴1?！懊?。"署詈?黑1，得證;

(2)推廣：log”,％?log“2%…log%%,logq?1=1

證明：1%％―生…吟°,?啕%=魯魯?魯…設(shè)置=1?

10-1已知在ZUBC中，NC=90°,角4B,C所對應(yīng)的三條邊長分別為a,b,c.求證:

log(“°)a+10gg)。=2log(6+c)a?log”??

【答案】見解析

【分析】利用直角三角形的勾股定理、對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)以及對數(shù)的運(yùn)算法則可以證明等式成立.

【詳解】證明：在△43。中，因?yàn)?C=90°,所以02-4=/

E-l°g@+c)a+l°gg)a1,1.

因?yàn)?----------1------------=-T+_-=log”(z。-6)+bg。(c+b)

log01a.，3)al°g-)。bg-M

222

=logJ(c-^)(c+6)]=loga(c-Z>)=logotz=2,

所以bg(〃+c)a+log(c_ft)a=2log(z；+c)a,log(j)a.

【點(diǎn)睛】本題考查了等式的證明，考查了對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、對數(shù)的運(yùn)算法則，屬于基礎(chǔ)題.

10-2已知25"=53〃=1()2。，求證：

5a3b2c

【答案】證明見解析；

【分析】先令25"=5"=1()20=左，根據(jù)指數(shù)式與對數(shù)式的互化，以及換底公式，即可證明結(jié)論成立.

【詳解】令2-=5勸=1()20=人,

則5°=log2左=7^7，3b=lo§5k=>2c=log?k=[

log*2log*5log*.10

所以4+：=幅2+嘀5=幅1°=；.

5。3b2c

【點(diǎn)睛】本題主要考查換底公式的應(yīng)用，熟記公式即可，屬于?？碱}型.

10-3(23-24高一上?上海青浦?期中)已知a、b、c為正實(shí)數(shù)，30=40=6。(仍"0)

717

⑴若3“=4嚏6(""0),求證:』+；=』；

abc

(2)若2+；=2,不等式病+應(yīng)對任意實(shí)數(shù)或b、c均成立，求實(shí)數(shù)小的取值范圍.

abcc

【答案】(1)證明見解析

（2）一回屋逅

22

【分析】（1）取對數(shù)表示。*,c,利用換底公式及對數(shù)運(yùn)算法則證明即可;

（2）利用均值不等式求出土的最小值，解不等式即可求解.

C

【詳解】(1)令3"=4“=6°=f(f>0且/*1),

則a=log3/,6=log/,c=log61,

2?121g311g41g?2x4)lg36

所以—?—=

ablog3?log4f\gtIgrIgf1g/

2_221g61g36

clog6fIgfIgf'

故女2+：1=2±成立.

abc

/、上/、『212111

(2)由(1)知，-+-=BnriP-=-+—,

abcca2b

所以二13ba313FT

={a+b)\—+=—I----1------2—F2/-=—卜,

\a2b2a2b24V22

當(dāng)且僅當(dāng)2=三時(shí)，即時(shí)等號成立，

a2b

由加恒成立知，機(jī)=。+行成立,

cICJ1nm2

即心解得一逅4機(jī)

222

◎過關(guān)測?德提升

A組夯實(shí)基礎(chǔ)

1.（24-25高一上?上海?期中）當(dāng)x<0時(shí)，式子N+MT+Z#，的值是.

【答案】0

【分析】利用根式的運(yùn)算性質(zhì)化簡即可.

【詳解】因?yàn)閤<0,所以國+V?+2-V?=-x+\x\+2x=-x-x+2x=0.

故答案為：0.

2.（24-25高一上?上海浦東新?期中）計(jì)算行=

【答案】9

【分析】運(yùn)用分?jǐn)?shù)指數(shù)事和根式之間轉(zhuǎn)化計(jì)算即可.

______22

【詳解】^27?=27?=（33）5=32=9.

故答案為:9.

1

3.（24-25高一上?上海?期中）代數(shù)式柘T化成分?jǐn)?shù)指數(shù)累為

2

【答案】小

【分析】先將根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)幕，再化成負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)幕即可求解.

2

11~5

【詳解】m=~=a

2

故答案為：ai.

3x+Q

4.（24-25高一上?上海?期中）若a?*=3,且。＞0,則a“十。的值為________.

ax+a~x

71

【答案】y/2-

【分析】利用指數(shù)幕的運(yùn)算求解.

【詳解】解：因?yàn)楫a(chǎn)=3,且。＞0,所以。

2x2x

所以a十"=1-------------------------------------------------L=a-l+a-=-^

ax+a-xax+a-x3

7

故答案為：—

5.（22-23高一上?上海靜安?期中）在log2xY中，i的取值范圍是

【答案】（O,g）U（g+s）

【分析】根據(jù)底數(shù)和真數(shù)的范圍，列出不等式，求解即可.

【詳解】要使得1*/有意義，則2x＞0,2m且一＞0,解得xe（O,g）嗎+⑹.

故答案為：（O,；）U（g,+⑹.

6.將下列指數(shù)式與對數(shù)式互化：

（1）3-2=3,對數(shù)式為.

（2）gi_25/2j對數(shù)式為；

（3）lgx=-l,指數(shù)式為；

（4）bgJ=-5,指數(shù)式為.

2

1

【答案】log3-=-2；log82>/2=-；IO-=x；X.

【分析】運(yùn)用指對互化規(guī)則，“底不變，其他換”，即可轉(zhuǎn)化.

【詳解】運(yùn)用指對互化規(guī)則，“底不變，其他換”得到.

（1）3-2=3,對數(shù)式為logsg=-2；

（2）￡=2收，對數(shù)式為bg$2女=；；

（3）g=-l,指數(shù)式為1（）T=x；

（4）”g4=-5,指數(shù)式為

故答案為：log3§=—2；log82&=5；10-1=x;=x.

7.（24-25高一上?上海奉賢?期中）已知Q=log23,b=log52,IJIljlog302=.（用。和b表示）

b

【答案】

ab+b+1

由題意可得?=利用換底公式結(jié)合對數(shù)運(yùn)算求解.

【分析】log25,

b

因?yàn)椤?則!=

【詳解】10823/=10852,log25,

b

?c111b

log2—

30

所以log230log,2+log,3+logo5]+q+J_ab+b+l-

'a~b

b

故答案為:

ab+b+l

B組能力提升

1.（24-25高一上?上海金山?期中）“學(xué)如逆水行舟，不進(jìn)則退；心似平原跑馬，易放難收"（明?《增廣賢文》

）是勉勵人們專心學(xué)習(xí)的.假設(shè)初始值為1,如果每天的“進(jìn)步率”都是1%,那么一年后是

（1+1%）365=1.01365；如果每天的“退步率”都是1%,那么一年后是"1%產(chǎn)=0.9產(chǎn).一年后“進(jìn)步者”是“退步

者”的坐1=（四）365。1481倍