山東省濟(jì)南市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期7月期末學(xué)習(xí)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合

題目要求的.

1.大明湖是濟(jì)南三大名勝之一，素有“泉城明珠”之美譽(yù)，自2017年1月1日起全面向社會(huì)免費(fèi)開放.景區(qū)有

東南西北4個(gè)大門，每個(gè)大門進(jìn)去都有不同景致，小明從一個(gè)門進(jìn)，另一個(gè)門出，則不同進(jìn)出方式的種數(shù)為

（）

A.7B.8C.12D.16

2.函數(shù)/（久）=xsin久在點(diǎn)處的切線斜率為（）

A.-1B.0C.1D.多

3.下列殘差滿足一元線性回歸模型中對(duì)隨機(jī)誤差的假定的是（）

［殘差

1500

1000

500

A.0

-500

-1000

-1500,

020406080100觀測時(shí)間

:殘差

200

150.?

100

????????

50??小門卜工?二

B.0

-50??.??????????

-100

-150-

-2001—1—1―1—1~~1―1-1―1—1—1----?

0102030405060708090100觀測時(shí)間

八殘差

100-

-1uui-------1--------1--------1--------1--------1------>

02040608010。觀測時(shí)間

力殘差

4?

*40100200300400500600700800900iboo*

觀測時(shí)間

4.濟(jì)南市某高中組織全部學(xué)生參加公益活動(dòng)，其中高一、高二、高三年級(jí)人數(shù)之比為4：3：3,這三個(gè)年級(jí)

分別又有20%,30%,40%的學(xué)生參加公益活動(dòng)中的環(huán)?；顒?dòng).從三個(gè)年級(jí)中任選一名學(xué)生，該學(xué)生參加環(huán)保

活動(dòng)的概率是（）

第1頁

A.27%B.28%C.29%D.30%

5.隨機(jī)變量X的分布列為P(X=0)=0.2,P(X=1)=a,P(X=2)=b.若E(X)=1,則D(X)=()

A.0.2B.0.4C.0.6D.0.8

6.某城市高中數(shù)學(xué)統(tǒng)考，假設(shè)考試成績服從正態(tài)分布N(78,72).如果按照16%,34%,34%,16%的比例將考試

成績由高到低分為4B,C,0四個(gè)等級(jí)，那么B等級(jí)的最高分?jǐn)?shù)線約為()

參考數(shù)據(jù)：若X?N(〃R2),則P(〃—a<X<〃+cr)合0.68.

A.71B.78C.85D.92

7.人們很早以前就開始探索高次方程的數(shù)值求解問題.對(duì)于方程/一2=0,如果用二分法求近似解，給定初

始區(qū)間[1,2],若精確度￡=0.1,則至少需要經(jīng)過4次迭代才能求出其近似解.牛頓在《流數(shù)法》一書中用“作

切線”的方法求高次方程的近似解.從函數(shù)的觀點(diǎn)看，給定一個(gè)初始值久°,在橫坐標(biāo)為的的點(diǎn)處作函數(shù)的切

線，切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是尤1，用打代替均重復(fù)上面的過程得到犯，一直繼續(xù)下去得到近，久1，...，

久?.它們?cè)絹碓奖平瘮?shù)的零點(diǎn)r,當(dāng)|%n-xn_i|<￡時(shí)，或久n_i即為方程的近似解.現(xiàn)給定初始值久o=2,利

用牛頓法求久2—2=0的近似解，至少需要幾次迭代也能達(dá)到同樣的精確度()

A.1B.2C.3D.4

8.函數(shù)/'(%)=(尤-a)ln%-%有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A-卜1+8)B.(-1,+oo)C,D.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目

要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分，有選錯(cuò)的得0分.

9.(代+0的展開式，下列說法正確的是()

A.展開式共有7項(xiàng)

B.展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的和為128

C.展開式中好的系數(shù)為14

D.展開式中第3項(xiàng)或者第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大

10.下列函數(shù)中，有兩個(gè)零點(diǎn)的是()

A./(x)=ex-x—1B./(%)=ex—x—2C.f(x)=In%—2x+2D./(%)-Inx+--2

11.設(shè)A,B是兩個(gè)隨機(jī)事件，0<PQ4)<L0<P(B)<l,下列說法正確的是()

A.若A,B相互獨(dú)立，P(4)=0.5,P(B)=0.3,則P(彳UB)=0.65

B.若A,B互斥，P(7l)=0.5,P(B)=0.3,則P(AB)=0.2

C.若貝l」PQ4)+P(B)=1

D.若P(⑷B)=則P(AB)=PQ4)P(B)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

第2頁

12.從0,1,2,3,4,5,6中任取3個(gè)數(shù)字，可以組成的沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)是.(用

數(shù)字作答)

13.袋子中有大小形狀完全相同的2個(gè)白球和4個(gè)黑球，從中任取3個(gè)球，1個(gè)白球得2分，1個(gè)黑球得1

分.記X為取出的3個(gè)球的得分總和,則E(X)=.

14.以半徑為R,圓心角為a的扇形鐵皮為圓錐的側(cè)面，制成一個(gè)圓錐形容器.當(dāng)扇形的圓心角a為

時(shí)，容器的容積最大.

四'解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.一個(gè)質(zhì)點(diǎn)從數(shù)軸上的原點(diǎn)0開始移動(dòng)，通過拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣決定質(zhì)點(diǎn)向左或者向右移動(dòng).若硬幣

正面向上，則質(zhì)點(diǎn)向右移動(dòng)一個(gè)單位；若硬幣反面向上，則質(zhì)點(diǎn)向左移動(dòng)一個(gè)單位.拋擲硬幣4次后，質(zhì)點(diǎn)所

在位置對(duì)應(yīng)數(shù)軸上的數(shù)記為隨機(jī)變量X,求：

(1)質(zhì)點(diǎn)位于2的位置的概率；

(2)隨機(jī)變量X的分布列和期望.

16.函數(shù)/(久)=%3—6a%2+2.

(1)當(dāng)a=l時(shí)，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)當(dāng)—!<a<0時(shí)，記八支)在區(qū)間［-1,0］上的最大值為M,最小值為m,求M-m的取值范圍.

17.長時(shí)間近距離看電子產(chǎn)品會(huì)影響視力.泉泉調(diào)查了某校1000名學(xué)生，發(fā)現(xiàn)40%的學(xué)生近視；而該校20%

的學(xué)生每天近距離看電子產(chǎn)品時(shí)間超過lh,這些人的近視率為50%.

(1)請(qǐng)完成下列2x2列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值a=0.005的獨(dú)立性檢驗(yàn)，判斷近視與每天近距離看電子產(chǎn)

品時(shí)間超過lh是否有關(guān)聯(lián)；

每天近距離看電子產(chǎn)品時(shí)間超過lh

近視合計(jì)

是否

是

否

合計(jì)1000

(2)研究發(fā)現(xiàn)，近視兒童每年眼軸的增速要大于非近視兒童，長時(shí)間近距離看電子產(chǎn)品會(huì)導(dǎo)致眼軸快速

增長，最終影響視力.高度近視者的眼軸長度一般大于26mm.下圖是每天近距離看電子產(chǎn)品時(shí)間超過lh近視

兒童和非近視兒童6~16歲的眼軸生長發(fā)育散點(diǎn)圖.

第3頁

①根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，y=a+b久和y=c+din久哪一個(gè)更符合每天近距離看電子產(chǎn)品時(shí)間超過lh的近視兒

童的眼軸生長發(fā)育情況？（給出判斷即可，不必說明理由）

②根據(jù)①中的判斷結(jié)果，建立該類近視兒童眼軸長度y（單位：mm）關(guān)于年齡x（6<x<16,且尤e

N*）的經(jīng)驗(yàn)回歸方程；

③根據(jù)②中的結(jié)果，估計(jì)該類近視兒童開始高度近視時(shí)的年齡.（結(jié)果保留整數(shù)）

2

參考公式及數(shù)據(jù)：⑴心回卷年-，n=a+b+c+d,

a0.010.0050.001

xa6.6357.87910.828

?%=1（/一為（y「力

（ii）回歸方程9=@+標(biāo)中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為:b=----------,a=y-

）（久「為’

bx；

（迨）散點(diǎn)圖1中歹=239￡隨（項(xiàng)一元）（%—刃=34.1；散點(diǎn)圖2中歹=23.09,斃式期—元）（％一刃=

10.725.

18.將函數(shù)y=/（x）的圖象繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a（0<a后，所得曲線仍然是一個(gè)函數(shù)的圖象，即函

數(shù)/（%）的圖象與直線y=tan翁-a）x+b（bER）至多有1個(gè)交點(diǎn)，則稱函數(shù)/（%）具有“a旋轉(zhuǎn)不變性

（1）證明：函數(shù)/（x）=sinx,久C[0,兀]具有耳旋轉(zhuǎn)不變性”；

77T

（2）若函數(shù)g（x）=加（久—l）e*—xlnx—■具有飛旋轉(zhuǎn)不變性”，求m的取值范圍.

19.某校數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)對(duì)楊輝三角性質(zhì)進(jìn)行探究發(fā)現(xiàn)：“第n行各數(shù)平方和等于第2n行中間的數(shù)，

即：（或『+（或）？+（以『+…+（*）2=??''，證明如下.證明：考慮多項(xiàng)式（1+幻也（1+久）?1中/1的系數(shù)，

nn2nn

一方面：代數(shù)式（1+x）-（1+x）=（1+x）=%+C\nX+???+C^nX+…+C瓢2n中,一的系數(shù)為c%.另

一方面：代數(shù)式（1+x）n-（1+x）n=（C?+4%+…+C/）.（或+c裊+…+的方）中,久"的系數(shù)為C：-G+

cl?cr1+…+墨?以?因?yàn)橹?c^m,所以以?制+以.ar】+???+*?（?;=（或）2+（ci）2+-+ch?所

以⑹>+?）2+（嗡2+…+&）2=

第4頁

(1)如果證明過程中考慮(1+乃暝(1+%)加中^的系數(shù)，能得到的組合恒等式為.請(qǐng)先填空，再

構(gòu)造一個(gè)實(shí)際背景，對(duì)所得恒等式的意義作出解釋；

、，71、一1TI2

(2)證明：①或.威=CrC屋；②以+i=Wj=02Yc3.注：組合數(shù)制，若m>7i,則

制=0.

第5頁

答案解析部分

1.【答案】C

【解析】【解答】解：由題意，分兩步完成，

第一步選一個(gè)大門進(jìn)去有4種選法，第二步選一個(gè)大門出去有3種選法，

所以由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知共有4X3=12種.

故答案為：C.

【分析】根據(jù)已知條件和分步乘法計(jì)數(shù)原理，從而得出不同進(jìn)出方式的種數(shù).

2.【答案】A

【解析】【解答】解：因?yàn)?(久)=xsinx,

所以/(%)=sinx+xcosx，

所以k=/，(—、)=—1.

故答案為：A.

【分析】先求出導(dǎo)函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，從而得出函數(shù)/(%)=久sinx在點(diǎn)處的切線斜

率.

3.【答案】D

【解析】【解答】解：因?yàn)閳DA顯示殘差與觀測時(shí)間有非線性關(guān)系，應(yīng)在模型中加入時(shí)間的非線性函數(shù)部

分；

圖B說明殘差的方差不是一個(gè)常數(shù)，隨觀測時(shí)間變大而變大；

圖C顯示殘差與觀測時(shí)間有線性關(guān)系，應(yīng)將時(shí)間變量納入模型；

圖D的殘差較均勻地分布在以取值為0的橫軸為對(duì)稱軸的水平帶狀區(qū)域內(nèi)，

可見D滿足一元線性回歸模型對(duì)隨機(jī)誤差的假定.

故答案為：D.

【分析】根據(jù)一元線性回歸模型對(duì)隨機(jī)誤差的假定，從而找出殘差滿足一元線性回歸模型中對(duì)隨機(jī)誤差的假

定的選項(xiàng).

4.【答案】C

【解析】【解答】解：由題意可得從三個(gè)年級(jí)中任選一名學(xué)生，

該學(xué)生參加環(huán)保活動(dòng)的概率是：

433

4+3+3X2O%+4+3+3X3O%+4+3+3X4O%

=0.4x0.2+0.3x0.3+0.3x0.4=0.29.

故答案為：c.

【分析】根據(jù)已知條件結(jié)合全概率公式，從而得出從三個(gè)年級(jí)中任選一名學(xué)生，該學(xué)生參加環(huán)?；顒?dòng)的概率.

第6頁

5.【答案】B

【解析】【解答】解：因?yàn)殡S機(jī)變量X的分布列為P(X=0)=0.2,P(X=1)=a,P(X=2)=b,

則E(X)=1,

所以｛整版；二1二7解得。…=0.2,

所以。(X)=0.2X(0-I)2+0.6X(1-I)2+0.2X(2-l)2=0.4.

故答案為：B.

【分析】根據(jù)題意和概率之和等于1的性質(zhì)以及隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望公式，從而可得a+b=0.8,a+2b=

1,進(jìn)而求出a,b的值，再利用方差公式得出隨機(jī)變量X的方差.

6.【答案】C

【解析】【解答】解：因?yàn)槔等級(jí)概率為0.34,0.34,且服從正態(tài)分布N(78,72),

且P(78—7<X<78+7)=P(71<X<85)?0.68,

所以B等級(jí)范圍在P(78<X<85)?0.34,

所以B等級(jí)的最高分?jǐn)?shù)線約為85.

故答案為：C.

【分析】由已知條件和正態(tài)分布對(duì)應(yīng)的概率密度函數(shù)的圖象的對(duì)稱性，從而得出B等級(jí)的最高分?jǐn)?shù)線.

7.【答案】B

【解析】【解答】解：令式刃=%2-2,

則/'(%)-2久，/(2)=4—2=2,f(2)=4,

所以曲線y=/(久)在點(diǎn)(2,2)處的切線方程為y—2=4(%—2),

令y=0,得久1=|=1.5,

因?yàn)閒償)=償)-2=%/(I)=3,

所以曲線了=/(久)在點(diǎn)(|,專處的切線方程為y

令y=0,解得牝=考?1.417,

又因?yàn)閨久2—久11=之《0.083<0.1,

所以，利用牛頓法求久2—2=。的近似解，至少需要2次迭代也能達(dá)到同樣的精確度.

故答案為：B.

【分析】利用求導(dǎo)的方法，再結(jié)合切點(diǎn)和斜率求出曲線y=f(x)在點(diǎn)(2,2)處的切線方程和曲線y=f(K)在點(diǎn)

停處的切線方程，再結(jié)合牛頓法得出久1、冷的值，從而得出求/-2=0的近似解，至少需要兩次迭代也

能達(dá)到同樣的精確度.

8.【答案】D

第7頁

【解析】【解答】解：由f(%)=(%—a)\nx-x,

得f(%)=Inx+-1=Inx—p

因?yàn)?(%)=(%-a)lnx-%有兩個(gè)極值點(diǎn)，

所以/'(%)=Inx-=0有兩個(gè)不等的正根，

則a=有兩個(gè)不等的正根，

令g(x)=%lnx(x>0),

則g'(%)=Inx+1(%>0),

當(dāng)0V%<9時(shí)，g'(%)<0；當(dāng)%時(shí)，g'(%)>0,

所以g")在(o])上單調(diào)遞減，在(1+8)上單調(diào)遞增,

所以g(x)min=g=7lnJ=_[

當(dāng)％T0時(shí)，g(x)->0,當(dāng)％—+8時(shí)，g(%)t+8,

所以gQ)的大致圖象如圖所示，

由圖可知當(dāng)一9<%<0時(shí),y=。與gQ)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，

所以當(dāng)—；<久<0時(shí)，/(久)有兩個(gè)極值點(diǎn)，

則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

故答案為：D.

【分析】由題意可得/'(%)=0有兩個(gè)不等的正根，則a=%ln%有兩個(gè)不等的正根，設(shè)g(%)=xlnx(x>0),利

用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求出函數(shù)g(%)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而畫出函數(shù)g(%)的大致圖象，再結(jié)合函數(shù)g(%)

的圖象求解得出當(dāng)-}<%<0時(shí)，丫=。與9(￡)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，從而得出當(dāng)-:<久<0時(shí)，f(x)

有兩個(gè)極值點(diǎn)，進(jìn)而得出實(shí)數(shù)a的取值范圍.

9.【答案】B,C

【解析】【解答】解：對(duì)于A,因?yàn)??+芻7的展開式有8項(xiàng)，所以A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,因?yàn)??+令的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的和為27=128,所以B正確；

對(duì)于C,因?yàn)檎归_式的通項(xiàng)公式為7什1=G(偽仔)『=弓.2『.無罕，

第8頁

令字=2,得r=1,

所以展開式中/的系數(shù)為21=14,所以C正確；

對(duì)于D,因?yàn)?代+|)的展開式有8項(xiàng)，

所以展開式中第4項(xiàng)或者第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，所以D錯(cuò)誤.

故答案為：BC.

【分析】根據(jù)二項(xiàng)式展開式的性質(zhì)判斷出選項(xiàng)A；根據(jù)二項(xiàng)式展開式的系數(shù)的性質(zhì)求解判斷出選項(xiàng)B；先求

出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再令久的次數(shù)為2求出r的值，從而求出爐的系數(shù)，則判斷出選項(xiàng)C；根據(jù)二項(xiàng)式展開式

的系數(shù)的性質(zhì)判斷出選項(xiàng)D,從而找出說法正確的選項(xiàng).

10.【答案】B,C.D

【解析】【解答】解：對(duì)于A,由/(%)=靖一%一1,得f'(x)=ex—1，

當(dāng)x<0時(shí)，/(%)<0；當(dāng)％>0時(shí)，/(%)>0.

所以/(久)在(-8,0)上單調(diào)遞減，在(0,+8)上單調(diào)遞增，

所以/(%)min=/(0)=。

所以/(久)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，所以A錯(cuò)誤，

對(duì)于B,由/(久)=e久一久一2,得/'(久)=e*-l，

當(dāng)x<0時(shí)，/(%)<0：當(dāng)久>0時(shí)，/(x)>01

所以/'(X)在(-8,0)上單調(diào)遞減，在(0,+8)上單調(diào)遞增，

所以/(%)min=f(0)=—1<

因?yàn)閒(—2)=e-2>0,f(2)=e2-4>0,

所以f(久)在(-8,0)上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，在(0,+8)上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，

所以〃久)=/一久一2有兩個(gè)零點(diǎn)，所以B正確，

對(duì)于C,由/(久)=Inx—2久+2,

得/(%)=[-2=(久>0),

當(dāng)0<久<：時(shí)，/(%)>0：當(dāng)％>凱寸，/(%)<0，

所以/(久)在(O,當(dāng)上單調(diào)遞增，在6,+8)上單調(diào)遞減,

所以/(%)max==ln±+1=1-ln2>0,

因?yàn)楫?dāng)f(e-2)=Ine-2-2e-2+2=-2e_2<0,f(l)=lnl-2+2=0,

所以Hx)在(og)上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，在6,+8)上有且只有一個(gè)零點(diǎn)x=1,

所以/(久)=lwc—2x+2有兩個(gè)零點(diǎn)，所以C正確，

對(duì)于D,由/(x)=InK+：—2,

第9頁

得/&)=1+=爰(%>0),

當(dāng)0<久<2時(shí)，/(X)<0;當(dāng)X>2時(shí)，/(X)>0.

所以/(久)在(0,2)上單調(diào)遞減，在(2,+8)上單調(diào)遞增，

所以〃久)min=〃2)=ln2—l<0,

因?yàn)?(1)—Ini+2—2=0,/(/)=In/-|——2――2>0,

所以/(%)在(0,2)上有且只有一個(gè)零點(diǎn)％=1,在(2,+8)上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，

所以/'(久)=liu:+1—2有兩個(gè)零點(diǎn)，所以D正確.

故答案為：BCD.

【分析】根據(jù)題意，先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，再利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合零點(diǎn)存在性定理分析函數(shù)零點(diǎn)的

個(gè)數(shù)，從而逐項(xiàng)判斷找出有兩個(gè)零點(diǎn)的函數(shù).

11.【答案】A,B,D

【解析】【解答】解：對(duì)于A,因?yàn)锳,B相互獨(dú)立，P(A)=0.5,P(B)=0.3,

所以P(彳UB)=P(A')+P(B)-P(AB)=(1-0.5)+0.3-P(Z)P(B)=0.8-0.5X0.3=0.65故A正確;

對(duì)于B,因?yàn)镻(近)=P(AUB)=1一P(AUB)=1—[P(A)+P(B)]=1—0.8=0.2,

故B正確;

對(duì)于C,因?yàn)椤赣沙?=需=「(團(tuán)可=需,

當(dāng)P(彳B)=0時(shí)，得不出P(B)=P(E),

貝U得不出尸(B)=P(彳)=1-P(4),

則得不出P(A)+P(B)=1,故C錯(cuò)誤;

對(duì)于D,PQ4B)

WT

P0B)1-P(XUB)1—[尸(4)+尸(B)—尸(43)]P(X)-P(XB)

人力⑻=TW=1—尸⑸=--------廠網(wǎng)砂--------=1——l-P(B)

所以^=°的符)。P(AB)[1-P(B)]=P(B)[PQ4)—PQ4B)]

QP(4B)=P⑷P(B),故D正確.

故答案為：ABD.

【分析】由互斥事件加法求概率公式、對(duì)立事件求概率公式因相互獨(dú)立事件乘法求概率公式，則判斷出選項(xiàng)

A和選項(xiàng)B；根據(jù)條件概率公式判斷出選項(xiàng)C；利用條件概率公式、相互獨(dú)立事件乘法求概率公式，則判斷

出選項(xiàng)D,從而找出說法正確的選項(xiàng).

12.【答案】180

第10頁

【解析】【解答】解：當(dāng)取不到0時(shí)，一共有展=120個(gè)三位數(shù)，

若取到0時(shí)，0不能排首位，共有用就=60個(gè)三位數(shù)，

由分類加法計(jì)數(shù)原理可知，

共有三位數(shù)的個(gè)數(shù)為120+60=180.

故答案為：180.

【分析】根據(jù)取到。與取不到0,從而分類討論結(jié)合排列數(shù)公式，再結(jié)合分類加法計(jì)數(shù)原理，從而得出可以

組成的沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù).

13.【答案】4

【解析】【解答】解：由題意可知，X的可能取值為3,4,5,

「3「2/1「1/2

則P(X=3)=—1，P(x=4)=42_p(x=5)=42—

45牖545

所以E(X)=3x1+4x^+5x1=4.

故答案為：4.

【分析】根據(jù)題意，由已知條件可得X的可能取值，從而分別求得其對(duì)應(yīng)概率，再由數(shù)學(xué)期望的計(jì)算公式，

從而可得到隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望.

14.【答案】竽兀

【解析】【解答】解：設(shè)圓錐的底面半徑為r,高為h,體積為乙

則廠2+必=解,

11

因此，=-jir2h—7r(/?2—h2)h-—-^Tih3+^-7r/?2/i(0<h<R),

貝獷=一加+/R2,

令=0，解得h=*R，

當(dāng)0</i〈母R時(shí)，>0，V單調(diào)遞增；

當(dāng)R>%>空R時(shí)，/<0，U單調(diào)遞減，

所以當(dāng)/1=年/?時(shí)容積最大，

把h=,R代入M+后=R2,得r=^R

由Ra=2?rr,得&=43兀,

則圓心角為a=竽兀時(shí)容積最大.

故答案為：竽兀.

第11頁

【分析】設(shè)圓錐底面半徑為r,高為/I，那么，=，產(chǎn)八，再根據(jù)「2=R2—后，代入得到昨

/兀(R2—/12M,再利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而得出函數(shù)的最大值以及八和r,R的值，再由圓心角a=

駕得出圓心角a=孚兀時(shí)容積最大.

15.【答案】(1)解：由題意可知，拋擲硬幣4次后，質(zhì)點(diǎn)要位于2,

則4次中向右移動(dòng)3次，向左移動(dòng)1次，

31

所以質(zhì)點(diǎn)位于2的位置的概率為P=盤0x?4

(2)解：由題意可知X的可能取值為-4,-2,0,2,4,

則

P(X=-4)=(I)4=生尸(X=-2)=盤(1)3X(I)1=1

P(X=0)=程Q)2Xg)2=率P(X=2)=盤Q)3x(畀=/

尸(X=4)=Q)4=擊，

所以X的分布列為

X—4-2024

11311

P

1648416

11211

所以E(X)=-4x^+(-2)Xa+°X豆+2Xa+4Xm=°.

【解析】【分析】(1)拋擲硬幣4次后，質(zhì)點(diǎn)要位于2,則可知4次中向右移動(dòng)3次，向左移動(dòng)1次，再根據(jù)

獨(dú)立事件乘法求概率公式，從而得出質(zhì)點(diǎn)位于2的位置的概率.

(2)由題意可知隨機(jī)變量X的可能取值，從而求出相應(yīng)的概率，進(jìn)而可求得隨機(jī)變量X的分布列，再結(jié)合隨機(jī)

變量的分布列求數(shù)學(xué)期望公式，從而得出隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望.

(1)由題意可知，拋擲硬幣4次后，質(zhì)點(diǎn)要位于2,則4次中向右移動(dòng)3次，向左移動(dòng)1次，

31

所以質(zhì)點(diǎn)位于2的位置的概率為p=程G)x?4

(2)由題意可知X的可能取值為一4,一2,0,2,4,則

P(X=-4)=(I)<=今PG=-2)=最Q)3XQ)1=/

P(X=0)=程Q)2xQ)2=率P(X=2)=盤償)3x(畀=/

P(X=4)=G)4=/，

所以X的分布列為

X—4-2024

第工2頁

11311

P

1648416

所以￡(X)=-4x+(-2)x^+0Xg+2x^+4x-jg=0?

16.【答案】(1)解：當(dāng)a=1時(shí)，/(%)=x3—6x2+2(%G/?),

則/(x)=3x2—12%，

由/(汽)>0，得％<0或%>4；

由/'(%)<0，得0<%<4,

所以/(%)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-8,0)和(4,+8),單調(diào)遞減區(qū)間為(0,4).

(2)解：由/(比)=x3—6ax2+2,

得/(%)=3%2—12。％,

由/(%)=0，得%=0或久=4a,

12

因?yàn)椤獄Va<0,所以一方<4a<0,

63

所以當(dāng)一14%<4。時(shí)，/(%)>0;當(dāng)4aV%40時(shí)，/(%)<0，

所以“%)在上單調(diào)遞增，在(4%0］上單調(diào)遞減，

所以/(%)的最大值為/(4a)=(4a)3-6ax(4a)2+2=-32a3+2,

則M=-32a3+2,/(-l)=1-6aJ(0)=2,

因?yàn)镴va<0，所以1<1一6。<2,

o

所以/(%)的最小值為/(-1)=1-6a,則TH=1-6a,

所以M—TTi=-32Q3+2—1+6a——32a?+6a+1,

-1

令g(a)—-32a3+6a+1,—石<a<0,

則g'(a)=-96a2+6,

令9(a)=-96a2+6=0,

,1'1

得a=—彳或a=-T9

所以，當(dāng)一卷<a<0時(shí)，g'(a)>0,

所以g(a)在(-工0)上單調(diào)遞增，

所以g(一：)<g(a)<g(o)，

3

所以一32x(0+6X+1<g(a)<1>

則2T<g(0)v1，

所以告—1.

第13頁

【解析】【分析】(1)對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，再由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

(2)先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，從而得出函數(shù)/(%)在［-1,4a)上單調(diào)遞增，在(4a,0］上單調(diào)遞減，從而可得/Q)max=

f(-4a),f(X)min=/(-1)，進(jìn)而可得M-m=-3203+6a+1,再構(gòu)造函數(shù)結(jié)合導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，從

而得出函數(shù)的值域，進(jìn)而得出M-m的取值范圍.

(1)當(dāng)a=l時(shí)，/(%)=久3_6久2+2(%￡/?),則/'(久)=3久2一12支，

由，(X)>0，得久<0或久>4,由f'(x)<0，得0<久<4,

所以〃%)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-8,0)和(4,+8),單調(diào)遞減區(qū)間為(0,4)；

(2)由/'(%)=/-6ax2+2,得八久)=3/—12。久，

由/(%)=0，得久=0或久=4a,

因?yàn)?nVa<0,所以一方<4a<0f

63

所以當(dāng)一1<%<4。時(shí)，/'(%)>0，當(dāng)時(shí)，/(%)<0，

所以/(%)在上遞增，在(4見0］上遞減，

所以/(%)的最大值為/(4a)=(4a)3-6ax(4a)2+2=-32a3+2,

即M=-32a3+2,

/(-l)=1-6a,/(0)=2,

因?yàn)椤?<a<0,所以1<1—6a<2,

所以〃x)的最小值為f(-1)=l-6a,即m=1—6a,

所以M—771——32a3+2—1+6a——32ci^+6a+1,

令g(a)=-32a3+6a+1,—\<a<0,則g'(a)=-96a2+6,

令9(a)=-96a2+6=0,得a=—上或a=

所以當(dāng)一［<。<0時(shí)，g(a)>0,

所以g(a)在(J0)上單調(diào)遞增，

1

所以g(一石)V。(。)<g(0)，所以—332x(-\)+6x(一+1<g(a)<

即言<g(a)<1，

所以蕓VM-znV1.

17.【答案】(1)解：因?yàn)?x2列聯(lián)表為：

每天近距離看電子產(chǎn)品時(shí)間超過lh

近視合計(jì)

是否

是100300400

第14頁

否100500600

合計(jì)2008001000

零假設(shè)為Ho：近視與每天近距離看電子產(chǎn)品時(shí)間超過lh無關(guān)，

根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，并計(jì)算得到：

9

2_1000(100x500-300x100)_125_

x=200x800x400x600=''

因?yàn)?0.417>%0,005=7.879,

根據(jù)小概率值a=0Q05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷為不成立，

即認(rèn)為近視與每天近距離看電子產(chǎn)品時(shí)間超過lh有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.005.

(2)解：①丫=a+法適宜每天近距離看電子產(chǎn)品時(shí)間超過lh的近視兒童的眼軸生長發(fā)育情況.

②由題意可得，2豈8—無產(chǎn)=11。

.一廠刃一34.1

則°-廠一110一0,31,

>(石-幻

由題意得元=11,y=23.9,

所以@=9一鼓=23.9-0.31X11=20.49,

則該類近視兒童眼軸長度)(單位：mm)關(guān)于年齡x的回歸方程為了=0.31%+20.49.

③因?yàn)椋?0.31%+20.49>26,解得％>17齊

所以該類近視兒童開始高度近視時(shí)大約18歲.

【解析】【分析】(1)根據(jù)題意列出2義2列聯(lián)表，從而計(jì)算出乃2,再根據(jù)小概率值a=0.005的獨(dú)立性檢驗(yàn),

從而認(rèn)為近視與每天近距離看電子產(chǎn)品時(shí)間超過lh有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.005.

(2)①由散點(diǎn)圖得出y=a+b久適宜每天近距離看電子產(chǎn)品時(shí)間超過lh的近視兒童的眼軸生長發(fā)育情況.

②根據(jù)最小二乘法求出回歸直線方程.

③根據(jù)回歸直線方程估計(jì)出該類近視兒童開始高度近視時(shí)的年齡.

(1)2x2列聯(lián)表

每天近距離看電子產(chǎn)品時(shí)間超過lh

近視合計(jì)

是否

是100300400

否100500600

合計(jì)2008001000

零假設(shè)為Ho：近視與每天近距離看電子產(chǎn)品時(shí)間超過lh無關(guān)

根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，并計(jì)算得到

9

2_1000(100x500-300x100)_125_

x=200x800x400x600=~12=''

因?yàn)?0.417>%0,005=7.879,

根據(jù)小概率值a=0.005的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷為不成立，即認(rèn)為近視與每天近距離看電子產(chǎn)品時(shí)間超過lh

有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.005.

(2)①丫=a+bx適宜每天近距離看電子產(chǎn)品時(shí)間超過lh的近視兒童的眼軸生長發(fā)育情況.

②由題意可得，2218—元)2=11。

乙=1(々一為(％一①_34.1

因此看

n2-1100.31

(無尸)

Zi=l

再由題意得元=11,9=23.9,所以@=歹一鼓=23.9—0.31X11=20.49,

從而該類近視兒童眼軸長度X單位：mm)關(guān)于年齡x的回歸方程為了=0.31%+20.49.

③歹=0.31%+20.49>26,解得久>17驛

所以該類近視兒童開始高度近視時(shí)大約18歲.

18.【答案】(1)證明：由題意可知，當(dāng)a=印寸，k—tan—a)=1,

令尸(%)=/(%)—x=sinx—x,xE[0,TI],

則F(%)=cosx—1<0,%G[0,TT]，

???尸(%)在％E上單調(diào)遞減，

則FQ)=sinx—x,xE與y=b,bER至多有1個(gè)交點(diǎn)，

所以/(%)=sinx,xe[。，捫與丫=x+b,beR至多有1個(gè)交點(diǎn)，

故函數(shù)/(%)=sinx,%6[0,7]具有號(hào)旋轉(zhuǎn)不變性

(2)解：由題意得：當(dāng)式=看時(shí)，k-tan—=

2

函數(shù)g(%)=?n(x—l)ex—xlnx—號(hào)與函數(shù)y=V3x+b的圖象至多有1個(gè)父點(diǎn),

、2

則方程根(％—l)ex-xlnx~~2=V3x+b至多有一個(gè)根,

則函數(shù)九(%)=m(x—l)ex—xlnx—%——百%與函數(shù)y—b的圖象至多1個(gè)父點(diǎn),

因此函數(shù)九(%)=m(x—l)ex-xlnx-——V5%在(。,+8)上為單調(diào)函數(shù),

因?yàn)榫?%)=mxex-Inx—%—1—V3?

當(dāng)％t。時(shí)，h(%)7+oo,

所以/(%)>0在(0,+8)上恒成立，

+4、lnx+x+H-73

RAm>---------Y-------

xex

第16頁

人，、lnx+x+l+V3

_In%_x_

則0’(工)=

x2ex

因?yàn)閠O)=-Inx-%-遍在(0,+8)上單調(diào)遞減,

且t&)>0,41)<0,

由零點(diǎn)存在定理可知,

3%0E(丁，1),使t(%o)——lnx0—x0—V3=0.

-1

xx

所以ln(%o-e°)=-V3=x0-e°=飛,

當(dāng)xG(0,x0),t(x)>0,(p'(x)>0,9(x)單調(diào)遞增；

r

當(dāng)xe(x0,+oo),t(x)<0,(p(x)<O,0(x)單調(diào)遞減，

所以0maxQ)=以久。)=叫;%-=*="牝

則m>e區(qū)

【解析】【分析】(1)根據(jù)新定義，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)/(X)的圖象與丫=久+仇匕6/?至多有1個(gè)交點(diǎn)，再利用

導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，從而證出函數(shù)/(x)=sin%,%G[0,兀]具有“穎轉(zhuǎn)不變性”.

(2)根據(jù)函數(shù)具有空旋轉(zhuǎn)不變性”，從而將問題轉(zhuǎn)化為小>處半出1,再構(gòu)造函數(shù)結(jié)合零點(diǎn)存在性定理和

°_xex

導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最大值的方法，再根據(jù)不等式恒成立問題求出實(shí)數(shù)m的取值范圍.

(1)由題意可知，當(dāng)a=今時(shí)，k=tan翁一a)=1,

令尸(%)=/(%)—x=sinx—x,x6[0,7i],

則F(%)=cosx—1<0,%6[0,TT]，

???F(%)在％e上單調(diào)遞減.

故FQ)=sinx—x,xE與y=b,bER至多有1個(gè)交點(diǎn)，

即/(%)=sinx,xE與y=x+b,bER至多有1個(gè)交點(diǎn)，

故函數(shù)/(%)=sinx,%6[0,兀]具有號(hào)旋轉(zhuǎn)不變性

(2)由題意得：當(dāng)仇=1時(shí)，k=tan翁一a)=

函數(shù)g(%)=ni(%—l)ex—xlnx—號(hào)與函數(shù)y=V3x+b的圖象至多有1個(gè)父點(diǎn),

、2

即方程加(％—l)ex-xlnx~~2=V3x+b至多有一個(gè)根，

即函數(shù)九(%)=m(x—l)ex-xlnx—%——V5x與函數(shù)y=b的圖象至多1個(gè)父點(diǎn),

因此函數(shù)八(%)=m(x—l)ex-xlnx-——在(。1+8)上為單調(diào)函數(shù),

第17頁

h(%)=mxex—Inx—x—1—V3，而當(dāng)％—0時(shí)'h(x)->+oo,

所以"(X)>o在(o,+8)上恒成立，故加>山+：京+石.

令也X)=乃,則/⑺=”上空廠")

因?yàn)閠(K)=-In%-%-8在(0,+8)上單調(diào)遞減，且t(a)>0,t(l)<0,

由零點(diǎn)存在定理可知，三通6(3，1),使t(x(j)=—In%—&-=0.

xx

所以Ing-e°)=-V3=>x0-e°=飛,

當(dāng)xG(0,%0),t(x)>0,"(久)>O,0(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)xe(x0,+oo),t(x)<0,(p'(x)<0,0(x)單調(diào)遞減,

lnx+x+l+/3_1_

所以8max(%)=0(%0)=00

xxex0

x0e00

即m>ea.

19.【答案】(1)解：因?yàn)镃MC：+或?雷1+珠-C廣2+…+僚.C；=C^+n

構(gòu)造實(shí)際背景，對(duì)所得恒等式的意義做出解釋：

從6個(gè)男生與n個(gè)女生中選取k人小組，一共有C*+n種方式，

另一方面，這樣的k人小組可分為k+1個(gè)類：

第i類由i個(gè)男生和k一i個(gè)女生組成(i=0,1,2,…,k),

由乘法原理可知，第i類中有CM?C：T個(gè)小組，

因此k人小組共有*.C。+據(jù).C《T+既?*2+...+d.以個(gè),

由加法原理可知：蝶+碌?喈1+喋-C片+…+緇-C°=C^+n.

(2)證明：①等式兩邊都是兩個(gè)數(shù)相乘，可以聯(lián)想到分步乘法原理，

于是構(gòu)造組合的實(shí)際問題：

從幾名學(xué)生中選出m人組成代表隊(duì)，

其中k名作為主力隊(duì)員，zn-k名替補(bǔ)隊(duì)員，

根據(jù)分步乘法原理共有C/.。后種方法，

也可以直接從n名學(xué)生中選了k名主力隊(duì)員，

再從剩下的n-k名學(xué)生中選出7n-k名替補(bǔ)隊(duì)員，

根據(jù)分步乘法原理共有以.種方法，

由上面的兩種方法可知：￡.%=(：*.￡]；

②考慮(1+2x)n-(1+久)71中產(chǎn)的系數(shù)，

一方面(1+2x)n-(1+x)n=[(1+久)+x]n-(1+x)n

=[.(1+x)nx°+嗎(1+x)n-1x+…+C[(1+x')n~kxk+…+印(1+x)°xn]-(1+x)n

第18頁

=C°(l+x)2nx°+C(1+x)271-1%+…+您(1+xYn-kxk+…+印(1+x)nxn

久n的系數(shù)為點(diǎn),G?+*方］1+…+或?C播+…+制?明

因?yàn)橹?CL，

所以"的系數(shù)為:

廠71?fTl—1「71—1?[「XI—kfTl_kI，》0，》0

ccGc?

n?2n十n'2n-l乜rCn?C2n-k十.一十匕九*Cn+1+Cn?Cn

=C??C0+C1.禺+1+…+C廠k-C^_k+…+C廠1?印片_1+印.C%

n

=W

1=0

另一方面,

(1+2xy-(1+xy=(C/°+C^2x+…+第+c\x+…+Ck)

、2n

所以的系數(shù)為C22°-Cn+C2-