第一章《三角形》復(fù)習(xí)題--全等三角形的九大模型及兩大構(gòu)造方法【模型1平移模型】1.（1）如圖1，點(diǎn)A，F(xiàn)，E，C在同一條直線上，AE=CF，AD∥CB，AD=CB，求證：△ADF≌△CBE．（2）若將圖1中的△BEC沿CA方向平移得到圖2、圖3，其他條件不變，△ADF≌△CBE還成立嗎？為什么？（選擇一種情況說明理由）

2.將圖1中的矩形ABCD沿對角線AC剪開，再把△ABC沿著AD方向平移，得到圖2中的△A′BC′．（1）在圖2中，除△ADC與△C′BA′全等外，請寫出其他2組全等三角形；①；②；（2）請選擇（1）中的一組全等三角形加以證明．3.如圖，將△ABC沿射線BC方向平移得到△DCE，連接BD交AC于點(diǎn)F．(1)求證：△AFB≌△CFD；(2)若AB=9，BC=7，求BF的取值范圍．4.如圖，△ABC是等邊三角形，邊長為6厘米，將△ABC沿直線BC向右平移4.5厘米到△DEF的位置．（1）求∠ADF的度數(shù)；（2）求四邊形ABFD的周長．【模型2翻折(軸對稱)模型】1.如圖，△ABC中，∠BAC=90°,AB=AC，將△ABC沿著DF翻折，使頂點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)E剛好落在邊AC上，AG平分∠BAC交DE于點(diǎn)G，連接FG．若CE=AG，則∠EFG=．2.如圖，△ABC中，AF⊥BC于點(diǎn)F，將AF沿AC翻折至AE，連接EC并延長，在射線EC上取點(diǎn)D，使得∠BAD=∠EAF，若CD=8,CE=3,AE=7，求△ABC的面積．3.如圖，在四邊形ABCD中，∠C=∠D=90°，AD=2，BC=5，M為CD的中點(diǎn)．將△ADM沿AM翻折，點(diǎn)D恰好落在AB上的點(diǎn)N處．求AB的長．4.如圖，在△ABC中，∠BAC=90°,AB=AC．

(1)如圖1，點(diǎn)D,E在BC邊上，∠DAE=45°，判斷線段BD,DE,EC組成的三角形的形狀：小明同學(xué)的探究思路是，利用軸對稱的知識，把分散的條件進(jìn)行轉(zhuǎn)移，進(jìn)而解決問題．他將△ABD沿直線AD翻折，得到△ADF，連接EF，利用三角形全等把線段EC進(jìn)行轉(zhuǎn)移，如圖2所示，從而解決了問題．直接寫出線段BD,DE,EC組成的三角形的形狀；(2)如圖3，點(diǎn)D,E在直線BC上，∠DAE=135°，判斷線段BD,DE,EC組成的三角形的形狀，并證明．【模型3手拉手模型】1.如圖，△ABC是等邊三角形，F(xiàn)是AC的中點(diǎn)，D在線段BC上，連接DF，以DF為邊在DF的右側(cè)作等邊△DFE，連接EC，若存在實(shí)數(shù)k，使得kBC+ECDC為定值a，則k和a分別是（

A．k=12，a=1 B．k=13，a=1 C．k=1，a=32.兩個(gè)大小不同的等腰直角三角板按圖1所示擺放，將兩個(gè)三角板抽象成如圖2所示的△ABC和△AED，其中∠BAC=∠EAD=90°，點(diǎn)B、C、E依次在同一條直線上，連結(jié)CD．若BC=4，CE=2，則△DCE的面積是．3.如圖1，△ACB和△DCE均為等邊三角形，點(diǎn)A，D，E在同一直線上，連接BE．(1)求證：AD=BE；(2)求∠AEB的度數(shù)；(3)如圖2，若△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，點(diǎn)A，D，E在同一直線上，CM⊥DE于點(diǎn)M，連接BE．試判斷線段DM，4.如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，點(diǎn)D為三角形內(nèi)部一點(diǎn)且∠BDC=140°，點(diǎn)E為BC中點(diǎn)，連接AD，DE，作∠FDC=∠EDC，且DF=2DE，當(dāng)∠ADB=時(shí)，△DFC為直角三角形．【模型4半角模型】1.如圖，在Rt△ABC中，AB=AC，∠ABC=∠ACB=45°，D、E是斜邊BC上兩點(diǎn)，且∠DAE=45°，若BD=3，CE=4，S△ADE=15，則△ABD與△AEC的面積之和為（A．36 B．21 C．30 D．222.如圖．在四邊形ABCD中，∠B+∠ADC＝180°，AB＝AD，E、F分別是邊BC、CD延長線上的點(diǎn)，且∠EAF=12∠BAD，求證：EF＝BE﹣3.【問題情境】閱讀以下材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù)：從正方形的一個(gè)頂點(diǎn)引出夾角為45°的兩條射線，并連接它們與該頂點(diǎn)的兩對邊的交點(diǎn)構(gòu)成的基本平面幾何模型稱為半角模型．半角模型可證出多個(gè)幾何結(jié)論，例如：如圖1，在正方形ABCD中，以A為頂點(diǎn)的∠EAF=45°，AE，AF與BC，CD邊分別交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，易證得EF=BE+FD．證明思路：如圖2，將延長CB至點(diǎn)H，使BH=DF，連接AH，可證△ADF≌△ABH，再證△AEF≌△AEH，故EF=BE+DF．【知識應(yīng)用】（1）如圖3，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，∠BAD=120°，以A為頂點(diǎn)的∠EAF=60°，AE，AF與BC，CD邊分別交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)．請參照閱讀材料中的解題方法，你認(rèn)為結(jié)論EF=BE+DF是否依然成立？若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由．．【拓展提升】（2）若四邊形ABCD是長與寬不相等的矩形，點(diǎn)E為CD中點(diǎn)且AE平分∠DAM，如圖4，試判斷AM，AD和MC之間的數(shù)量關(guān)系并給出證明．4.如圖，△ABC是邊長為2的等邊三角形，△BDC是頂角為120°的等腰三角形，以點(diǎn)D為頂點(diǎn)作∠MDN=60°，點(diǎn)M、N分別在AB、AC上．（1）如圖①，當(dāng)MN//BC時(shí)，則（2）如圖②，求證：BM+NC=MN．【模型5一線三等角模型】1.如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D為射線BC上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），連接AD并延長到點(diǎn)E，使得DE=AD，連接BE，過點(diǎn)B作BE的垂線交直線AC于點(diǎn)F．(1)如圖1，點(diǎn)D在線段CB上，且DB<CD．①請補(bǔ)全圖形；②判斷CD，DB，CF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．(2)如圖2，若點(diǎn)D在線段BC的延長線上，請畫出圖形，直接寫出CD，DB，CF之間的數(shù)量關(guān)系．2.如圖，在△ABC中，AB=AC，AB>BC，點(diǎn)D在邊BC上，CD=2BD，點(diǎn)E，F(xiàn)在線段AD上，∠1=∠2=∠BAC，若△BDE的面積為2，3.如圖，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=∠C=40°，點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動（D不與B、C重合），連接AD，作∠ADE=40°，DE交線段AC于E．

(1)當(dāng)∠BDA=115°時(shí)，∠EDC=°，∠DEC=°；點(diǎn)D從B向C運(yùn)動時(shí)，∠BDA逐漸變（填“大”或“小”）；(2)當(dāng)DC等于多少時(shí)，△ABD≌(3)在點(diǎn)D的運(yùn)動過程中，△ADE的形狀可以是等腰三角形嗎？若可以，請直接寫出∠BDA的度數(shù)．若不可以，請說明理由．4.如圖①，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，過點(diǎn)C在△ABC外作直線l，AM⊥l于點(diǎn)M，(1)試說明：MN=(2)如圖②，將（1）中條件改為∠ADC=∠CEB=∠ACB=α（90°<α<180°），AC=BC，請問（1）中的結(jié)論DE=AD＋(3)如圖③，在△ABC中，點(diǎn)D為AB上一點(diǎn)，DE=DF，∠A=∠EDF=∠B，AE=3，BF=5，請直接寫出AB的長．【模型6雨傘模型】1.如圖，△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)B作BE⊥AD，交AD延長線于點(diǎn)E，F(xiàn)為AB的中點(diǎn)，連接CF，交AD于點(diǎn)G，連接BG．（1）線段BE與線段AD有何數(shù)量關(guān)系？并說明理由；（2）判斷△BEG的形狀，并說明理由．2.如圖，已知等腰直角三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，BF平分∠ABC，CD⊥BD交BF的延長線于點(diǎn)D，試說明：BF=2CD．3.求證：在直角三角形中，若一個(gè)銳角等于30°，則它所對的直角邊等于斜邊的一半．要求：(1)根據(jù)給出的線段AB及∠B，以線段AB為直角邊，在給出的圖形上用尺規(guī)作出Rt△ABC的斜邊AC，使得∠A=30°(2)根據(jù)（1）中所作的圖形，寫出已知、求證和證明過程．4.如圖①，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足E在CD的延長線上．求證∶BE=1（1）觀察分析∶延長BE，CA，交于點(diǎn)F．可證明△≌△，依據(jù)是；從而得到；再證BE=FE=1（2）類比探究∶如圖②，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，點(diǎn)D在線段BC上，∠BDE=12∠C,BE⊥DE，垂足為E，DE與AB相交于點(diǎn)F．試探究BE【模型7角平分線模型】1.如圖，在△ABC中，∠A=60°，∠ABC和∠ACB的平分線BD、CE相交于點(diǎn)O，BD交AC于點(diǎn)D，CE交AB于點(diǎn)E，若已知△ABC周長為20，BC=7，AE:AD=4:3，則AE長為（

）A．187 B．247 C．262.如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，點(diǎn)M，N分別是AD和AB上的動點(diǎn)，當(dāng)S△ABC=12，AC=8時(shí)，BM+MN的最小值等于

3.已知：AD是△ABC的角平分線，且AD⊥BC(1)如圖1，求證：AB=AC；(2)如圖2，∠ABC=30°，點(diǎn)E在AD上，連接CE并延長交AB于點(diǎn)F，BG交CA的延長線于點(diǎn)G，且∠ABG=∠ACF，連接FG．①求證：∠AFG=∠AFC；②若S△ABG：S△ACF=2:34.閱讀與思考下面是小明同學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)筆記，請您仔細(xì)閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù)：構(gòu)造全等三角形解決圖形與幾何問題在圖形與幾何的學(xué)習(xí)中，常常會遇到一些問題無法直接解答，需要添加輔助線才能解決．比如下面的題目中出現(xiàn)了角平分線和垂線段，我們可以通過延長垂線段與三角形的一邊相交構(gòu)造全等三角形，運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)解決問題．例：如圖1，D是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且AD平分∠BAC，CD⊥AD，連接BD，若△ABD的面積為10，求△ABC的面積．

該問題的解答過程如下：解：如圖2，過點(diǎn)B作BH⊥CD交CD延長線于點(diǎn)H，CH、AB交于點(diǎn)E，

∵AD平分∠BAC，∴∠DAB=∠DAC．∵AD⊥CD，∴∠ADC=∠ADE=90°．在△ADE和△ADC中，∠DAE=∠DACAD=AD∴△ADE≌△ADC（依據(jù)1）∴ED=CD（依據(jù)2），S△ADE∵S△BDE=……任務(wù)一：上述解答過程中的依據(jù)1，依據(jù)2分別是___________，___________；任務(wù)二：請將上述解答過程的剩余部分補(bǔ)充完整；應(yīng)用：如圖3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BE平分∠CBA交AC于點(diǎn)D，過點(diǎn)C作CE⊥BD交BD延長線于點(diǎn)E．若CE=6，求BD的長．

【模型8平行線中點(diǎn)模型】1.如圖，在△ABC中，BD是邊AC上的高，BE為∠CBD的角平分線，且AD=DE，AO是△ABC的中線，延長AO到點(diǎn)F，使得BF∥AC，連接EF，EF交BC于點(diǎn)G，AF交BE于點(diǎn)H，交BD于點(diǎn)(1)試說明：BF=CD+DE；(2)若∠C=45°，試說明：EF⊥BC．2.已知：如圖，AB∥CD，AB=CD，點(diǎn)E、F在AD上，且滿足(1)求證BE=CF；(2)若AE=OF，直接寫出面積為△COD面積一半的所有三角形．3.如圖1，點(diǎn)A是直線MN上一點(diǎn)，點(diǎn)B是直線PQ上一點(diǎn)，且MN//PQ．∠NAB和∠ABQ的平分線交于點(diǎn)C．（1）求證：BC⊥AC；（2）過點(diǎn)C作直線交MN于點(diǎn)D（不與點(diǎn)A重合），交PQ于點(diǎn)E,①若點(diǎn)D在點(diǎn)A的右側(cè)，如圖2，求證：AD+BE=AB；②若點(diǎn)D在點(diǎn)A的左側(cè)，則線段AD、BE、AB有何數(shù)量關(guān)系？直接寫出結(jié)論，不說理由．

4.【問題初探】（1）數(shù)學(xué)課上，李老師出示了這樣一個(gè)問題：如圖1，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)F是AC上一點(diǎn)，點(diǎn)E是AB延長線上的一點(diǎn)，連接EF，交BC于點(diǎn)D，若ED=DF，求證：BE=CF．①如圖2，小樂同學(xué)從中點(diǎn)的角度，給出了如下解題思路：在線段DC上截取DM，使DM=BD，連接FM，利用兩個(gè)三角形全等和已知條件，得出結(jié)論；②如圖3，小亮同學(xué)從平行線的角度給出了另一種解題思路：過點(diǎn)E作EM∥AC交CB的延長線于點(diǎn)M，利用兩個(gè)三角形全等和已知條件，得出了結(jié)論；請你選擇一位同學(xué)的解題思路，寫出證明過程；【類比分析】（2）李老師發(fā)現(xiàn)兩位同學(xué)的做法非常巧妙，為了讓同學(xué)們更好的理解這種轉(zhuǎn)化的思想方法，李老師提出了新的問題，請你解答，如圖4，在△ABC中，點(diǎn)E在線段AB上，D是BC的中點(diǎn)，連接CE，AD，CE與AD相交于點(diǎn)N，若∠EAD+∠ANC=180°，求證：AB=CN；【學(xué)以致用】（3）如圖5，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，AF平分∠BAC，點(diǎn)E在線段BA的延長線上運(yùn)動，過點(diǎn)E作ED∥AF，交AC于點(diǎn)N，交BC于點(diǎn)D，且BD=CD，請直接寫出線段AE，CN和BC【模型9婆羅摩笈多模型】1.如圖，在△ABC中，分別以AB和AC為邊作△ABE和△ACD，AB=AE，AC=AD，連接DE，延長CA交DE于F．若∠ACB=∠BAE=∠CAD=90°，求AFBC的值2.如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=3，分別以AC、BC為一直角邊作等腰直角△ACE、△BCD，連接DE交BC的延長線于F，則△CEF的面積為3.已知如圖，AC=AE，AD=AB，∠ACB=∠DAB=90°，AE∥CB，AC、DE交于點(diǎn)F．(1)求證：∠DAC=∠B；(2)猜想線段AF、BC的數(shù)量關(guān)系并證明．4.如圖1，2，3，△ABC中，分別以AB，AC為邊作Rt△ABE和Rt△ACD，AB=AE，AC=AD，①圖1中S△ABC②如圖2中，若AM是邊BC上的中線，則ED=2AM；③如圖3中，若AM⊥BC，則MA的延長線平分ED于點(diǎn)N．(1)上述三個(gè)結(jié)論中請你選擇一個(gè)感興趣的結(jié)論進(jìn)行證明，寫出證明過程；(2)能力拓展：將上述圖形中的某一個(gè)直角三角形旋轉(zhuǎn)到如圖4所示的位置：△ABC與△ADE均為等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，連接BD，CE，若F為BD的中點(diǎn)，連接AF，求證：2AF=CE．【構(gòu)造方法1截長補(bǔ)短法】1.在四邊形ABCD中，AB=AD，∠ABC與∠ADC互補(bǔ)，點(diǎn)E、F分別在射線CB、DC上，且∠EAF=12∠BAD，當(dāng)BC=4，DC=7，CF=1時(shí)，△CEF2.如圖，△ABC中，E在BC上，D在BA上，過E作EF⊥AB于F，∠B=∠1+∠2，AE=CD，BF=43，則AD的長為3.把兩個(gè)全等的直角三角板的斜邊重合，組成一個(gè)四邊形ACBD，以D為頂點(diǎn)作∠MDN，交邊AC、BC于M、N．(1)若∠ACD=30°，∠MDN=60°，當(dāng)∠MDN繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)時(shí)，AM、MN、BN三條線段之間有何種數(shù)量關(guān)系？證明你的結(jié)論；(2)當(dāng)∠ACD+∠MDN=90°時(shí)，AM、MN、BN三條線段之間有何數(shù)量關(guān)系？證明你的結(jié)論；(3)如圖③，在（2）的條件下，若將M、N改在CA、BC的延長線上，完成圖③，其余條件不變，則AM、MN、BN之間有何數(shù)量關(guān)系？（直接寫出結(jié)論，不必證明)4.如圖，在銳角ΔABC中，∠A=60°，點(diǎn)D，E分別是邊AB,AC上一動點(diǎn)，連接BE

(1)如圖1，若AB>AC，且BD=(2)如圖2，若AB=AC，且BD=AE，在平面內(nèi)將線段AC繞點(diǎn)C順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得到線段CM，連接MF，點(diǎn)N是MF的中點(diǎn)，連接CN．在點(diǎn)D，【構(gòu)造方法2倍長中線法】1.如圖，△ABC中，D為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E為BA延長線上一點(diǎn)，DF⊥DE交射線AC于點(diǎn)F，連接EF，則BE+CF與EF的大小關(guān)系為()A．BE+CF<EF B．BE+CF=EF C．BE+CF>EF D．以上都有可能2.在△ABC中，AC=6，中線AD=10，則AB邊的取值范圍是（）A．16<AB<22 B．14<AB<26 C．16<AB<26 D．14<AB<223.如圖，△ABC中，點(diǎn)D在AC上，AD=3,AB+AC=10，點(diǎn)E是BD的中點(diǎn)，連接CE,∠ACB=∠ABC+2∠BCE，則CD=．參考答案【模型1平移模型】1.（1）證明：∵AE=CF，∴AE?FE=CF?EF，∴AF=CE，∵AD∥CB，∴∠A=∠C，在△ADF和△CBE中，AF=CE∴△ADF≌△CBESAS（2）解：△ADF≌△CBE仍成立．理由如下（如題圖3）：∵AE=CF，∴AE?AC=CF?AC，即CE=AF，∵AD∥CB，∴∠ACB=∠CAD，∴180°?∠ACB=180°?∠CAD，∴∠BCE=∠DAF，在△ADF和△CBE中，AF=CE∴△ADF≌△CBESAS2.解：（1）由圖可得，①△AA′E≌△C′CF；②△A′DF≌△CBE；故答案為△AA′E≌△C′CF；△A′DF≌△CBE；（2）選△AA′E≌△C′CF，證明如下：由平移性質(zhì)，得AA′＝C′C，由矩形性質(zhì)，得∠A＝∠C′，∠AA′E＝∠C′CF＝90°，∴△AA′E≌△C′CF（ASA）．3.（1）證明：∵AB∥∴∠A=∠FCD，在△AFB和△CFD中，{∠A=∠FCD∴△AFB≌△CFD．（2）解：∵△AFB≌△CFD，∴BF=FD，在△BCD中，BC=7，CD=9，∴2<BD<16，∴2<2BF<16，∴1<BF<8．4.（1）依題意，將△ABC沿直線BC向右平移，∴AD//BC，∵△ABC是等邊三角形,∴△DEF是等邊三角形,∴∠DEF=∠EDF=60°∵AD//∴∠ADE=∠DEF=60°，∴∠ADF=∠ADE+∠EDF=120°，（2）∵向右平移4.5厘米，∴AD=BE=4.5，△ABC≌△DEF，∵△ABC是等邊三角形，∴△DEF是等邊三角形，∴DF=EF=BC=6，∴BF=BE+EF=4.5+6=10.5，∴四邊形ABFD的周長為AB+BF+FD+DA=6+10.5+6+4.5=27（厘米）．【模型2翻折(軸對稱)模型】1.67.5°【分析】本題考查等腰三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，根據(jù)等邊對等角，求出∠B=∠C=45°，折疊性質(zhì)，得到∠DEF=∠B，證明△CEF≌△AGE，得到EF=EG，等邊對等角，求出∠EFG的度數(shù)即可．【詳解】解：∵∠BAC=90°,AB=AC，∴∠B=∠C=45°，∵折疊，∴∠DEF=∠B=45°，∵∠AEF=∠C+∠CFE=∠FED+∠GEA，∠DEF=45°=∠C，∴∠CFE=∠AEG，∵AG平分∠BAC，∴∠EAG=45°=∠C，又∵CE=AG，∴△CEF≌△AGE，∴EF=EG，∴∠EFG=∠EGF=1故答案為：67.5°．2.解：∵∠BAD=∠EAF，∴∠BAD+∠DAF=∠EAF+∠DAF，即∠BAF=∠DAE．∵AF⊥BC，∴∠AFB=∠AFC=90°．由翻折的性質(zhì)，得AF=AE=7,∠AFC=∠E=90°，∴∠AFB=∠E．在△ABF和△ADE中，∠BAF=∠DAE,AF=AE,∠AFB=∠E=90°，∴△ABF≌△ADE，∴BF=DE=CD+CE=8+3=11．由翻折的性質(zhì)可得CF=CE=3，∴BC=BF+CF=11+3=14，∴S△ABC3.證明：將△ADM沿AM翻折，點(diǎn)D恰好落在AB上的點(diǎn)N處，∴△ADM≌△ANM，∴AN=AD=2，∠D=∠ANM=90°，MD=MN，∴MN⊥AB，又∠C=90°，∴∠BNM=∠C=90°，∵點(diǎn)M是CD的中點(diǎn)，∴MD=MC，∴MN=MC，在Rt△BCM，BM=BMMC=MN∴Rt△BCM≌∴BN=BC=5，∵AB=AN+BN，∴AB=AD+BC=2+5=7．4.（1）解：是直角三角形；∵△ABC中，∠BAC=90°,AB=AC，∴∠B=∠C=45°，將△ABD沿AD折疊，得△ADF，連接EF，

∴∠1=∠2,AB=AF,∠B=∠AFD=45°,BD=DF，∴AF=AC，∵∠DAE=∠2+∠3=45°，∴∠3=45°?∠2，∵∠BAC=90°，∴∠1+∠4=90°?45°=45°，∴∠4=45°?∠1，∴∠3=∠4，∵AE=AE，∴△AEF≌△AEC(SAS∴∠C=∠AFE=45°,CE=FE，∴∠DFE=45°+45°=90°，∴線段BD,DE,EC組成的三角形是直角三角形．（2）解：線段BD,DE,EC組成的三角形是直角三角形，證明：如圖，將△AEC沿直線AE翻折，得到△AEC′，將△ABD沿直線AD翻折，得到

根據(jù)折疊性質(zhì)可得：∠1=∠2,∠3=∠4,∠5=∠6,∠7=∠8,CE=C∵∠DAE=135°，∴∠2+∠4=180°?∠EAD=180°?135°=45°，∴∠C∵∠BAC=90°，∴∠5+∠7=180°?∠BAC=180°?90°=90°，∴∠6+∠8=∠5+∠7=90°，故點(diǎn)C′,B如圖，則在△DEF中，∠DFE=90°，∴線段BD,DE,EC組成的三角形是直角三角形．【模型3手拉手模型】1.A【分析】在BC上截取CG=CF，連接FG，通過證明△DFG≌△EFC，可得【詳解】解：如圖，在BC上截取CG=CF，連接FG，

∵△ABC是等邊三角形，∴∠ACB=60°，∵F是AC的中點(diǎn)，∴CF=CG=1∴△FCG是等邊三角形，∴∠GFC=60°，F(xiàn)G=CF，∵△DFE是等邊三角形，∴FD=FE，∠DFE=60°，∴∠DFG=∠EFC，在△DFG與△EFC中，F(xiàn)D=EF∠DFG=∠EFC∴△DFG≌∴DG=EC，∴CF+EC=CD，∴1∴1∴k=12，故選：A．2.6【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)等知識，根據(jù)SAS證明△ACD≌△ABE，由全等三角形的性質(zhì)得出∠ACD=∠B，【詳解】解：∵∠BAC=∠EAD=90°，∴∠BAC+∠CAE=∠EAD+∠CAE，即∠BAE=∠CAD，在△ABD和△ACD中，AB=AC∠BAE=∠CAD∴△ACD≌△ABESAS∴∠ACD=∠B，∵∠B=45°，∴∠ACD=45°，∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°，∵BC=4，CE=2，∴BE=6，∴CD=6，∴S故答案為：6．3.（1）證明：∵△ACB和△DCE均為等邊三角形，∴AC=BC，∴∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，AC=BC∠ACD=∠BCE∴△ACD≌△BCESAS∴AD=BE；（2）解：∵△DCE為等邊三角形，∴∠CDE=∠CED=60°，∵點(diǎn)A，D，E在同一直線上，∴∠ADC=180°?60°=120°，∵△ACD≌△BCE，∴∠ADC=∠CEB=120°，∵∠CED=60°，∴∠AEB=∠CEB?∠CED=60°．（3）解：AE=BE+2DM．理由如下：∵△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∴AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=∴∠ACB?∠BCD=∠DCE?∠BCD∴∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，AC=BC∠ACD=∠BCE∴△ACD≌△BCESAS∴AD=BE，又∵△DCE為等腰直角三角形，CM⊥DE，∴DE=2DM，∵AE=AD+DE，∴AE=BE+2DM．4.130°或90°【分析】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和等內(nèi)容，作出合適的輔助線，構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．分類討論，當(dāng)∠DFC=90°時(shí)或∠FDC=90°時(shí)，延長DE到點(diǎn)G，使DG=2DE，連接CG、AF，先證△DFC≌△DGC(SAS)，再證△BDE≌△CGE(SAS)，最后證【詳解】解：①當(dāng)∠DFC=90°時(shí)，如圖，延長DE到點(diǎn)G，使DG=2DE，連接CG、AF，∵DF=2DE，∴DF=DG，在△DFC和△DGC中，DF=DG∠FDC=∠EDC∴△DFC≌△DGC(SAS∴CG=CF，∠DFC=∠G=90°，∵E是BC中點(diǎn)，∴BE=CE，在△BDE和△CGE中，BE=CE∠BED=∠CEG∴△BDE≌△CGE(SAS∴∠BDE=∠G=90°，∠DBE=∠GCE，BD=CG，∴BD=CF，∵∠BDC=140°，∴∠EDC=∠BDC?∠BDE=50°=∠FDC，∴∠DCG=∠DCF=90°?50°=40°，∴∠FCG=80°，∵∠BAC=100°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=40°，∴∠ABD+∠DBE=40°，∠ACF+∠GCE=40°，∵∠DBE=∠GCE，∴∠ABD=∠ACF，在△ABD和△ACF中，AB=AC∠ABD=∠ACF∴△ABD≌△ACF(SAS∴∠BAD=∠CAF，AD=AF，∴∠DAF=∠BAC=100°，∴∠ADF=40°，∴∠ADB=360°?∠BDC?∠FDC?ADF=360°?140°?50°?40°=130°；②當(dāng)∠FDC=90°時(shí)，如圖，延長DE到點(diǎn)G，使DG=2DE，連接CG、AF，同①理可得∠ADF=40°，∴∠ADB=360°?∠BDC?∠FDC?∠ADF=360°?140°?90°?40°=90°；綜上，∠ADB的度數(shù)為130°或90°，故答案為：130°或90°．【模型4半角模型】1.B【分析】將△ADE關(guān)于AE對稱得到△AFE，從而可得△AFE的面積為15，再根據(jù)對稱的性質(zhì)可得AF=AD,∠EAF=45°，然后根據(jù)三角形全等的判定定理證出△ACF?△ABD，從而可得CF=BD=3,∠ACF=∠ABD=45°,S△ACF=S△ABD，最后根據(jù)△ABD與△AEC【詳解】解：如圖，將△ADE關(guān)于AE對稱得到△AFE，則AF=AD,∠EAF=45°，S△AFE∴∠CAF+∠CAD=∠DAE+∠EAF=45°+45°=90°，∵∠BAD+∠CAD=∠BAC=180°?∠ABC?∠ACB=90°，∴∠CAF=∠BAD，在△ACF和△ABD中，AC=AB∠CAF=∠BAD∴△ACF?△ABD(SAS)，∴CF=BD=3,∠ACF=∠ABD=45°,S∴∠ECF=∠ACB+∠ACF=90°，即△CEF是直角三角形，∴S∴S即△ABD與△AEC的面積之和為21，故選：B．2.證明：在BE上截取BG，使BG＝DF，連接AG．∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADF+∠ADC＝180°，∴∠B＝∠ADF．在△ABG和△ADF中，AB=AD∠B=∠ADF∴△ABG≌△ADF（SAS），∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF．∴∠BAG+∠EAD＝∠DAF+∠EAD＝∠EAF=12∠∴∠GAE＝∠EAF．在△AEG和△AEF中，AG=AF∠GAE=∠EAF∴△AEG≌△AEF（SAS）．∴EG＝EF，∵EG＝BE﹣BG∴EF＝BE﹣FD．3.解：（1）成立．證明：如圖，將△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到△ABM．∴△ABM≌△ADF，∴∠ABM=∠D=90°，∠MAB=∠FAD，AM=AF，MB=DF，∵∠ABE=90°，∴∠MBE=∠ABM+∠ABE=180°．∴M，B，E三點(diǎn)共線．∴∠MAE=∠MAB+∠BAE=∠FAD+∠BAE=∠BAD?∠EAF=60°，∴∠MAE=∠FAE，∵AE=AE，AM=AF，∴△MAE≌△FAE(SAS∴ME=EF，∴EF=ME=MB+BE=DF+BE；（2）結(jié)論：AM=AD+MC．證明：延長AE，BC交于點(diǎn)P，如圖：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠DAE=∠EPC，∵AE平分∠DAM，∴∠EPC=∠MAE，∴MA=MP，在△ADE和△PCE中，∠DAE=∠CPE∠AED=∠PEC∴△ADE≌△PCE(AAS∴AD=PC，∴AM=MP=PC+MC=AD+MC．4.解：（1）∵△ABC是等邊三角形，MN//∴∠AMN=∠ABC=60°，∠ANM=∠ACB=60°∴△AMN是等邊三角形，∴AM=AN，則BM=NC，∵△BDC是頂角∠BDC=120°的等腰三角形，∴∠DBC=∠DCB=30°，∴∠DBM=∠DCN=90°，在△BDM和△CDN中，BM=CN,∴△BDM≌△CDNSAS∴DM=DN，∠BDM=∠CDN，∵∠MDN=60°，∴△DMN是等邊三角形，∠BDM=∠CDN=30°，∴NC=BM=12DM=∴△AMN的周長=AB+AC=4．（2）如圖，延長AC至點(diǎn)E，使得CE=BM，連接DE，∵△ABC是等邊三角形，△BDC是頂角∠BDC=120°的等腰三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=∠DCB=30°，∴∠ABD=∠ACD=90°，∴∠DCE=90°，在△BDM和△CDE中，BD=CD,∴△BDM≌△CDESAS∴MD=ED，∠MDB=∠EDC，∴∠MDE=120°?∠MDB+∠EDC=120°，∵∠MDN=60°，∴∠NDE=60°，在△MDN和△EDN中，MD=ED,∴△MDN≌△EDNSAS∴MN=NE，又∵NE=NC+CE=NC+BM，∴BM+NC=MN．【模型5一線三等角模型】1.（1）解：①補(bǔ)全圖形如圖所示：②CD=BD+CF，證明：如圖，作EG⊥CB交CB的延長線于G，則∠ACD=∠EGD=90°，在△ACD和△EGD中，∠ACD=∠EGD∠ADC=∠EDG∴△ACD≌△EGDAAS∴CD=DG，AC=EG，∵AC=BC，∴EG=BC，∵BF⊥BE，∴∠EBF=90°，∴∠CBF+∠EBG=90°，∵∠BEG+∠EBG=90°，∴∠BEG=∠CBF，在△CBF和△GEB中，∠FCB=∠BGEBC=EG∴△CBF≌△GEBASA∴CF=BG，∴CD=DG=BD+BG=BD+CF；（2）解：畫出如圖所示：關(guān)系：CF=CD+BD，作EG⊥BC交BC的延長線于G，則∠ACD=∠EGD=90°，在△ACD和△EGD中，∠ACD=∠EGD∴△ACD≌△EGDAAS∴CD=DG，AC=EG，∵AC=BC，∴EG=BC，∵BF⊥BE，∴∠EBF=90°，∴∠CBF+∠EBG=90°，∵∠BEG+∠EBG=90°，∴∠BEG=∠CBF，在△CBF和△GEB中，∠FCB=∠BGEBC=EG∴△CBF≌△GEBASA∴CF=BG，∴CF=BG=BC+CD+DG=BD+CD．2.9【分析】本題考查三角形外角的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，三角形的面積．掌握三角形全等的判定定理和性質(zhì)定理是解題關(guān)鍵．根據(jù)三角形外角的性質(zhì)結(jié)合題意可證△ABE≌△CAFASA，得出S△ABE=S△CAF．根據(jù)CD=2BD可求出S△ACD=【詳解】解：∵∠1=∠2=∠BAC，∠1=∠ABE+∠BAE，∴∠ABE=∠FAC，∠BAE=∠ACF．又∵AB=AC，∴△ABE≌△CAFASA∴S△ABE∵CD=2BD，∴S△ACD∴S△ACD=2∴S△CAF∴S△CFD故答案為：9．3.（1）解：∠EDC=180°?∠ADB?∠ADE=180°?115°?40°=25°，∠DEC=180°?∠EDC?∠C=180°?25°?40°=115°，點(diǎn)D從B向C運(yùn)動時(shí)，∠BDA逐漸變小，故答案為：25；115；?。唬?）解：當(dāng)DC=2時(shí)，△ABD≌△DCE，理由：∵∠C=40°，∴∠DEC+∠EDC=140°，又∵∠ADE=40°，∴∠ADB+∠EDC=140°，∴∠ADB=∠DEC，又∵∠B=∠C，AB=DC=2，∴△ABD≌△DCEAAS（3）解：當(dāng)∠BDA的度數(shù)為110°或80°時(shí)，△ADE的形狀是等腰三角形；理由：∵∠BDA=110°時(shí)，∴∠ADC=70°，∵∠C=40°，∴∠DAC=70°，∠AED=∠C+∠EDC=30°+40°=70°，∴∠DAC=∠AED，∴△ADE是等腰三角形；∵∠BDA=80°時(shí)，∴∠ADC=100°，∵∠C=40°，∴∠DAC=40°，∴∠DAC=∠ADE，∴△ADE的形狀是等腰三角形．4.（1）解：∵∠ACB=90°，∴∠ACM+∠BCN=∵AM⊥l，BN⊥l，∴∠AMC∴∠MAC∴∠MAC=又AC=∴△ACM≌△CBNAAS∴AM=CN，BN=CM，∵M(jìn)N=CM+CN，∴MN=（2）DE=理由：∵∠ACD+∠ACB+∠BCE=180°，∠ADC=∠ACB=α，∠ADC+∠DAC+∠ACD=180°∴∠BCE=∠DAC，又∵AC=BC，∠ADC=∠CEB=α，∴△ACD≌△CBEAAS∴AD=CE，CD=BE，又DE=DC+CE，∴DE=（3）∵∠A=∠EDF，∠A+∠AED+∠ADE=180°，∠ADE+∠EDF+∠BDF=180°，∴∠AED=∠BDF，又DE=DF，∠A=∠B，∴△AED≌△BDFAAS∴AE=DB，AD=BF，∵AB=AD+DB，AE=3，BF=5，∴AB=BF+AE=5+3=8．【模型6雨傘模型】1.證：（1）BE＝12AD如圖，延長BE、AC交于點(diǎn)H，∵BE⊥AD，∴∠AEB＝∠AEH＝90°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAE＝∠HAE，在△BAE和△HAE中，∠AEB=∠AEHAE=AE∴△BAE≌△HAE（ASA），∴BE＝HE＝12BH∵∠ACB＝90°，∴∠BCH＝180°﹣∠ACB＝90°＝∠ACD，∴∠CBH＝90°﹣∠H＝∠CAD，在△BCH和△ACD中，∠BCH=∠ACDBC=AC∴△BCH≌△ACD（ASA），∴BH＝AD，∴BE＝12AD（2）△BEG是等腰直角三角形，理由如下：∵AC＝BC，AF＝BF，∴CF⊥AB，∴AG＝BG，∴∠GAB＝∠GBA，∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠CAB＝∠CBA＝45°，∴∠GAB＝12∠CAB∴∠GAB＝∠GBA＝22.5°，∴∠EGB＝∠GAB+∠GBA＝45°，∵∠BEG＝90°，∴∠EBG＝∠EGB＝45°，∴EG＝EB，∴△BEG是等腰直角三角形．2.解：延長AB、CD相交于點(diǎn)E，∵BF平分∠ABC，∴∠CBD=∠ABF，∵CD⊥BD，∴∠CDB=∠EDB=90°，在△BDC和△∠CBD=∠ABFBD=BD∴△BDC∴BC=AE，CD=DE，∴CD=1∵∠BAC=∠BDC=90°，∠AFB=∠CFD，∴∠ABF=∠ACD，在△ABF和△∠ABF=∠ACDAB=AC∴△ABF∴BF=CE，∴CD=1∴BF=2CD；3.（1）解：如圖所示，線段AC為所求作的線段；（2）已知：如圖，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，∠A=30°．求證：BC=1解法一：如圖，在AC上截取一點(diǎn)D，使得CD=CB，連接DB．∵∠ABC=90°，∠A=30°，∴∠ACB=60°．∵CD=CB，∴△BCD是等邊三角形．∴BC=CD=BD，∠CBD=60°．∵∠ABC=90°，∴∠ABD=∠ABC?∠CBD=30°．∴∠ABD=∠A．∴DA=DB．∵BC=CD=DB，∴BC=1解法二：如圖，延長CB至點(diǎn)D，使CB=BD，連接AD．∵∠ABC=90°，∠BAC=30°，∴∠ABD=90°，∠ACB=60°，∵AB=AB，BC=BD，∠ABC=∠ABD，∴△ABC≌△ABDSAS．∴AC=AD∴△ACD是等邊三角形．∴AC=CD．∵BC=12CD4.（1）延長BE交AC的延長線與點(diǎn)F，∵CE⊥BF,CD平分∠ACB∴△BCF為等腰三角形，∴BF=2BE∵∠BAC=∠BAF=90°∴∠F+∠ABF=∠F+∠ACD∴在△ABF和△ACD中∠ABF=∠ACD∴△ABF≌△ACD∴CD=BF=2BE∴BE=（2）BE＝12FD，證明如下：過點(diǎn)D作DG∥CA，與BE的延長線交于點(diǎn)G，與AB交于點(diǎn)則∠BDG＝∠C，∠DHF=∠A=90°∵AB=AC∴BH=DH∵∠BDE=∴∠BDE=∴DE平分∠BDG∵DE⊥BG∴△BDG為等腰三角形∴BE＝12BG結(jié)合（1）的證明方法，可證△BHG≌△DHF∴BG＝FD．∵BE＝12BG∴BE＝12FD【模型7角平分線模型】1.B【分析】在BC上截取BH=BE，連接OH，由SAS可證得△EBO≌△HBO，于是可得∠BOH=∠BOE=60°，由ASA可證得△COD≌△COH，于是可得【詳解】解：如圖，在BC上截取BH=BE，連接OH，∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，∴∠ABD=∠CBD=12∠ABC∵∠A=60°，∴∠ABC+∠ACB=180°?∠A=180°?60°=120°，∴∠CBD+∠BCE=1∴∠BOC=180°?∠CBD+∠BCE∴∠BOE=180°?∠BOC=180°?120°=60°，∠COD=180°?∠BOC=180°?120°=60°，∵∠ABD=∠CBD，∴∠EBO=∠HBO，在△EBO和△HBO中，BE=BH∠EBO=∠HBO∴△EBO≌△HBOSAS∴∠BOH=∠BOE=60°，∴∠COH=∠BOC?∠BOH=120°?60°=60°，∴∠COD=∠COH，∵∠ACE=∠BCE，∴∠DCO=∠HCO，在△COD和△COH中，∠COD=∠COHOC=OC∴△COD≌△COHASA∴CD=CH，∴BE+CD=BH+CH=BC=7，∵△ABC周長為20，∴AB+AC+BC=20，∴AB+AC=20?BC，∴AE+AD=AB?BE+AC?CD====6，∵AE:AD=4:3，∴AD=3∴AE+3解得：AE=24故選：B．2.3【分析】本題考查了垂線段最短的性質(zhì)，角平分線全等模型，熟練掌握各性質(zhì)并準(zhǔn)確確定BM+MN=BM+MN在AC上取一點(diǎn)N′，使AN′=AN，連接MN′，過點(diǎn)B作BE⊥AC于E，易得【詳解】解：如圖，在AC上取一點(diǎn)N′，使AN′=AN，連接MN′，過點(diǎn)

∵AD是∠BAC的平分線，∴∠BAD=∠CAD，∵AM=AM，∴△ANM≌△AN∴MN=MN∴BM+MN=BM+MN∵AC=8，S△ABC∴12解得BE=3，∴BM+MN的最小值是3．故答案為：3．3.（1）證明：∵AD是△ABC的角平分線，∴∠BAD=∠CAD，∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC，在△ABD和△ACD中，∠BAD=∠CADAD=AD∴△ABD≌△ACDASA∴AB=AC；（2）①∵AB=AC，∠ABC=30°∴∠BAD=∠CAD=60°，∴∠BAG=60°=∠CAD，在△BAG和△CAE中，∠BAG=∠CAEAB=AC∴△BAG≌△CAEASA∴AG=AE，在△FAG和△FAE中，AG=AE∠GAF=∠EAF∴△FAG≌△FAEASA∴∠AFG=∠AFC；②過F作FK⊥AG于K，如圖：由①知：△BAG≌△CAE，∵S∴S∴S由①知：△FAG≌△FAE，∴S∴1∴AG:AC=1:3，∵AG=2，∴AC=6．4.解：任務(wù)一：兩角及其夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等（或角邊角或ASA），全等三角形的對應(yīng)邊相等；任務(wù)二：……∴S∴S∴S應(yīng)用：延長CE、BA交于點(diǎn)F，

∵BE平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，∵CE⊥BE，∴∠BEF=∠BEC=90°，在△FBE和△CBE中，∠ABD=∠CBD∴△FBE≌△CBEASA∴EF=CE=6，∴CF=EF+EC=12，∵∠BEF=∠BAC=90°，∴∠ABD+∠F=∠ACF+∠F=90°，∴∠ABD=∠ACF，在△ABD和△ACF中，∠ABD=∠ACF∴△ABD≌△ACFASA∴BD=CF=12．【模型8平行線中點(diǎn)模型】1.（1）證明：∵AO是△ABC的中線，∴BO=CO，∵BF∴∠BFO=∠CAO，又∵∠BOF=∠COA，∴△BOF≌△COAAAS∴BF=CA=CD+AD，∵AD=DE，∴BF=CD+DE（2）證明：∵BD是邊AC上的高，∴BD⊥AE，∵AD=DE，∴BD是AE的垂直平分線，∴BE=BA，∴∠BEA=∠BAE，∵BF∥∴∠FBE=∠BEA，∠BFE=∠CEG，∴∠FBE=∠BAE，即∠FBE=∠CAB，∵BF=CA，∴△FBE≌△CABSAS∴∠BFE=∠C=45°，∴∠CEG=45°，∴∠CGE=180°?45°?45°=90°，∴EF⊥BC．2.（1）證明：∵AB∥∴∠A=∠D，∠ABO=∠DCO，又∵AB=CD，∴△ABO≌△DCOASA∴AO=DO，∵AF=DE，AF=AO+OF，∴OE=OF，∵OE=OF，∠BOE=∠COF，BO=CO，∴△BOE≌△COFSAS∴BE=CF；（2）解：∵AE=OF，AE+OE=AO，DF+OF=DO，∴AE=OE=OF=DF，∴BE是△ABO的中線，CF是△CDO的中線，∴S△ABE∴△ABE、△BOE、△CDF、△COF的面積為△COD面積一半．3.解：（1）∵M(jìn)N∥PQ∴∠NAB+∠ABQ=180°∵AC平分∠NAB，BC平分∠ABQ∴∠BAC=1∴∠BAC+∠ABC=12在△ABC中，∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°∴∠C=180°-(∠BAC+∠ABC)=180°-90°=90°∴BC⊥AC;（2）①延長AC交PQ于點(diǎn)F∵BC⊥AC∴∠ACB=∠FCB=90°∵BC平分∠ABF∴∠ABC=∠FBC∴BC=BC∴△ABC≌△FBC∴AC=CF，AB=BF∵M(jìn)N∥BQ∴∠DAC=∠EFC∵∠ACD=∠FCE∴△ACD≌△FCE∴AD=EF∴AB=BF=BE+EF=BE+AD即：AB=AD+BE

②線段AD，BE，AB數(shù)量關(guān)系是：AD+AB=BE如圖3，延長AC交PQ點(diǎn)F,∵M(jìn)N//PQ．∴∠AFB=∠FAN，∠DAC=∠EFC∵AC平分∠NAB∴∠BAF=∠FAN∴∠BAF=∠AFB∴AB=FB∵BC⊥AC∴C是AF的中點(diǎn)∴AC=FC在△ACD與△FCE中{∠DAC=∠EFC∴△ACD?△FCE(ASA)∴AD=EF∵AB=FB=BE-EF∴AD+AB=BE4.（1）證明：∵ED=DF，DM=BD，∠BDE=∠MDF，∴△BDE≌△MDFSAS∴FM=BE，∠E=∠DFM，∴FM∥BE，∴∠ABC=∠FMC，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∴∠FMC=∠C，∴FM=FC，∴BE=CF；②∵EM∥AC，∴∠EMB=∠C，∵DE=DF，∠MDE=∠CDF，∴△MDE≌△CDFAAS∴CF=EM，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∵∠MBE=∠ABC，∴∠EMB=∠MBE，∴BE=ME，∴BE=CF；（2）延長AD，取DM=AD，連接CM，如圖所示：∵D是BC的中點(diǎn)，∴BD=CD，∵∠ADB=∠CDM，∴△ADB≌△CDMSAS∴AB=CM，∠M=∠BAD，∵∠EAD+∠ANC=180°，∠ANC+∠CNM=180°，∴∠CNM=∠EAD，∴∠CNM=∠M，∴CM=CN，∴AB=CN；（3）延長ED，使DM=ED，連接CM，如圖所示：∵BD=CD，∠CDM=∠BDE，∴△CDM≌△BDESAS∴CM=BE，∠M=∠BED，∴CM∥BE，∴∠ACM=180°?∠BAC=90°，∵AF平分∠BAC，∴∠CAF=1∵ED∥AF，∴∠CNM=∠CAF=45°，∴∠M=180°?∠CNM?∠ACM=45°，∴∠CNM=∠M，∴CN=CM，∴CN=BE，∵∠ACB=30°，∠BAC=90°，∴AB=1∵BE?AE=AB=1∴CN?AE=1【模型9婆羅摩笈多模型】1.1【分析】此題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線．過點(diǎn)E作EG⊥AF交AF延長線于點(diǎn)G，首先證明出△ABC≌△EAGAAS，得到EG=AC，AG=BC，然后證明出△EFG≌△DFAAAS，得到【詳解】如圖所示，過點(diǎn)E作EG⊥AF交AF延長線于點(diǎn)G∵∠ACB=∠BAE=90°∴∠BAC+∠ABC=∠EAG+∠BAC=90°∴∠ABC=∠EAG又∵∠ACB=∠G=90°，AE=AB∴△ABC≌△EAG∴EG=AC，AG=BC∵AC=AD∴EG=AD∵∠CAD=90°∴∠FAD=90°∴∠G=∠FAD=90°又∵∠EFG=∠DFA∴△EFG≌△DFA∴GF=AF=∴AFBC故答案為：122.9【分析】作EH⊥CF交CF的延長線于點(diǎn)H．先證ΔCEH≌ΔACB，推出EH=BC=3，CH=AB=6，再證ΔEHF≌ΔDCF，推出【詳解】解：如圖，作EH⊥CF交CF的延長線于點(diǎn)H．則∠EHC=90°，∴∠ECH+∠CEH=90°，∵△ACE是等腰直角三角形，∴∠ACE=90°，AC=CE，∴∠ECH+∠ACB=90°，∴∠CEH=∠ACB．在ΔCEH和Δ∵∠CEH=∠ACB∠EHC=∠CBA∴ΔCEH≌ΔACB∴EH=BC=3，CH=AB=6．∵△BCD是等腰直角三角形，∴∠BCD=∠DCF=90°，BC=DC，∴EH=DC．在ΔEHF和ΔDCF∵∠EHF=∠DCF∠EFH=∠DFC∴ΔEHF≌ΔDCF∴CF=FH=1∴S故答案為：923.（1）證明：∵∠ACB=∠DAB=90°，AE∥BC，∴∠CAE=180°?∠ACB=90°，∠B=∠BAE，∴∠DAC=90°?∠BAC=∠BAE，∴∠DAC=∠B；（2）解：BC=2AF．理由：如圖所示：作DG⊥AC的延長線于G，∵AG⊥DG，∴∠AGD=∠ACB=90°，在△AGD和△BCA中，∠AGD=∠ACB∠DAG=∠B∴△AGD≌△BCAAAS∴DG=AC；AG=BC，在△AEF和△GDF中，∠DFG=∠EFA∠EAF=∠DGC∴△AEF≌△GDFAAS∴AF=GF=1∴BC=2AF．4.（1）解：如圖，過點(diǎn)D作DH⊥AE于H，過點(diǎn)C作CP⊥BA，交BA的延長線于P，∵∠∴∴∠∵DH⊥AE，CP⊥BA，∴∠∵AD=AC，∴△ADH≌△ACPAAS∴CP=DH，∴1∴S如圖，延長AM至N，使得MN=AM，連接BN，∵AM是邊BC上的中線，∴BM=CM，∵∠AMC=∠∴△BMN≌△CMASAS∴BN=AC，∠CAM=∴AC∥BN，∴∠∵∠∴∠∴∠∵AC=AD，∴BN=AD，在△ABN和△EAD中，AB=EA∠∴△ABN≌△EADSAS∴AN=DE，∵M(jìn)N=AM，∴DE=AN=2AM，如圖，過點(diǎn)E作EP⊥MN，交MN的延長線于P，過點(diǎn)D作DQ⊥MN于Q，∴∠∴∠∴∠∵AB=AE，∴△ABM≌△EAPAAS∴AM=EP，同理可證AM=DQ，∴EP=DQ，∵∠ENP=∠∴△EPN≌△DQNAAS∴EN=DN，∴MA的延長線平分ED于點(diǎn)N；（2）如圖，延長AF至K，使FK=AF，連接DK，∵F為BD的中點(diǎn)，∴DF=BF，∵AF=FK，∠AFB=∴△AFB≌△KFDSAS∴AB=KD，∠∴AB=AC=DK，∵∠∴∠∵∠∴∠∴∠∵AD=AE，DK=AC，∴△ADK≌△EACSAS∴CE=AK，∴2AF=CE．【構(gòu)造方法1截長補(bǔ)短法】1.13【分析】考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．在DF上截取DG=BE，先證△ADG≌△ABE，再證△AFG≌△AEF，可得EF=FG，再由△CEF的周長EF+CF+CE=FG+BE+BC+CF=DF+BC+CF即可解答．【詳解】解：在DF上取點(diǎn)G，使DG=BE，∵∠ABE+∠ABC=180°∴∠D=在△ADG與△ABE中AB=AD∠ABE=∠D∴△ABE≌△ADG（SAS∴AG=AE，∠EAB=∴∠EAB+∠GAB=∵∠EAF=1∴∠EAF=1∴∠FAE=∠GAF，在△AFG與△AEF中AG=AE∠FAG=∠EAF∴△AFG≌△AEF（∴EF=FG．∴EF+BE=FG+DG=CD+CF∴△CEF的周長等于EF+CF+CE=EF+BE+BC+CF=CD+CF+BC+CF，∵BC=4，DC=7，CF=1，∴△CEF的周長等于7+1+4+1=13故答案：13．2.8【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)等知識點(diǎn)，解題關(guān)鍵在于學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造出全等三角形．在FA上取一點(diǎn)T，使得FT=BF，連接ET，在CB上取一點(diǎn)K，使得CK=ET，連接DK．證明AT=DK，DK=BD，推出BD=AT，推出BT=AD即可解決問