專題01一元二次方程

.考點(diǎn)歸納

【考點(diǎn)01】一元二次方程的相關(guān)概念

【考點(diǎn)02]一元二次方程的解

【考點(diǎn)03]解一元二次方程

【考點(diǎn)04]根據(jù)判別式判斷一元二次方程根的根的情況

【考點(diǎn)05]根據(jù)一元二次方程根的根的情況求參數(shù)

【考點(diǎn)06]一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系

【考點(diǎn)07]變化率問(wèn)題

【考點(diǎn)08】傳播問(wèn)題

【考點(diǎn)09]樹枝分叉問(wèn)題

【考點(diǎn)10]單循環(huán)和雙循環(huán)問(wèn)題

【考點(diǎn)11】銷售利潤(rùn)與一次函數(shù)綜合問(wèn)題

【考點(diǎn)12】銷售利潤(rùn)每每問(wèn)題

【考點(diǎn)13]幾何圖形問(wèn)題

【考點(diǎn)14]幾何中動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題

識(shí)梳理

知識(shí)點(diǎn)1：一元二次方程的概念

等號(hào)兩邊都是整式，只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的方程，叫做一

元二次方程。

知識(shí)點(diǎn)2：一元二次方程的一般形式

一元二次方程經(jīng)過(guò)整理都可化成一般形式：ax2+bx+c=0(a#0),其中ax?叫作二次項(xiàng)，a

是二次項(xiàng)系數(shù)；bx叫作一次項(xiàng)，b是一次項(xiàng)系數(shù)；c叫作常數(shù)項(xiàng)。

知識(shí)點(diǎn)3：一元二次方程的解

能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值稱為一元二次方程的解，解決此類問(wèn)題，通

常是將方程的根或解反代回去再進(jìn)行求解.

知識(shí)點(diǎn)4：一元二次方程的重要結(jié)論

(1)若a+b+c=O,則一元二次方程ax2+bx+c=O(aWO)必有一根為x=l;若x=l是一元二次

方程ax?+bx+c=O(a#0)的一個(gè)根，則a+b+c=O。

(2)若a-b+c=O,則一元二次方程ax^+bx+cF(aWO)必有一根為x=T;若x=ll是一元二次

方程ax?+bx+c=O(aWO)的一個(gè)根，則a-b+c=O。

知識(shí)點(diǎn)5：解一元二次方程

1.直接開方

(1)如X?=P(p2。)或(nx+加y=P(PNO)的一元二次方程可直鐮用直接開平方解

一元二次方程。

(2)如果化成x2=P的形式，那么可徵=±4

⑶如果方程能化成(DX+加之。)的形式，那么nx+祖=±而進(jìn)而得出方程的根

2.配方法

用配方法解一元二次方程：ax2+bx+c=0(k^0)的一般步驟是：

①化為一般形式；

②移項(xiàng)，將常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊；

③化二次項(xiàng)系數(shù)為1,即方程兩邊同除以二次項(xiàng)系數(shù)；

④配方，即方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方；化原方程為(x+a)2=b的形式；⑤如

果b，0就可以用兩邊開平方來(lái)求出方程的解；如果bWO,則原方程無(wú)解.

總結(jié)：

3.公式法

用公式法求一元二次方程的一般步驟：

(1)把方程化成一般形式aJ+法+c=0,確定a、b、c的值(注意符號(hào))

(2)求出判別式A=b」4ac的值，判斷根的情況

⑶在A=b~4acN0（注：此如讀“德爾塔”）的前提F,把a(bǔ)、b、c的值代入公式

'進(jìn)行計(jì)算,求出方程時(shí)艮。

4.因式分解

因式分解法解一元二次方程的一般步驟如下：

（1）移項(xiàng)，使方程的右邊化為零；

（2）將方程的左邊轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次多項(xiàng)式的乘積；

（3）令每個(gè)因式分別為零；

（4）兩個(gè)因式分別為零的解就都是原方程的解。

如：X?+（P+q）x+pq=+p）（x+q）=0

知識(shí)點(diǎn)6：一元二次方程的判別式

根的判別式：

2

①b--4ac>0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

2

②b一-4ac=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；

2

③b--4acV0時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根，反之亦成立

知識(shí)點(diǎn)7：一元二次方程的根與系數(shù)

2he

根與系數(shù)的關(guān)系：即ax+bx+c=O的兩根為Xi、X2，則Xi+X2=—，XJX2=—

~iaa

M+片=（X,+勺A—/

利用韋達(dá)定理可以求一些代數(shù)式的值（式子變形），如

【解題技巧】

當(dāng)一元二次方程的題目中給出一個(gè)根讓你求另外一個(gè)根或未知系數(shù)時(shí)，可以用韋達(dá)定理

知識(shí)點(diǎn)8：一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用

1.變化率問(wèn)題

設(shè)基準(zhǔn)數(shù)為a,兩次增長(zhǎng)（或下降）后為b；增長(zhǎng)率（下降率）為x,第一次

增長(zhǎng)（或下降）后為ax（l±x）；第二次增長(zhǎng)（或下降）后為a（l±x）2.可列

方程為a(l±x)2=b

2.傳染、枝干問(wèn)題

有一人患了流感,經(jīng)過(guò)兩輪傳染后共有121人患了流感,每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了幾個(gè)

人？設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了x個(gè)人：

1第一輪傳染后1上第二輪傳染生，

1=1+x=l+x+x（l+x）

3.握手、比賽問(wèn)題

握手問(wèn)題：n個(gè)人見面，任意兩個(gè)人都要握一次手，問(wèn)總共握—J次手。贈(zèng)卡問(wèn)題：n

2

個(gè)人相互之間送卡片，總共要送n（n-l）張卡片。

4.銷售利潤(rùn)問(wèn)題

（1）常用公式：利潤(rùn)=售價(jià)-成本；總利潤(rùn)=每件利潤(rùn)義銷售量;

5.幾何面積問(wèn)題

（1）如圖①，設(shè)空白部分的寬為X,則S腿=（a-2x）（b-2x）；

（2）如圖②，設(shè)陰影道路的寬為X,則S空白=（a-x）（b-x）

ab

（3）如圖③，欄桿總長(zhǎng)為a,BC的長(zhǎng)為3則5=丁上

6.動(dòng)點(diǎn)與幾何問(wèn)題

關(guān)鍵是將點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)關(guān)系表示出來(lái)，找出未知量與已知量的內(nèi)在聯(lián)系，根據(jù)面積或體積公式列

出方程.

（2）每每問(wèn)題中，單價(jià)每漲a元，少買b件。若漲價(jià)y元，則少買的數(shù)量2xy件

a

w真題訓(xùn)練..................

【考點(diǎn)01】一元二次方程的相關(guān)概念

1.（23-24九年級(jí)上?四川南充?階段練習(xí)）下列方程中，一定是關(guān)于x的一元二次方程的是

（）

A.x2+^7=0B.ax2+bx+c=0

*

C.x2+x—2—0D.3x—2xy+5y2=0

【答案】C

【分析】本題考查了一元二次方程的定義，能熟記一元二次方程的定義是解此題的關(guān)鍵，

注意：只含有一個(gè)未知數(shù)，并且所含未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次

方程.

【詳解】解：A.分母中含有未知數(shù)，不是整式方程，故該選項(xiàng)不符合題意；

B.a=0時(shí)，不是一元二次方程，故該選項(xiàng)不符合題意；

C.是一元二次方程，故該選項(xiàng)符合題意；

D.含有2個(gè)未知數(shù)，不是一元二次方程，故該選項(xiàng)不符合題意；

故選：C.

2.（24-25九年級(jí)上?廣東肇慶?期中）將方程3/-4=-2x改寫成a/+以+c=0的形式，

則a,b,c的值分別為（）

A.3,-2,-4B.3,2,4

C.3,-2,4D.3,2,-4

【答案】D

【分析】本題考查一元二次方程的一般式，移項(xiàng)將方程轉(zhuǎn)化為一般式后，進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：03%2-4=-2%

03%2+2%—4=0

回a,b,c的值分別為3,2,-4.

故選：D.

3.（24-25九年級(jí)上?四川廣元?期末）將一元二次方程37—X=2化成一般形式是（）

A.3x2—x+2—0B.3x2+x-2=0

C.—3x2-%+2=0D.3x2—x—2=0

【答案】D

【分析】本題考查一元二次方程的一般式，移項(xiàng)，將方程化為a/+6久+c=0（aA0）的

形式即可.

【詳解】解：3/一X=2,

03x2—%—2=0：

故選D.

4.(2025?黑龍江佳木斯?二模)若關(guān)于x的方程(k-2)x2+3x-l=0是一元二次方程，則

k的取值范圍是()

A.k手。B.k豐2C.k>2D.fc>0

【答案】B

【分析】本題考查了一元二次方程的定義，形如a/+bx+c=0(a^0)的方程是一元

二次方程，據(jù)此解答即可求解，掌握一元二次方程的定義是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：回關(guān)于x的方程伏-2)%2+3%-1=0是一元二次方程，

瞅一2K0,

回k￥：2,

故選：B.

【考點(diǎn)02】一元二次方程的解

1.(24-25九年級(jí)上?四川眉山?期末)關(guān)于尤的一元二次方程/+ax+b=0,若l-a+6=0

則方程必有一根為()

A.1B.-1C.0D.2

【答案】B

【分析】本題考查一元二次方程的解，根據(jù)方程的解的定義進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：0x2+ax+b=0,且l-a+b=0,

回方程必有一根為％=-1；

故選B.

2.(24-25九年級(jí)上?福建漳州?期中)若一元二次方程有一個(gè)根是x=1,則這個(gè)方程可以是

()

A.(x+1)(比+2)=0B.*2—1=0

C.X2-2%—1=0D.x2+x=0

【答案】B

【分析】本題考查的是一元二次方程的解，能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的

值是一元二次方程的解.根據(jù)一元二次方程的解的定義判斷即可.

【詳解】解：A、當(dāng)x=1時(shí)，(1+1)(1+2)A0,則x=1不是方程(％+1)(%+2)=0的

根，本選項(xiàng)不符合題意；

B、當(dāng)久=1時(shí)，I2—1=0,則x=1是方程/—1=0的根，本選項(xiàng)符合題意；

C、當(dāng)％=1時(shí)，I2—2—10,則久=1不是方程/—2%—1=0的根，本選項(xiàng)不符合

題意；

D、當(dāng)％=1時(shí)，12+170,則x=1不是方程久2+%=0的根，本選項(xiàng)不符合題意；

故選：B.

3.（24-25八年級(jí)下?浙江溫州?期中）根據(jù)下列表格的對(duì)應(yīng)值，判斷方程a/+6久+c=0（aH

【答案】D

【分析】本題考查求一元二次方程的近似根，根據(jù)表格，找到相鄰兩個(gè)光的值，使a/+

bx+c的符號(hào)為一正一負(fù)，即可得出結(jié)果.

【詳解】解：由表格可知：當(dāng)久=3.3時(shí)，ax2+bx+c=—0.3<0,當(dāng)％=3.4時(shí)，ax2+

bx+c=0.5>0,

團(tuán)當(dāng)3.3<x<3.4時(shí)，必然存在一個(gè)久，使a/+bx+c=0,

I3ax2+bx+c=0（a#=0,a,b,c為常數(shù)）一個(gè)解的范圍是3.3<x<3.4；

故選D.

4.（24-25九年級(jí)上?江蘇揚(yáng)州?期末）己知小是方程37+2%-1=。的一個(gè)根，則代數(shù)式

3m2+2m+2024的值為.

【答案】2025

【分析】本題考查了一元二次方程的根和代數(shù)式的值，理解一元二次方程的根的定義,

利用整體法代入求值是解題的關(guān)鍵.由一元二次方程的根的定義可得3m2+2爪-1=

0,整體代入3機(jī)2+2巾+2024即可得到答案.

【詳解】解：：機(jī)是方程3/+2x-1=。的一個(gè)根，

3m2+2m-1=0,

37n2+2m+2024=3m2+2m-1+1+2024=1+2024=2025,

代數(shù)式3巾2+2m+2024的值為2025.

故答案為：2025.

【考點(diǎn)03］解一元二次方程

1.(24-25八年級(jí)下?浙江杭州?階段練習(xí))解方程:

(1)2%2-5x4-1=0

(2)(x-I)2一2(久一1)=0

【答案】⑴/=十，冷=寧

44

(2)/=1,冷=3

【分析】本題考查了解一元二次方程，選擇合適的方法進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵.

(1)利用公式法解一元二次方程即可；

(2)利用因式分解法解一元二次方程即可.

【詳解】(1)解：02/一5久+1=0,

0A=(一5尸-4x2x1=17>0,

-(~5)±舊

回％=

2X2

「5+V175-V17

回修=^'比2=^

(2)解：-I)2-2(x-1)=0,

H(x-l)(x-1-2)=0,即(x—1)(比-3)=0,

0x—1=0或尤-3=0,

團(tuán)11=1,%2=3.

2.(24-25八年級(jí)下?山東濟(jì)南?階段練習(xí))解方程：

(l)x2—6%+5=0.

(2)x2-3x-2=0.

【答案】(l)%i=1,冷=5;

C3±V17

(2)x=-.

【分析】本題考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵.

(1)利用因式分解法即可求解；

(2)利用公式法即可求解；

【詳解】(1)解：%2-6%+5=0

分解因式得，(x—1)(%-5)=0,

團(tuán)％—1=。或久—5=0,

回%1=1,%2=5；

(2)解：%2-3%-2=0

△=(-3)2-4xlx(-2)=17>0

3.(2025八年級(jí)下?江蘇南通?專題練習(xí))解方程：

(I)%2—4x—7=0；

(2)3x(2x+1)=4%+2.

【答案］(1M=2+VTL%2=2-VTi

(2)久ix2=l

【分析】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方

法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點(diǎn)選擇合適、簡(jiǎn)便的

方法是解題的關(guān)鍵.

(1)利用配方法求解即可.

(2)先將方程變形，再利用因式分解法求解即可.

【詳解】(1)解：/一4%-7=0,

x2-4x=7,

——4x+4=11,

0—2)2=I1，

x-2=±V11,

0%!=2+VTT,x2=2—VTT：

(2)3x(2x+1)=4x+2,

3x(2%+1)-2(2%+1)=0,

(2x+l)(3x-2)=0,

2x+1=0或3x-2=0,

4.(24-25八年級(jí)下?湖南長(zhǎng)沙?階段練習(xí))解方程:

(I)%2—6%—6=0；

(2)2/一％—15=0.

【答案】(必=3-V15,%2=3+V15

(2)%i=一|，x2=3

【分析】本題主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵.

(1)先把常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊，再把方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方進(jìn)行配

方，據(jù)此解方程即可；

(2)利用十字相乘法把方程左邊分解因式，再解方程即可.

【詳解】(1)解：%2-6%-6=0

X2—6x—6

%2—6%+9=15

(x-3)2=15

—3=+V15,

解得比1=3—V15,x2=3+V15；

(2)解:2/一久-15=0

(2x+5)(x-3)=0

02x+5=0或％—3=0,

解得與=一|，犯=3.

【考點(diǎn)04］根據(jù)判別式判斷一元二次方程根的根的情況

1.(2025,江蘇?三模)關(guān)于x的一元二次方程久2+4%-2=0中，則該一元二次方程根的情

況為()

A.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根B.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

C.無(wú)實(shí)數(shù)根D.無(wú)法判斷

【答案】A

【分析】本題主要考查了根的判別式，一元二次方程a/+版+c=0(a片0)的根與A=

爐―4ac有如下關(guān)系：當(dāng)△>()時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=()時(shí)，方程有兩

個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)A<0時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根.

先計(jì)算判別式的值，再利用根據(jù)判別式的意義進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：回關(guān)于x的一元二次方程/+4%-2=0中，a=l,b=4,c=—2,

回A=爐一4ac=42—4x1X(-2)=16+8=24>0,

團(tuán)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

故選：A.

2.（2025?河南商丘?模擬預(yù)測(cè)）若％=2是方程/-3%+爪=0的一個(gè)根，則此方程的根的

情況是（）

A.有一個(gè)實(shí)數(shù)根B.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

C.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根D.爪<0時(shí)，沒(méi)有實(shí)數(shù)根

【答案】C

【分析】本題考查了一元二次方程根的定義，一元二次方程根的判別式，先把x=2代入

方程求出m的值，再求出△的值即可判斷求解，掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：0%=2是方程爐-3x+m=0的一個(gè)根，

04—6+m=0,

西n=2,

團(tuán)方程為/-3x+2=0,

0A=（-3）2—4x1X2=1>0,

回該方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

故選：C.

3.（2025,云南楚雄?二模）關(guān)于尤的一元二次方程/+6尤一1=0的根的情況是（）

A.只有一個(gè)實(shí)數(shù)根B.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

C.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根D.沒(méi)有實(shí)數(shù)根

【答案】B

【分析】本題考查了根的判別式，根據(jù)4>0得出一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

是解題的關(guān)鍵.先求出/的值，再進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：,；/+機(jī)久-1=0,

4=m2—4x1x（―1）=m2+4,

m2>0,

m2+4>0,即4>0,

二關(guān)于x的一元二次方程久2+nxx—1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

故選：B.

4.（2025,黑龍江哈爾濱?二模）定義運(yùn)算：m0n=mn2—mn+1.方程1回久=0的根的

情況是（）

A.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根B.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

C.沒(méi)有實(shí)數(shù)根D.只有一個(gè)實(shí)數(shù)根

【答案】C

【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式：一元二次方程a/+版+。=0（a力

0）的△一4ac,當(dāng)A>0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=（）時(shí)，方程有兩

個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)A<0時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根.

根據(jù)定義運(yùn)算得到1回久=0=久2_%+1,得到△=（-1）2-4X1X1=-3<0,得出

方程1回％=0沒(méi)有實(shí)數(shù)根，即可得到答案.

【詳解】解：根據(jù)定義運(yùn)算得1團(tuán)x=0=/—x+1，

???△=（-1）2-4x1x1=-3<0,

???方程1團(tuán)x=0沒(méi)有實(shí)數(shù)根，

故選：C.

【考點(diǎn)05］根據(jù)一元二次方程根的根的情況求參數(shù)

1.（2025,河南信陽(yáng)?三模）若關(guān)于x的一元二次方程/-2x+a=0有實(shí)數(shù)根，貝b的取值

范圍是（）

A.a>1B.a<1C.a>1D.a<1

【答案】B

【分析】本題考查了一元二次方程a/+°久+。=0（a力0,a,b,c為常數(shù)）根的判

別式.當(dāng)△>（）,方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=（）,方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)

△<0,方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根.

根據(jù)一元二次方程有有實(shí)數(shù)根，滿足A=b2—4ac20,解答即可.

【詳解】解：回關(guān)于x的一元二次方程——2x+a=0有實(shí)根，

回△=爐—4加=4—4a20,

解之，得a<1

故選：B.

2.（2025年天津市河西區(qū)中考二模數(shù)學(xué)試題）若關(guān)于x的方程一%+。=。有兩個(gè)相等

的實(shí)數(shù)根，貝Uc的值為（）

A.0B.|C.1D.2

【答案】B

【分析】本題考查一元二次方程根與判別式的關(guān)系.掌握一元二次方程a/+bx+c=

0(a豐0)的根的判別式為△=b2-4ac,且當(dāng)A>0時(shí)，該方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;

當(dāng)A=0時(shí)，該方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)A<0時(shí)，該方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根是解題關(guān)鍵.根

據(jù)一元二次方程根與其判別式的關(guān)系可得：A=(-l)2-4xjc=0,再求解即可.

【詳解】解甌方程-x+c=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，

0A=(-1)2-4x|c=0,

1

配=-,

2

故選：B.

3.(23-24九年級(jí)上?湖北黃石?期中)已知關(guān)于久的一元二次方程(k+1)比2一2x+1=0有

實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是.

【答案】上三0且左力—1

【分析】本題考查了一元二次方程的定義，一元二次方程根的判別式，由題意可得A=

(―2/—4x(k+l)xl20旦k+lKO,解不等式即可求解，掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題

的關(guān)鍵.

【詳解】解：由題意得，A=(一2)2—4*伏+1)*120且々+1K0,

解得k<。且k片一1,

故答案為：上工0且上不一1,

4.(24-25八年級(jí)下?山東濟(jì)南?階段練習(xí))設(shè)巾、也是方程,一支一2025=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

貝！jm?_2m—n=.

【答案】2024

【分析】本題主要考查了一元二次方程解的定義，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，對(duì)于

一元二次方程□久2+bx+c=0(a：#0),若久1，%2是該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則X1+%2=

——，%1%2=一，據(jù)此得到根2—根=2025,TH+71=1,再由m?—2m—幾=

aa

(m2—m)—(m+九)進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：曲n、幾是方程％2—2025=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

0m2—m—2025=0,m+n=1,

0m2—m=2025,m+n=1,

0m2—2m—n=(m2—m)—(m+n)=2025—1=2024.

故答案為：2024.

5.(2025?北京海淀?二模)已知關(guān)于光的一元二次方程/+2x-m=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)

根.

(1)求機(jī)的取值范圍；

(2)若x=1是一元二次方程/+2x-m=0的解，求該方程的另一個(gè)解.

【答案】⑴m>-1

(2)x=-3

【分析】本題考查了根的判別式，元二次方程a/+b比+c=0(a力0)的根與△=

匕2—4ac有如下關(guān)系：當(dāng)△>()時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=()時(shí)，方程有兩

個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)A<0時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根.

(1)根據(jù)根的判別式得出△=4—4?(―zn)=4+4m>。，解不等式即可；

(2)根據(jù)x=1是方程M+2%m=0的解，得出1+2—zn=0,求出m=3,得出

一元二次方程/+2%-3=0,解方程即可.

【詳解】([)解：,?,方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

A=4—4?(―m)=4+4m>0，

解得：m>-1；

(2)解：?.?x=1是方程產(chǎn)+2x-m=0的解，

1+2—m=0,

■■■m—3.

二方程為/+2%—3=0.

解得第1=1,右=—3.

二方程的另一個(gè)解為％=-3.

【考點(diǎn)06]一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系

1.(24-25八年級(jí)下?江西宜春?期中)已知一元二次方程/-3x—5=0的兩根為修，x2,

則+X2~久1%2的值為()

A.2B.-2C.8D.-8

【答案】C

【分析】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系

得到Xi+盯=3,向?久2=—5,代入進(jìn)行計(jì)算即可得到答案.

【詳解】解：團(tuán)一元二次方程一一3久一5=0的兩根為刈，久2，

—3—5

回式1+x2———=3,-x2=-=—5,

回工1+x2—%i%2=3—(—5)=3+5=8,

故選：C.

2.(2025?四川樂(lè)山?模擬預(yù)測(cè))已知關(guān)于光的一元二次方程/一4%-12=0的兩根為石，x2,

則久*2+與好的值為.

【答案】-48

【分析】本題主要考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握相關(guān)公式是解題關(guān)

鍵.

先對(duì)好久2+久1好進(jìn)行變形得修久2?01+叼)，利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系得

%1%1%=

+X2-4、2-12,后整體代入計(jì)算即可求解.

X12=

【詳解】解：,.?根據(jù)題意，得：%i+%2=-Y=4,久千=-12，

xf%2+X1X2\=X1X2,(X1+x2)=—12x4=—48.

故答案為：-48.

3.(2025?湖南長(zhǎng)沙?三模)已知的,％2是方程2/-4x+1=0的兩根，求下列兩個(gè)代數(shù)式的

值：

(D-+-；

X1x2

(2)(*1+2)3+2).

【答案】⑴4

(2)8.5

【分析】本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，分式的求值，熟知根與系數(shù)的

關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

(1)1+9^

根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到久冷=2,%1%2=再由工+工=十算求解即

可；

(2)根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到%1+%2=2,X1%2=p再把所求式子去括號(hào)得到％1%2+

2(%i+冷)+4,據(jù)此計(jì)算求解即可.

【詳解】(1)解：既1，%2是方程2%2-4%+1=0的兩根，

—41

回％]+%2=———=2,=5,

(2)解：取1，刀2是方程2--4刀+1=0的兩根，

-41

%1%=

0%1+x2=--=2,2

0(%1+2)(久2+2)

=xtx2+2%i+2久2+4

=xrx2+2(*1+x2)+4

1

=-+2x2+4

=8.5.

【考點(diǎn)07]變化率問(wèn)題

1.(2025?安徽合肥?三模)隨著環(huán)保意識(shí)的增強(qiáng)和技術(shù)的進(jìn)步，某品牌的電動(dòng)汽車逐漸成為

消費(fèi)者的新寵，某銷售商該品牌電動(dòng)車今年1月份的銷量為1000輛，由于國(guó)補(bǔ)政策的

連月升溫，3月份的銷量比1月份增加了2100輛.設(shè)每個(gè)月銷量的平均增長(zhǎng)率為％,則

下列方程正確的是()

A.1000(1-%)2=2100B.1000(1+%)2=2100

C.1000(1+2%)=1000+2100D.1000(1+%)2=1000+2100

【答案】D

【分析】本題主要考查由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程.設(shè)年平均增長(zhǎng)率為x,由題意

得出三月份的銷量為：1000(1+為2,再根據(jù)3月份的銷量比1月份增加了2100輛為

等量關(guān)系列出方程即可.

【詳解】解：設(shè)每個(gè)月銷量的平均增長(zhǎng)率為工,

則三月份的銷量為：1000(1+x)2,

則根據(jù)題意有：1000(1+x)2=1000+2100,

故選：D

2.(2025?云南昆明?二模)昆明滇池是著名的高原湖泊生態(tài)旅游景點(diǎn)，景區(qū)優(yōu)美的自然風(fēng)光

與宜人氣候吸引眾多游客紛至沓來(lái).2025年1月，滇池景區(qū)接待游客約80萬(wàn)人，到了

3月，景區(qū)接待游客人數(shù)增長(zhǎng)至約125萬(wàn)人次.設(shè)廠3月滇池景區(qū)接待游客人數(shù)的月平

均增長(zhǎng)率為X,則下列方程正確的是()

A.80(1+2x)=125B.125(1+2x)=80

C.80(1+x)2=125D.80(1+%)+80(1+x)2=125

【答案】C

【分析】本題主要考查了列一元二次方程解決實(shí)際問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)等量關(guān)系.

假設(shè)出未知數(shù)，找出等量關(guān)系，列出方程即可.

【詳解】解：根據(jù)題意得，

80(1+x)2=125

故選：C.

3.(24-25八年級(jí)下?遼寧盤錦?期中)為了滿足人們對(duì)于精神文明的需求，某社區(qū)決定逐年

增加微型圖書閱覽室的投入.已知2023年投入資金2萬(wàn)元,2025年投入資金2.88萬(wàn)元，

假定每年投入資金的增長(zhǎng)率相同，求該社區(qū)2023年至2025年投入資金的增長(zhǎng)率.

【答案】20%

【分析】設(shè)該社區(qū)2023年至2025年投入資金的增長(zhǎng)率x,根據(jù)題意，得2(1+%)2=2.88,

解答即可.

本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，熟練掌握增長(zhǎng)率問(wèn)題的解法是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：設(shè)該社區(qū)2023年至2025年投入資金的增長(zhǎng)率X,

根據(jù)題意，得2(1+%)2=2.88,

解得/=0.2=20%,x2=-2.2(不符合題意，舍去).

答：該社區(qū)2023年至2025年投入資金的增長(zhǎng)率為20%.

4.(2025?遼寧大連?一模)為了滿足人們對(duì)于精神文明的需求，某社區(qū)決定逐年增加微型圖

書閱覽室的投入.已知2022年投入資金2萬(wàn)元，2024年投入資金2.88萬(wàn)元，假定每年投

入資金的增長(zhǎng)率相同.

⑴求該社區(qū)2022年至2024年投入資金的增長(zhǎng)率；

(2)如果投入資金年增長(zhǎng)率保持不變，求該社區(qū)在2025年投入資金多少萬(wàn)元？

【答案】⑴該社區(qū)2022年至2024年投入資金的增長(zhǎng)率為20%

(2)該社區(qū)在2025年投入資金3.456萬(wàn)元

【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確找出等量關(guān)系.

(1)設(shè)該社區(qū)2022年至2024年投入資金的增長(zhǎng)率為x,根據(jù)題意列方程即可求解；

(2)用2.88萬(wàn)元乘以2025年投入資金的百分比，即可求解.

【詳解】(1)解：設(shè)該社區(qū)2022年至2024年投入資金的增長(zhǎng)率為x,

根據(jù)題意得：2（1+%）2=2.88,

解得：x=0.2=20%或%=一2.2（舍去）；

答：該社區(qū)2022年至2024年投入資金的增長(zhǎng)率為20%；

（2）2.88X（1+20%）=3.456（萬(wàn)元），

答：該社區(qū)在2025年投入資金3.456萬(wàn)元.

【考點(diǎn)08】傳播問(wèn)題

1.（23-24九年級(jí)上?福建廈門?階段練習(xí)）有一人患了流感，經(jīng)過(guò)兩輪傳染后共有81人患

了流感，那么每輪傳染中平均一個(gè)人傳染的人數(shù)為（）

A.8人B.9人C.10人D.11人

【答案】A

［分析】本題主要考查了一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用.設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染的人

數(shù)為無(wú)人，根據(jù)"有一人患了流感，經(jīng)過(guò)兩輪傳染后共有81人患了流感"列出方程求解

即可.

【詳解】解：設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染的人數(shù)為x人，

1+x+x（l+x）=81,

整理得：%2+2%—80=0,

解得：%!=8,x2——10（舍）,

回每輪傳染中平均一個(gè)人傳染的人數(shù)為8人，

故選：A.

2.（24-25九年級(jí)上?廣西南寧，期中）近期爆發(fā)的流感，叫甲型流感，簡(jiǎn)稱甲流，該病

毒傳染性超強(qiáng).某人患了流感，經(jīng)過(guò)兩輪傳染后共有81人患了流感，設(shè)每一輪傳染中

平均每人傳染了支人，則可得到方程（）

A.1+2%=81B.1+X2=81C.1+x+X2=81D.1+x+x（l+x）—

81

【答案】D

【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，患流感的人把病毒傳染給別人，自己仍然患

病，包括在總數(shù)中.設(shè)每一輪傳染中平均每人傳染了X人，則第一輪傳染了X個(gè)人，第

二輪作為傳染源的是（X+1）人，則傳染久（久+1）人，然后根據(jù)經(jīng)過(guò)兩輪傳染后共有81

人患了流感列方程即可.

【詳解】解：設(shè)每一輪傳染中平均每人傳染了X人，

由題意得，1+久+x（l+久）=81,

故選：D.

3.（24-25九年級(jí)上?全國(guó),階段練習(xí)）"埃博拉"病毒是一種能引起人類和靈長(zhǎng)類動(dòng)物產(chǎn)生"出

血熱”的烈性傳染病毒，傳染性極強(qiáng).一個(gè)美國(guó)人在非洲旅游時(shí)不慎感染了"埃博拉"病

毒，經(jīng)過(guò)兩輪傳染后，共有64人受到感染.

（1）每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了幾個(gè)人？

（2）如果不及時(shí)控制，第三輪將又有多少人被傳染？

【答案】（1）每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了7個(gè)人

（2）第三輪將又有448人被傳染

【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解

題的關(guān)鍵.

（1）設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了尤個(gè)人，根據(jù)經(jīng)過(guò)兩輪傳染后共有64人受到感染，

即可得出關(guān)于X的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論；

（2）第三輪被傳染人數(shù)就是用第二輪感染的64人乘以每人每輪的傳染人數(shù)7即可.

【詳解】（1）解回設(shè)每輪傳染中平均每人傳染了x人，根據(jù)題意得

1+x+x（x+1）=64,

解得x=7或x=一9（舍）.

答圉每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了7個(gè)人.

（2）由（1）可知每輪傳染中平均一個(gè)人傳染7個(gè)人，經(jīng)過(guò)兩輪傳染后有64人感染.

那么第三輪被傳染的人數(shù)為64X7=448人.

答：第三輪將又有448人被傳染.

【考點(diǎn)09]樹枝分叉問(wèn)題

1.（23-24九年級(jí)上?湖北黃石?期中）某種植物的主干長(zhǎng)出若干數(shù)目的支干，每個(gè)支干又長(zhǎng)

出同樣數(shù)目的分支，主干，分支和小分支的總數(shù)是57,則每個(gè)支干長(zhǎng)出（）根小分支

A.5B.6C.7D.8

【答案】C

【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用；設(shè)每個(gè)支干長(zhǎng)出個(gè)小分支，根據(jù)“每個(gè)支干

又長(zhǎng)出同樣數(shù)目的小分支，主干、支干和小分支的總數(shù)是57"得出一元二次方程，解方

程可得答案.

【詳解】解：設(shè)每個(gè)支干長(zhǎng)出個(gè)小分支，由題意得：1+X+/=57,

解得：x1-7,x2=-8（不合題意，舍去），

故每個(gè)支干長(zhǎng)出7個(gè)小分支，

故選：C.

2.（24-25九年級(jí)上?河北石家莊,階段練習(xí)）某校“研學(xué)”活動(dòng)小組在一次野外實(shí)踐中，發(fā)現(xiàn)

一種植物的主干長(zhǎng)出若干數(shù)目的支干，每個(gè)支干又長(zhǎng)出同樣數(shù)目的小分支，主干、支干

和小分支的總數(shù)是57,則這種植物每個(gè)支干長(zhǎng)出的小分支的個(gè)數(shù)是（）

A.8B.7C.6D.5

【答案】B

【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解

題的關(guān)鍵.設(shè)這種植物每個(gè)支干長(zhǎng)出的小分支個(gè)數(shù)是X,根據(jù)主干、支干和小分支的總

數(shù)是57,即可得出關(guān)于尤的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論.

【詳解】解：設(shè)這種植物每個(gè)支干長(zhǎng)出的小分支個(gè)數(shù)是X,

依題意得：1+久+/=57,

整理得：x2+x—56—0,

解得：K[=-8（不合題意，舍去），%2=7.

故選：B.

3.（24-25九年級(jí)上?江蘇宿遷?開學(xué)考試）某種植物的主干長(zhǎng)出若干數(shù)目的支干，每個(gè)支干

又長(zhǎng)出同樣數(shù)目的小分支，主干、支干和小分支的總數(shù)是91,設(shè)每個(gè)支干長(zhǎng)出尤個(gè)小

分支，問(wèn)：

⑴請(qǐng)列出該方程；

（2）請(qǐng)解出尤的值.

【答案】（l）l+x+%2=91

（2）x=9

【分析】本題主要考查列一元二次方程和解一元二次方程，

（1）根據(jù)已知求得主干、支干和小分支的數(shù)量，再結(jié)合總數(shù)為91即可列出方程；

（2）移項(xiàng)化簡(jiǎn)，利用因式分解法求解即可.

【詳解】（1）解：根據(jù)題意知，主干、支干和小分支分別為1衣和/,貝ijl+%+/=91；

（2）解：1+x+x2=91,化簡(jiǎn)為/+x—90=0,

解得久i=9,x2=—W(舍去)，

故久=9.

【考點(diǎn)10]單循環(huán)和雙循環(huán)問(wèn)題

1.(24-25九年級(jí)上?河北廊坊?階段練習(xí))某賽季籃球職業(yè)聯(lián)賽，采用雙循環(huán)制(每?jī)申?duì)之

間都進(jìn)行兩場(chǎng)比賽)，比賽總場(chǎng)數(shù)為240場(chǎng)，若設(shè)參賽隊(duì)伍有X支，則可列方程為()

1

A.x(x+1)=240B.-x(x+1)=240

C.x(x-1)=240D.-1)=240

【答案】C

【分析】本題考查了實(shí)際問(wèn)題與一元二次方程，根據(jù)總比賽場(chǎng)數(shù)作為等量關(guān)系列方程是

解題的關(guān)鍵.

設(shè)參賽隊(duì)伍有x支，根據(jù)參加籃球職業(yè)聯(lián)賽的每?jī)申?duì)之間都進(jìn)行兩場(chǎng)比賽，共要比賽

240場(chǎng)，列出方程即可.

【詳解】解：設(shè)參賽隊(duì)伍有x支，

根據(jù)題意得，x(x-1)=240.

故選：C.

2.(24-25九年級(jí)上?遼寧葫蘆島?期中)畢業(yè)典禮后，九年級(jí)(1)班有若干人，若每人給

全班的其他成員贈(zèng)送一張紀(jì)念卡，則全班送賀卡共1892張照片，如果全班有英名同學(xué)，

根據(jù)題意，列出方程為()

A.*0+1)=1892B.雙尸=1892

C.2尤(久+1)=1892D.x(x-1)=1892

【答案】D

【分析】本題考查由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程.計(jì)算全班共送多少?gòu)?，首先確定一

個(gè)人送出多少?gòu)埵墙忸}關(guān)鍵.如果全班有x名同學(xué)，那么每名同學(xué)要送出(x-l)張，共

有萬(wàn)名學(xué)生，那么總共送的張數(shù)應(yīng)該是x(x-1)張，即可列出方程.

【詳解】解：?.■全班有X名同學(xué)

...每名同學(xué)要送出(久―1)張；

又???是互送紀(jì)念卡，

???總共送的張數(shù)應(yīng)該是x(x—1)=1892.

故選：D.

3.（2024九年級(jí)上?內(nèi)蒙古,專題練習(xí)）雙十一將至，某人將打折活動(dòng)發(fā)在自己的朋友圈，

并邀請(qǐng)尤個(gè)好友轉(zhuǎn)發(fā)，每個(gè)好友轉(zhuǎn)發(fā)后，由各組邀請(qǐng)x個(gè)好友轉(zhuǎn)發(fā)，經(jīng)此兩輪轉(zhuǎn)發(fā)后，

已知共有241人次參與了轉(zhuǎn)發(fā)，則可列方程為.

【答案】1+x+*2=241

【分析】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.根

據(jù)經(jīng)過(guò)兩輪轉(zhuǎn)發(fā)后，共有241人次參與了轉(zhuǎn)發(fā)，即可得出關(guān)于x的一元二次方程.

【詳解】解：依題意得：1+X+/=241,

故答案為：1+x+x2=241.

4.（24-25九年級(jí)上?天津武清?階段練習(xí)）某人用手機(jī)發(fā)短信，獲得信息人也按他的發(fā)送人

數(shù)發(fā)送該條短信，經(jīng)過(guò)兩輪短信的發(fā)送，共有90人手機(jī)上獲得同一條信息，則每輪發(fā)

送短信中，平均一個(gè)人向萬(wàn)個(gè)人發(fā)送短信.則根據(jù)題意列出的方程是—.

【答案】（1+x）x-90

【分析】本題考查一元二次方程的應(yīng)用，理解題意是解答的關(guān)鍵.根據(jù)每一輪中發(fā)送人

數(shù)與接收人數(shù)列方程即可.

【詳解】解：設(shè)每輪發(fā)送短信平均一個(gè)人向x個(gè)人發(fā)送短信，

貝i|（l+0*=90,

故答案為：（l+x）x=90

5.（24-25九年級(jí)上?廣東江門?階段練習(xí)）某次商品交易會(huì)上，所有參加會(huì)議的兩個(gè)商家之

間都簽訂了一份合同，共簽訂合同45份，則共有個(gè)商家參加了交易會(huì).

【答案】10

【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，設(shè)共有x個(gè)商家參加了交易會(huì)，利用簽訂合

同的總數(shù)=參加會(huì)議的商家數(shù)x（參加會(huì)議的商家數(shù)-1）+2,即可得出關(guān)于X的一元二

次方程，解之取其正值即可得出參加交易會(huì)的商家數(shù).

【詳解】解：設(shè)共有x個(gè)商家參加了交易會(huì)，

依題意得：|x（x-1）=45,

整理得：x2-x-90=0,

解得：%!=10,久2=—9（不合題意，舍去）.

故答案為：10.

【考點(diǎn)11】銷售利潤(rùn)與一次函數(shù)綜合問(wèn)題

1.(2025?遼寧葫蘆島?二模)商場(chǎng)出售某種商品，每件的進(jìn)價(jià)為40元，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn),

平均日銷售量y(件)與每件售價(jià)x(元)之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，部分?jǐn)?shù)據(jù)如表所示：

每件售價(jià)X/元908070

日銷售量y/件102030

(1)求y與X之間的函數(shù)關(guān)系式；(不要求寫出自變量比的取值范圍)

(2)該商品日銷售利潤(rùn)能否達(dá)到1000元？如果能，求出每件售價(jià)；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理

由.

【答案】(l)y=-乂+100

(2)不能，理由見解析

【分析】本題考查一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用：

(1)待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；

(2)根據(jù)總利潤(rùn)等于單件利潤(rùn)乘以銷量，列出方程，根據(jù)判斷式進(jìn)行判斷即可.

【詳解】(1)解：設(shè)y=fcr+b,

由題意，把(90,10),(80,20),代入,得：

,90k+6=1。繇加(k=-1

l80fc+b=20，解侍,lb=100'

回y=一久+100；

(2)該商品日銷售利潤(rùn)不能達(dá)到1000元，理由如下：

由題意，得:(x-40)(-%+100)=1000,

整理，得：x2-140x+5000=0,

0A=(-140)2-4x5000=-400<0,

回一元二次方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，故該商品日銷售利潤(rùn)不能達(dá)到1000元.

2.(2025?遼寧撫順?模擬預(yù)測(cè))某商店出售某品牌護(hù)眼燈，每臺(tái)進(jìn)價(jià)為40元，規(guī)定銷售單

價(jià)不低于進(jìn)價(jià)，且不高于進(jìn)價(jià)的2倍，日銷量y(臺(tái))與銷售單價(jià)x(元)之間的關(guān)系

如圖所示.

⑵當(dāng)護(hù)眼燈銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，該商店每日出售這種護(hù)眼燈所獲得的利潤(rùn)為160

元？

【