中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《四邊形綜合-解答題》專項檢測卷(附答案)

學(xué)校:班級：姓名：考號：

1.如圖，菱形ABC。的邊長為12cm,NA=60。，動點P從點A出發(fā)，沿著線路AB-3D做勻

速運動，動點。從點。同時出發(fā)，沿著線路。C-CB-B4做勻速運動.

備用圖

⑴求8。的長.

(2)已知動點尸運動的速度為2cm/s,動點。運動的速度為2.5cm/s,經(jīng)過12秒后，P,Q分

別到達(dá)M,N兩點，試判斷的形狀，并說明理由.

(3)設(shè)問題(2)中的動點P,。分別從M,N同時沿原路返回，動點尸的速度不變，動點。的

速度改變?yōu)閍cm/s,經(jīng)過2秒后，P,。分別到達(dá)瓦廠兩點，若讖防為直角三角形，試求

a值.

2.如圖，在平行四邊形ABCD中，4山的平分線交BC于點E,交DC的延長線于點歹，

以CE、CF為鄰邊作平行四邊形ECFG.

⑴證明平行四邊形ECFG是菱形；

(2)若ZABC=120。，連接BG、CG、DG,求證：DG3是等邊三角形；

⑶若/ABC=90。，AB=8,AD=14,朋r是中點，求ZW的長.

3.綜合與探究

【初步感知】如圖1,尸是VA3C三邊的中點，貝ijDE尸叫作VABC的內(nèi)中點三角形,

VABC叫作DEF的外中點三角形.

(1)稟毯與審VABC面積S］與DEF面積S2的數(shù)量關(guān)系;

(2)在圖2的網(wǎng)格中畫出VA3C的外中點APMN.

【類比探究】如圖3,瓦尸,G,H是四邊形9CD各邊的中點，則四邊形班6〃叫作四邊形

ABC。的內(nèi)中點四邊形，四邊形ABC。叫作四邊形EFG”的外中點四邊形.

(3)求證：四邊形EFGH是平行四邊形;

(4)若四邊形ABCD的面積為S3,四邊形EFGH面積為S”求證：邑=2'；

(5)在圖4的網(wǎng)格中畫出A5CD的一個外中點四邊形PQMN.(要求：P,Q,M,N都在網(wǎng)

格線的交點上)

4.定義:對于一個四邊形,我們把依次連接它的各邊中點得到的新四邊形叫做原四邊形的“中

點四邊形”，如果原四邊形的中點四邊形是個正方形，我們把這個原四邊形叫做“中方四邊形”.

(1)下列四邊形中一定是“中方四邊形”的是.

A.平行四邊形B.矩形C.菱形D.正方形

(2)如圖，已知四邊形A3CO是“中方四邊形”，M、N分別是AB、C。的中點.

①試探索80與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

②若線段8D的長度為2血，則AB+CD的最小值是.(不需要解答過程)

5.在四邊形ABCD中，AD//BC,AB=12cm,AD=8cm,BC=24cm,ZABC=90°,P,

。同時沿著四邊形的邊逆時針運動，點P從點。出發(fā)，以1的/s的速度運動，點。從點8

出發(fā)，以2c機/s的速度運動，設(shè)運動時間為r秒.

(1)CD=cm.

(2)若點。運動到點C時就停止，點P也隨之停止運動，用含/的代數(shù)式表示四邊形尸。。的

面積Sfcn?卜

(3)若其中一個動點回到其出發(fā)點時,另一個動點也隨之停止運動，則當(dāng)/=時，以點P、

。與點A、B、C、。中的任意兩個點為頂點的四邊形為平行四邊形.

6.如圖，正方形ABC￡>,點、E、H分別在AB、8C上.

(1)如圖1,當(dāng)NGOD=90。時.

①求證：DE=GH；

②平移圖1中線段GH,使G點與O重合，H點在BC延長線上，連接取E"中點尸，

連接尸C,如圖2,求證：BE=V2PC;

⑵如圖3,若點G在AD上，GH和DE相交于點。.當(dāng)Z.GOD=45°，邊長AB=3,HG=M,

求DE的長.

(1)若正方形Q4BC邊長為6.

①如圖1,E,尸分別在邊(MOC上，CELBF于■H,且OE=4,請直接寫出廠點的坐標(biāo).

②如圖2,若。為OC上一點，且OD=4,。為y軸正半軸上一點，且ZD3Q=45。，求點

。坐標(biāo).

⑵若正方形Q4BC邊長為4,如圖3,E、F分別在邊OAOC上，當(dāng)尸為OC的中點，CELBF

于H,在直線CE上E點的兩側(cè)有點D、G,能使線段AD=OG,AD//OG,且CH=DH,

求3G.

8.定義：兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做“箏形”.

(1)如圖1,在菱形ABC。中，E是。C的中點，連接AE,將沿AE翻折到△AEF,

延長川交BC于點P,請寫出圖中的所有“箏形”；

(2)如圖2,將(1)中的“菱形ABCD”改為“正方形AB8”其他條件不變，求福的值；

(3)如圖3,在矩形中，AB=6,A￡>=5,E是邊DC的中點，連接AE,將沿AE

翻折到△的,點尸是線段BC上一點，若四邊形尸CEF是“箏形”，請直接寫出CP的長.

_4

9.平面內(nèi)，在平行四邊形ABCD中，AB=12,AD=10,sinB=丁點尸為邊上任意一

點，連接尸C,將尸C繞點尸逆時針旋轉(zhuǎn)90得到線段PE,設(shè)=

圖1圖2圖3

⑴當(dāng)CP與A8垂直時，

①尺規(guī)作圖：在圖1中找到點P和點E(保留作圖痕跡，不寫作法)；

②CP=；PC旋轉(zhuǎn)到PE所掃過的面積=(結(jié)果保留兀);

(2)當(dāng)點E落在對角線C4的延長線上時，分別過點C,E作直線AB的垂線，垂足分別為

N,如圖2.

①求證：APCM沿AEPN；

②求x的值；

⑶連接PD,在旋轉(zhuǎn)PC的同時，將尸。繞點尸逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到線段PR,連接AE,AF,

如圖3.當(dāng)是直角三角形時，直接寫出x的值.

10.如圖，在矩形ABCZ)中，點E為直線2C上一動點，連接AE,作等腰直角三角形AE產(chǎn),

使ZAE尸=90°,AE=EF.

(1)如圖1,若/CEF=30。，AE=—,BC=6,求四邊形AECL)的面積；

3

(2)如圖2,若點E為線段3c的中點，且AB>CE,連接。/，試探究線段AB,CE,DF之

間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；

(3)如圖3,連接。尸，若AB=4,3c=6.請思考AF+D9是否存在最小值，若存在，請

直接寫出AF+。江的最小值，若不存在，請說明理由.

11.(1)如圖①，四邊形ABCD是矩形，點E是左側(cè)一點，作點E關(guān)于的對稱點F

作點F關(guān)于AD的對稱點G,連接AE、AF,AG,且/￡AB<90。,請你判斷點A、點、E、

點G是否共線？回答：一；(填：“共線”或“不共線”)

(2)如圖②，四邊形ABC。是矩形，AD=2AB,點E是左側(cè)一點，作點E關(guān)于對

稱的點尸，作點F關(guān)于的對稱點G,連接AE、AF,AG、EF、GF、DG,GF交AD

于點H,且ZEAB<90°,AE=AB,

①當(dāng)NE4B的度數(shù)為多少時，EF=G5?請說明理由；

②當(dāng)㈤B的度數(shù)為多少時，△AGD是直角三角形？請說明理由；

(3)如圖③，矩形AC是ABC。的對角線，AD=若42,直線政V經(jīng)過點8,且/CBN=30。,

點E是直線上一動點，作點E關(guān)于BC的對稱點F,作點F關(guān)于的對稱點G,

連接AE、AG.當(dāng)，ASG為等腰三角形時，請直接寫出NE4c的度數(shù).

D

12.如圖1,矩形A3C￡＞中，AB=1cm,AD=4cm,點E為AO上一定點，點/為AD延

長線上一點,且DF=ocm,點尸從A點出發(fā)，沿AB邊向點B以2cm/s的速度運動,連結(jié)PE,

設(shè)點尸運動的時間為fs,的面積為ycm?,當(dāng)OWtWl時，AflAE的面積乂門!？)關(guān)于

時間，(s)的函數(shù)圖象如圖2所示，連結(jié)尸尸，交CD于點、H.

(1?的取值范圍為,AE=cm；

⑵如圖3,將一HE廳沿線段。P進(jìn)行翻折，與C。的延長線交于點M,連結(jié)40,當(dāng)。為何

值時，四邊形PA”為菱形？并求出此時點尸的運動時間/；

(3)如圖4,當(dāng)點尸出發(fā)1s后，AD邊上另一動點。從E點出發(fā)，沿瓦＞邊向點。以lcm/s的

速度運動，如果產(chǎn)，。兩點中的任意一點到達(dá)終點后，另一點也停止運動，連結(jié)PQ，QH,

4

若。=§cm,請問P0"能否構(gòu)成直角三角形？若能，請求出點尸的運動時間f；若不能，

請說明理由.

13.綜合與實踐

【問題情境】

我們定義：如圖(。)，在VABC中，把相繞點A順時針旋轉(zhuǎn)。(0°＜。＜180。)得到A/T,把

AC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)￡得到AC,連接aC'.當(dāng)c+￡=180。時，我們稱△ABC是VABC

的“旋補三角形"，△AB'C的邊B'C上的中線AO叫做VABC的“旋補中線”，點A叫做嗾補

中心

【特例感知】

(1)在圖⑹和圖(c)中，△AB'C'是VABC的“旋補三角形"，AD是VABC的“旋補中

線”.

①如圖(b),當(dāng)VA5c為等邊三角形時，與3C的數(shù)量關(guān)系為AD=BC■,

②如圖(c),當(dāng)NBAC=90。，BC=16時，則AD長為.

【猜想論證】

(2)如圖S),當(dāng)VABC為任意三角形時，猜想AD與BC的數(shù)量關(guān)系，并給予證明.

【拓展應(yīng)用】

(3)如圖(d),在四邊形ABC。中，ZC=90°,ZZ)=150°,BC=\2,。=2指，AO=6.在

四邊形內(nèi)部是否存在點P,使△PDC是，E鉆的“旋補三角形”？若存在，給予證明，并求出

一八"的“旋補中線”長；若不存在，說明理由.

(b)(d)

14.我們定義:對角互補且有一組鄰邊相等的四邊形叫做至善四邊形.如圖1,ZD=NB=90。

且AB=3C,則四邊形ABC。是至善四邊形.

圖1圖2圖3

(1)下列四邊形一定是至善四邊形的有

①平行四邊形；②矩形；③菱形：④正方形;

(2)如圖2,四邊形ABCD為至善四邊形，AB=AD,AC=3,ZSAD=60°,求3C+CD的

長及NACO的度數(shù).

(3)如圖3,正方形AO3H中，。為中點，在02右邊作等邊"OE,尸為OE中點，連

接AE交OD于點C,交。廠于點G,求線段CO與EG的數(shù)量關(guān)系.

參考答案

1.(l)12cm

(2)是直角三角形，理由見解析

(3)?的值為1或5或11.

【分析】本題是四邊形綜合題，考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，含30度角

的直角三角形，利用分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想解決問題是關(guān)鍵.

(1)根據(jù)菱形的性質(zhì)，證明△的是等邊三角形，即可求出80的長.

(2)由題意可知，動點尸運動的路程為24cm,動點。運動的路程為30cm,從而得出點Af

與點。重合，點N是A8中點，再結(jié)合等邊三角形三線合一的性質(zhì)，即可求解；

(3)由題意可知，動點尸的速度為2cm/s,動點。的速度為acm/s,2秒后，動點尸運動

的路程為4cm,動點。運動的路程為2acm,貝!]￡>E=4cm,BE=8cm,分兩種情況討論：①

當(dāng)點。運動到點尸，且點尸在5N上時；②當(dāng)點。運動到點尸，且點尸在8C上時，利用含

30度角的直角三角形的特征分別求解即可.

【詳解】(1)解：四邊形ABC。是菱形，

/.AD=AB=12cm,

.NA=60。，

是等邊三角形，

BD=AB=12cm；

(2)解：AAW是直角三角形，理由如下：

由題意可知，動點P運動的速度為2cm/s,動點。運動的速度為2.5cm/s,運動時間為12

秒，

?二動點尸運動的路程為2x12=24cm,動點。運動的路程為2.5xl2=30cm,

,動點尸從點A出發(fā)，沿著線路AB-做勻速運動，且AB+3D=24cm,

丁?動點P到達(dá)點即點M與點。重合，

?動點。從點。同時出發(fā)，沿著線路。C-CB-故勻速運動，且8+g=2451,

二?動點。到點3的距離為30-24=6cm,動點。到達(dá)45中點，即點N是中點，

..ABD是等邊三角形，點N是A8中點，

:.MN±AB,

.?..AW是直角三角形；

D（M）

B

（3）解：..ABD是等邊三角形，

:.ZABD=60°,

由題意可知，動點尸的速度為2cm/s,動點。的速度為acm/s,

???2秒后，動點尸運動的路程為4cm,動點。運動的路程為加cm,

夕從M沿原路返回，

..￡>￡=4cm,

.'.BE=12-4=8cm,

①如圖，當(dāng)點。運動到點尸，且點尸在BN上時，則7VF=2crcm,

AE尸為直角三角形，ZEKF=60°,NEES不能為90。,

.?.ZEFB=90°,ZFEB=30°f

:.BE=2BF,即8=2（6-2。）,

解得：a=l；

②當(dāng)點。運動到點尸，且點歹在BC上時，則族=（2打-6）cm,

為直角三角形,

若N￡FB=90。，如圖,

Z￡BF=60°,

../FEB=30°,

:.BE=2BF,即8=2（2a-6）,

解得：＜7=5;

若/FEB=90°,如圖，此時NFED=90。，

cNEDF=60°,

B

:.ZDFE=30°,

/.DF=2DE=8cm,

.-.CF=12-8=4cm,

5=(6+12+4)+2=11,

綜上可知，若△3EF為直角三角形，。的值為1或5或11.

2.(1)證明見解析

(2)證明見解析

(3)DM=^30

【分析】(1)根據(jù)角平分線的知識，則=根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，則AD〃BC,

ABDC,則=ZBAF=ZCFE,等量代換，等角對等邊，則CE=CF,根

據(jù)菱形的判定和性質(zhì)，即可；

(2)根據(jù)四邊形ABCD是平行四邊形，ZABC=120°,求出/3CD=60。，ZBCF=120°,

根據(jù)菱形的性質(zhì)，則ECG是等邊三角形，得到/DCG=120。，根據(jù)平行線的性質(zhì)，

ZBEG=120°,則/3￡G=/OCG,根據(jù)角平分線的性質(zhì)，得=根據(jù)全等三

角形的判定和性質(zhì)，得到DGC均BGE(SAS),BG=DG,/BGE=/DGC,最后根據(jù)等

邊三角形的判定和性質(zhì)，即可.

(3)連接8"，BD,MC,根據(jù)NABC=90。，矩形的判定，正方形的判定，則四邊形EC尸G

是正方形，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，則44F=NZMF,根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)，則

BME^DMC(SAS),MB=MD,NDMC=ZBME,推出_3ME＞是等腰直角三角形，根

據(jù)勾股定理，即可.

【詳解】⑴解:證明如下:

丁AF平分/BAD,

ZBAF=ZDAF,

四邊形ABC。平行四邊形，

：.AD//BC,ABDC,

：.ZDAF=ZCEF,ZBAF=/CFE,

：./CEF=/CFE,

：.CE=CF,

V四邊形石C5G是平行四邊形，

???平行四邊形石C/G是菱形.

(2)解：證明如下：

???四邊形ABCO是平行四邊形，

：.ABDC,AB=DC,AD//BC,

???ZABC=120°,

AZBCD=60°,ZBCF=120°,

由(1)得，四邊形氏/G是菱形，

；.CE=GE,ZBCG=-ZBCF=60°,

2

???.ECG是等邊三角形，

：.CE=GE=CG,/ECG=60。,

：./DCG=ZDCB+ZECG=120°,

■:EG//DF,

ZBEG=120°f

：./BEG=/DCG,

???AE為44。的角平分線，

，ZDAE=ZBAE,

?：AD//BC,

ZDAE=ZAEB,

；?ZBAF=ZAEB,

***AB=BE,

.DC=BE

???二DGC—BGE(SAS),

:.BG=DG,/BGE=/DGC,

：.ZBGD=ZCGE,

'：NCGE=60。，

：.ZBGD=60°,

???△5GD是等邊三角形.

(3)解：連接9BD,MC,

丁ZABC=90°,

???四邊形ABCD是矩形

：.ZBCD=90°,

；?NECF=90。,

??,四邊形￡C尸G是菱形，

???四邊形石C5G是正方形，

AF平分上BAD,

:.ZBAF=ZDAF,

：.BE=AB=DC,

???點M為防的中點，

???ZCEM=ZECM=45°,

：.EM=CM,NBEM=/DCM=135。,

在一石和OMC中

BE=CD

</BEM=ZDCM,

EM=CM

??..BMEmDMC(SAS),

:,MB=MD,ZDMC=/BME,

：.ZBMD=ZBME+/EMD=ZDMC+ZEMD=90°,

???是等腰直角三角形，

VAB=8,AD=14,

：.BD=2病，

【點睛】本題考查平行四邊形，菱形，全等三角形，等邊三角形的知識，解題的關(guān)鍵平行四

邊形的判定和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性

質(zhì)，即可.

3.(1)H=4邑

(2)見解析

(3)見解析

(4)見解析

(5)見解析

【分析】（1）證明即可由相似三角形的性質(zhì)求解;

（2）取格點P、M、N,連接PM,MN,PN,使8、C、A分別是PM腦VJN的中點即可;

（3）連接2￡）,根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)得出即〃3￡>,EH=：BD,FG//BD,

FG=；BD.則,〃FG,EH=FG.即可由平行四邊形的判定定理得出結(jié)論;

(4)方法一：連接AC,證明AAEHS^ABD，得同理S^BFE=:S^CA，ZCGF=34CDB，

S-is

^△DHG—彳0ADAC9則S4=S3-SAAEH—SABFE—S.GF—SADHG

=83-7S4ABD——SABCA-~S^CDB——S4DAC=*^3一ABD+CDB)一/('BCA+SDAC)

=S3-^-53-^-S3=1S3,即5=264.

方法二：連接5。分別交E尸,GH于點M,N；過A作于點尸，交E”于點Q.證明

△AEHS^ABD,四邊形EMA發(fā)為平行四邊形.貝US四邊形所以

==

萬BDxAP=—x2EHx2QP=2EHxQP=2s四邊形七.〃.^^CBD2s四邊形M『GN.則

S3=S4ABO+S^CBD=2s四邊形EMN”+2s四邊形MFGN=2S4.

(5)取格點P、。、M、N,連接PQ,QM,MN,PN,使8、C、D、A分別是肱V,PN

的中點即可.

【詳解】解：(1)：9及廠是VABC三邊的中點，

.DEEFDF\

'*AC-BC_2;

^DEF^ACAB,

d（AC）Y4-（2V）--4,

：.S,=4S2；

（2）如圖所示，PAW即為所求;

:.EH//BD,EH=；BD.

同理：FG//BD,FG=-BD.

2

:.EH//FG,EH=FG.

二四邊形EFGH是平行四邊形.

(4)方法一：連接AC,

C

:.Z\AEH^/\ABD.

又?.E為中點,

AE1

AB2

QqAAEH1

“即

qsAEH%ABD?

q一J_qs-Is

同理S&BFE=7^/\BCA9□△CG尸—40^CDB'◎△DHG-40ADAC'

..S4=S3-S^AEH~S^BFE-S^CGF-S^DHG

S3-WS^ABD-WSABCA-SMDB~1^ADAC

=S3-W(SABD+SCDB)-;(SBCA+s

DAc)

=S3-^-53-^-S3=1S3,即$3=2S4.

方法二：連接3。分別交于點M,N；過A作3。于點尸，交EH于點Q.

EH〃BD,

:△AEHS/\ABD.

又二￡為中點,

AEEHAQ1

ABBDAP2

:.BD=2EH,AP=2AQ=2QP.

又EF//GH,EH//BD,

.??四邊形EMNH為平行四邊形.

S四邊形EMNH=EHXPQ.

S*=；BDXAP=gX2E〃X2QP=2EHxQP=2s四邊形叫.

同理：S/^CBD=2s四邊形MFGN?

S3=^AABD+SMBD=2s四邊形EMN”+2s四邊形”「GN=2s4.

(5)如圖所示，四邊形PQMN即為所求.(畫出一種即可)

p

【點睛】本題考查三角形的中位線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，中點四邊形，平行四

邊形的判定，三角形的面積等知識，熟練掌握三角形的中位線的性質(zhì)和相似三角形的判定與

性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵.

4.(1)D

Q)①MN=^BD,見解析；②4

2

【分析】本題考查了三角形的中位線的性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，理解

“中方四邊形”的定義并運用是本題的關(guān)鍵.

(1)由正方形對角線相等且互相垂直可得答案；

(2)①如圖，記AD、2C的中點分別為E、F,可得四邊形為0是正方形，再根據(jù)等

腰直角三角形性質(zhì)與三角形的中位線的性質(zhì)即可證得結(jié)論.

②令BD與AC的交點為0,連接OM、ON,當(dāng)點。在跖V上(即M、0、N共線)時，OM+ON

最小，最小值為"N的長，得至IJAB=2OM,CD=2ON,再根據(jù)①可知MN=注8。，從

而計算的最小值，進(jìn)而求解；

【詳解】(1)解：：在平行四邊形、矩形、菱形、正方形中，正方形的對角線相等且互相垂

直，

,一定是“中方四邊形”的是正方形；

故選：D；

(2)解：①如圖，記A。、3c的中點分別為E、F,連接MF,FN,

:四邊形ABC。是“中方四邊形”，M,N分別是48,的中點,

四邊形EA為W是正方形,

:.FM=FN,ZMFN=90°,

MN=\lFM2+FN2=41FM,

QN,歹分別是DC,BC的中點，

:.FN=-BD,

2

:.MN=—BD；

2

②令8。與AC的交點為0,連接。暇、ON；

由①可知，MN=—BD;

2

當(dāng)點。在MN上（即/、0、N共線）時，OM+ON最小，最小值為的長,

2（0M+ON）的最小值=2MN,

由題意可知；EMFN為正方形;

：.EMLEN,

EM//BD,EN//AC,

..AC-LBD,

M,N分別是AB,CD的中點，

AB=2OM,CD=2ON,

:.2（OM+ON）=AB+CD,

:.AB+CD的最小值=2MN,

即MV=；（A3+C￡＞）時，M2V最小，即AB+CD最??；

線段8。的長度為2夜，

則MV=2；

i^AB+CD=2MN=2x2=4；

故答案為：4

5.(1)20

（2）S=144-6r（0<?<8）^S=r-24?+224（8<r<12）

QQQ

⑶當(dāng)”或1=8s或/=24s或￡=時，以點尸、。與點A、B、C>。中的任意兩個點

為頂點的四邊形為平行四邊形

【分析】(1)過點。作。石，BC交5c于點證出四邊形鉆瓦>為矩形，得出

BE=AD=8cm^4B=DE=12cm,EC=16cm,根據(jù)勾股定理即可求出DC.

(2)若點。運動到點C時就停止，點尸也隨之停止運動,分為當(dāng)點尸在AO上運動，即0V，48

時,運用S=S四邊形尸QC￡>=S梯形"8-S梯形的28求解，和當(dāng)點尸在上運.動，即8K/K12時，

運用S=S四邊形尸圖。二S梯形45cp-SVPQB—S7APD即可求解;

(3)分為①當(dāng)AP=8Q時，②當(dāng)P￡>=QC時，③當(dāng)AQ=8尸時，④當(dāng)PC=QD時，分別畫

圖求解即可計算；

【詳解】(1)解:過點。作OE_L3c交8C于點E,

ZA=ZBED=ZABC=90°,

則四邊形ABE。為矩形，

BE=AD=8cmyAB=DE=12cm,

JEC=BC-BE=24-8=16cm,

DC=>jEC2+DE2=V162+122=20cm.

故答案為：20.

(2)若點0運動到點C時就停止，點P也隨之停止運動,

如圖1,當(dāng)點尸在AD上運動，即04Y8時，

則DP=tcm,BQ=Item,AP=（8-t）c〃z,

S=S四迦gpgQ,=S梯形45co-5梯形.28

=1x（8+24）xl2-1x（8-Z+2f）xl2

=144-61（c/）；

如圖2,當(dāng)點尸在"上運動，即84W12時，

則AP=（^t—8^cm,BQ=2tcm,BP=12-（t-8^=（20—t^cm,

~S'PQJB-S'APD

形ABCD

=1x（8+24）xl2-1x2f-（20-?）-1x8-（?-8）

=』—24f+224kMJ?）；

綜上，S=144-6r（0<r<8）^S=r-24r+224（8<r<12）；

(3)如圖，①當(dāng)A尸=8Q時，8—f=2f,

Q

此時f=|s,四邊形A8QP是平行四邊形;

②當(dāng)P￡>=QC時，t=24-2t,

此時f=8s,四邊形尸為平行四邊形;

③當(dāng)AQ=BP時，四邊形ABPQ是平行四邊形,

8-⑵-24-20)=1-8-12,

此時t=24s；

④當(dāng)尸c=時，24-。一8—12)=27-24—20,

QQ

此時r=?s,四邊形PC。。為平行四邊形；

QQQ

綜上所述，當(dāng)r=§s或f=8s或/=24$或/=可$時，以點P、。與點A、B、C、。中的任

意兩個點為頂點的四邊形為平行四邊形.

【點睛】此題是四邊形綜合題，主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)和判定，勾股定

理等知識；本題綜合性強，解本題的關(guān)鍵是分類討論的思想解決問題，是一道中考?？碱}.

6.(1)①見解析；②見解析；

⑵境.

2

【分析】(1)①如圖1,可證得四邊形DGHF是平行四邊形，進(jìn)而可證，ADE^CDF(AAS),

即可證得結(jié)論；

②在8C上截取=如圖2,則△3E”是等腰直角三角形，EN=^2BE,由

△ADE必CDH,利用全等三角形性質(zhì)和正方形性質(zhì)即可得出結(jié)論；

(2)如圖3,過點。作DN〃G”交8C于點N,則四邊形是平行四邊形，作

ZADM=NCDN,DM交54延長線于Af,利用AAS證明A4Z泌絲/XCDN,設(shè)AE=x,

則防=3-x,運用勾股定理建立方程求解即可.

【詳解】(1)證明：①過點D作。下〃GH,交BC的延長線于點尸，

四邊形AB8是正方形,

/.ZAPC=90°,AD//BC,

QDF〃GH,

二?四邊形DGHF是平行四邊形，

:.GD=FH,HG=DF,

:"GOD=/FDE=90°,

二/FDC+/EDC=90。,

ZEDC+ZADE=90°f

:"FDC=ZADE,

在VAD￡和VCD廠中，

ZADE=ZFDC

<AD=CD,

ZA=ZDCF=90°

/.ADE^CDF(ASA),

:.DE=DF,

HG=DF,

,\DE=HG；

②在5C上截取3N=3￡,如圖2,

則；跳N是等腰直角三角形，BN=BE,

由(1)知，AADE^ACDH,

.?.AE=CH,

BA=BC,BE=BN,

:.CN=AE=CH,

PE=PH,

PC=-EN

29

...PC=—BE,

2

即BE=yf2PC;

(2)解：如圖3,過點。作。N〃GW交5C于點N,

則四邊形GHND是平行四邊形，

:.DN=HG,GD=HN,

ZC=90°,HG=DN=?,DC=AB=3f

:.CN=y]DN2-DC2=A/10-9=1，

BN=BC-CN=3-1=2,

作ZADM=/CDN,DM交朋延長線于

在△ADM和△CDN中，

ZADM=ZCDN

<AD=CD,

ADAM=ZC=90°

ADM咨?CDN(ASA),

:.AM=NC,DM=DN,

ZDOG=45°,

：.NNDE=45。,

.\ZADE+ZCDN=45°,

ZADE+ZADM=45°=ZMDEf

在1和，AIDE中，

ND=MD

</NDE=/MDE,

DE=DE

NDE^MDE(SAS),

:.EM=EN,

:.AE+CN=EN,

設(shè)=則3E=3-x,

在RtZkBEN中，BN2+BE2=EN2,

:.22+(3-X)2=(X+1)2,

3

解得：x=；，

DE=y/AD2+AE2=^32+(1)2=乎.

【點睛】本題考查四邊形的綜合應(yīng)用，掌握正方形性質(zhì)，等腰直角三角形判定和性質(zhì)，平行

四邊形的判定與性質(zhì)，全等三角形判定和性質(zhì)，勾股定理等，添加輔助線構(gòu)造全等三角形是

解題的關(guān)鍵.

7.⑴①尸(2,0)；@2(0,3)

⑵等

【分析】(1)①通過證明OEECFB(Z,求出。/，即可求點的坐標(biāo)；

②過B點作交了軸于點可證明ABM^,.CBD(,AAS),連接8。，可證明

MBQ空DBQ(SAS)，設(shè)AQ=X,貝|OQ=6-x,=2+x,在Rt^ODQ中由勾股定理求出x=3,

即可求00,3)；

(2)在Rt3CF中，求出8尸=26,C;/=述，再由C"=DH,可得。。=座，連接。方，

55

OH,證明。C。均CBH(ASA),分別得到⑺=3"=半，OD=CH=^-,則3=殍，再

證明AOD烏OCH(SAS),可求OH=AZ>=OG=手，=/HOC,推導(dǎo)出/GO"=90。，

在RtGHO中，由勾股定理求出G8='叵，在Rt中，由勾股定理求出BG=5叵.

55

【詳解】(1)①，CELBF,

\?BHC90?,

NECO+ZHFC=90。，

ZOEC+ZOCE=90°,

:.ZHFC=ZOEC,

QBC=OC,

/.OEC^CFB(AAS),

.?.OE=CF=4,

OC=6,

；.OF=2,

F(2,0)；

②如圖2,過5點作冊交》軸于點

圖2

:.ZMBA+ZABD=90°,

ZABD-^-ZCBD=90°,

:.ZMBA=/CBD,

AB=BC,

CBD(AAS),

:.BM=BD,CD=AM,

連接3Q,

ND%=45。，

:,ZMBQ=45°,

又BM=BD,

/.MBQ^,DBQ(SAS),

??.DQ=MQf

OD=4f0C=6,

；.CD=MA=2,

設(shè)AQ=x,則OQ=6F,DQ=2+X,

在RtzXO。。中，(2+X)2=42+(6-X)2,

解得了=3,

AQ=3,

???2(0,3)；

(2)/為OC的中點，CO=4f

,.CF=OF=2f

在RtBCF中,BC=4,CF=2,

BF=2A/5,

BFLCH,

4x2475

:.CH

275"I"

CH=DH,

,心半

連接O。，OH,

“是co的中點，尸是oc的中點,

圖4

:.FH//OD,

:.OD±CDf

:.ZODC=ZGHC=90°f

BC=CO,ZFBC=ZDCO,

OCD^CB//(ASA),

.-.CD=BH=—,OD=CH=—,

55

.ci回

..Uki—,

5

ZAOD+ZDOC=ZDOC+ZDCO=90°,

:.ZAOD=ZDCO,

AO=CO,OH=OD,

AOD^0cH(SAS),

...OH=AD=OG=^^~,ZOAD=ZHOCf

5

AD//GO,

:.ZOAD=ZGOAf

:.ZGOH=90°,

在RtGHO中，GHZGO1+OH。=竽,

在RtBUG中,BG=VGW2+BH2=.

【點睛】本題考查四邊形的綜合應(yīng)用，熟練掌握正方形的性質(zhì)，三角形全等的判定及性質(zhì),

直角三角形的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵.

8.(1)ABCD,AFED,PCEF

(3)1

【分析】(1)由折疊的性質(zhì)得到相＞=4尸,。石=所，即四邊形AFED是“箏形”；再根據(jù)菱

形的性質(zhì)結(jié)合折疊的性質(zhì)得到/EFC=/3CZ),連接CP,由E是。C的中點，得到

==推出/EFC=NEB,求出=得到用=尸。，即四邊形PCEF

是“箏形”；

(2)同理(1)可證四邊形尸CEF是“箏形”，設(shè)DE=EF=x,則正方形A3CO邊長為2x,

利用勾股定理求出AE=V^x,連接PE,證明—APE是直角三角形，利用正切的定義可得

tanZDAE=tanZEAP,求出PE,勾股定理求出PC,即可解答；

(3)延長A尸交BC于點Q,連接尸同理(1)可證四邊形QCE尸是“箏形”，當(dāng)P,Q

重合時，四邊形PCE尸是“箏形”，同理(2)得AQE是直角三角形，NQAE=NDAE,

tanZDAE=—=tanZQAE=,求出QE,勾股定理求出QC,即可得到此時CP的長.

ADAE

【詳解】(1)解：：四邊形ABC。是菱形，

AD^AB^CD^BC,即四邊形ABCD是“箏形”；

由折疊的性質(zhì)得：AD=AF,DE=EF,

即四邊形AFED是“箏形”；

由折疊的性質(zhì)得：ZD=ZAFE,

:四邊形ABCD是菱形，

ZBCZ)+ZD=180°,

：.ZBCD+ZAFE^180°,

,：ZEFP+ZAFE=180°,

NBCD=NEFP,

連接CF,

DE=EF=CE,

：.NEFC=/ECF,

：.ZPCF+NECF=ZPFC+ZEFC,即NPCF=ZPFC,

PF=PC,即四邊形PCEF是“箏形”；

綜上，圖中的“箏形”有ABCD,AFED,PCEF；

（2）解：同理（1）得：四邊形PCEF是“箏形”，

設(shè)DE=EF=CE=x,貝i」CD=2x,

?.?四邊形ABCD是正方形，

ZD=ZC=90°,AB=BC=CD=AD=2x,

AE=VAD2+DE2=后X,

連接PE,

:四邊形尸CEF是“箏形”,

/.EF=CE,PC=PF,

,/PF=PF,

.,.,EFP^ECP（SSS）,

：.NPEF=/PEC,

由折疊的性質(zhì)得：ZAED=ZAEF,ZDAE=ZPAE,

VZA￡?+ZA￡F+ZPEF+ZPEC=180°,BPZAEF+ZPEF=90°,

???二小石是直角三角形,

???NPAE+ZAEF=ZAEF+NPEF=90。，

ZPAE=ZPEF,

：?ZPAE=ZPEF=ZDAE,

/?廠DEx1/…PEPE

...tan/DAE=----=—=—=tan/PAE==一尸一，

ADlx2AEy/5x

PE=—x,

2

PC=y]PE2-CE2=-x,

2

3

???PB=BC-PC=-x,

2

1

"PB~lx~3'

2X

(3)解：延長A尸交2c于點Q,連接PfQE,

同理(1)可證四邊形QCM是“箏形”,

當(dāng)P,Q重合時，四邊形PCEF是“箏形”，

同理（2）得-AQE是直角三角形，NQAE=NDAE,

：.tanZDAE=—=tanZQAE=—,

ADAE

:在矩形ABC。中，AB=6,AD=5,E是邊。C的中點,

/.DE=CE=-CD=-AB=3,

22

,,AE=A/AD2+DE2=V34,

.3QE

,,丁行

：.QE普,

QC=4QE2-CE2=|,

9

，此時CP=g.

【點睛】本題考查四邊形綜合題，涉及菱形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，解直角三

角形，勾股定理，正確作出輔助線，理解“箏形”的定義是解題的關(guān)鍵.

9.(1)①見解析；②16無

34

⑵①見解析；②X若

⑶6或8土應(yīng)

【分析】(1)①根據(jù)作垂線的尺規(guī)作圖方法作出過點C且垂直于的垂線，即可得到點P.以

點P為圓心，PC的長為半徑畫弧，交54的延長線于點E,即為所求.

②在Rt^BPC中，通過解直角三角形可求出PC,根據(jù)扇形的面積公式可求出PC旋轉(zhuǎn)到PE

所掃過的面積；

(2)①利用直角互余求證=進(jìn)而通過“AAS”即可證明；

②利用△A￡NSZ^ACM列式求解即可；

(3)分別討論NFEA=90。，/EE4=90。，/E4F=90。三種情況，特別主要旋轉(zhuǎn)過程中

EF±AB,利用EF,AB再結(jié)合圖形性質(zhì)求解.

【詳解】(1)解：①所求圖形，如圖所示.

②：四邊形ABCD是平行四邊形，

BC=AD=10,

'：PCrAB,

4

??.PC=BC-sinB=10x-=8,

???PC旋轉(zhuǎn)到PE所掃過扇形的面積為駟走=16兀;

360

(2)①證明：由旋轉(zhuǎn)可知=

■:CM工AB,EN±AB,

???ZCMP=ZENP=90°,

???ZCPM+ZPCM=90°,

?.*/CPE=90°,

：./CPM+ZEPN=90。,

:.ZEPN=ZPCM,

：.APCM^AEPN；

②解：由(1)得CM=8,BM=^BC2-CM2=6^

則=BM=6,

由①知APCM之4EPN,

PN=CM=8,

;BP=x,

:,EN=PM=6-x,AN=PN-PA=^-(12-x)=x-^,

?：EN〃CM,

：.Z^AEN^^ACM,

.AN_EN

解得：x=~q~;

(3)由旋轉(zhuǎn)得PE=PC,PF=PD,ZDPF=ZCPE=90°f

??.!PEF可看作△PCD繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)90。，

：.EF1CD,EF=CD=12,

■:ABC。中，AB//CD,

???EFLAB,

①當(dāng)NFE4=90。時，

EFLAB,

可知點石在直線AB上，如圖：

F

由⑵^AP=BP=6,

故x的值為6；

②當(dāng)/EE4=90°時，

?/EF±AB,

點月在直線42上，

:刊）繞點尸逆時針旋轉(zhuǎn)90。，點/不在直線上，

所以不存在/EE4=90。；

③當(dāng)NE4F=90°時，

如圖，延長54交E尸于點G,過點P作尸”LCD于點過點A作AKLCD于點K,

AEF±PG,四邊形PHK4為矩形，

APH=AK=8,AP=HK,NPGE=NPHC=NHPG=90。,

:NCPE=90。,

，Z.CPE-Z.HPE=Z.HPG-Z.HPE,

即ZCPH=ZEPG,

'：PC=PE,

：.APCH且4PEG,

同理汨/△Pf'G,

:.PH=PG=8,FG=DH,EG=CH,

'：BP=x,

：.AP^AB-BP^n-x,

：.HK=12-x,AG=PG-AP=x-4,

DK=y/AD2-AK2=6，

：.HD=FG=HK+DK=l8—x,CH=GE=CD—HD=x—6,

要使/E4F=90°,^AF2+AE2=EF2,

?/AF2=AG2+FG2,AE2=AG2+EG2,

AG2+FG2+AG2+EG2=EF~,

即(X-4)2+(18-%)2+(%-4)2+(X-6)2=122,

化簡得：x2—16.x+62=0,

解得：x=8±近，

綜上所述，x的值為6或8土也.

【點睛】本題考查了平行四邊形與幾何變換綜合，涉及平行四邊形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)，全等的性

質(zhì)與判定，相似的判定與性質(zhì)，勾股定理及判定直角三角形，三角函數(shù)，弧長公式，尺規(guī)作

圖一作垂線，作線段等于已知線段等，熟練掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵.

10.⑴半+24

(2)DF=V2(A5-CE),證明見解析

(3)2歷

【分析】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)、矩形的判定及性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)

等知識點，熟練掌握以上知識點，會作出適當(dāng)?shù)妮o助線靈活構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵.

(1)通過已知條件，易求4￡=還，BE=史,根據(jù)勾股定理得，4?=4,利用梯形面

33

積公式即可求解；

(2)過點尸作FC3c于點G,作出，8于點打，易證：ABEWEGF(AAS),得

EG=鉆=CD,鹿=GF,再證明四邊形FHCG是矩形，進(jìn)而證明ADHF為等腰直角三角形，

即可證得DF=6(AB_CE)；

(3)在A8的延長線上截取3G=3E,連接EG,在BC上截取3M=54=4,連接尸

設(shè)NE4G=N1,NFEM=Z2,NEMF=Z3,先證"AEG絲EFM(SAS),得NG=N3=45。,

得出點尸軌跡為過C