天津市濱海新區(qū)2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期末考試

數(shù)學(xué)試題

一、單項(xiàng)選擇題.

1.已知全集。={1,2,3,4,5},A={2,3}<3={1,3,5},則4@§）=（）

A.{2,3,4}B.{2}C.{1,5}D,{1,3,4,5}

【答案】A

【解析】.={2,4},AU（^B）={2,3,4）.

故選：A.

2.已知〃，b,ceR,則下列不等式一定成立的是（）

A.若,貝!JB.若,貝（J

C.若則,D.若ac?>be?,貝!

ab

【答案】D

【解析】對(duì)于選項(xiàng)A：例如c=0,則QC=〃C=0,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)BC:例如〃=1,〃=一1,滿足。>人，則〃2=〃=1，—=1>-I=y,故BC錯(cuò)

ab

誤；

對(duì)于選項(xiàng)D：若a/〉）/,則/>0，可得故D正確.

故選：D.

3.下列函數(shù)在定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是（）

A.f（-^）-B.f（X）=2X

c./（x）=--D./（%）=Vx

X

【答案】A

【解析】對(duì)于A中，函數(shù)/（九）=/在定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是增函數(shù)，A正確；

對(duì)于B中，函數(shù)/（無）=2*是定義域內(nèi)的非奇非偶函數(shù)，B錯(cuò)誤；

對(duì)于C中，函數(shù)/'（x）=-工是定義域內(nèi)的奇函數(shù)，在（—8,0）和（0,+8）上為增函數(shù)，C

X

錯(cuò)誤;

對(duì)于D中，函數(shù)/（￡）=?是定義域內(nèi)的非奇非偶函數(shù)，D錯(cuò)誤.

故選：A.

4.“4<0”是“函數(shù)/（力=/+。存在零點(diǎn)”的（）

A.必要不充分條件B.充分不必要條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【解析】若函數(shù)=存在零點(diǎn)，且/（力2〃0）=。，等價(jià)于aWO，

所以“aW0”是“函數(shù)/（力=x2+a存在零點(diǎn)”的充要條件.

故選：C.

5.將y=sin3x的圖象變換為y=sin13x-gj的圖象，下列變換正確的是（）

A.將圖象向左平移2個(gè)單位B.將圖象向右平移2個(gè)單位

1818

7T7T

C將圖象向左平移一個(gè)單位D.將圖象向右平移一個(gè)單位

66

【答案】B

【解析】對(duì)于A：將圖象向左平移/個(gè)單位，可得y=sin3[x+^1）=sin[3x+S）,故A

錯(cuò)誤;

7T

對(duì)于B：將圖象向右平移■^個(gè)單位,可得y=sin3卜瑞=sinl3x--^-1,故B正確;

1O

對(duì)于C：將圖象向左平移;■個(gè)單位，可得y=sin3[x+Ej=sin[3x+]J=cos3x,故C

錯(cuò)誤；

對(duì)于D：將圖象向右平移煮個(gè)單位，可得y=sin3[x-《]=sin[3x—']=-cos3x,故

D錯(cuò)誤.

故選：B.

6.已知/(x)=2x+l,a=log,0.7,b=302-c=0.213,則/(a),于叫,/(c)的

大小關(guān)系為()

A./(?)</(c)</(Z?)B./(c)</(a)</(Z?)

C.7(a)</(/?)</(c)D./(Z?)</(c)</(a)

【答案】A

【解析】因?yàn)?gt;=log?X在(0,+oo)內(nèi)單調(diào)遞增，則a=log?0.7<log21,即a<o；

>=3工R內(nèi)單調(diào)遞增，則〃=3°2>3°，即6>1；

y=0.2*R內(nèi)單調(diào)遞減，則0<0.2i3<0.2°,所以0<c<l；

綜上所述：a<c<b.

又因?yàn)椤▁）=2無+1在R內(nèi)單調(diào)遞增，所以/⑷</（c）</0）.

故選：A.

C./（力=/D./（x）=y

【答案】D

【解析】由圖象可知/（。）>0,

對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)?（0）=0,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)?（0）=—1<0,故B錯(cuò)誤；

由圖象可知：存在￡>0,使得/（%）在（0,￡）內(nèi)單調(diào)遞減，

對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)椤?必在（0碼）內(nèi)單調(diào)遞增，且y=e"在R內(nèi)單調(diào)遞增,

可知"可在（0,￡）內(nèi)單調(diào)遞增，故C錯(cuò)誤.

故選：D.

8.已知函數(shù)/（x）=asinx+cosx的圖象關(guān)于直線》=:對(duì)稱，則曰］的值為（）

A.-72B.OC.1D.也

【答案】B

【解析】因?yàn)?（x）=asinx+cosx=J"+lsin（%+夕），

1a

其中sm/=-^=,cos0=-^=,

Na+11a+1

若函數(shù)%）=〃sinx+cosx的圖象關(guān)于直線x對(duì)稱，

為函數(shù)“X）的最大值，

7272_/2,1^ZB［在］、|兀）.3兀3TIy/2y/2

則aH\a+1,解得tz=l,所以/1—=sin--Fcos—=--------=0.

22{4J4422

故選：B.

9.已知函數(shù)〃無）=優(yōu)必+3（。＞。且"1）的圖象經(jīng)過定點(diǎn)A,且點(diǎn)A在角。的終邊上,

r,sin8-cos0

貝|J----------=（）

sin0+cos0

11

A.-----B.0C.7D.■—

77

【答案】D

【解析】由題意可得A（3,4）,

4_3

因?yàn)辄c(diǎn)A在角。的終邊上，所以sin8=3,cos，=3,所以sin,cos?：］_1=1

55sin8+cos83+97

55

故選：D.

10.給出下列判斷：

①“X/xeR,J+X+I〉。”的否定為“*eR,f+x+ivo”；

②函數(shù)y=二與函數(shù)y=x—3是同一個(gè)函數(shù);

③若角a與角力的終邊在一條直線上，則a—萬=也(左eZ)；

(尸4)co2s兀--sm,2—兀=—1.

12122

其中，判斷正確的個(gè)數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【解析】對(duì)于①：“VXER,九2+1+1>0，，的否定為“王￡R,爐+X+IKO"，故①錯(cuò)誤;

對(duì)于②：因?yàn)閥=—3)2=|x-3|?

可知函數(shù)y=&一3)2與函數(shù)y=x—3的對(duì)應(yīng)關(guān)系不相同,不為同一函數(shù)，故②錯(cuò)誤；

對(duì)于③：若角1與角力的終邊在一條直線上，則a-分=而(左eZ),故③正確;

對(duì)于④：cos2--sin2—=cos—=—>故④錯(cuò)誤;

121262

所以正確的個(gè)數(shù)為1.

故選：A.

(4—2〃)尤一cix<l

11.已知函數(shù)/■(1)=1''在R上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

[logaX,X>1

A.(1,2)B.[2,4)C.D.■1，+c0

【答案】C

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)/2a)x「,x<l在口上單調(diào)遞增,

logflx,x>l

4-2a>0

一4

所以〈a〉1,解得一<。<2.

3

logfll>4-2a-<2

故選：C.

12.已知函數(shù)/(x)=sinox((y>0),給出下列判斷:

2

①若函數(shù)y=f(x)的最小正周期不小于371,則0的最大值為一.

3

②若函數(shù)y=/(x)滿足/［微)=0,則/=2.

JTJT

③若函數(shù)/（力的圖象向左平移（個(gè)單位后所得函數(shù)在區(qū)間0,-上單調(diào)遞增，則。的可

3

能取值為一.

2

④當(dāng)口二1時(shí)，設(shè)%],/（再＜/）為方程3sin④r—1=0在區(qū)間（0,兀）上的兩個(gè)解，則

其中，判斷正確的個(gè)數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

2兀2

【解析】對(duì)于①，因?yàn)?。?,所以T=—23兀，解得。〈口V—,故①正確；

（D3

對(duì)于②，若（3=0，即得m=阮（左eZ）,則0=2左（左eZ）,故②錯(cuò)誤；

對(duì)于③，因?yàn)閳D象平移后令且（尤）=$111（8+等），當(dāng)xe0*時(shí)，

①71COTl(DTI

a)x+——€

6V,V

(DTI…3

——22kli①212k12k<-+6k

依題意16，左eZ,2

,3=顯然＜，左￡Z解得

CO71兀a)<—+6k3

——<—+2fei2—+6人〉0

I322

k=0,

3

又力＞0,因此0＜刃《一，③正確；

2

對(duì)于④，因?yàn)闉?九2￡（°，兀）（玉＜兀2），又因?yàn)閟in（兀一x）=sinx,所以西+%二兀,

則sin(x2一％)=sin(兀一2%)=sin2%=Zsimqcos%,

xL冥1=逑，故④正

因?yàn)閟in玉=：,所以cos%=2。，所以sin（%2-%）=2

33339

確；

所以正確的個(gè)數(shù)為3個(gè).

故選：C.

二、填空題.

13.已知函數(shù)是幕函數(shù)，若/（4）=2,則〃2）=.

【答案】桓

【解析】根據(jù)題意，設(shè)/（尤）=下，由/（4）=￥=2,得

故=/⑵=2」=應(yīng).

7T

14.弧長(zhǎng)為4兀的扇形的圓心角為一，則此扇形的面積為.

3

【答案】2471

4兀.c

=__=]21

【解析】由題設(shè)，扇形半徑r7T,故扇形面積為展xl2x4無=24聯(lián)

一2

3

9

15.已知函數(shù)》=%+—（%>0）,函數(shù)y取得最小值為.

x

【答案】6

9I~~99

【解析】因?yàn)閤>0,則、=工+'22'"'=6,當(dāng)且僅當(dāng)尤=—,即x=3時(shí)，等號(hào)成立,

xVxx

所以函數(shù)y取得最小值為6.

16.已知20=3"=log264,則工+'=.

ab

【答案】1

【解析】因?yàn)?"=3"=log264=6,所以。=log26,6=log36,

所以工+<=7^+7^=log62+log63=log6（2x3）=l.

ablog26log36

17.y=-的定義域?yàn)?；若tan[x-=則tanx=.

【答案】與，左3

所以該函數(shù)的定義域?yàn)?x|Xw左兀+—eZ>；

4

空二：因?yàn)閠an（九一/）=5,

~,「/兀、7Cr

所以tan九=tan[(x——)+—]=

44r/兀、兀

1-tan(x—)tan—

44

18.1學(xué)校舉辦運(yùn)動(dòng)會(huì)時(shí)，高一（1）班共有28名同學(xué)參加比賽，有15人參加趣味益智類比

賽.有8人參加田徑比賽，有14人參加球類比賽，同時(shí)參加趣味益智類比賽和田徑比賽的

有3人，同時(shí)參加趣味益智類比賽和球類比賽的有3人，沒有人同時(shí)參加三項(xiàng)比賽.則只參

加趣味益智類一項(xiàng)比賽的人數(shù)為；同時(shí)參加田徑和球類比賽的人數(shù)為.

【答案】93

【解析】因?yàn)閰⒓尤の兑嬷穷惐荣惖目側(cè)藬?shù)為15,

且：同時(shí)參加趣味益智類比賽和田徑比賽的有3人；

同時(shí)參加趣味益智類比賽和球類比賽的有3人.

又因?yàn)闆]有人同時(shí)參加三項(xiàng)比賽，所以只參加趣味益智類一項(xiàng)比賽的人數(shù)為：15-3-3=9

人.

設(shè)同時(shí)參加田徑和球類比賽的人數(shù)為X,由題意得：16+（5—x）+（ll—x）+x=28,

解得：%=3,

故同時(shí)參加田徑和球類比賽的人數(shù)為3.

19.某種茶水用100℃的水泡制，再等到60℃時(shí)飲用可產(chǎn)生最佳口感.已知茶水溫度y（單

l

位：C）與經(jīng)過時(shí)間/（單位：min）的函數(shù)關(guān)系是：y=ka+yG,其中。為衰減比例，%）

是室溫，/=0時(shí).y為茶水初始溫度，若室溫為20℃,=|K茶水初始溫度為100℃,

則上=℃,產(chǎn)生最佳口感所需時(shí)間是__________min.

【答案】808

【解析】由題意，y=W+20,當(dāng)/■=（）時(shí)，有y=3'+20=左+20=100,左=80,

貝！Jy=80優(yōu)+20,當(dāng)y=6。時(shí)，即804+20=60,所以80Q'=40,

,[t=_-_I_n_2__-__I_n_2_8o

a'=—,可得，ln〃=-ln2,Ina1

2-In—

82

21

X+XHz、

20.已知函數(shù)〃x）=<4,若關(guān)于x的方程〃x）=左（左￡R）有四個(gè)不同

|lnx-l|,x>0

的解，則左的取值范圍是；四個(gè)不同的根從小到大依次記為為，X2,x3,x4,

則x{x2x3x4的取值范圍是.

【答案”ojP4）

【解析】作出函數(shù)〃無）的圖象,

關(guān)于尤的方程/（力=左（左eR）有四個(gè)不同的解,

可知y=f（x）與y=左的圖象有4個(gè)交點(diǎn)，由圖象可知k的取值范圍是[（）,；

9

因?yàn)橐??玉<——<%2—00<x3<e<x2,且為+%=—1，艮口％1=一％一1，

又因?yàn)?（毛）=/（尤4），即|1口尤3—1|二|山工4一1|，

可得（inf_l）+（ln%4.1）=出工3%4-2=0，即％3%4=巳2,

則毛％2尤3%4=（一%2—1）尤2.。2=一。2（工；+9），

因?yàn)間（x）=f+%在1―；,0內(nèi)單調(diào)遞增，且g（—；）=一：,g（0）=0,

2

可知g（%）w1一了。，即1e'

--,0,可得占入2%3%4=一已￡0,—,

L4J

所以占x/3%的取值范圍是Jo,].

…L4J

三、解答題.

3...

21.已知sina=—《，。是第二象限角.

(1)求cosa,tan。的值；

(2)求cos［2—a),sin［2a_E］的值.

解：(1)因?yàn)椤Ｊ堑谌笙藿?，所以cosa<0,

EAL7934sina3

因?yàn)閟ina+cosc=l，sma=一-,故coso=一-,tana=------=—.

55cosa4

，兀兀,.兀.—夜(4Y(31_772

(2)cos---cc—cos—cosa+sin—sincc——x—H------x——--------，

U)442(5j2(5j10

■-rx°.24io?27

由sm2a=2smacosa=—,cos2a=l-2sina=一，

2525

時(shí)“?心兀).0兀。.兀2467124^-7

所以sin|2a——=sin2acoscos2asin—=一x---------x—=------------.

I6625225250

22.已知二次函數(shù)/(x)=f+3x-a,aeR.

(1)若a=4時(shí)，求不等式/(x)<0的解集；

(2)若函數(shù)/(可在區(qū)間［a,a+1］上具有單調(diào)性，求實(shí)數(shù)a的取值范圍：

(3)解關(guān)于x的不等式/(x)>ax+2a.

解：(1)當(dāng)a=4,函數(shù)/(%)=k+3%—4,

將/(x)<0代入得爐+3%_4<0，(X+4)(X-1)<0,

不等式的解集為：(T』).

(2)因?yàn)?(x)=d+3%一〃的對(duì)稱軸為：％=—萬，

3

為了使函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，對(duì)稱軸％=-5需要位于此區(qū)間之外，

3353

a+\<——或——，解得：a<——或〃2——,

2222

因此，實(shí)數(shù)4的取值范圍為：Iu-|,+ooj.

(3)將原不等式/(x)>雙+2〃代入得爐+3%—Q>ax+2a，

整理后得：x~+(3—a)無一3a>0,即(x+3)(x—a)>0,

①當(dāng)a<-3時(shí)，不等式的解集為：(-oo,a)u(—3,+w),

②當(dāng)a=—3時(shí)，不等式的解集為：(―8,—3)u(—3,y)，

③當(dāng)a>-3時(shí)，不等式的解集為：(—8,-3)u(a,y),

綜上所述：當(dāng)a<-3時(shí)，解集為：(一8,。)“-3,+8)；

當(dāng)a=—3時(shí)，解集為：(口,—3)u(—3,”)；

當(dāng)a>—3時(shí)，解集為：(—8,—3)u(a,+8).

23.己知函數(shù)/(x)=cos4x+2sinx-cosx—sin4x+m.

(1)求函數(shù)”司的最小正周期；

⑵求函數(shù)/(%)的單調(diào)遞增區(qū)間：

(3)當(dāng)xe0,-時(shí)，已知/(九)的最大值為頂，求使〃尤)*0成立時(shí)自變量尤的集合.

解：(1)由題意知

/(x)=cos4%+2sinx?cosx-sin4x+m=sm2x+(cos2x-sin2x^cos2x+sin2x^+m

=sin2x+cos2x+m=A/2sin2x+—\+m,

I4j

2冗

所以函數(shù)/("的最小正周期丁二3二兀.

j?jIjIjIj?

(2)令2左兀——<2%+—<2kn+—,keZ,解得E----<x<kn+—,keZ,

24288

3九jr

所以〃無)的單調(diào)遞增區(qū)間為k7t--,kn+-(keZ).

LooJ

(3)當(dāng)xe0,g,則2x+；e:，乎，可得—14sin12x+0<1,

L2J4144」2

則八％)max=V2+m=V2,解得m=0,

所以/(x)=J^sin[2x+：),

由/(x)之0,即sin12x+；:0,可得?<2x+：<7i,解得OWxW笥，

所以使y