第09講特殊四邊形中的折疊問題專題訓(xùn)練

類型一折疊與角度

1.如圖，將矩形紙片沿E尸折疊，點C在線段8c上，ZA￡C=32°,則N8FD等于（）

A.28°B.32°C.34°D.36°

【分析】根據(jù)矩形紙片沿EF折疊，可得/A=/B=/D=/ECO=90°,然后根據(jù)直角

三角形兩個銳角互余可得/AEC=/DC5,再由對頂角相等，即可解決問題.

【解答】解：.??矩形紙片沿EP折疊，

/.ZA=ZB=ZD=ZEC￡）=90°，

：.ZAEC+ZACE=ZACE+ZDCB=90°,

ZAEC=ZDCB,

：./AEC=/BFD,

VZAEC=32°,

：.ZBFD=32°,

故選：B.

2.如圖，在正方形ABC。中，E為邊BC上一點、,將△ABE沿AE折疊至△ABE處，BE與

AC交于點R若/斯C=69°,則NC4E的大小為（）

A.10°B.12°C.14°D.15°

【分析】利用正方形的性質(zhì)和軸對稱的性質(zhì)很容易求出NC4E的大小.

【解答】解：:NEFC=69°,ZACE=45°,

.,.Zj3￡F=69+45=114°,

由折疊的性質(zhì)可知：/BEA=L/BEF=57°,

2

：.ZBAE=90-57=33°,

：.ZEAC=45-33=12°.

故選：B.

3.如圖，在口ABC。中，E為邊CD上一點，將△ADE沿AE折疊至△A。'E處,AD'與

CE交于點、F.若NB=50°,ZDAE=20°,則的大小為度.

【分析】由平行四邊形的性質(zhì)得出/。=/8=50°,由折疊的性質(zhì)得：ZD1=ZD=

50°,ZEAD'=ZDAE=2Q°,由三角形的外角性質(zhì)求出NAEP=70°,與三角形內(nèi)角

和定理求出NAED'=110°,即可得出N尸ED'的大小.

【解答】解：???四邊形ABCD是平行四邊形，

：.ZD=ZB=50°,

由折疊的性質(zhì)得：=ZD=50°,ZEAD'=Z￡)A￡=20°,

AZAEF=ZD+ZDAE=50°+20°=70°,ZAED'=180°-ZEAD'-ZD'=

110°,

:./FED'=110°-70°=40°；

4.如圖(1)是長方形紙帶，/。跖=20°,將紙帶沿所折疊圖(2),則NFGO的度數(shù)是.

再沿BF折疊成圖(3),則圖(3)中的NCFE的度數(shù)是

(1)(2)?(3)

【分析】根據(jù)圖形的翻折變換依據(jù)平行線性質(zhì)即可求解.

【解答】解：根據(jù)折疊可知：

ZFGD=2ZFEG=40°.

'JAD//BC

:./EFG=/DEF=20°

：.ZCFE=1SO°-20°-40°=120°

故答案為40。、120°.

5.如圖，菱形紙片ABC。中，NA=60°,點尸是48邊的中點，折疊紙片，使點C落在

直線。P上的C處，折痕為經(jīng)過點。的線段。E.則/OEC的度數(shù)為.

【分析】連接BD,由菱形的性質(zhì)及/A=60°,得到三角形ABD為等邊三角形，P為

的中點，利用三線合一得到DP為角平分線，得到/AOP=30°,ZA￡)C=120°,Z

C=60°,進而求出/P￡)C=90°,由折疊的性質(zhì)得到NCDE=NPDE=45°,利用三角

形的內(nèi)角和定理即可求出所求角的度數(shù).

【解答】解：連接2。，如圖所示：

?..四邊形ABC。為菱形，

J.AB^AD,/C=N4=60°,

...△AB。為等邊三角形，ZA￡)C=120°,

?.?尸為AB的中點，

為NAD8的平分線，即/AZ)P=/BOP=30°,

AZPDC=9Q°,

.,?由折疊的性質(zhì)得：NCDE=NPDE=45°,

類型二折疊與長度

6.如圖，將邊長為8c機的正方形ABCZ)折疊，使點。落在3c邊的中點E處，點A落在P

處，折痕為MN,則線段CN長是()

D

A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm

【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)，只要求出rw就可以求出NE,在直角△CEN中，若設(shè)CN=x,

則。N=NE=8-無，CE=4cm,根據(jù)勾股定理就可以列出方程，從而解出CN的長.

【解答】解：設(shè)CN—xcm,則DN—(8-尤)cm,由折疊的性質(zhì)知EN—DN—(8-x)cm,

而EC=>18C=4Si,在RtzXECN中，由勾股定理可知EN2=EC2+CN2,即(8-x)2=

2

16+x2,

整理得16%=48,所以x=3.

故選：A.

7.如圖，將口沿過點A的直線/折疊，使點。落到A5邊上的點處，折痕/交CD

邊于點連接5E.若BE1平分NA8C,且A8=5,BE=4,則AE=()

A.2B.3C.4D.5

【分析】利用平行線的性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)得出N￡A8+NE84=90°,再結(jié)合勾股

定理得出答案.

【解答】解：:BE平分NABC,

???/CBE=/EBA,

*：AD//BC,

.\ZZ)AB+ZCBA=180o,

ZDAE=ZBAEf

：.ZEAB+ZEBA=90°,

AZAEB=90°,

AAB2=AE2+BE2,

?,?AE=^52_42=3.

故選：B.

8.如圖，點尸是矩形ABC。邊CO上一點，將矩形沿A尸折疊，點。正好落在BC邊上的

則EF的長為（）

A.2B.3D.4

【分析】由折疊的性質(zhì)得出AE=AD=10,EF=DF,根據(jù)勾股定理求出BE=8,設(shè)EF

x,則CB=6-x,得出/=2?+（6-x）2,解方程即可得出答案.

【解答】解：???四邊形ABCZ）為矩形,

：.AD^BC^10,OC=AB=6,/2=NC=90°；

由翻折變換的性質(zhì)得:

AE=AD=10,EF=DF,

\"BE1=AE1-AB2,

BE=VAE2-AB2=8'

：.CE=2,

設(shè)EF=x,則CF=6-x；

在RtAEFC中，,/EF2=CE1+CF2

.,.X2=22+（6-尤）2,

解得：x_10

3

即EF10

y

故選：C.

9.如圖，矩形ABC。中，AO=5,AB=7,點E為。C上一個動點，把△AOE沿AE折疊,

點。的對應(yīng)點為O',若。'落在NA8C的平分線上時，的長為（）

A.3或4B.§或$C.$或&D.2或5

232553

【分析】連接BD',過。'作MNLAB,交AB于點M,CD于點N,作D'PLBC交

8C于點尸，先利用勾股定理求出W,再分兩種情況利用勾股定理求出DE.

【解答】解：如圖，連接BD',過。'作交AB于點M,CD于懸N,作。'

PLBC交BC于點P

:點D的對應(yīng)點D'落在/A8C的角平分線上，

：.MD'=PD',

設(shè)=x,則PD'=BM=x,

：.AM^AB-BM=1-x,

又折疊圖形可得AO=A。'=5,

/.x2+(7-x)2=25,解得x=3或4,

BPMD'=3或4.

在Rt/XEND'中，設(shè)ED'=a,

①當=3時，AM=1-3=4,D'N=5-3=2,EN=4-a,

.".a2=21+(4-a)2,

解得。=5,即。E=5,

22

②當MD'=4時，AM=7-4=3,D'N=5-4=1,EN=3-a,

a2=I2+(3-a)2,

解得a=—,即DE=—.

33

故選：B.

10.如圖，已知在矩形ABC。中，M是A。邊中點，將矩形分別沿MN、折疊，A、D

兩點剛好落在點E處，已知AN=3,MN=5,設(shè)BN=x,則x的值為（)

3324

【分析】求出AM=4,由折疊的性質(zhì)得出AN=NE=3,CE=CD,由勾股定理得出W+S2

=(x+6)2,解方程即可得解.

【解答】解：：四邊形ABCD是矩形，

/.ZA=90°,AB=CD,AD=BC,

,:AN=3,MN=5,

.?.AM=^HN2_AN2=^52_32=4,

是A。邊中點，

：.AM=DM=4,BC=8,

???將矩形分別沿MN、MC折疊，A、。兩點剛好落在點E處，

：.AN=NE=3,CE=CD,

'：BN1+BC1=CN1,

.'.X2+82=(X+6)2,

解得尤=工.

3

故選:B.

11.如圖，矩形A8C￡)中，40=18,AB=24.點E為邊。C上的一個動點，△AOE與4

AOE關(guān)于直線AE對稱，當為直角三角形時，OE的長為.

【分析】分兩種情況?分別求解，(1)當NCED，=90°時，如圖(1),根據(jù)軸對稱的性

質(zhì)得NAED=/AED'=45',得DE=AO=18；

(2)當NED'A=90°時，如圖(2),根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得E=ZD,AD'=AD,

DE=D'E,得A、D',C在同一直線上，根據(jù)勾股定理得AC=30,設(shè)DE=。E=x,

則EC=Cr>-OE=24-x,根據(jù)勾股定理得，D'號+D'C2=EC2,代入相關(guān)的值，計算

即可.

【解答】解：(1)當NCED=90°時，如圖(1),

\"ZCED'=90°,

根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得=Ax90°=45°,

2

VZD=90°,

...△AOE是等腰直角三角形，

：.DE=AD=18；

(2)當NE。A=90°時，如圖(2),

根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得/AD'E=ND,AD'=A。，DE^D'E,

；.A、D、C在同一直線上，

根據(jù)勾股定理得4C=、AD2KD2=3。，

：.CD'=30-18=12,

設(shè)DE=D'E=x,貝!]EC=CO-OE=24-x,

在RtaZ/EC中，D'Er+D'C2=EC2,

即尤2+144=(24-x)2,

解得尤=9,

即DE=9；

綜上所述：OE的長為9或18；

故答案為：9或18.

12.如圖，將矩形A3C。的四個角向內(nèi)折疊鋪平，恰好拼成一個無縫隙無重疊的矩形斯GH

若EH=5,EF=n,則矩形ABC。的面積是()

A.13B.1^0c.60D.120

13

【分析】由折疊得：AAEH出△MEH,ABEF<4MEF,ACFG公ANFG,AJDGH^A

NGH,于是矩形ABCD的面積等于矩形EFGH的2倍，矩形EFGH的面積可以求出，

【解答】解：如圖，由折疊得：AAEH咨LMEH,/\BEF^/\MEF,ACFG^AA^FG,

△DGH”ANGH,

:.S矩形ABCD=2S矩形EFGH=2義EF9EH=2X5X12=120,

故選：D.

13.（雁江區(qū)模擬）如圖，在矩形ABC。中，A8=2?,8c=10,E、F分別在邊BC,AD

上，BE=DF.將△ABE,尸分別沿著AE,CF翻折后得到△AGE,ACHF.若AG

分別平分NE4。，則GH長為（）

【分析】如圖作GM_LA。于M交BC于N,作〃T_LBC于T.想辦法求出BN,CT即可

解決問題.

【解答】解：如圖作GM_LA￡）于M交于N,作HT_LBC于T.

由題意：ZBAD^90°,ZBAE^ZEAG=ZGAM,

：.ZGAM=ZBAE=Z￡AG=30°,

,:AB=AG=2?,

；.AM=AG?cos30°=3,

同法可得CT=3,

易知四邊形48MW,四邊形G//77V是矩形,

：.BN=AM=3,GH=TN=BC-BN-CT=10-6=4,

14.如圖，在菱形紙片ABC。中，AB=8,ZA=60°,將菱形紙片翻折，使點A落在CO

的中點E處，折痕為FG,點RG分別在邊AB,AD±.,則EG的長為（）

【分析】作EMLAD于M,由直角三角形的性質(zhì)得出DM=、DE=2,ME=J^M=2g,

2

由折疊的性質(zhì)得AG=EG,在RtzXGME中，由勾股定理得出EG?=(8-EG+2)?+(2?)

2,解得EG=2當即可.

5

【解答】解：作于如圖所示：

:四邊形ABC。是菱形，42=8,

：.CD=AD=AB=8,AB//DC,

,:AB〃CD,

ZA=ZMDC=60°,

是CO中點，

；.￡)￡=4,

?：ME.LAD,ZDMC=60°

：.ZMED=-3Qa,MMELAD

：.DM=^DE=2,ME=^DM=2yf3,

2

由折疊的性質(zhì)得：AG=EG,NAFG=/EFG,

在Rt^GME中，EG2=GM2+ME1.

：.EG2=(8-EG+2)2+(2A/3)2,

解得：EG=罵,

5

故選：A.

15.如圖所示，矩形紙片A8CD中，AB=6cm,BC=8cm,現(xiàn)將其沿EF對折，使得點C與

點A重合，則長為（）

A.^-cmB.^-cmC.^-cmD.8cm

842

【分析】設(shè)則DF=（8-尤）cm,利用矩形紙片ABCD中，現(xiàn)將其沿斯對折,

使得點C與點A重合，由勾股定理求AF即可.

【解答】解：設(shè)4/=比根，則。F=（8-尤）cm,

;矩形紙片ABC。中，AB=6cm,BC=8cm,現(xiàn)將其沿斯對折，使得點C與點A重合，

：.DF=D'F,

在RtZ\A?/中，\'AF2^AD'2+D'F2,

/.X2=62+（8-x）2,

解得：尤=生.

4

故選：B.

類型三折疊與綜合

16.如圖，在口ABCZ）中，點E是8c邊上的動點，已知48=4,BC=5,ZBAD=135°,

現(xiàn)將AABE沿AE折疊，點⑶是點B的對應(yīng)點，設(shè)CE的長為尤.若點8落在△?!￡）￡內(nèi)（包

括邊界），則x的取值范圍是

D

B2------------E~C

【分析】點夕恰好落在A。邊上時，四邊形48￡次是邊長為4的菱形，求出CE=1；

點2'恰好落在DE邊上時，作于凡解直角三角形求出AH、HB'、DH,再

證明D4=QE=5,求出EB'即可解決問題.

【解答】解：點2'恰好落在AD邊上時，四邊形ABEB'是邊長為4的菱形，

：.EC=BC-BE=5-4=1.

點次恰好落在OE邊上時，作于凡如圖所示：

:四邊形ABCD是平行四邊形，ZBAD=135°,AD=BC=5,AD//BC,

/.ZB=45°,

由折疊的性質(zhì)得：ZAB'H=ZB=45°,AB,=AB=4,ZAEB=ZAED,

在RtZ\AH2'中，VZAB'H=45°,AB'=4,

：.HB'=AH=?AB'=2如,

2

在中，D//=VAD2-AH2=V52-（2V2）2=^

：.BD=DH-//B'=V17-2版,

,JAD//BC,

，ZDAE=ZAEB=ZAED,

：.DA^DE^5,

：.EB'=BE=DE-B'D=5-（V17-2&）=5-VT?+2加，

；.CE=BC-BE=5-（5-百/2折2血，

若點B'落在△的＞￡內(nèi)（包括邊界），則x的取值范圍是

故答案為：1WXWJF-2血.

17.如圖，把矩形紙片ABCD沿對角線折疊，設(shè)重疊部分為△E8Z）,那么下列說法錯誤的

是（）

E,D

A.EB=ED

B.折疊后NA3E和NC2D一定相等

C.AE=EC

D./XEBA和△￡DC一定是全等三角形

【分析】由折疊的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)可得NAOB=NC8。，可得BE=DE,可證AE=

CE,由“SAS”可證△(7￡)￡,即可求解.

【解答】解：如圖，

?..把矩形紙片ABCD沿對角線折疊，

：.ZCBD=ZDBC,CD=CD=AB,BC=BC,

,JAD//BC,

NADB=NDBC,

：.NADB=NCBD,

：.BE=DE,

：.AE=CE,

在AABE和△CDE中，

rAB=CD

<ZA=ZC>

AE=CE

；.AABE2ACDE(SAS),

選項A、C、。都不符合題意，

故選：B.

18.如圖，在正方形A8C。中，E是BC邊上的一點，BE=4,EC=8,將正方形邊AB沿

AE折疊到AR延長跖交。C于G,連接AG,現(xiàn)在有如下四個結(jié)論：①NEAG=45°；

②FG=FC；③PC〃AG；@SAGFC=14.其中結(jié)論正確的序號是.

【分析】①正確.證明/G4b=NG4。，/EAB=/EAF即可.②錯誤.可以證明。G=

GC=FG,顯然△GPC不是等邊三角形，可得結(jié)論.③正確.證明CFLDF,AG±DF

即可.④錯誤.證明尸G：EG=3：5,求出△ECG的面積即可.

【解答】解：如圖，連接。?

:四邊形ABC。是正方形，

.,.AB^AD^BC^CD,ZABE^ZBAD^ZADG^ZECG^90°,

由翻折可知：AB^AF,NABE=NABE=NABG=90°,BE=EF=4,NBAE=NEAF,

VZAFG=ZADG^90°,AG=AG,AD=AF,

.?.RtAAGD^RtAAGF(HL),

:.DG=FG,ZGAF=ZGAD,

設(shè)GD=GF=x,

：.ZEAG=ZEAF+ZGAF=ACZBAF+ZDAF)=45°,故①正確，

2

在RtAECG中，：EG2=EC2+CG2,

：.(4+x)2=82+(12-x)2,

??x=6,

CD=BC=BE+EC=12,

：.DG=CG=6,

：.FG=GC,

■:FG>EF,

J尸不是EG的中點，

C.FG^FC,故②錯誤，

?；GF=GD=GC,

：.ZDFC=90°,

:.CFLDF,

\"AD=AF,GD=GF,

：.AG±DF,

：.CF//AG,故③正確,

VSAECG=AX6X8=24,FG-.FE=6：4=3：2,

2

：.FG：EG=3：5,

?'.5AGFC=—X24=22.,故④錯誤，

55

故答案為：①③.

19.如圖，在一張矩形紙片ABCD中，AB=4,BC=8,點、E,尸分別在A。，8C上，將紙

片ABC。沿直線EF折疊，點C落在AD上的一點五處，點。落在點G處，有以下四個

結(jié)論：

①四邊形CFHE是菱形；②線段BF的取值范圍為3WBFW4；

③EC平分/DCH；④當點〃與點A重合時，EF=2辰

以上結(jié)論中，你認為正確的有—.（填序號）

【分析】①先判斷出四邊形CfWE是平行四邊形，再根據(jù)翻折的性質(zhì)可得。尸=切，然

后根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形證明，判斷出①正確；

②點H與點A重合時，設(shè)斷=尤，表示出AP=FC=8-x,利用勾股定理列出方程求解

得到8尸的最小值，點G與點。重合時，CF=CD,求出8尸=4,然后寫出的取值范

圍，判斷出②正確；

③根據(jù)菱形的對角線平分一組對角線可得NBCH=/ECH,然后求出只有NOCE=30°

時EC平分NDC8,判斷出③錯誤；

④過點產(chǎn)作FM1AD于M,求出ME,再利用勾股定理列式求解得到EF,判斷出④正確.

【解答】解：①；FH與EG,E”與CE都是原來矩形ABC。的對邊AD、8C的一部分,

J.FH//CG,EH//CF,

四邊形CFHE是平行四邊形，

由翻折的性質(zhì)得，CF=FH,

四邊形CFHE是菱形，

故①正確；

②點”與點4重合時，設(shè)貝IA尸=PC=8-x,

在RtzXABP中，AB2+BF2=AF2,

即42+%2=(8-x)2,

解得尤=3,

點G與點。重合時，b=C￡>=4,

：.BF^4,

線段BF的取值范圍為3WB/W4,

故②正確；

③；.NBCH=NECH,

只有/OCE=30°時EC平分/DCH,

故③錯誤；

過點/作于

則ME=(8-3)-3=2,

由勾股定理得，

所='YF2+ME2=2遙，

故④正確.

綜上所述，結(jié)論正確的有①②④.

故答案為：①②④.

20.如圖，正方形ABC。的邊長42=12,翻折到GN分別交C。于點跖交BC于點N,

BN=5,連接AN.

（1）求△AEN的面積;

（2）試判斷EF與AN的關(guān)系，并說明理由.

G

DF/\M

AEB

【分析】（1）由折疊的性質(zhì)得NE=AE,設(shè)NE=AE=x,貝1IBE=AB-AE=12-x,在Rt

△EBN中，由勾股定理得出方程，得出AE=3,由三角形面積公式即可得出答案；

（2）作尸于X,則切ZEFH+ZFEH=90°,由折疊的性質(zhì)得出EB

_LAN,證明△￡7出g2\乂48（ASA）,得出EP=AN即可.

【解答】解：（1）：四邊形A8CO是正方形，

ZB=90°,

由折疊的性質(zhì)得：NE=AE,

設(shè)NE=AE=x,則BE=AB-AE=12-尤，

在RtZ\EBN中，由勾股定理得：52+（12-%）

△AEN的面積

222448

(2)EF±AN,EF=AN,理由如下：

作切_LAB于77,如圖所示：

則FH=AD=AB,ZEFH+ZFEH=9Q°,

由折疊的性質(zhì)得：EFLAN,

：.ZNAB+ZFEH=90°,

：.ZEFH=ZNAB,

'/EFH=NNAB

在△E77/和△N4B中，,FH=AB，

ZFHE=ZB=90°

:.△EFH%4NAB(ASA),

：.EF=AN.

21.如圖，在□ABC。中，將△AOC沿AC折疊后，點。恰好落在。C的延長線上的點E處,

若NB=60°,48=3,求：

(1)△AQE的周長；

【分析】(1)由折疊的性質(zhì)可得/ACZ)=NACE=90°,AD=AE,CD=CE,由平行四

邊形的性質(zhì)可得AO=2C,A2=CD=3=CE,/2=/。=60°,AB//CD,由直角三角

形的性質(zhì)可求AD=2CO=6,即可求解；

(2)由勾股定理可求AC的長，可證四邊形ABEC是平行四邊形，可得40=?！昕傻?/p>

X

SAACO=-i-SAACE=-xAXSV33=-^-l-.

2224

【解答】解：(1):?將△AOC沿AC折疊

NAC￡)=NACE=90°,AD=AE,CD=CE,

,/四邊形ABC。是平行四邊形，

：.AD=BC,AB=CD=3=CE,ZB=ZD=60°,AB//CD,

：.AD^2CD=6=AE,

：./\ADE的周長=A￡)+AE+CE+CZ)=6+6+3+3=18；

(2)'：AD=6,CD=3,

皿2_cp2=V36-9=3Vs

'JAB//CE,AB=CE=CD,

???四邊形ABEC是平行四邊形,

：.AO=OE,

SAACO=ASAACE=AXAX3VSx3=9爪.

2224

22.綜合與實踐：學(xué)習(xí)完了矩形后，興趣小組的同學(xué)們在一起共同研究矩形的折疊.如圖，

AC為矩形ABCD的對角線，將邊AB沿AE折疊，使點B落在AC上的點M處，將邊CD

沿CB折疊，使點。落在AC上的點汽處.

(1)求證：四邊形AECP是平行四邊形；

(2)若AB=6,AC=10,求四邊形AECF的面積.

【分析】(1)依據(jù)矩形的性質(zhì)以及折疊的性質(zhì)，即可得到A尸〃CE,AE//CF,即可得到

四邊形AECF是平行四邊形；

(2)設(shè)CE=x,則EM=2E=8-x,CM=1Q-6=4,利用勾股定理即可得到CE的長，

進而得出四邊形AECP的面積.

【解答】(1)證明：?..四邊形ABC。為矩形，

：.AD//BC,AB//CD.

：.ZBAC=ZDCA,

由折疊的性質(zhì)知，ZEAC=AZBAC,ZFCA^1.ZDCA,

22

：.ZEAC=ZFCA,

：.AE//CF,

又：AQ〃8C,

四邊形AECF為平行四邊形；

(2)解：在Rtz^ABC中，AB=6,AC=10,由勾股定理得，

8c=4102-62=8,

由折疊的性質(zhì)知，ZABC=ZAME=90°,BE=EM,

在Rt^CEM中，CM=AC-AM=10-6=4,

設(shè)CE=x,貝gBE=EM=8-x,

由勾股定理得，M伊+CM2=EC2,

即（8-x），16=/,

解得x=5,

:由（1）得，四邊形AECF為平行四邊形，

.'.S四邊形AECF=EUC￡>=5X6=30-

23.將一個矩形紙片。42c放置在平面直角坐標系中，點。（0,0）,點A（0.2）,點E,

廠分別在邊AB,BC上.沿著?！暾郫B該紙片，使得點A落在OC邊上，對應(yīng)點為A,如

圖①.再沿。/折疊，這時點E恰好與點C重合，如圖②.

（I）求點C的坐標；

（II）將該矩形紙片展開，再折疊該矩形紙片，使點O與點尸重合，折痕與AB相交于

點尸，展開矩形紙片，如圖③.

①求NOPF的大小；

②點M,N分別為OF,OE上的動點，當PM+MN取得最小值時，求點N的坐標（直接

寫出結(jié)果即可）.

【分析】（I）先由折疊的性質(zhì)得。4=。4=2,OC=OE,再證四邊形。AE4是正方形，

得04=AE=2,然后由勾股定理得OE=2加,即可求解；

（II）①連接ER由（/）得：OA=2,OC=AB=2?ZOAP=ZPBF=90°,ZAOE

=ZAEO=45°,OA=AE=2,再證△班尸是等腰直角三角形，得BE=BF=AB-AE=

2V2-2,設(shè)AP=x,則尸然后由勾股定理得出方程，解得：尤=2&-2,

最后證（H￡）,得NPOA=/FPB,進而得出結(jié)論;

②作點N關(guān)于。尸的對稱點N',過點N作NGLx軸于G,連接MN',則△OGN為等

腰直角三角形，當尸、M、N'三點共線時，PM+MN有最小值，此時/PN'0=/AON'

=ZOAP=9Q°,再求出OG=NG=YZoN=2-J5，即可解決問題.

2

【解答】解：(I):點A(0,2),

：.OA=2,

由折疊的性質(zhì)得：0A=04=2,0C=0E,

:四邊形048c是矩形，

四邊形0AEA是正方形，

：.0A'=A'E=2,

在RtZXOAE中，由勾股定理得：OE=Wk2+A，E2=M2+22=2加，

.?.點C的坐標為：(2&,0)；

(II)①連接EE如圖③所示：

由(/)得：OA=2,0C=AB=2近,ZOAP=ZPBF=90°,ZAOE=ZAEO=45°,

OA=AE=2,

由折疊的性質(zhì)得：ZOEF=ZOCF=90°,

：.ZBEF=18Q°-45°-90°=45°,

￡\EBF是等腰直角三角形，

：.BE=BF=AB-AE=2&-2,

設(shè)AP=x,則PB=2&-x,

由折疊的性質(zhì)得：P0=PF,即/。2=尸/巴

在RtZ\OAP中，由勾股定理得：P(?2=OA2+AP2,

在RtZkBBFt中，由勾股定理得：PF1=PB1+BF1,

：.21+x1=(2V2-x)2+(272-2)2,

解得：x=2企-2,

：.AP=BF,

在RtAPOA和RtAFPB中，

fAP=BF

lOP=PF，

ARtAPOA^RtAFPB(HL),

：.ZP0A=ZFPB,

'：ZPOA+ZAPO=90°,

AZFPB+ZAPO=90°,

：.ZOPF=\SO°-（NFPB+NAPO）=90°；

②由①知，AP=2?-2,NEOC=45°,

作點N關(guān)于。尸的對稱點N',過點N作NG_L無軸于G,連接MN',如圖④所示:

則△OGN為等腰直角三角形，

當P、M、N1三點共線時，PM+MN有最小值，

此時/PN'0=/AON'=NOAP=90°,

四邊形APN'。為矩形，

：.ON=ON'=AP=2近-2,

OG=NG=亞0N=亞X(2V2-2)=2-衣,

22

：.N(2-&,2-&).

24.如圖，己知在RtZ\ABC中，ZABC=90°,NC=30°,AC=12CMJ,點E從點A出發(fā)

沿AB以每秒1cm的速度向點2運動，同時點D從點C出發(fā)沿CA以每秒2cm的速度向

點A運動，運動時間為/秒（0<f<6）,過點Z）作。PLBC于點?

(1)試用含/■的式子表示AE、AZ)的長；

(2)如圖①，在。、E運動的過程中，四邊形4EFD是平行四邊形，請說明理由；

(3)連接DE,當/為何值時，為直角三角形？

(4)如圖②，將△ADE沿。E翻折得到DE,試問當/為何值時，四邊形AEA'D

為菱形？并判斷此時點A是否在BC上？請說明理由.

【分析】(1)根據(jù)題意直接表示出來即可；

(2)由''在直角三角形中，30度角所對的直角邊是斜邊的一半”求得。歹=f,又AE=t,

則。尸=AE；而由垂直得到A2〃OR即“四邊形AE9的對邊平行且相等“，由此得四

邊形AE/力是平行四邊形；

(3)①顯然ND尸E<90°；

②如圖(1),當NEDF=90°時，四邊形EBFZ)為矩形，此時AE=」*。，根據(jù)題意，列

2

出關(guān)于r的方程，通過解方程來求f的值；

③如圖(2),當/。斯=90°時，此時NA￡)E=9(r-NA=30°,此時根

2

據(jù)題意，列出關(guān)于/的方程，通過解方程來求r的值；

(4)如圖(3),若四邊形AEA'D為菱形，則AE=AO,貝！Jf=12-2f,所以t=4.即當

t=4時，四邊形A￡A'D為菱形.

【解答】解：(1)AE=t,AD=12-2t；

(2)'：DF±BC,ZC=30°

：.DF=AC￡>=Ax2z=f

22

'：AE=t

：.DF=AE,

VZABC=90°,DF±BC

：.DF//AE,

四邊形AEFD是平行四邊形；

(3)①顯然/。p￡<90°；

②如圖(1),當/EO尸=90°時，四邊形EBFD為矩形,

此時3^3tU-(i2-2t)

.\t=3,

③如圖(2),當NOE尸=90°時，此時NAOE=90°

AZAED=90°-ZA=30°

-AD=1AE：.12-2t=yt

綜上：當r=3秒或t圖秒時，△QEF