9.4空間幾何體的表面積和體積

【考點(diǎn)梳理】

1.棱柱、棱錐的概念

(1)棱柱：有兩個(gè)面互相平行,其余各面都是四邊形,并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相壬任，由這些

面所圍成的多面體叫做棱柱.(注：棱柱又分為斜棱柱和直棱柱.側(cè)棱與底面不垂直的棱柱叫做斜棱柱；側(cè)

棱與底面垂直的棱柱叫做直棱柱；底面是正多邊形的直棱柱叫做正棱柱).

(2)棱錐：有?個(gè)面是多邊形，其余各面都是有?個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形,由這些面所圍成的多面體叫做棱錐.

(注：如果棱錐的底面是正多邊形，且它的頂點(diǎn)在過底面中心且與底面垂直的直線上，則這個(gè)棱錐叫做正

棱錐).

2.棱柱、棱錐的性質(zhì)

(1)棱柱的性質(zhì)：側(cè)棱都相等，側(cè)面是平行四邊形;兩個(gè)底面與平行于底面的截面是全等的多邊形；過不相

鄰的兩條側(cè)棱的截面是平行四邊形;直棱柱的側(cè)棱長與高相等且側(cè)面、對(duì)角面都是矩形.

(2)正棱錐的性質(zhì)：側(cè)棱相等，側(cè)面是全等的等腰三角形;棱錐的高、斜高和斜高在底面上的射影構(gòu)成一個(gè)

直角三角形;棱錐的高、側(cè)棱和側(cè)棱在底面上的射影也構(gòu)成一個(gè)直角三兔疊；斜高、側(cè)棱及底面邊長的一

半也構(gòu)成一個(gè)直角三角形;側(cè)棱在底面上的射影、斜高在底面上的射影及底面邊長的一半也構(gòu)成一個(gè)直免

三角形.

3.圓柱、圓錐

(1)圓柱、圓錐的概念：分別以矩形的一邊、直角三角形的一直角邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸,其余各邊旋轉(zhuǎn)一

周而形成的曲面所圍成的幾何體分別叫做圓柱、圓錐.

(2)圓柱、圓錐的性質(zhì)：圓柱、圓錐的軸截面分別是矩形、等腰三角形;平行于底面的截面都是圓.

4.球

(1)球面與球的概念：以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體叫做球體，簡稱球.半

圓的圓心叫做球的球心.

(2)球的截面性質(zhì)：球心和截面圓心的連線垂直王截面；球心到截面的距離d與球的半徑R及截面圓的半徑

r的關(guān)系為d—\]R2—p.

5.表面積、體積

（1）柱體、錐體的表面積

①直棱柱、正棱錐的側(cè)面積：S直棱柱側(cè)=。瓦S正棱錐側(cè)=（其中C為底面周長/為高，h'為斜高）.

②圓柱、圓錐的側(cè)面積：S圓柱側(cè)=生紅，S圓錐側(cè)=以（其中r為底面半徑，/為母線長）.

③柱的表面積等于側(cè)面積與兩個(gè)底面積的和,錐體的表面積等于側(cè)面積與一個(gè)底面積的和.

（2）柱體、錐體的體積

①棱柱、棱錐的體積：V棱柱=5歷，V棱錐（其中S為底面積，/7為高）.

②圓柱、圓錐的體積：V圓柱V圓錐=5/12〃（其中r為底面圓的半徑，/?為高）.

（3）球的表面積與體積：①半徑為R的球的表面積S球=4RR2.②半徑為R的球的體積丫球=爭TR.

考點(diǎn)一空間幾何體的面積

【例題】（1）已知某圓柱體的底面半徑為2,高為3,則該圓柱體的側(cè)面的面積為（）

3兀B.6C.6兀D.1271

【答案】D

【解析】由題意，則該圓柱體的側(cè)面的面積為2萬x2x3=12萬，故選：D.

（2）若一個(gè)正方體的體對(duì)角線長為。，則這個(gè)正方體的全面積為（）

A.2aB.20aC.2扃:D.3億:

【答案】A

【解析】設(shè)正方體的棱長為X,則=BPX2=^a2,所以正方體的全面積為6元?==2/,故選:

（3）一個(gè)正方體的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球的球面上，該正方體的棱長為a,則球的表面積是（)

A.必?！?5B.43兀。3C.Tia2D.37ta2

2

【答案】D

【解析】正方體的對(duì)角線是球的直徑，所以2R=耳，則尺=立〃，所以球的表面積S=4兀笈=37Kz2,故

2

選：D.

(4)若圓錐的軸截面為等腰直角三角形，且直角邊長為&,則該圓錐的側(cè)面積為()

A.兀B.宿C.2兀D.2亞71

【答案】B

【解析】因?yàn)閳A錐的軸截面是直角邊長為力的等腰直角三角形，所以圓錐的母線長為下，底面直徑長為2,

半徑為1,則此圓錐的側(cè)面積為乃xlx應(yīng)=晝，故選：B.

(5)半徑為2cm的小金屬球共有125個(gè)，熔化后鑄成一個(gè)大金屬球，如果不計(jì)損耗，可鑄成的大金屬球

的表面積為()

A.100B.400C.100萬D.400萬

【答案】D

A-jrA

【解析】設(shè)大金屬球的半徑為,，則三x23xl25=^x/nr=io,所以其表面積為4"=400%,故選:

D.

(6)三棱錐尸-ABC中，已知PAP8,PC兩兩垂直，S.PA=l,PB=PC=2,則三棱錐P—ABC的外接球

的表面積為-

【答案】9兀

［解析】以線段PAPB,PC為相鄰的三條棱為長方體，連接AB,BC,AC,即為三棱錐P-ABC,V如圖所示,

長方體的外接球與三棱錐的外接球相同，，則其外接球直徑為長方體對(duì)角線的長，設(shè)外接球的半徑為R,則

(27?)2=|PA|2+\PBf+\PCf=l2+22+22=9,解得R=t，則S=471改=4TIX；=9n,故答案為:9兀.

BD

【變式】(1)已知長方體的長、寬、高分別為5,4,3,那么該長方體的表面積為()

A.20B.47C.60D.94

【答案】D

【解析】長方體的長、寬、高分別為5,4,3,所以該長方體的表面積為(5x4+5x3+4x3)x2=94,故選：

D.

(2)用長為4,寬為2的矩形繞其一邊旋轉(zhuǎn)構(gòu)成一個(gè)圓柱，則此圓柱的側(cè)面積為()

A.8萬B.16萬C.247rD.327r

【答案】B

【解析】若以邊長4為軸，旋轉(zhuǎn)成一個(gè)圓柱，則側(cè)面積6=2乃x2x4=16萬，若以邊長2為軸，旋轉(zhuǎn)成一個(gè)圓

柱，貝I］側(cè)面積S=2%x4x2=16;r,故選：B.

(3)正方體的外接球與內(nèi)切球的表面積之比是()

A.1B.3C.3A/3D.'

【答案】B

【解析】設(shè)正方體的棱長為。，則其外接球的半徑為34,內(nèi)切球的半徑為所以正方體的外接球與內(nèi)

22

4蘆T

切球的表面積之比是—(2/=3,故選：B.

(4)已知圓錐的軸截面是邊長為1的等邊三角形，則該圓錐表面積為()

A.3兀B.兀C.-D.—

24

【答案】D

【解析】由圓錐的軸截面是邊長為1的等邊三角形可知：圓錐的底面圓半徑/=),母線長/=1,所以圓錐

3

的表面積為5=兀產(chǎn)+兀〃二:兀，故選：D.

4

(5)長、寬、高分別為1,2,3的長方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為.

【答案】14%

【解析】設(shè)球的半徑為R,由于長方體的體對(duì)角線為其外接球的直徑，則2R=J12+22+32=JS，故該球

的表面積為$=4萬氏2=%（2尺）2=14萬，故答案為：141.

（6）已知圓柱的軸截面是正方形，若圓柱的高與球的直徑相等，則圓柱的表面積與球的表面積之比

為.

【答案】3:2

【解析】設(shè)球的半徑為R,由題意得圓柱的底面半徑為尺高為2R,...圓柱的表面積為：S]=2"Rx2R+27rR2

=6兀吟球的表面積為：S2=4兀R2,所以圓柱的表面積與球的表面積之比為：=故答案為：3：2.

4次2

考點(diǎn)二空間幾何體的體積

【例題】（1）已知某圓柱的高為5,底面半徑為百，則該圓柱的體積為（）

A.6萬B.9%

C.127rD.157r

【答案】D

【解析】由題意得該圓柱的體積為萬?（君了J=15"，故選：D.

（2）若一個(gè)圓錐的底面半徑為1,母線長為2甘，則圓錐的體積是（）

A.?B.C.色兀D.3拒兀

【答案】C

【解析】因?yàn)閳A錐的底面半徑為1,母線長為2幣,所以圓錐的高為/z=J（2/7）2-F=3角,所以圓錐的體

積為：Sh=；x兀xfx3.=6兀，故選：C.

（3）如圖所示，正方體A3CZ）-ABIGA的棱長為1，則三棱錐。-ACQ的體積是（）

￡

C.D.1

2

【答案】A

【解析】三棱錐D-ACD]的體積等于三棱錐Di-ACD的體積，三棱錐Di-ACD的底面ACO是直角邊長為1

的等腰直角三角形，高。力=1,三棱錐。-AC/力的體積為丫=：xgxlxlxl=J,故選：A.

326

(4)三棱錐的三條側(cè)棱兩兩互相垂直，長分別為。，b,c,則這個(gè)三棱錐的體積是.

abc

【答案】6

【解析】PB=b,PC=c且尸A尸氏PC兩兩互相垂直,

''-s^AB=^PA-pB=^ab>XPC1PA,PC工PB,PAPBu平面R4B，24np8=尸，.?.尸C_L平面

1cc_117abc遼生一,、rabc

-VTZP-ABC=TVZC-PAB=~S^PAB，PC=~X~abXC=~^故答案為：?

j32oo

(5)已知圓柱的底面半徑為1,母線長為2,則該圓柱的外接球的體積為()

百兀

158岳r20小7T64垃兀

633-3~

【答案】B

【解析】如圖，。為外接球球心，母線8囪長度為2,底面半徑廠。23=1,易得外接球半徑

二外接球體積丫=缶，故選：B.

3

(6)已知一個(gè)圓柱的表面積等于側(cè)面積的萬，且其軸截面(過其軸的一個(gè)平面與該圓柱形成的截面)的周

長為16,則該圓柱的體積為.

【答案】16萬

2/z+4r=16心

I/z=4

【解析】令圓柱高為力，底面半徑為小則。。23。。，，可得c，所以圓柱的體積為

271rn+17ir=—x2兀rh=371rh\r=2

[2i

V=^-X22X4=16^,故答案為：16萬.

【變式】（1）如果軸截面為正方形的圓柱的側(cè)面積是4兀，那么圓柱的體積等于（）

7171

A.—B.—C.兀D.27t

23

【答案】D

【解析】因?yàn)閳A柱的軸截面為正方形，設(shè)圓柱的底面半徑為r,則高為2r,S惻=2ux2r=4口2=4n,則r=1,

故圓柱的體積為兀r2><2廠=2兀，故選：D.

（2）若球的最大截面圓面積擴(kuò)大為原來的2倍，則球體積擴(kuò)大為原來的（）

A.8倍B.4倍C.2四倍D.2倍

【答案】C

【解析】若球的最大截面圓面積擴(kuò)大為原來的2倍，則球的半徑擴(kuò)大為原來的0倍，則球體積擴(kuò)大為原來

的2忘倍，故選：C.

（3）已知一個(gè)圓錐的母線長為6,側(cè)面積為18兀，則此圓錐的體積為（）

A.9兀B.12兀C.9后D.12扃

【答案】C

【解析】設(shè)圓錐的底面半徑為,，高為h,則兀x6xr=187i,得r=3,所以圓錐的高為川=,6?-3?=3。，

因此該圓錐的體積丫=："2〃=；兀x32x3』=9岳，故選：C.

（4）一平面截一球得到直徑為2J豆機(jī)的圓面，球心到這個(gè)平面的距離是2s/,則該球的體積是（）

A.12/rcm3B.36兀cm3C.64痛乃cm3D.lOS/rcm3

【答案】B

【解析】設(shè)球心為。，截面圓心為。一連接。Q,則。Q垂直于截面圓如圖所示,

在R〃\OO]A中，OlA=y[5cm,。。1=2cm,.?.球的半徑R=04=+（占J=3?！?，.?.球的體積

4?！?/p>

V=-7Tx33=36^cm3,故選：B.

3

（5）在底面半徑為1的圓錐中，若該圓錐側(cè)面展開圖的面積是2萬，則該圓錐的體積為.

乖＞兀

【答案】丁

【解析】設(shè)圓錐每線長為/,底面半徑為廠=1,則圓錐側(cè)面展開圖的面積為2利心1=2萬，得/=2,所以圓

2

錐的體積為V=—7ir2J/2一/=,故答案為："兀.

3333

（6）“圓柱容球”是指圓柱形容器里放了一個(gè)球，且球與圓柱的側(cè)面及上、下底面均相切，則該圓柱的體積

與球的體積之比為（）

3廠兀

A.2B.—C.D.—

23

【答案】B

【解析】由題意得：圓柱的高及底面圓的直徑為球的直徑，設(shè)球的半徑為R,則圓柱的體積為：TIR2.2R=2R3n,

42R3n_3

球的體積為§兀爐，所以圓柱的體積與球的體積之比為4晟=5,故選：B.

【方法總結(jié)】

1.幾何體的展開與折疊

（1）幾何體的表面積，除球以外，一般都是利用展開圖求得的，利用空間問題平面化的思想，把一個(gè)平面圖

形折疊成一個(gè)幾何體，再研究其性質(zhì)，是考查空間想象能力的常用方法.（2）多面體的展開圖①直棱柱的側(cè)

面展開圖是矩形；②正棱錐的側(cè)面展開圖是由一些全等的等腰三角形拼成的，底面是正多邊形；③正棱臺(tái)

的側(cè)面展開圖是由一些全等的等腰梯形拼成的，底面是正多邊形.（3）旋轉(zhuǎn)體的展開圖①圓柱的側(cè)面展開圖

是矩形，矩形的長（或?qū)挘┦堑酌鎴A周長，寬（或長）是圓柱的母線長；②圓錐的側(cè)面展開圖是扇形，扇形的半

徑長是圓錐的母線長，弧長是圓錐的底面周長；③圓臺(tái)的側(cè)面展開圖是扇環(huán)，扇環(huán)的上、下弧長分別為圓

臺(tái)的上、下底面周長.

2.空間幾何體的表面積的計(jì)算方法

有關(guān)空間幾何體的表面積的計(jì)算通常是將空間圖形問題轉(zhuǎn)化為平面圖形問題，這是解決立體幾何問題常用

的基本方法.（1）計(jì)算棱柱、棱錐、棱臺(tái)等多面體的表面積，可以分別求各面面積，再求和，對(duì)于直棱柱、

正棱錐、正棱臺(tái)也可直接利用公式；（2）圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面是曲面，計(jì)算其側(cè)面積時(shí)需將曲面展為平

面圖形計(jì)算，而表面積是側(cè)面積與底面圓的面積之和；（3）組合體的表面積應(yīng)注意重合部分的處理.

3.空間幾何體的體積的計(jì)算方法（1）計(jì)算柱、錐、臺(tái)體的體積，關(guān)鍵是根據(jù)條件找出相應(yīng)的底面面積和高,

應(yīng)注意充分利用多面體的截面，特別是軸截面，將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題求解.（2）注意求體積的一些特

殊方法：分割法、補(bǔ)體法、還臺(tái)為錐法、等積變換法（如求三棱錐的體積可靈活變換頂點(diǎn)與底面）等，它們是

計(jì)算一些不規(guī)則幾何體體積常用的方法，應(yīng)熟練掌握.（3）利用三棱錐的“等體積性”可以解決一些點(diǎn)到平

面的距離問題，即將點(diǎn)到平面的距離視為一個(gè)三棱錐的高，通過將其頂點(diǎn)和底面進(jìn)行轉(zhuǎn)化，借助體積的不

變性解決問題.

9.4空間幾何體的表面積和體積

一、選擇題

i.用任意一個(gè)平面截一個(gè)幾何體，各個(gè)截面都是圓面，則這個(gè)幾何體一定是（）

A.圓柱B.圓錐C.球體D.多面體

【答案】C

【解析】對(duì)于A：圓柱的軸截面是矩形，與上下底面不平行的平面截得的截面是橢圓，故A

不符合題意；對(duì)于B；由于圓錐的軸截面是等腰三角形，故B不符合題意；對(duì)于C：用任意

的平面去截球，得到的截面均為圓面，可得C符合題意；對(duì)于D：多面體無論如何截得的

平面都不是圓，D不符合題意，故選：C.

2.已知某圓柱的軸截面是邊長為2的正方形，則此圓柱的體積為（）

A.6兀B.4兀C.2兀D.兀

【答案】C

【解析】圓柱體積為兀xl?x2=2兀，故選：C.

3.正方體的棱長擴(kuò)大到原來的6倍，則其表面積擴(kuò)大到原來的（）

A.2倍B.12倍C.18倍D.36倍

【答案】D

【解析】設(shè)正方體棱長為。，則其表面積為6〃，故正方體的棱長擴(kuò)大到原來的6倍，則其

表面積為6x36/,擴(kuò)大到原來的36倍，故選：D.

4.一個(gè)棱長為1的正方體的8個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則該球的表面積和體積之比值為

（）

3廣廣

A.2B.—C.\/3D.2v3

【答案】D

【解析】由題意知正方體外接球的直徑為JF+Y+F=宜,所以

S球=4/13_3￡

%4%R3R是，故選：D.

32

5.若一個(gè)圓錐的軸截面是等邊三角形，其面積為百，則這個(gè)圓錐的表面積是（)

A.3兀B.3后C.6兀D.9兀

【答案】A

【解析】設(shè)圓錐的底面半徑為X,則高為瓜，母線長為2x,；x2xx6x=6nx=l,所

以圓錐的底面半徑為1,高為母線長為2,所以圓錐的表面積為71x12+71x1x2=371,故

6.如圖，“蘑菇”形狀的幾何體是由半個(gè)球體和一個(gè)圓柱體組成，球的半徑為2,圓柱的底

面半徑為1,高為3,則該幾何體的表面積為（）

A.267rD.18%

【答案】D

【解析】由題意得，球的半徑尺=2,圓柱的底面半徑r=1,高力=3,則該幾何體的表面積

為S=2%A?+乃7?2+2%〃2=8萬+4萬+2;rxlx3=18;r,故選：D.

7.若圓錐的表面積為3兀，其側(cè)面展開圖為一個(gè)半圓，則下列結(jié)論簿誤的為（）

A.圓錐的底面半徑為1B.圓錐的母線長為2

C.圓錐的體積為乎兀D.圓錐的高為近

【答案】C

=lur

【解析】設(shè)圓錐底面圓半徑為r，母線長為/,則有,2。，解得廠=1,/=2,圓錐的

\jirl+Ttr=3兀

高h(yuǎn)=J/2一戶二6,

圓錐的體積^=』〃％=立"，即選項(xiàng)A,B,D都正確，C不正確，故選：C.

33

8.某圓柱體的底面直徑和高均與某球體的直徑相等，則該圓柱體表面積與球體表面積的比

值為（）

4

A.2B.一cD

3-1-i

【答案】C

【解析】設(shè)圓柱得底面半徑為R，則高為2R,球的半徑為R,所以圓柱體表面積

S[=2萬7?2+2TTR-27?=,

球得表面積邑=4萬玄，所以圓柱體表面積與球體表面積的比值為鬻■=1，故選：C.

9.圓柱內(nèi)有一個(gè)球。，該球與圓柱的上、下底面及母線均相切，已知圓柱的體積為16兀,

則球。的體積為（）

32K647iyc

A.-----B.-----C.16兀D.12兀

33

【答案】A

【解析】設(shè)球。的半徑為R,則圓柱的底面圓的半徑為R,高為2R,所以兀氏2.2尺=16兀,

解得：R=2,

43?

則球。的體積為一欣3=—兀，故選：A.

33

10.已知尸-ABC為棱長4的正四面體，則該正四面體的外接球的表面積為（）

A.6兀B.12兀C.24兀D.36兀

【答案】C

【解析】將正四面體p-ABC補(bǔ)形成正方體如下圖所示，正四面體的棱長為4,所以正方體

的邊長為4x1=20,所以正方體的對(duì)角線長為20x6=2"，所以正方體的外接球,

2

也即正四面體的外接球的半徑為迷，所以外接球的表面積為47tx（而『=24兀，故選：c.

二、填空題

11.若一個(gè)長方體的長、寬，高分別為4,2,3,則這個(gè)長方體外接球的表面積為.

【答案】29%

【解析】由題知，長方體的體對(duì)角線即為外接球的直徑，所以(2^)2=42+22+32=29,所

以T

所以外接球的表面積S=4%R2=29萬，故答案為：29%.

12.已知一個(gè)圓錐的底面半徑為6,其側(cè)面積39萬，則該圓錐的體積為

【答案】30下

【解析】由圓錐側(cè)面積S惻="〃=6M=39%，解得母線/=三，所以圓錐的高

圓錐體積V=gs底%=；萬/.〃=^萬x62x|=30萬，故答案為：30萬.

13.已知圓柱的側(cè)面展開圖是一個(gè)邊長為4萬的正方形，則這個(gè)圓柱的表面積和體積分別

為.

【答案】8兀+16兀2,16K2

【解析】因?yàn)閳A柱的側(cè)面展開圖是一個(gè)邊長為4兀的正方形，所以該圓柱的底面周長和高力均

47r

為4兀，,該圓柱的底面半徑廠=二=2,.?.表面積5=2兀泌+2兀/=16兀2+8兀，體積

2兀

V=nr2h=16TT2,故答案為：8TT+16K2,16兀2.

14.已知球內(nèi)接正方體的表面積為6,那么球體積等于.

【答案】巫

2

【解析】設(shè)正方體的邊長為。，則正方體的表面積S=6/=6,解得：〃=1,設(shè)正方體的外

接球的半徑為廠，則2r=有，所以r=￥，所以球體積丫=3b3=3"|等)=與,故答

案為：—.

2

15.已知一個(gè)圓柱和一個(gè)圓錐的軸截面分別是邊長為。的正方形和正三角形，則圓柱和圓錐

的體積之比為.

【答案】2君:1

【解析】由題意得：?圓柱的軸截面是邊長為。的正方形，，圓柱的底面半徑為廠=1,母

線長/=a,故圓柱的體積為丫=萬產(chǎn)/=乃］￡|。=；萬。3,又?.?圓錐的軸截面是邊長為。的正

三角形，，圓錐的底面半徑為『=二，母線長/=a,高線為川二立.，故圓錐的體積為

22

2

Vo=-7rrh=-,——Q=~~7l/，故圓柱和圓錐的體積比為V:%=2A/§:1,故答案為:

。33⑴2240

2A/3:1.

16.已知一個(gè)圓柱的高不變，它的體積擴(kuò)大為原來的4倍，則它的側(cè)面積擴(kuò)大為原來的一

倍.

【答案】2

【解析】設(shè)圓柱的高為〃，底面半徑為『，則體積為“%,體積擴(kuò)大為原來的4倍，則擴(kuò)大

后的體積為4兀產(chǎn)工因?yàn)楦卟蛔?，故體積4口2力=兀（2r）2/7,即底面半徑擴(kuò)大為原來的2倍,

原來側(cè)面積為2兀力，擴(kuò)大后的圓柱側(cè)面積為2r2泌=4兀4，故側(cè)面積擴(kuò)大為原來的2倍，

故答案為：2.

17.己知點(diǎn)P,A,B,C在同一個(gè)球的球表面上，PAmABC,AB1AC,抬=6，

BC=6,則該球的表面積為.

【答案】8萬

【解析】由于PAJ_平面ABC,所以PAJ_AB,PA_LAC,而AB_LAC,所以ARAB,AC是

長方體一個(gè)頂點(diǎn)引出的三條棱，設(shè)球的半徑為尺，貝IJ（2R）2=AP2+A32+AC2=5+3=8,所

以尺=血，所以球的表面積為4萬我=8不，故答案為：8萬.

18.已知一個(gè)健身球放在房屋的墻角處，緊靠墻面和地面，即健身球與圍成墻角的三個(gè)兩兩

互相垂直的面都相切，若墻角頂點(diǎn)到球面的點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離6+1,則球的體積是.

【答案】k

【解析】由已知可得，球心與墻角頂點(diǎn)可構(gòu)成邊長為R的正方體，則球心到墻角頂點(diǎn)的距

離為正方體的對(duì)角線，即用，又墻角頂點(diǎn)到球面的點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離g+1,則辰+R=g+1,

4?47r4TT

解得R=l,所以球的體積是:?加丁=芋，故答案為：子.

三、解答題

19.（1）已知球的表面積為64%，求它的體積;

（2）已知球的體積為不-乃，求它的表面積.

【答案】（1）—/r；（2）100%.

4

【解析】解：（1）設(shè)球的半徑為小則由已知得4獷2=64兀，r=4,所以球的體積：V=-x^xr?

256

（2）設(shè)球的半徑為H,由已知得；旅3=岑加，所以R=5,所以球的表面積為：S=4TTR2

=4兀乂52=100%.

20.已知一個(gè)長方體共一頂點(diǎn)的三個(gè)面的面積分別是也、粗、瓜,

（1）求這個(gè)長方體的對(duì)角線長.

（2）求這個(gè)長方體的的體積

【答案】（1）胡；（2）76

【解析】解：（1）設(shè)此長方體的棱長分別為a,