重難點突破03解三角形中的范圍與最值問題

目錄

01方法技巧與總結(jié)...............................................................2

02題型歸納與總結(jié)...............................................................2

題型一：周長問題................................................................2

題型二：面積問題................................................................4

題型三：長度和差比問題..........................................................5

題型四：轉(zhuǎn)化為角范圍問題........................................................6

題型五：倍角問題................................................................7

題型六：角平分線問題與斯庫頓定理................................................8

題型七：中線問題................................................................9

題型八：四心問題...............................................................10

題型九：坐標(biāo)法.................................................................11

題型十：隱圓（阿波羅尼斯圓）問題...............................................12

題型十一：兩邊逼近思想.........................................................13

題型十二：轉(zhuǎn)化為正切有關(guān)的最值問題.............................................13

題型十三：最大角（米勒問題）問題...............................................14

題型十四：費馬點、布洛卡點、拿破侖三角形問題...................................16

題型十五：托勒密定理及旋轉(zhuǎn)相似.................................................18

題型十六：三角形中的平方問題...................................................19

題型十七：等面積法、張角定理...................................................20

03過關(guān)測試....................................................................21

方法技巧與總結(jié)

1、在解三角形專題中，求其“范圍與最值”的問題，一直都是這部分內(nèi)容的重點、難點.解決這類問題,

通常有下列五種解題技巧：

（1）利用基本不等式求范圍或最值；

（2）利用三角函數(shù)求范圍或最值；

（3）利用三角形中的不等關(guān)系求范圍或最值；

（4）根據(jù)三角形解的個數(shù)求范圍或最值；

（5）利用二次函數(shù)求范圍或最值.

要建立所求量（式子）與已知角或邊的關(guān)系，然后把角或邊作為自變量，所求量（式子）的值作為函

數(shù)值，轉(zhuǎn)化為函數(shù)關(guān)系，將原問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問題.這里要利用條件中的范圍限制，以及三角形

自身范圍限制，要盡量把角或邊的范圍（也就是函數(shù)的定義域）找完善，避免結(jié)果的范圍過大.

2、解三角形中的范圍與最值問題常見題型：

（1）求角的最值；

（2）求邊和周長的最值及范圍；

（3）求面積的最值和范圍.

題型一：周長問題

【典例1-1】（2024.全國.二模）在AABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c

26；cosA=Z?cosC+ccosB,且〃=4sinA,貝U△ABC周長的最大值為()

A.4A/2B.6垃C.4A/3D.673

【典例1-2】(2024?廣西河池?模擬預(yù)測)已知AASC中角A,B,C的對邊分別為6,c,且

2ccosA=acosB+Z?cosA.

⑴求角A;

(2)若。=&，求AABC的周長的最大值，并求出此時角3,角C的大小.

【變式1-1](2024?江西南昌?三模)在銳角"LBC中，a=2y[3,(26-c)cosA=acosC,

(1)求角A；

(2)求“1BC的周長/的范圍.

【變式1-2](2024?廣東廣州?一模)”IBC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c且滿足。=2,

acosB=(2c-Z?)cosA.

(1)求角A的大?。?/p>

⑵求AASC周長的范圍.

【變式1-3](2024.貴州貴陽?模擬預(yù)測)記44BC內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且

(a2+b2—c2)(acosi?+6cosA)=abc.

(1)求C；

(2)若AABC為銳角三角形，c=2,求AABC周長范圍.

題型二：面積問題

【典例2-1】（2024?四川德陽?模擬預(yù)測）在AABC中，角A、B、C所對的邊分別為。、b、c,且

sinC=-cos-,b=3.

32

⑴求B;

（2）若“1SC為銳角三角形，求"1SC的面積范圍.

【典例2-2】（2024.全國.模擬預(yù)測）已知在銳角中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且

加=(2sinx,/)，n=(cosx,cos2x),f(^x)=m-n,/(B+C)=0.

⑴求角A的值;

（2）若b=l,求4WC面積的范圍.

【變式2-1］（2024?四川攀枝花.三模）已知AABC的內(nèi)角AB、C的對邊分別為a、b、c其面積為S,且

（e+。2-/=4后.

（I）求角A；

（ID若a=6）=m（m>0）,當(dāng)AABC有且只有一解時，求實數(shù)加的范圍及S的最大值.

【變式2-2］（2024?陜西安康?模擬預(yù)測）如圖，在平面四邊形A8CD中，AB=AC=BD=10,當(dāng)四邊形

ABCD的面積最大時，BC"+CD2+DA2的最小值為

【變式2-3](2024?陜西西安.模擬預(yù)測)在A4BC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且.=后,

"cos3=(3c-b)cosA,則AABC面積的最大值為.

題型三：長度和差比問題

【典例3-1】(2024?廣東深圳?模擬預(yù)測)已知AASC中內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且滿足

y/3c+bsinA=y/3acosB.

(1)求角A的大?。?/p>

⑵若力是邊上一點，且A力是角4的角平分線,求學(xué)的最小值.

【典例3?2】(2024.山西運城.模擬預(yù)測)AABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.

sin(A-B)a-b

(1)求證:

sinA+sinB

IT

(2)若AABC是銳角三角形，A-B^-,a-b^2,求c的范圍.

【變式3-1](2024?山東濰坊?一模)在①tanAtanC-5/^tanA=l+石tanC;②卜osB=A/^COSA；

③(a-V3c)sinA+csinC=bsinB這三個條件中任選一個，補充在下面問題中并作答.

問題：在AABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,6,c,且__________.

(1)求角B的大??；

⑵已知c=b+l,且角A有兩解，求6的范圍.

【變式3-2]在AABC中，a,b,c分別為角A,B,C所對的邊，b=2^),

(2c—a)sinC=W+c2-sinB

b

⑴求角B;

⑵求2a-c的范圍.

【變式3-3](2024.重慶.模擬預(yù)測)在AABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知

b=2ZJCOS2f->l-asin—COS—.

_U22)22_

(1)求角A的大??；

(2)若麗=定，且6+c=2,求A尸的最小值.

【變式3-4](2024.安徽亳州?高三統(tǒng)考期末)在銳角AABC中，角A,B,C的對邊分別為。，b,c,已

知asinC=ccosA--.

(1)求角A的大小;

(2)設(shè)H為AABC的垂心，且AH=1,求3//+CH的范圍.

題型四：轉(zhuǎn)化為角范圍問題

【典例4-1】在銳角AABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,6,。，且

(a+&)(sinAnsinB)=(c-b)sinC.

(D求A；

(2)求cosB-cosC的取值范圍.

【典例4-2】已知AABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為。、b、c,且a-b=c(cosB-cosA).

(D判斷AABC的形狀并給出證明；

（2）若a】b,求sinA+sinB+sinC的取值范圍.

【變式4-1］（2024.山西.模擬預(yù)測）鈍角中，角4民C的對邊分別為〃，b,。，若acosB=csinA,

則sinA+A/2sinB的最大值是.

【變式4?2】在AABC中，角A,B,。所對的邊分別是〃，b,c已知a=l,b=行.

（1）若48=（,求角A的大??；

（2）求cosAcos］A+^］的取值范圍.

題型五：倍角問題

【典例5-1】（多選題）在銳角AABC中,角A,3,C所對的邊分別為a,6,c,且c=6+26cosA,則下列結(jié)論

正確的有（）

A.A=2BB.B的取值范圍為

熹一熹+的取值范圍為

C.9的取值范圍為（6石）D.2s"

b

【典例5-2】（多選題）（2024?河北?三模）已知AABC內(nèi)角A、B、C的對邊分別是。、b、c,A=2B,則

A./=c(Z?+c)B的最小值為3

C.若AABC為銳角三角形，則D.若a=2瓜6=3,則c=5

b

An

【變式5-1］（2024.江西九江.一模）銳角三角形ABC中，若/C=2N3,則二片的范圍是（）

2T.C.

A.（0,2）B.（72,2）C.（應(yīng),6）D.（73,2）

c2

【變式5-2】在銳角AABC中，內(nèi)角A氏C所對的邊分別為a,6,c,若片=/+兒，則￡+奈萬的最小值

為一

題型六：角平分線問題與斯庫頓定理

【典例6-1】AABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知4asinA=bsinCcosA+csinAcosb

/＜、4sinAQ+

⑴求蓊的值;

(2)若BD是ZABC的角平分線.

Ci）證明：BD?=BABC—DADC;

(ii)若。=1,求3Z>AC的最大值.

【典例6-2】在AABC中，內(nèi)角A,8,C的對邊分別是a/,c,a=2A/3,6cosC-asinC=\(3b.

(1)求角A的大??；

(2)設(shè)/ABC的平分線與AC交于點D,當(dāng)AASC的面積最大時，求3。的長.

【變式6-1](2024?山西呂梁?一模)設(shè)“LBC的內(nèi)角AB,C的對邊分別為a,b,c,已知

bcosC+2ocosA=-ccosB.

(1)求A；

(2)設(shè)A的角平分線交3C于點M,AM=1,求6+4c的最小值.

【變式6-2](2024?廣東佛山?模擬預(yù)測)記銳角AABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為。、b、c,已知

sin2C+sin2S-sin2A=sin3sinC.

⑴求A；

(2)已知A的角平分線交BC于點D,求絲的取值范圍.

題型七：中線問題

JT

【典例7-1】在AABC中，ZB=-,。在邊AC上，乙4,乙B.NC對應(yīng)的邊為a,b,c.

⑴當(dāng)BD為的角平分線且后時，求工+」的值；

ac

⑵當(dāng)。為AC的中點且8。=2如時，求2c+a的取值范圍.

【典例7-2】(2024?高三?黑龍江大慶?期末)在"1SC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且

.「cB_.

smC=—cos—,Z?=3.

32

⑴求B；

(2)求AABC的AC邊中線30的最大值.

【變式7-1](2024?河北?模擬預(yù)測)在44BC中，角AB,C的對邊分別為a,6,c,且

(sinA-迅siafi)a=(c-Z?)(sinC+sinfi).

(1)求角C的大??；

(2)若邊c=2,邊A3的中點為D,求中線CD長的最大值.

【變式7-2](2024?高三?河北張家口?期末)在“1SC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,

4cosC-2Z?cosB+ccosA=0.

(1)若a=3,b=/7c,求AABC的面積；

(2)已知AD為邊3c的中線，且AD=g,求a+c的最大值.

【變式7-3］(2024?浙江?模擬預(yù)測)在AABC中，角A,B,C的對邊分別為a/,c且

7一?八a+2bnr

^cosC+csmB=a,----------------二672,

sinA+2sinB

(1)求》；

(2)求AC邊上中線長的取值范圍.

題型八：四心問題

【典例8-1】(2024?全國?模擬預(yù)測)已知銳角三角形ABC的內(nèi)角A,8,C的對邊分別為a,6,c,且

(c-6)sinC=(acosC-Z?)sinB+?cosBsinC.

⑴求角A；

(2)若H為AABC的垂心，a=2,求A/7BC面積的最大值.

【典例8-2】在銳角研C中，24，點。為AABC的外心.

（\^AO=xAB+yAC,求x+J7的最大值;

（2）若忸q=VL

①求證：OA+sin2B-OB—cosIB-OC=0;

@^OA+2OB+OC\的取值范圍.

【變式8-1］已知AABC的角A,B,C所對的邊分別為。，b,c,點。是AABC所在平面內(nèi)的一點.

⑴若點。是AABC的重心，且次.礪=0,求cosC的最小值；

(2)若點。是“BC的外心，BO=ABA+juBC(4,〃eR),且。=4,c=6,］加1+〃-g卜in。R)有

最小值，求機的取值范圍.

【變式8-2］從①(a+6+c)?(sinA+sinB-sinC)=asinB+26sinA；②

2asin4(：0$2+兒1112/1=2>/^〃<：0$(7這兩個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并解答.

在AABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且滿足：.

(D求角C的大小；

⑵若c=百，AABC的內(nèi)心為/,求△?周長的取值范圍.

注：如果選擇多個條件分別作答，按第一個解答計分.

【變式8-3］已知AABC的內(nèi)角A,8,C的對邊分別為a/,c,且ccosB-24cosA=6cosAcosB-4sin2B.

⑴求A；

(2)若°=6,0為AABC的內(nèi)心，求3O3+2OC的取值范圍.

【變式8-4】在44BC中，。也。分別是角A&C的對邊，2acosAn/cosC+ccosB.

(1)求角A的大小；

(2)若AABC為銳角三角形，且其面積為也，點G為AABC重心，點/為線段AC的中點，點N在線段

2

AB±,比AN=2NB,線段8M與線段CN相交于點尸，求|G耳的取值范圍.

題型九：坐標(biāo)法

【典例9-1】(2024?山東.二模)已知AABC內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,點G是AABC的重心，且

AGBG=0.

c

⑴若/GAB=合，求tanzGAC的值;

（2）求coszACB的取值范圍.

JT3

【典例9-2】在中，ZBAC=~,AB=AC=2,點M在AABC內(nèi)部，cosZAMC=—,則

25

MB1-A442的最小值為.

【變式9-1】在44BC中，AB=2,AC=3五,㈤C=135。，"是“IfiC所在平面上的動點，貝U

卬=蘇.標(biāo)+標(biāo)?旗+荻?涼的最小值為.

【變式9-2］在等邊AASC中，/為AABC內(nèi)一動點，ZBMC=120°,則黑的最小值是（）

MC

A.1B.-C.3D.近

423

題型十：隱圓（阿波羅尼斯圓）問題

【典例10-1】阿波羅尼斯的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學(xué)成果，它將圓錐曲線的性質(zhì)網(wǎng)羅殆

盡幾乎使后人沒有插足的余地.他證明過這樣一個命題：平面內(nèi)與兩定點距離的比為常數(shù)％（左＞0且后片1）

的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿氏圓，現(xiàn)有AABC,3C=6,sinB=gsinC,當(dāng)4WC的面積最大時,

則AC的長為.

【典例10-2］阿波羅尼斯是古希臘數(shù)學(xué)家，他與阿基米德、歐幾里得被稱為亞歷山大時期的“數(shù)學(xué)三巨匠”,

以他名字命名的阿波羅尼斯圓是指平面內(nèi)到兩定點距離之比為定值2（彳＞0,2/1）的動點的軌跡.已知在

△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,sinA=2sinB,acos3+bcosA=2,則44BC面積的最大值

為.

4

【變式10-1】在平面四邊形ABCD中，連接對角線8。，已知CD=9,BD=16,XBDC=90°,sinA=-,

則對角線AC的最大值為（）

A.27B.16C.10D.25

【變式10-2】已知AASC中，BC=2,G為AASC的重心，且滿足AGJ_BG,貝UAASC的面積的最大值為

【變式10-3］已知等邊AABC的邊長為2,點G是AABC內(nèi)的一點，S.AG+BG+CG^0,點尸在AASC

所在的平面內(nèi)且滿足西=1,則圖的最大值為.

【變式10-4］在平面四邊形ABCD中，ZBAD^90°,AB=2,">=1.若荏?衣+麗?比=g瓦?瓦,

貝IJCB+^CD的最小值為.

題型十一：兩邊逼近思想

【典例11-11在AABC中，且AASC的周長為12.

sinBsinA2J

（1）求證：AABC為直角三角形；

（2）求AABC面積的最大值.

【典例11-2】設(shè)AABC的內(nèi)角A,B,C的對邊長a,b,c成等比數(shù)列，cos（A-C）-cosB-1,延長3C至

D,若BD=2，則AACD面積的最大值為.

【變式11-1】設(shè)AASC的內(nèi)角A,B,C的對邊為。，b,c.己知。，b,c依次成等比數(shù)列，且

cos（A-C）-cosB=^,延長邊BC到。，若BD=4,則AACD面積的最大值為.

題型十二：轉(zhuǎn)化為正切有關(guān)的最值問題

【典例12-1】在銳角"1BC中，角A,B,C的對邊分別為。，b,c,S為AABC的面積，且

2S=a2-（b-c）2,則絲上1的取值范圍為______.

be

【典例12-2】（2024?河南.三模）在AABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.若

h

：/7+'='3c，則tanA+tanC的—最小值是（）

cosAcosBcosC

AQ

A.-B.-C.2V3D.4

33

【變式12/】（2024.內(nèi)蒙古呼和浩特.二模）在金。中，角A、B、。的對邊分別為，、b、c,若

c1

J1+邑5=則tanA-一1二的最小值為（）

b24/a2b2tanC

A.-B.-C.-D.-

3399

【變式12-2］在中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且加inOiC="sinB.

2

⑴求A角的值；

（2）若AABC為銳角三角形，利用（1）所求的A角值求一的取值范圍.

【變式12-3］在AABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且bsin-------=asmB.求:

2

（DA；

n—c

（2）一的取值范圍.

b

題型十三：最大角（米勒問題）問題

【典例13-1】某校開展數(shù)學(xué)專題實踐活動，要求就學(xué)校新建的體育館進行研究，為了提高研究效率，小王

和小李打算分工調(diào)查測量并繪圖，完成兩個任務(wù)的研究.

（1）小王獲得了以下信息：

a.教學(xué)樓A3和體育館CD之間有一條筆直的步道30；

b.在步道3。上有一點測得M到教學(xué)樓頂A的仰角是45。，到體育館樓頂C的仰角是30。；

c.從體育館樓頂C測教學(xué)樓頂A的仰角是15。；

d.教學(xué)樓A3的高度是20米.

請幫助小王完成任務(wù)一：求體育館的高度CO.

A

(2)小李獲得了以下信息：

。.體育館外墻大屏幕的最低處到地面的距離是4米；

b.大屏幕的高度PQ是2米；

C.當(dāng)觀眾所站的位置N到屏幕上下兩端P,。所張的角DPN。最大時，觀看屏幕的效果最佳.

請幫助小李完成任務(wù)二：求步道3。上觀看屏幕效果最佳地點N的位置.

【典例13-2】1471年德國數(shù)學(xué)家米勒向諾德爾教授提出一個問題：在地球表面的什么部位，一根垂直的懸

桿呈現(xiàn)最長(即視角最大，視角是指由物體兩端射出的兩條光線在眼球內(nèi)交叉而成的角)，這個問題被稱

為米勒問題，諾德爾教授給出解答，以懸桿的延長線和水平地面的交點為圓心，懸桿兩端點到地面的距離

的積的算術(shù)平方根為半徑在地面上作圓，則圓上的點對懸桿視角最大.米勒問題在實際生活中應(yīng)用十分廣泛.

某人觀察一座山上的鐵塔，塔高90m,山高160m,此人站在對塔“最大視角”(忽略人身高)的水平地面

位置觀察此塔，貝U此時“最大視角”的正弦值為()

【變式13-1】德國數(shù)學(xué)家米勒曾提出過如下的“最大視角原理”：對定點A、5和在直線/上的動點尸，當(dāng)/

與38的外接圓相切時，/APfi最大.若40,2),8(0,8),尸是x軸正半軸上一動點，當(dāng)尸對線段A3

的視角最大時，ZWZ的外接圓的方程為()

A.(尤一4)2+(>一4月=25B.(X-4)2+(J-5)2=16

C.(X-5)2+(^-4)2=16D.(x-4)2+(y-5>=25

【變式13-2](2024?山東濱州.二模)最大視角問題是1471年德國數(shù)學(xué)家米勒提出的幾何極值問題，故最

大視角問題一般稱為“米勒問題”.如圖，樹頂A離地面。米，樹上另一點8離地面6米，在離地面c(c<6)

米的C處看此樹，離此樹的水平距離為米時看A,B的視角最大.

A

3

【變式13-3】設(shè)AABC中，內(nèi)角A,B,。所對的邊分別為。，b,且〃cos3-bcosA=1c,則

tan(A-3)的最大值為()

題型十四：費馬點、布洛卡點、拿破侖三角形問題

【典例14-1】當(dāng)AAFC的三個內(nèi)角均小于120。時，使得44^8=/氏0。=/。皿=120。的點加為融。的

“費馬點”；當(dāng)AABC有一個內(nèi)角大于或等于120。時，最大內(nèi)角的頂點為AABC的“費馬點”.已知在AABC中,

角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,尸是"1SC的“費馬點

(1);^acosC+A/3CsinC-Z?-c=0,a=2A/3,B<C.

①求A；

②設(shè)AABC的周長為2否+6,求商+網(wǎng)+|可的值；

(2)若COS28+COS2C-COS2A=1,附+四=”西[,求實數(shù)t的最小值.

【典例14-21“費馬點”是由十七世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家費馬提出并征解的一個問題.該問題是：“在一個三角形內(nèi)

求作一點，使其與此三角形的三個頂點的距離之和最小.”意大利數(shù)學(xué)家托里拆利給出了解答，當(dāng)AABC的

三個內(nèi)角均小于120。時，使得/AO3=/3OC=NCQ4=120。的點。即為費馬點；當(dāng)AABC有一個內(nèi)角大于

或等于120。時，最大內(nèi)角的頂點為費馬點.試用以上知識解決下面問題：已知“LBC的內(nèi)角A,B,C所對的

邊分別為a/，c，且asinA=bsinB+csinC.

(1)求A；

⑵若6c=2,設(shè)點P為AASC的費馬點，求麗?麗+麗.無+定?麗；

(3)設(shè)點尸為"RC的費馬點，|正到+|尸。=4%],求實數(shù)t的最小值.

【變式14-1】(2024?湖北?三模)AABC內(nèi)一點。，滿足NQ4c=NOBA=NOCB,則點。稱為三角形的布

洛卡點.王聰同學(xué)對布洛卡點產(chǎn)生興趣，對其進行探索得到許多正確結(jié)論，比如

Z.BOC=TI-ZABC=ZBAC+ZACB,請你和他一起解決如下問題：

(1)若a,b,c分別是A,B,C的對邊,ZCAO=NBAO=ZOBA=Z.OCB證明：a2-be;

⑵在⑴的條件下，若AABC的周長為4.試把翳品表示為a的函數(shù)”)，并求器器的取值范圍.

【變式14-2】拿破侖定理是法國著名軍事家拿破侖最早提出的一個幾何定理：“以任意三角形的三條邊為

邊，向外構(gòu)造三個等邊三角形，則這三個等邊三角形的外接圓圓心恰為另一個等邊三角形(此等邊三角形

稱為拿破侖三角形)的頂點.”某街角公園計劃對園內(nèi)的一塊草坪進行改建，這塊草坪是由一個半徑為

2m的圓的一段優(yōu)弧與此圓弧上一條長為2面的弦圍成，改建計劃是在優(yōu)弧上選取一點C,以AC、BC、

AB為邊向外作三個等邊三角形，其外心依次記為A、BJC,在AA'3'C'區(qū)域內(nèi)種植觀賞花卉.

(1)設(shè)3c=°、AC=b,用a、b表示AA'5'C'的面積；

(2)要使AA'3'C面積最大，C點應(yīng)選在何處？并求出AAB'C'面積最大值.

【變式14-3】小明同學(xué)在一次數(shù)學(xué)課外興趣小組活動中，探究知函數(shù)〃力=，12-2》+，12+》在

-12-6上單調(diào)遞增，在-6<xW6上單調(diào)遞減.

于是小明進一步探究求解以下問題：

法國著名的軍事家拿破侖.波拿巴最早提出的一個幾何定理：“以任意三角形的三條邊為邊向外構(gòu)造三個

等邊三角形，則這三個三角形的外接圓圓心恰為另一個等邊三角形的頂點”.

在三角形ABC中，角4=60。，以A&3CAC為邊向外作三個等邊三角形，其外接圓圓心依次為。卜。2、。3,

若三角形。。2。3的面積為G，則三角形ABC的周長最小值為.

題型十五：托勒密定理及旋轉(zhuǎn)相似

【典例15-1】托勒密是古希臘天文學(xué)家、地理學(xué)家、數(shù)學(xué)家，托勒密定理就是由其名字命名，該定理原文:

圓的內(nèi)接四邊形中，兩對角線所包矩形的面積等于一組對邊所包矩形的面積與另一組對邊所包矩形的面積

之和.其意思為：圓的內(nèi)接凸四邊形兩對對邊乘積的和等于兩條對角線的乘積.從這個定理可以推出正弦、

余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理實質(zhì)上是關(guān)于共圓性的基本性質(zhì).已知四邊形ABCQ的

四個頂點在同一個圓的圓周上，AC,2。是其兩條對角線，50=473,且AACD為正三角形，則四邊形

的面積為（）

A.16小B.16C.12A/3D.12

【典例15-2】托勒密是古希臘天文學(xué)家、地理學(xué)家、數(shù)學(xué)家，托勒密定理就是由其名字命名，該定理原文:

圓的內(nèi)接四邊形中，兩對角線所包矩形的面積等于一組對邊所包矩形的面積與另一組對邊所包矩形的面積

之和.其意思為：圓的內(nèi)接凸四邊形兩對對邊乘積的和等于兩條對角線的乘積.從這個定理可以推出正弦、

余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理實質(zhì)上是關(guān)于共圓性的基本性質(zhì).已知四邊形ABCD

的四個頂點在同一個圓的圓周上，AC.30是其兩條對角線，BD=40，且AACD為正三角形，則四邊

形ABCD的面積為（）

A.8B.16C.873D.1673

【變式15-1】克羅狄斯?托勒密是古希臘著名數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家和地理學(xué)家，他在所著的《天文集》中講述

了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四邊形中，兩條對角線的乘積小于或等于兩組對邊乘積之

和，當(dāng)且僅當(dāng)凸四邊形的對角互補時取等號，后人稱之為托勒密定理的推論.如圖，四邊形ABC。內(nèi)接于

半徑為2相的圓，ZA=120°,ZB=45°,AB^AD,則四邊形ABC。的周長為（）

A.4A/3+6A/2B.10A/3C.4后+40D.4右+5夜

【變式15-2］凸四邊形就是沒有角度數(shù)大于180。的四邊形，把四邊形任何一邊向兩方延長，其他各邊都在

延長所得直線的同一旁，這樣的四邊形叫做凸四邊形，如圖，在凸四邊形ABC。中，AB^l,BC=^,

ACLCD,AD=2AC,當(dāng)/ABC變化時，對角線2。的最大值為（）

A.4B.V13C.373D.,7+2」

【變式15-3］在AABC中，BC=C，AC=1,以AB為邊作等腰直角三角形4犯（B為直角頂點，C,D

兩點在直線AB的兩側(cè)）.當(dāng)角C變化時，線段8長度的最大值是（）

A.3B.4C.5D.9

【變式15-4］如圖所示，在平面四邊形ABC。中，AB=l,BC=2,AACZ）為正三角形，貝必面積的最

大值為（）

A.2用2B,與C.與+2D.國］

題型十六：三角形中的平方問題

【典例16-1】（2024.高三.江蘇常州?期末）已知AABC中，AB=AC=6,AABC所在平面內(nèi)存在點尸使得

PB2+PC2^^PA2^3,則A4BC面積的最大值為.

【典例16-2】（2024?遼寧遼陽?一模）在“1BC中，內(nèi)角AB,C的對邊分別為a,b,c,S,a1+4b2=6c2,

?20

則smC的最小值為________.

sinAsinB

【變式16-1】已知AABC的三邊分別為a,b,c,若滿足/+抉+2/=8,貝IJAABC面積的最大值為（）

A.—B.C.D.—

5553

【變式16-2］在"LBC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且滿足5〃+36=3c?,貝UsinA的取值

范圍是.

【變式16-3］（2024.湖南常德.常德市一中校考模擬預(yù)測）秦九韶是我國南宋著名數(shù)學(xué)家，在他的著作《數(shù)

書九章》中有已知三邊求三角形面積的方法：“以小斜累并大斜累減中斜累，余半之，自乘于上以小斜累

乘大斜幕減上，余四約之，為實一為從陽，開平方得積.”如果把以上這段文字寫成公式就是

尼2_廣+；-61］,其中a,b,。是AABC的內(nèi)角A,B,C的對邊，若sinC=2sinAcos3,

且。2+°2=4,則“1SC面積S的最大值為（）

A.—B.—C.D.

5555

【變式16-4］（2024?云南?統(tǒng)考一模）已知AABC的三個內(nèi)角分別為A、B、C.若sin2c=2sin2A-3g8,

則tan8的最大值為（）

Aq75「11—3小

A.R15.C.----------JnJ.--------

32205

題型十七：等面積法、張角定理

【典例17-11（2024?江蘇?模擬預(yù)測）在AABC中，點。在邊上，且滿足”=福.

BCBD

⑴求證：ZACD=ZBCD；

（2）^tanA+tanBtanAtanB-A/3=0，CD=2,求^ABC的面積的最小值.

【典例17?21已知及45。的面積為S/A4C=2a,A。是母短。的角平分線，則AO長度的最大值為（）

S

C.VS-tanaD.

tana

【變式17?1］（2024?上海寶山?高三海市吳淞中學(xué)?？计谥校┙o定平面上四點。A,民。滿足

OA=4,OB=3,OC=2,OBOC=3,則AASC面積的最大值為.

【變式17-2］已知AASC,內(nèi)角A5c所對的邊分別是瓦C,c=l,NC的角平分線交A3于點D若

sinA+sinB=2sin^ACB,則CO的取值范圍是.

【變式17-3］在AABC中，角A,B,C的對邊分別為。，b,c,ZASC=120°,/ABC的平分線交AC

于點。，且3。=1,貝U2a+c的最小值為一.

1.（2024?甘肅武威.一模）在AABC中，AB=3,AC=2,BC>近,則cosA的范圍是（）

2.（多選題）（2024?山東濟南?三模）已知AABC內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,外接圓半徑為

R.若a=l,且sinA—bsinB=（c+b）sinC,則（）

A.sinA=^B.AABC面積的最大值為走

24

C.R=2叵D.BC邊上的高的最大值為理

36

c+4〃

3.（2024.貴州貴陽?二模）在“BC中，角A,民C所對的邊分別為a,6,c,且2acos3=c-a.當(dāng)----取最小

b

值時，A=—.

4.（2024?四川自貢?三模）如圖，。為AABC的邊AC上一點，|A￡>|=2|DC|,Zz4BC=60°,

\AB\+2\BC\=4,則怛9的最小值為一.

5.（2024.四川南充.二模）在AWC中，a,b,。分別為內(nèi)角A,B,C的對邊.已知4=2,

2sinB+2sinC=3sinA.則cosA的最小值為__.

6.（2024?重慶九龍坡?三模）設(shè)AABC的內(nèi)角A,B,。的對邊分別為〃，b,c,其面積為S,已知

asin2=csinA,。=2.則。=__；S的最大值為.

7.已知AABC的三個內(nèi)角A,B,C滿足駕+啊￡=2（tanB+tanC）,則A的最大值是

cosCcosB

8.在AASC中，角A,B,C對應(yīng)的邊分別為a、b、c,。是AB上的三等分點(靠近點A)且CD=1,

(a-&)sinA=(c+Z>)(sinC-sinB),則a+28的最大值為.

9.(2024?遼寧?一模)設(shè)AABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,c=2且2sin?Asin?8

+sinAsinB=Lsin2Asin23,貝1!a+b的范圍是.

2

10.中AB=AC=2,“BC所在平面內(nèi)存在點尸使得尸g2+PC2=4,PA2=b則AABC的面積最

大值為?

11.(2024?江蘇蘇州?三模)在AAFC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且aw8,c=l.

(1)若|E+而|=|通|,2sinA=sinC,求AABC的面積；

(2)若cosB-cosA="2"，求使得>a+6恒成立時，實數(shù)"，的最小值.

12.(2024?江西鷹潭.二模)AA6C的內(nèi)角A,民C的對邊分別為a,b,c,滿足上士=0

cosAcosB

77

⑴求證：A+2B=~.

(2)求心之的最小值.

c

13.(2024.陜西安康?模擬預(yù)測)記AABC的內(nèi)角A,氏C所對的邊分別為a,6,c,己知.