第12講矩形（核心考點(diǎn)講與練）

,聚焦考點(diǎn)

一.矩形的性質(zhì)

（1）矩形的定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形.

（2）矩形的性質(zhì)

①平行四邊形的性質(zhì)矩形都具有；

②角：矩形的四個(gè)角都是直角；

③邊：鄰邊垂直；

④對(duì)角線：矩形的對(duì)角線相等；

⑤矩形是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形.它有2條對(duì)稱軸，分別是每組對(duì)邊中點(diǎn)連線所在的直線;

對(duì)稱中心是兩條對(duì)角線的交點(diǎn).

（3）由矩形的性質(zhì)，可以得到直角三角形的一個(gè)重要性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的

一半.

二.矩形的判定

（1）矩形的判定：

①矩形的定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形；

②有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形；

③對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形（或“對(duì)角線互相平分且相等的四邊形是矩形”）

（2）①證明一個(gè)四邊形是矩形，若題設(shè)條件與這個(gè)四邊形的對(duì)角線有關(guān)，通常證這個(gè)四邊形的對(duì)

角線相等.

②題設(shè)中出現(xiàn)多個(gè)直角或垂直時(shí)，常采用“三個(gè)角是直角的四邊形是矩形”來判定矩形.

三.矩形的判定與性質(zhì)

（1）關(guān)于矩形，應(yīng)從平行四邊形的內(nèi)角的變化上認(rèn)識(shí)其特殊性：一個(gè)內(nèi)角是直角的平行四邊形，

進(jìn)一步研究其特有的性質(zhì)：是軸對(duì)稱圖形、內(nèi)角都是直角、對(duì)角線相等.同時(shí)平行四邊形的性質(zhì)

矩形也都具有.

在處理許多幾何問題中，若能靈活運(yùn)用矩形的這些性質(zhì)，則可以簡捷地解決與角、線段等有關(guān)的

問題.

（2）下面的結(jié)論對(duì)于證題也是有用的：①△048、△OBC都是等腰三角形；②/OAB=/OBA,

ZOCB=ZOBC；③點(diǎn)。到三個(gè)頂點(diǎn)的距離都相等.

A

矩形的性質(zhì)（共4小題）

1.（寧波模擬）如圖，在矩形A3CD中，AB=6,2c=10,E是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)8,C）,

連接E4,F是CD邊上一點(diǎn),設(shè)若存在唯一的點(diǎn)E,使/歹￡4=90°,則a的值是（）

2.（江北區(qū)開學(xué)）如圖，已知在矩形A8CD中，A3=2,BC=2?，點(diǎn)尸是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

連接BP,點(diǎn)C關(guān)于直線BP的對(duì)稱點(diǎn)為。，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)。也隨之運(yùn)動(dòng).若點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到

點(diǎn)D，則線段CC1掃過的區(qū)域的面積是_.

3.（寧波期末）如圖，矩形A3。被分割成4個(gè)小矩形，其中矩形AEP/fs矩形HZWPs矩形PEBG,

AE>AH,AC交HG,EP于點(diǎn)M,Q,若要求△APQ的面積，需知道下列哪兩個(gè)圖形的面積之差

A.矩形AEPH和矩形PEBGB.矩形印尸和矩形AEPH

C.矩形HZWP和矩形PE8GD.矩形TTOf尸和矩形尸GCF

4.（鎮(zhèn)海區(qū)校級(jí)期末）如圖，在長方形ABCQ中，AB=3,對(duì)角線4c=5,BE平分/ABC交A￡）于

點(diǎn)、E,。是線段BE上的點(diǎn)，連接C。，過點(diǎn)C作CPLC。交AD的延長線于點(diǎn)P,當(dāng)△PCQ為等腰三

角形時(shí)，AP=.

EDp

B

二.矩形的判定（共4小題）

5.（上城區(qū)二模）已知四邊形ABCD為平行四邊形，要使四邊形A3。為矩形，則可增加條件為

（）

AD

A.AB=BCB.AC=BDC.ACLBDD.AC平分

6.（濱江區(qū)校級(jí)三模）如圖，ZkABC中，N8=90°,點(diǎn)E在AC上，EF_LAB于點(diǎn)尸，EG_LBC于點(diǎn)

G,能求出四邊形尸EBG面積的條件是已知（）

A.△AEP面積與△CEG面積之和

B.△A￡F面積與ACEG面積之差

C.△?!￡■尸面積與aCEG面積之商

D./XAEF面積與△CEG面積之積

7.（仙居縣期末）如圖，四邊形ABCO為平行四邊形，延長AO到E,使。E=A。，連接EB,EC,

DB,添加一個(gè)條件，不能使四邊形O2CE成為矩形的是（）

A.AB=BEB.CELDEC.NAOB=90°D.BE±DC

8.（金東區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，有點(diǎn)A（3,0）,點(diǎn)8（3,5）,射線AO上的動(dòng)

點(diǎn)C,y軸上的動(dòng)點(diǎn)。，平面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)E,若/CBA=NCBD,以點(diǎn)8,C,D,E為頂點(diǎn)的四

邊形是矩形，則AC的長為.

三.矩形的判定與性質(zhì)（共4小題）

9.（南湖區(qū)校級(jí)期中）下列是關(guān)于某個(gè)四邊形的三個(gè)結(jié)論：①它的對(duì)角相等；②它是一個(gè)矩形;

③它是一個(gè)平行四邊形.下列推理過程正確的是（）

A.由①推出②，由②推出③B.由①推出③，由③推出②

C.由②推出③，由③推出①D.由③推出①，由①推出②

10.（涿鹿縣期末）如圖，在△A8C中，/A=90°,AC=8,AB=6,點(diǎn)。是8c邊上的動(dòng)點(diǎn)（不

與B,C重合）過點(diǎn)。作于點(diǎn)E,作D/UAC于點(diǎn)R貝加廠的最小值是（）

C.5

5

11.（余姚市期末）如圖，矩形A12C1O1在矩形A8CD的內(nèi)部，且31cl_LBC,點(diǎn)81,在對(duì)角線

2。的異側(cè).連結(jié)DBi,BDi,DD\,若矩形ABC。選形AiBCiOi,且兩個(gè)矩形的周長已

知.只需要知道下列哪個(gè)值就一定可以求得四邊形BLBDLD的面積（）

A.矩形A3CD的面積B.的度數(shù)

C.四邊形的周長D.B21的長度

12.（拱墅區(qū)期中）如圖，在△ABC中，ZBAC=9Q°,AB=3,AC=4,P為邊BC上一動(dòng)點(diǎn),PE

_LA8于E,PFLAC^-F,則E歹的最小值為（）

B

A.1.2B.1.25C.2.4D.2.5

1能力提升

M分層提分

題組A基礎(chǔ)過關(guān)練

選擇題（共8小題）

1.（永嘉縣校級(jí)期末）如圖，ABCD、A￡FC都是矩形，而且點(diǎn)8在Er上，這兩個(gè)矩形的面積分別

是Si,&,則Si,S2的關(guān)系是（）

A.51>52B.51<S2C.51=52D.351=252

2.（上城區(qū)校級(jí)期末）如圖，在矩形A3CD中，AB=2BC,在CD上取一點(diǎn)E,使4右=45,則NE3C

等于（）

3.（永嘉縣校級(jí)期末）如圖，矩形A3CD的對(duì)角線交于點(diǎn)。若NBAO=55°,則NAOD等于（）

A.110°B.115°C.120°D.125°

4.（婺城區(qū)校級(jí)期末）如圖，在矩形A8CD中，A8=3,BC=4,連接BD,作/CB￡）的平分線交

CD于點(diǎn)E,則CE的長度為（）

A.AB.2C.3D.4

3

5.（永嘉縣校級(jí)期末）如圖，在矩形ABC。中，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O,自點(diǎn)A作AE_L8O于點(diǎn)E,

且BE：￡0=1：3,過點(diǎn)。作OF_LA。于點(diǎn)R若OF=3c機(jī)，則8。的長為（）cm.

C.12D.15

6.（拱墅區(qū)期末）如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC,相交于點(diǎn)。，OE_LAC于點(diǎn)E,NEDC：

ZEDA=1：2,且AC=8,貝“EC的長度為（）

C.4D.V3

7.（鎮(zhèn)海區(qū)期末）如圖，已知四邊形ABCD是矩形，點(diǎn)M在8C上，BM=CD,點(diǎn)幃。上，且。N

=CM,DM與BN交于■點(diǎn)、P,則￡>M：BN=（）

C.&：近D.2：75

8.（營口期末）矩形ABC。與ECBG如圖放置，點(diǎn)3,C,歹共線，點(diǎn)C,E,。共線，連接AG,取

AG的中點(diǎn)連接EH.若A8=CF=4,BC=CE=2,則EH=（）

c.aD.娓

9.矩形ABC。中，橫向陰影部分是長方形，另一部分是平行四邊形，依照?qǐng)D中標(biāo)注的數(shù)據(jù)，圖中

空白部分的面積為.

10.（西湖區(qū)校級(jí)期末）如圖，在矩形ABC。中，E是邊上一點(diǎn)，且AE=AO=5,若AB=3,則

CE的長是

11.（樂清市期末）若使平行四邊形ABCD為矩形，需添加一個(gè)條件為—.（填出一種情況即可）

12.（溫州期末）如圖，在矩形A8CD中，AC,8D相交于點(diǎn)。，已知。。=5,AD=6,則該矩形

的周長是.

13.（江干區(qū)期末）如圖，在矩形中，E,尸分別是A￡>,AB的中點(diǎn)，若AC=4,則所的長是.

14.（濱江區(qū)校級(jí)開學(xué)）如圖，矩形A3CD中，AB=4,BC=2遙，連結(jié)對(duì)角線AC,E為AC的中點(diǎn),

下為邊AB上的動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)EF,作點(diǎn)C關(guān)于直線EF的對(duì)稱點(diǎn)C',連結(jié)。E,CF,CF,若4

EFC與△ACF重疊部分面積等于△ACP面積的工，則AGEG（填或“<”），

4—

15.（溫州期末）如圖，在長方形ABC。中，AB=3,BC=6,現(xiàn)將它先向上平移2個(gè)單位，再向右

平移1個(gè)單位得到長方形A，B'CD',連結(jié)CC',則圖中陰影部分的面積是.

三.解答題（共6小題）

16.（北侖區(qū)一模）如圖，在邊長為1的正方形網(wǎng)格內(nèi)，點(diǎn)A,B,C,￡>均在格點(diǎn)處，移動(dòng)點(diǎn)A,B,

C,￡）的其中一點(diǎn)，使這點(diǎn)仍落在格點(diǎn)處，把原四邊形ABC。變形成一個(gè)與它面積相等的三角形

17.（淅川縣期末）如圖，在矩形ABCD中，NBA。的平分線交2C于點(diǎn)E,交OC的延長線于點(diǎn)F

（1）若A8=2,AO=3,求石尸的長；

（2）若G是砂的中點(diǎn)，連接BG和。G,求證：DG=BG.

18.(溫嶺市期末)如圖，在平行四邊形A8CD中，EF是直線D8上的兩點(diǎn)，DE=BF.

(1)求證：四邊形ABCE是平行四邊形;

(2)若四邊形AFCE是矩形，S.BDLAD,AB=5,AO=3,求DE的長.

19.(下城區(qū)期中)如圖，已知口488,延長AB到E,使BE=AB,連接8D,ED,EC,若ED=

AD.

(1)求證：四邊形BECD是矩形；

(2)連接AC,若AO=6,CD=3,求AC的長.

BE

20.(余姚市期末)如圖，在直角坐標(biāo)系中，長方形ABCO的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為A(1,1),B(6,

1),D(1,4),且軸，點(diǎn)P(a,b-2)是長方形內(nèi)一點(diǎn)(不含邊界).

(1)求a,匕的取值范圍.

(2)若將點(diǎn)尸向左移動(dòng)8個(gè)單位，再向上移動(dòng)2個(gè)單位到點(diǎn)Q,若點(diǎn)。恰好與點(diǎn)C關(guān)于y軸對(duì)稱,

求。，匕的值.

21.(金華期中)如圖，點(diǎn)尸是矩形ABCD的邊AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，矩形的兩條邊AB、BC的分別為3

和4,求點(diǎn)P到矩形的兩條對(duì)角線4c和8。的距離之和.

RC

題組B能力提升練

選擇題（共7小題）

1.（西湖區(qū)校級(jí)期末）如圖，矩形A3CD中，AB=Q四邊形ABCI。是平行四邊形，點(diǎn)。1在BC

邊上且△A8D1的面積是矩形A8CD面積的工，則平行四邊形ABC1O1的面積是（：）

A.2B.3C.2遙D.3遙

2.（杭州期末）如圖，矩形A8CD中，對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)、0,點(diǎn)E是邊上一點(diǎn)，且。及LAC.設(shè)

ZAOD=a,NAE1O=0,則a與0間的關(guān)系正確的是（）

4EB

A.a=0B.a+p=180°C.2a+p=180°D.a+2p=180°

3.(西湖區(qū)期末)如圖，矩形ABC。中,E,歹是。上的兩個(gè)點(diǎn)，EGLAC,FHLAC,垂足分別

為G,H,若A￡>=2,DE=l,CF=2,且AG=CH,則EG+F7/=()

D'C

「L

A.V3+1B.娓C.3D.A

2

4.（拱墅區(qū)期中）如圖，在△ABC中，ZBAC=90°,AB=3,AC=4,尸為邊上一動(dòng)點(diǎn)，PE

_LA8于E,PFLAC^-F,則EF的最小值為（）

A.1.2B.1.25C.2.4D.2.5

5.（諸暨市月考）如圖，一塊長方形場地ABCD的長AB與寬BC的比是加：1,DELAC,BFLAC,

垂足分別是E、歹兩點(diǎn).現(xiàn)計(jì)劃在四邊形歹區(qū)域種植花草，則四邊形歹與長方形ABC。的

面積比等于（）

A.1：3B.2：3C.1：2D.1：4

6.（達(dá)州）矩形048C在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，已知8（2?,2）,點(diǎn)A在x軸上，

點(diǎn)C在y軸上，P是對(duì)角線上一動(dòng)點(diǎn)（不與原點(diǎn)重合），連接PC,過點(diǎn)尸作尸。，尸C,如軸于

點(diǎn)。.下列結(jié)論：

①OA=BC=2心

②當(dāng)點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)到。4的中點(diǎn)處時(shí)，PC2+PD2=7；

③在運(yùn)動(dòng)過程中，NCDP是一個(gè)定值；

④當(dāng)△OOP為等腰三角形時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（心巨，0）.

3

其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

7.（西湖區(qū)校級(jí)自主招生）如圖，在矩形ABC。中，AB=6,叱=6M，點(diǎn)E是邊8C上一動(dòng)點(diǎn)，

8關(guān)于AE的對(duì)稱點(diǎn)為8,，過B'作&尸，￡>C于R連接。B',若△￡>用b為等腰直角三角形,

貝的長是（）

C.3V2D.6A/2-6

填空題（共6小題）

8.（溫州期中）如圖，在長方形A8C￡>中，點(diǎn)E是8c上一點(diǎn)，連結(jié)AE,以AE為對(duì)稱軸作△ABE的

軸對(duì)稱圖形△AB'E,延長防'恰好經(jīng)過點(diǎn)￡>,過點(diǎn)E作所，8C,垂足為E,交AB'于點(diǎn)R已

知A8=9,AO=15,則EF=

9.（婺城區(qū)校級(jí)月考）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中有一個(gè)矩形。ABC,QA=3,OC=4,尸為

線段上一動(dòng)點(diǎn)，將直線。尸繞點(diǎn)尸逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°交直線BC于點(diǎn)Q,則線段CQ的長度的

最小值是,

io.（西湖區(qū)期末）如圖，將長，寬分別為1的長方形紙片剪成四個(gè)等腰三角形紙片（無余

紙片），則四個(gè)等腰三角形的腰長均為.

11.（上虞區(qū)期末）如圖，矩形ABC。的對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)O,A8=6,BC=8,過點(diǎn)。作OE

_LAC,交A￡＞于點(diǎn)E,過點(diǎn)E作W_L8。，垂足為R則OE+EF的值為.

12.（上城區(qū)校級(jí)期末）如圖，在矩形ABC￡＞中，E,尸分別為AD,AB上一點(diǎn)，且EP=EC,EFI

EC,若OE=2,矩形ABC￡＞的周長為24,則矩形ABC￡＞的面積為___.

13.（南海區(qū)校級(jí)月考）如圖，在矩形A3CD中，BC=4,/8DC的平分線交BC于點(diǎn)P,作點(diǎn)尸關(guān)

于8。的對(duì)稱點(diǎn)P,若點(diǎn)P落在矩形ABC。的邊上，貝必2