第八節(jié)用空間向量研究夾角問題高中總復(fù)習·數(shù)學課標要求

能用向量方法解決異面直線、直線與平面、平面與平面的夾角問

題，并能描述解決這一類問題的過程，體會向量方法在研究空間角問

題中的作用.目錄CONTENTS知識·逐點夯實01.考點·分類突破02.課時·跟蹤檢測03.PART01知識·逐點夯實必備知識|課前自修

1.

異面直線所成角

提醒

兩異面直線所成的角為銳角或直角，而不共線的向量的夾角的范圍為

（0，π），所以公式中要加絕對值.

2.

直線與平面所成角

3.

平面與平面的夾角

1.

判斷正誤.（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）（1）兩直線的方向向量所成的角就是兩條直線所成的角.

（

×

）（2）直線的方向向量和平面的法向量所成的角就是直線與平面所成的角.

（

×

）（3）兩個平面的法向量所成的角是這兩個平面所成的角.

（

×

）×××2.

（人A選一P36例7改編）已知直線l1的方向向量s1＝（1，0，1），直線

l2的方向向量s2＝（－1，2，－2），則l1和l2夾角的余弦值為（

）A.

B.

C.

D.

√3.

（人A選一P44習題15題改編）已知點E，F(xiàn)分別在正方體ABCD-

A1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，則平面AEF與

平面ABC夾角的余弦值為

?.解析：如圖，建立空間直角坐標系.

5.

（人A選一P41練習1題改編）已知兩平面的法向量分別為m＝（0，1，

0），n＝（0，1，1），則兩平面所成的二面角的大小為

?

?.

45°或

135°PART02考點·分類突破精選考點|課堂演練

異面直線所成的角（師生共研過關(guān)）

如圖所示，在三棱錐O-ABC中，OA，OB，OC兩兩互相垂直，E為OC的中點，且OB＝OC＝2OA＝2，則直線AE與BC所成角的大小是（

）A.30°B.45°C.60°D.90°√

解題技法用向量法求異面直線所成角的步驟（1）坐標向量法

1.

如圖，已知以O(shè)為圓心，2為半徑的圓在平面α上，若PO⊥α，且PO

＝4，OA，OB為圓O的半徑，且∠AOB＝90°，M為AB的中點，則異

面直線OB與PM所成角的余弦值為

?.

直線與平面所成的角（師生共研過關(guān)）

（1）如圖所示，正四面體PABC中，M，N分別是BC，PC的中

點，則AP與平面AMN所成角的正弦值為（

C

）CA.

B.

C.

D.

（2）已知E，F(xiàn)，O分別是正方形ABCD的邊BC，AD及對角線AC的中

點，將△ACD沿著AC進行翻折構(gòu)成三棱錐，則在翻折過程中，直線EF與

平面BOD所成角的余弦值的取值范圍為

?.

解題技法利用空間向量求線面角的解題步驟提醒

線面角的正弦值對應(yīng)向量夾角的余弦值的絕對值.

（2025·洛平許濟第四次質(zhì)量檢測）如圖，在四棱臺ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD為平行四邊形，側(cè)棱DD1⊥平面ABCD，AB＝2AD＝2A1B1＝

4，∠ADC＝120°.（1）證明：平面DBB1D1⊥平面ADD1A1；解：

證明：因為底面ABCD為平行四邊形，

∠ADC＝120°，所以∠DAB＝60°，因為在△ABD中，DA＝2，AB＝4，

因為AD?平面ADD1A1，DD1?平面ADD1A1，且DA∩DD1＝D，所以

BD⊥平面ADD1A1.又因為BD?平面DBB1D1，所以平面DBB1D1⊥平面ADD1A1.

平面與平面的夾角（二面角）（師生共研過關(guān)）

（1）證明：BM∥平面CDE；解：

證明：法一（利用線面平行判定定理）因為M為AD的中點，

BC∥AD，且AD＝4，BC＝2，所以BC∥MD，且BC＝MD，所以四邊形BCDM為平行四邊形.所以BM∥CD，又CD?平面CDE，BM?平面CDE，所以BM∥平面CDE.

法二（利用面面平行的性質(zhì)）因為EF∥AD，BC∥AD，所以

EF∥BC，又EF＝BC＝2，所以四邊形BCEF為平行四邊形.所以BF∥CE，又CE?平面CDE，BF?平面CDE，所以BF∥平面CDE.

因為M為AD的中點，且AD＝4，所以EF∥MD，且EF＝MD，所以四邊形MDEF為平行四邊形.所以FM∥ED，又ED?平面CDE，F(xiàn)M?平面CDE，所以FM∥平面

CDE.

因為BF，F(xiàn)M?平面BMF，BF∩FM＝F，所以平面BMF∥平面CDE.

又BM?平面BMF，所以BM∥平面CDE.

（2）求二面角F-BM-E的正弦值.

解題技法向量法求平面與平面的夾角（二面角）的方法（1）找法向量：分別求出二面角的兩個半平面所在平面的法向量，然后

通過兩個平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實際圖形

判斷所求角的大小；（2）找與棱垂直的方向向量：分別在二面角的兩個半平面內(nèi)找到與棱垂

直且以垂足為起點的兩個向量，則這兩個向量的夾角的大小就是二面角的

大小.

（2024·新鄉(xiāng)模擬）如圖，在四面體ABCD中，AB＝AC＝AD＝BC＝BD，BC⊥BD，E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點.（1）證明：平面ACD⊥平面BCD；

又OA∩CD＝O，OA，CD?平面ACD，所以O(shè)B⊥平面ACD，又OB?平面BCD，所以平面ACD⊥平面BCD.

（2）求平面BDF與平面CDE夾角的余弦值.

PART03課時·跟蹤檢測關(guān)鍵能力|課后練習

1.

如圖所示，長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝16，BC＝10，AA1＝8，點E，F(xiàn)分別在A1B1，D1C1上，A1E＝D1F＝4.過點E，F(xiàn)的平面α與此長方體的面相交，交線圍成一個正方形.（1）在圖中畫出這個正方形（不必說明畫法和理由）；解：

交線圍成的正方形EHGF如圖所示.12345678910111213141516171819202022232425（2）求直線AF與平面α所成角的正弦值.

（1）求異面直線A'D與EM所成角的余弦值；

（2）求平面A'BC與平面DEM夾角的余弦值.

3.

在如圖所示的圓臺中，AC是下底面圓O的直徑，EF是上底面圓O'的直徑，F(xiàn)B是圓臺的一條母線.（1）已知G，H分別為EC，F(xiàn)B的中點.求證：GH∥平面ABC；解：

證明：設(shè)FC的中點為I，連接GI，HI，如圖1所示，在△CEF中，因為點G是CE的中點，所以GI∥EF.

又EF∥OB，所以GI∥OB.

在△CFB中，因為H是FB的中點，所以HI∥BC.

又HI∩GI＝I，OB∩BC＝B，HI，GI?平面GHI，

BC，OB?平面ABC，所以平面GHI∥平面ABC.

因為GH?平面GHI，所以GH∥平面ABC.

4.

如圖所示，在五面體ABCDEF中，四邊形ABEF為正方形，平面ABEF⊥平面CDFE，CD∥EF，DF⊥EF，EF＝2CD＝2.（1）若DF＝2，求二面角A-CE-F的正弦值；

（2）若平面ACF⊥平面BCE，求DF的長.

不妨取r＝1，則q＝－t，得s＝（0，－t，1），因為平面ACF⊥平面BCE，所以n·s＝0，即－t2＋1＝0，得t＝1，即DF＝1.

5.

（創(chuàng)新解題路徑）（2025·石家莊質(zhì)量檢測）如圖，在五棱錐S-ABCDE中，平面SAE⊥平面AED，AE⊥ED，SE⊥AD.

（1）證明：SE⊥平面AED；解：

證明：因為平面SAE⊥平面AED，DE⊥EA，

DE?平面AED，平面SAE∩平面AED＝AE，所以DE⊥平面SAE，又SE?平面SAE，所以DE⊥SE，又因為SE⊥AD，ED∩AD＝D，且AD，DE?平面

AED，所以SE⊥平面AED.