人教版必修數(shù)學(xué)教學(xué)專題講義一、引言函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的核心性質(zhì)之一，它刻畫了函數(shù)值隨自變量增大而變化的趨勢，是研究函數(shù)最值、零點、不等式等問題的重要工具。從必修1的基本初等函數(shù)到后續(xù)的導(dǎo)數(shù)（選修），單調(diào)性貫穿高中數(shù)學(xué)始終，是高考的高頻考點（如2023年全國卷Ⅰ第12題、2022年全國卷Ⅱ第11題均涉及單調(diào)性應(yīng)用）。本專題將系統(tǒng)梳理單調(diào)性的定義本質(zhì)、判定方法、典型應(yīng)用及易錯點，幫助學(xué)生深化理解并靈活運用。二、知識回顧：單調(diào)性的定義與符號語言1.單調(diào)性的定義設(shè)函數(shù)\(f(x)\)的定義域為\(D\)，區(qū)間\(I\subseteqD\)。若任意兩個自變量\(x_1,x_2\inI\)，當(dāng)\(x_1<x_2\)時，都有\(zhòng)(f(x_1)<f(x_2)\)，則稱\(f(x)\)在\(I\)上是增函數(shù)；若任意兩個自變量\(x_1,x_2\inI\)，當(dāng)\(x_1<x_2\)時，都有\(zhòng)(f(x_1)>f(x_2)\)，則稱\(f(x)\)在\(I\)上是減函數(shù)。注：單調(diào)性是區(qū)間性質(zhì)，需明確“在哪個區(qū)間上單調(diào)”；“任意”是定義的核心，不能用特殊值代替（如\(f(x)=x^2\)在\(\mathbb{R}\)上不是增函數(shù)，因\(x_1=-1<x_2=1\)但\(f(-1)=1>f(1)=1\)）。2.符號語言增函數(shù)：\(\forallx_1,x_2\inI,x_1<x_2\impliesf(x_1)<f(x_2)\)；減函數(shù)：\(\forallx_1,x_2\inI,x_1<x_2\impliesf(x_1)>f(x_2)\)。三、單調(diào)性的判定方法1.定義法（基礎(chǔ)方法）步驟：取值→作差→變形→定號→結(jié)論。關(guān)鍵：變形（將\(f(x_1)-f(x_2)\)化為易判斷符號的形式，如因式分解、配方、通分、有理化）。例1：用定義法證明\(f(x)=x^3\)在\(\mathbb{R}\)上是增函數(shù)。證明：任取\(x_1,x_2\in\mathbb{R}\)，且\(x_1<x_2\)，則\[f(x_1)-f(x_2)=x_1^3-x_2^3=(x_1-x_2)(x_1^2+x_1x_2+x_2^2).\]因\(x_1<x_2\)，故\(x_1-x_2<0\)；又\(x_1^2+x_1x_2+x_2^2=\left(x_1+\frac{x_2}{2}\right)^2+\frac{3x_2^2}{4}\geq0\)，當(dāng)且僅當(dāng)\(x_1=x_2=0\)時取等號，但\(x_1<x_2\)，故\(x_1^2+x_1x_2+x_2^2>0\)。因此\(f(x_1)-f(x_2)<0\)，即\(f(x_1)<f(x_2)\)，故\(f(x)=x^3\)在\(\mathbb{R}\)上是增函數(shù)。2.圖像法（直觀方法）通過函數(shù)圖像的上升/下降趨勢判斷單調(diào)性：圖像從左到右上升→區(qū)間內(nèi)增函數(shù)；圖像從左到右下降→區(qū)間內(nèi)減函數(shù)。例2：判斷\(f(x)=|x|\)的單調(diào)性。解：\(f(x)=|x|=\begin{cases}x,&x\geq0,\\-x,&x<0.\end{cases}\)圖像為“V”型，在\((-\infty,0]\)上下降→減函數(shù)；在\([0,+\infty)\)上上升→增函數(shù)。3.復(fù)合函數(shù)單調(diào)性（重點方法）設(shè)復(fù)合函數(shù)\(y=f(g(x))\)，其中\(zhòng)(u=g(x)\)（內(nèi)層函數(shù)），\(y=f(u)\)（外層函數(shù)），則單調(diào)性遵循“同增異減”原則：若\(u=g(x)\)與\(y=f(u)\)單調(diào)性相同→\(y=f(g(x))\)增函數(shù)；若\(u=g(x)\)與\(y=f(u)\)單調(diào)性相反→\(y=f(g(x))\)減函數(shù)。注：需保證內(nèi)層函數(shù)的值域?外層函數(shù)的定義域（否則復(fù)合函數(shù)無意義）。例3：判斷\(f(x)=\log_{\frac{1}{2}}(x^2-2x-3)\)的單調(diào)性。解：（1）求定義域：\(x^2-2x-3>0\impliesx<-1\)或\(x>3\)；（2）分解復(fù)合函數(shù)：\(u=x^2-2x-3\)（內(nèi)層），\(y=\log_{\frac{1}{2}}u\)（外層）；（3）分析內(nèi)層單調(diào)性：\(u=(x-1)^2-4\)，對稱軸\(x=1\)，在\((-\infty,-1)\)上遞減，在\((3,+\infty)\)上遞增；（4）分析外層單調(diào)性：\(y=\log_{\frac{1}{2}}u\)（底數(shù)\(0<\frac{1}{2}<1\)）→在\((0,+\infty)\)上遞減；（5）應(yīng)用“同增異減”：\(x\in(-\infty,-1)\)：內(nèi)層遞減，外層遞減→復(fù)合函數(shù)遞增；\(x\in(3,+\infty)\)：內(nèi)層遞增，外層遞減→復(fù)合函數(shù)遞減。結(jié)論：\(f(x)\)的增區(qū)間為\((-\infty,-1)\)，減區(qū)間為\((3,+\infty)\)。4.導(dǎo)數(shù)法（拓展方法，必修1暫不要求）對于可導(dǎo)函數(shù)\(f(x)\)，若在區(qū)間\(I\)上\(f'(x)>0\)→\(f(x)\)增函數(shù)；若\(f'(x)<0\)→\(f(x)\)減函數(shù)（后續(xù)導(dǎo)數(shù)章節(jié)詳細講解）。四、單調(diào)性的應(yīng)用1.求函數(shù)最值（核心應(yīng)用）若函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\(I\)上單調(diào)遞增，則\(f(x)\)在\(I\)的左端點取最小值，右端點取最大值；若函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\(I\)上單調(diào)遞減，則\(f(x)\)在\(I\)的左端點取最大值，右端點取最小值。例4：求\(f(x)=x+\sqrt{x-1}\)的最小值。解：（1）定義域：\(x-1\geq0\impliesx\geq1\)；（2）單調(diào)性分析：令\(t=\sqrt{x-1}\)（\(t\geq0\)），則\(x=t^2+1\)，故\[f(x)=t^2+1+t=\left(t+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}.\]因\(t\geq0\)，\(\left(t+\frac{1}{2}\right)^2\)在\(t\geq0\)時單調(diào)遞增→\(f(x)\)在\([1,+\infty)\)上單調(diào)遞增；（3）求最小值：當(dāng)\(t=0\)（即\(x=1\)）時，\(f(x)=1+0=1\)→最小值為1。2.比較函數(shù)值大小若函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\(I\)上單調(diào)遞增，且\(x_1<x_2\inI\)→\(f(x_1)<f(x_2)\)；若函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\(I\)上單調(diào)遞減，且\(x_1<x_2\inI\)→\(f(x_1)>f(x_2)\)。例5：比較\(f(2)\)與\(f(3)\)的大小，其中\(zhòng)(f(x)=\log_2(x^2-1)\)。解：（1）定義域：\(x^2-1>0\impliesx<-1\)或\(x>1\)，\(2,3\in(1,+\infty)\)；（2）單調(diào)性分析：\(u=x^2-1\)在\((1,+\infty)\)上遞增，\(\log_2u\)遞增→\(f(x)\)在\((1,+\infty)\)上遞增；（3）比較大?。篭(2<3\impliesf(2)<f(3)\)。3.解函數(shù)不等式對于單調(diào)函數(shù)\(f(x)\)，不等式\(f(a)>f(b)\)等價于：\(a>b\)（\(f(x)\)增函數(shù)）；\(a<b\)（\(f(x)\)減函數(shù)）。注：需保證\(a,b\)在\(f(x)\)的定義域內(nèi)。例6：解不等式\(f(x)>f(2x-1)\)，其中\(zhòng)(f(x)=\log_{\frac{1}{2}}(x+1)\)，\(x\in(-1,+\infty)\)。解：（1）單調(diào)性分析：\(f(x)=\log_{\frac{1}{2}}(x+1)\)，內(nèi)層\(u=x+1\)遞增，外層\(\log_{\frac{1}{2}}u\)遞減→\(f(x)\)在\((-1,+\infty)\)上遞減；（2）轉(zhuǎn)化不等式：\(f(x)>f(2x-1)\impliesx<2x-1\impliesx>1\)；（3）驗證定義域：\(x>1\implies2x-1>1>-1\)，符合定義域要求。結(jié)論：解集為\((1,+\infty)\)。4.判斷零點個數(shù)通過單調(diào)性分析函數(shù)的極值（端點值）符號變化，若函數(shù)在區(qū)間\(I\)上單調(diào)，且\(f(a)\cdotf(b)<0\)（\(a<b\inI\)），則\(f(x)\)在\((a,b)\)內(nèi)有且僅有一個零點。例7：判斷\(f(x)=e^x-x-2\)的零點個數(shù)。解：（1）定義域：\(\mathbb{R}\)；（2）單調(diào)性分析（導(dǎo)數(shù)法，拓展）：\(f'(x)=e^x-1\)，當(dāng)\(x<0\)時\(f'(x)<0\)→遞減；當(dāng)\(x>0\)時\(f'(x)>0\)→遞增；（3）求極值：\(x=0\)時，\(f(0)=1-0-2=-1\)（極小值）；（4）端點值分析：\(x\to-\infty\)時，\(e^x\to0\)，\(f(x)\to-x-2\to+\infty\)；\(x\to+\infty\)時，\(e^x\)增長快于\(x\)，\(f(x)\to+\infty\)；（5）判斷零點：\((-\infty,0)\)：遞減，從\(+\infty\)到\(-1\)→有1個零點；\((0,+\infty)\)：遞增，從\(-1\)到\(+\infty\)→有1個零點。結(jié)論：\(f(x)\)有2個零點。五、常見易錯點分析1.忽略“任意”性錯誤：用特殊值判斷單調(diào)性（如認為\(f(x)=x^2\)在\(\mathbb{R}\)上是增函數(shù)，因\(f(1)<f(2)\)）。糾正：必須滿足“任意\(x_1<x_2\)，都有\(zhòng)(f(x_1)<f(x_2)\)”，特殊值無法代表全體。2.單調(diào)區(qū)間用“并集”連接錯誤：認為\(f(x)=\frac{1}{x}\)在\((-\infty,0)\cup(0,+\infty)\)上是減函數(shù)。糾正：取\(x_1=-1\)（\(\in(-\infty,0)\)），\(x_2=1\)（\(\in(0,+\infty)\)），\(x_1<x_2\)但\(f(x_1)=-1<f(x_2)=1\)，不符合減函數(shù)定義。單調(diào)區(qū)間應(yīng)分開寫：\((-\infty,0)\)和\((0,+\infty)\)。3.復(fù)合函數(shù)忽略定義域錯誤：判斷\(f(x)=\log_2(x^2-2x)\)的單調(diào)性時，未求定義域直接分析\(x^2-2x\)的單調(diào)性。糾正：復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性必須在定義域內(nèi)討論，需先求\(x^2-2x>0\impliesx<0\)或\(x>2\)，再分析單調(diào)性。4.分段函數(shù)單調(diào)性處理不當(dāng)錯誤：認為分段函數(shù)\(f(x)=\begin{cases}x^2+1,&x\leq0;\\x,&x>0\end{cases}\)在\(\mathbb{R}\)上是單調(diào)函數(shù)。糾正：分段函數(shù)需保證各段內(nèi)單調(diào)且相鄰段端點值滿足單調(diào)關(guān)系。該函數(shù)在\(x\leq0\)時遞減（\(f(0)=1\)），\(x>0\)時遞增（\(f(0^+)=0\)），因\(1>0\)，故整個函數(shù)在\(\mathbb{R}\)上不是單調(diào)函數(shù)。六、鞏固練習(xí)1.用定義法證明\(f(x)=\sqrt{x}\)在\([0,+\infty)\)上是增函數(shù)；2.判斷\(f(x)=2^{x^2-2x}\)的單調(diào)性；3.求\(f(x)=x-\frac{1}{x}\)在\((0,+\infty)\)上的最小值；4.解不等式\(f(x)<f(3)