高考數(shù)學(xué)二項式定理專項復(fù)習(xí)：核心考點與解題策略一、引言二項式定理是高考數(shù)學(xué)的高頻考點，主要考查其基本概念、通項公式、二項式系數(shù)性質(zhì)、特定項求解及系數(shù)和等內(nèi)容。在全國卷中，多以選擇題、填空題形式出現(xiàn)（分值5分），偶爾也會在解答題中與數(shù)列、導(dǎo)數(shù)、概率等綜合考查。其命題特點是注重基礎(chǔ)、強(qiáng)調(diào)應(yīng)用，要求學(xué)生具備嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评砟芰瓦\算能力。本專項將系統(tǒng)梳理二項式定理的核心考點，結(jié)合典型例題與易錯點分析，幫助學(xué)生構(gòu)建完整的知識體系，提升解題效率。二、二項式定理的基本概念與通項公式2.1二項式定理的內(nèi)容對于任意正整數(shù)\(n\)，有：\[(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^k\]其中，\(\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}\)稱為二項式系數(shù)，等式右邊稱為\((a+b)^n\)的二項展開式。注意：展開式共有\(zhòng)(n+1\)項；各項的次數(shù)和為\(n\)（\(a\)的次數(shù)從\(n\)遞減到\(0\)，\(b\)的次數(shù)從\(0\)遞增到\(n\)）；二項式系數(shù)僅與\(n\)和\(k\)有關(guān)，與\(a,b\)的具體值無關(guān)。2.2通項公式的準(zhǔn)確應(yīng)用展開式的第\(k+1\)項（\(k=0,1,2,\dots,n\)）稱為通項，記為：\[T_{k+1}=\binom{n}{k}a^{n-k}b^k\]關(guān)鍵易錯點：項數(shù)與\(k\)的關(guān)系：第1項對應(yīng)\(k=0\)，第2項對應(yīng)\(k=1\)，…，第\(m\)項對應(yīng)\(k=m-1\)（切勿混淆“第\(k\)項”與“\(T_{k+1}\)”）；\(a\)與\(b\)的位置：\(a\)的指數(shù)是\(n-k\)，\(b\)的指數(shù)是\(k\)，若交換\(a,b\)的位置，通項變?yōu)閈(T_{k+1}=\binom{n}{k}b^{n-k}a^k\)，需根據(jù)題目調(diào)整。例1（通項公式的應(yīng)用）：寫出\((3x-2y)^5\)的展開式中第4項。解：第4項對應(yīng)\(k=3\)（因為\(m=4\Rightarrowk=m-1=3\)），代入通項公式：\[T_4=T_{3+1}=\binom{5}{3}(3x)^{5-3}(-2y)^3=10\cdot9x^2\cdot(-8y^3)=-720x^2y^3\]三、二項式系數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用二項式系數(shù)\(\binom{n}{0},\binom{n}{1},\dots,\binom{n}{n}\)具有以下重要性質(zhì)：3.1對稱性對于任意\(k\in\{0,1,\dots,n\}\)，有：\[\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}\]意義：展開式中第\(k+1\)項與第\(n-k+1\)項的二項式系數(shù)相等（如\((a+b)^5\)中，\(\binom{5}{1}=\binom{5}{4}=5\)，\(\binom{5}{2}=\binom{5}{3}=10\)）。3.2增減性與最大值當(dāng)\(n\)為偶數(shù)時，二項式系數(shù)先增后減，中間項（第\(\frac{n}{2}+1\)項）的二項式系數(shù)最大，即\(\binom{n}{\frac{n}{2}}\)；當(dāng)\(n\)為奇數(shù)時，二項式系數(shù)先增后減，中間兩項（第\(\frac{n+1}{2}\)項與第\(\frac{n+3}{2}\)項）的二項式系數(shù)相等且最大，即\(\binom{n}{\frac{n-1}{2}}=\binom{n}{\frac{n+1}{2}}\)。例2（二項式系數(shù)的最大值）：求\((x+\frac{1}{x})^7\)的展開式中，二項式系數(shù)最大的項。解：\(n=7\)為奇數(shù)，中間兩項為第4項（\(k=3\)）和第5項（\(k=4\)），二項式系數(shù)均為\(\binom{7}{3}=\binom{7}{4}=35\)。對應(yīng)項為：\[T_4=\binom{7}{3}x^{7-3}(\frac{1}{x})^3=35x,\quadT_5=\binom{7}{4}x^{7-4}(\frac{1}{x})^4=35x^{-1}\]3.3各項二項式系數(shù)和令\(a=1,b=1\)，代入二項式定理得：\[\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}=2^n\]3.4奇數(shù)項與偶數(shù)項二項式系數(shù)和令\(a=1,b=-1\)，代入二項式定理得：\[\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}(-1)^k=0\]將上式展開為奇數(shù)項和減偶數(shù)項和：\[(\binom{n}{0}+\binom{n}{2}+\dots)-(\binom{n}{1}+\binom{n}{3}+\dots)=0\]結(jié)合各項和為\(2^n\)，得：\[\text{奇數(shù)項二項式系數(shù)和}=\text{偶數(shù)項二項式系數(shù)和}=2^{n-1}\]四、展開式中特定項的求解策略特定項指展開式中的常數(shù)項、有理項、某一次數(shù)項等，求解的核心工具是通項公式，步驟為：1.寫出通項\(T_{k+1}\)；2.合并\(x\)（或其他變量）的指數(shù)；3.根據(jù)特定項的條件列方程，解出\(k\)；4.代入\(k\)計算對應(yīng)項的系數(shù)或項。4.1常數(shù)項：指數(shù)為0常數(shù)項是指不含變量的項，即變量的指數(shù)為0。例3（常數(shù)項求解）：求\((2x+\frac{1}{x^2})^6\)的展開式中的常數(shù)項。解：通項為：\[T_{k+1}=\binom{6}{k}(2x)^{6-k}(\frac{1}{x^2})^k=\binom{6}{k}2^{6-k}x^{6-k-2k}=\binom{6}{k}2^{6-k}x^{6-3k}\]令\(6-3k=0\Rightarrowk=2\)，代入得常數(shù)項：\[T_3=\binom{6}{2}2^{6-2}=15\times16=240\]4.2有理項：指數(shù)為整數(shù)有理項是指變量的指數(shù)為整數(shù)的項（如\(x^2,x^{-1}\)等）。例4（有理項求解）：求\((\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt[3]{x}})^9\)的展開式中的有理項。解：通項為：\[T_{k+1}=\binom{9}{k}(\sqrt{x})^{9-k}(-\frac{1}{\sqrt[3]{x}})^k=\binom{9}{k}(-1)^kx^{\frac{9-k}{2}-\frac{k}{3}}=\binom{9}{k}(-1)^kx^{\frac{27-5k}{6}}\]要求有理項，需\(\frac{27-5k}{6}\in\mathbb{Z}\)，即\(27-5k\)是6的倍數(shù)。設(shè)\(27-5k=6m\)（\(m\in\mathbb{Z}\)），則\(k=\frac{27-6m}{5}\)。結(jié)合\(0\leqk\leq9\)，試值得：\(m=2\Rightarrowk=3\)，此時指數(shù)為\(\frac{27-15}{6}=2\)，對應(yīng)項\(T_4=\binom{9}{3}(-1)^3x^2=-84x^2\)；\(m=-3\Rightarrowk=9\)，此時指數(shù)為\(\frac{27-45}{6}=-3\)，對應(yīng)項\(T_{10}=\binom{9}{9}(-1)^9x^{-3}=-x^{-3}\)。故有理項為\(-84x^2\)和\(-x^{-3}\)。4.3某一項的系數(shù)：區(qū)分“二項式系數(shù)”與“項系數(shù)”二項式系數(shù)：僅指\(\binom{n}{k}\)；項系數(shù)：指該項中除變量外的所有常數(shù)因子（包括\(a,b\)的系數(shù)）。例5（項系數(shù)與二項式系數(shù)的區(qū)別）：求\((3x-2)^5\)的展開式中\(zhòng)(x^3\)項的系數(shù)與二項式系數(shù)。解：通項為\(T_{k+1}=\binom{5}{k}(3x)^{5-k}(-2)^k=\binom{5}{k}3^{5-k}(-2)^kx^{5-k}\)。令\(5-k=3\Rightarrowk=2\)，則：二項式系數(shù)為\(\binom{5}{2}=10\)；項系數(shù)為\(\binom{5}{2}3^{5-2}(-2)^2=10\times27\times4=1080\)。五、系數(shù)和問題的賦值法技巧系數(shù)和（如總系數(shù)和、奇數(shù)項系數(shù)和、偶數(shù)項系數(shù)和）的求解核心方法是賦值法，通過給變量賦特定值（如\(1,-1,0\)），將多項式轉(zhuǎn)化為系數(shù)和的等式。5.1總系數(shù)和：賦\(x=1\)對于多項式\(f(x)=(a+bx)^n=\sum_{k=0}^{n}c_kx^k\)，總系數(shù)和為\(f(1)=(a+b)^n\)。5.2常數(shù)項：賦\(x=0\)常數(shù)項為\(f(0)=a^n\)。5.3奇數(shù)項與偶數(shù)項系數(shù)和：賦\(x=1\)與\(x=-1\)設(shè)：奇數(shù)項系數(shù)和為\(S_{\text{奇}}=c_0+c_2+c_4+\dots\)；偶數(shù)項系數(shù)和為\(S_{\text{偶}}=c_1+c_3+c_5+\dots\)。則：\[S_{\text{奇}}+S_{\text{偶}}=f(1),\quadS_{\text{奇}}-S_{\text{偶}}=f(-1)\]解得：\[S_{\text{奇}}=\frac{f(1)+f(-1)}{2},\quadS_{\text{偶}}=\frac{f(1)-f(-1)}{2}\]5.4其他系數(shù)和：靈活賦值如求“正次項系數(shù)和”，可通過“總系數(shù)和-常數(shù)項”計算；求“系數(shù)絕對值和”，可將負(fù)號化為正號后賦\(x=1\)（如\((a-bx)^n\)的系數(shù)絕對值和為\((a+b)^n\)）。例6（系數(shù)和求解）：設(shè)\(f(x)=(1-2x)^7\)，求：（1）總系數(shù)和；（2）奇數(shù)項系數(shù)和；（3）系數(shù)絕對值和。解：（1）總系數(shù)和\(f(1)=(1-2\times1)^7=(-1)^7=-1\)；（2）奇數(shù)項系數(shù)和\(S_{\text{奇}}=\frac{f(1)+f(-1)}{2}=\frac{-1+(1+2)^7}{2}=\frac{-1+2187}{2}=1093\)；（3）系數(shù)絕對值和即\((1+2x)^7\)的總系數(shù)和，賦\(x=1\)得\((1+2)^7=2187\)。六、綜合應(yīng)用與易錯點警示6.1與導(dǎo)數(shù)結(jié)合求系數(shù)和對于多項式\(f(x)=\sum_{k=0}^{n}c_kx^k\)，其導(dǎo)數(shù)\(f'(x)=\sum_{k=1}^{n}kc_kx^{k-1}\)，故\(xf'(x)=\sum_{k=1}^{n}kc_kx^k\)。令\(x=1\)，可得各項系數(shù)乘以次數(shù)的和：\[\sum_{k=1}^{n}kc_k=f'(1)\]例7（導(dǎo)數(shù)法求系數(shù)和）：求\((2x+1)^5\)的展開式中，各項系數(shù)乘以次數(shù)的和。解：設(shè)\(f(x)=(2x+1)^5\)，則\(f'(x)=5\times2\times(2x+1)^4=10(2x+1)^4\)。各項系數(shù)乘以次數(shù)的和為\(xf'(x)\)在\(x=1\)處的值：\[1\timesf'(1)=10(2\times1+1)^4=10\times81=810\]6.2與數(shù)列求和結(jié)合二項式定理可用于推導(dǎo)數(shù)列求和公式（如\(\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}=2^n\)，\(\sum_{k=0}^{n}(-1)^k\binom{n}{k}=0\)等），也可與等差數(shù)列、等比數(shù)列結(jié)合考查。6.3易錯點總結(jié)1.通項公式的項數(shù)錯誤：第\(m\)項對應(yīng)\(k=m-1\)，而非\(k=m\)；2.二項式系數(shù)與項系數(shù)混淆：項系數(shù)需乘以\(a,b\)的系數(shù)，二項式系數(shù)僅為\(\binom{n}{k}\)；3.賦值法符號錯誤：如\((a-bx)^n\)的總系數(shù)和為\((a-b)^n\)，而非\((a+b)^n\)；4.有理項指數(shù)計算錯誤：需正確合并變量的指數(shù)（如\(\sqrt{x}=x^{1/2}\)，\(1/x=x^{-1}\)）；5.二項式系數(shù)最大值判斷錯誤：偶數(shù)項中間一項，奇數(shù)項中間兩項。七、高考真題演練與鞏固練習(xí)7.1經(jīng)典高考題解析題1（2023·全國甲卷理科第4題）：\((x+\frac{1}{x})^6\)的展開式中常數(shù)項為（）A.15B.20C.25D.30解：通項\(T_{k+1}=\binom{6}{k}x^{6-k}(\frac{1}{x})^k=\binom{6}{k}x^{6-2k}\)，令\(6-2k=0\Rightarrowk=3\)，常數(shù)項為\(\binom{6}{3}=20\)，選B。題