2025年中考數(shù)學(xué)真題知識點分類匯編之圓（二）一．選擇題（共3小題）1．（2025?瀘州）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，BD為⊙O的直徑．若AB＝AC，∠ACB＝70°，則∠CBD＝（）A．40° B．50° C．60° D．70°2．（2025?自貢）如圖，正六邊形與正方形的兩鄰邊相交，則α+β＝（）A．140° B．150° C．160° D．170°3．（2025?自貢）PA，PB分別與⊙O相切于A，B兩點，點C在⊙O上，不與點A，B重合．若∠P＝80°，則∠ACB的度數(shù)為（）A．50° B．100° C．130° D．50°或130°二．填空題（共17小題）4．（2025?齊齊哈爾）已知圓錐的底面半徑為40cm，母線長為90cm，則它的側(cè)面展開圖的圓心角為度．5．（2025?黑龍江）如圖，PA、PB是圓O的切線，A、B為切點，AC是直徑，∠BAC＝35°，∠P＝．6．（2025?陜西）如圖，AB為⊙O的直徑，BC=BD，∠CDB＝24°，則∠ACD的度數(shù)為7．（2025?河南）我國魏晉時期數(shù)學(xué)家劉徽在為《九章算術(shù)》作注時，創(chuàng)立了“割圓術(shù)”．如圖是研究“割圓術(shù)”時的一個圖形，AB所在圓的圓心為點O，四邊形ABCD為矩形，邊CD與⊙O相切于點E，連接BE，∠ABE＝15°，連接OE交AB于點F．若AB＝4，則圖中陰影部分的面積為．8．（2025?宜賓）如圖，已知∠BAC是⊙O的圓周角，∠BAC＝40°，則∠OBC＝°．9．（2025?蘇州）“蘇州之眼”摩天輪是亞洲最大的水上摩天輪，共設(shè)有28個回轉(zhuǎn)式太空艙全景轎廂，其示意圖如圖所示．該摩天輪高128m（即最高點離水面平臺MN的距離），圓心O到MN的距離為68m，摩天輪勻速旋轉(zhuǎn)一圈用時30min．某轎廂從點A出發(fā)，10min后到達點B，此過程中，該轎廂所經(jīng)過的路徑（即AB）長度為m．（結(jié)果保留π）10．（2025?揚州）如圖，點A，B，C在⊙O上，∠BAC＝50°，則∠OBC＝°．11．（2025?安徽）如圖，AB是⊙O的弦，PB與⊙O相切于點B，圓心O在線段PA上．已知∠P＝50°，則∠PAB的大小為°．12．（2025?云南）已知⊙O的半徑為5cm．若點P在⊙O上，則點P到圓心O的距離為cm．13．（2025?煙臺）如圖，正六邊形ABCDEF的邊長為4，中心為點O，以點O為圓心，以AB長為半徑作圓心角為120°的扇形，則圖中陰影部分的面積為．14．（2025?廣安）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∠BCD＝120°，⊙O的半徑為6，則BD的長為．15．（2025?連云港）如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，∠BAC＝45°．若⊙O的半徑為2，則劣弧BC的長為．16．（2025?內(nèi)江）如圖，AB是⊙O的弦，半徑OC⊥AB于點D，且AB＝8，OC＝5．則DC的長是．17．（2025?上海）已知平面內(nèi)有一個角，一個圓與這個角的兩邊都有兩個交點，若此圓在角的邊上截得的兩條弦恰好是某正五邊形的一邊，那么這個角的度數(shù)為度．18．（2025?涼山州）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠B＝65°，∠C＝70°，若BC＝22，則BC的長為．19．（2025?成都）正六邊形ABCDEF的邊長為1，則對角線AD的長為．20．（2025?重慶）如圖，AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，連接AC．以AC為邊作菱形ACDE，CD交⊙O于點F，AB⊥CD，垂足為G．連接AD，交⊙O于點H，連接EH．若AG＝12，GF＝5，則DF的長度為，EH的長度為．

2025年中考數(shù)學(xué)真題知識點分類匯編之圓（二）參考答案與試題解析一．選擇題（共3小題）題號123答案BBD一．選擇題（共3小題）1．（2025?瀘州）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，BD為⊙O的直徑．若AB＝AC，∠ACB＝70°，則∠CBD＝（）A．40° B．50° C．60° D．70°【考點】圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)；圓心角、弧、弦的關(guān)系；圓周角定理．【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；推理能力．【答案】B【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理求出∠BAC，根據(jù)圓周角定理得到∠BDC＝∠BAC＝40°、∠BCD＝90°，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)計算即可．【解答】解：∵AB＝AC，∠ACB＝70°，∴∠ABC＝∠ACB＝70°，∴∠BAC＝180°﹣70°×2＝40°，由圓周角定理得：∠BDC＝∠BAC＝40°，∵BD為⊙O的直徑，∴∠BCD＝90°，∴∠CBD＝90°﹣40°＝50°，故選：B．【點評】本題考查的是圓周角定理，熟記直徑所對的圓周角是直角是解題的關(guān)鍵．2．（2025?自貢）如圖，正六邊形與正方形的兩鄰邊相交，則α+β＝（）A．140° B．150° C．160° D．170°【考點】正多邊形和圓；對頂角、鄰補角；多邊形內(nèi)角與外角．【專題】線段、角、相交線與平行線；正多邊形與圓；推理能力．【答案】B【分析】先根據(jù)正多邊形的性質(zhì)求出正六邊形、正方形的每個內(nèi)角，再根據(jù)多邊形內(nèi)角和定理求出四邊形的內(nèi)角和，再根據(jù)對頂角相等計算即可．【解答】解：如圖，正六邊形的每個內(nèi)角為(6?2)×180°6∵四邊形的內(nèi)角和是（4﹣2）×180°＝360°，∴∠1+∠2＝360°﹣120°﹣90°＝150°，∵α＝∠1，β＝∠2，∴α+β＝150°，故選：B．【點評】本題考查了正多邊形與圓，多邊形內(nèi)角和定理，對頂角、鄰補角，熟練掌握這些知識點是解題的關(guān)鍵．3．（2025?自貢）PA，PB分別與⊙O相切于A，B兩點，點C在⊙O上，不與點A，B重合．若∠P＝80°，則∠ACB的度數(shù)為（）A．50° B．100° C．130° D．50°或130°【考點】切線的性質(zhì)；圓周角定理．【專題】與圓有關(guān)的位置關(guān)系；推理能力．【答案】D【分析】連接OA、OB，根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠OAP＝∠OBP＝90°，根據(jù)四邊形內(nèi)角和等于360°求出∠AOB，分點C在優(yōu)弧AB上、點C在劣弧AB上兩種情況，根據(jù)圓周角定理解答即可．【解答】解：連接OA、OB，∵PA、PB分別與⊙O相切于A、B兩點，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∴∠AOB＝180°﹣∠P＝180°﹣80°＝100°，當(dāng)點C在優(yōu)弧AB上時，∠ACB＝∠AOB＝×100°＝50°，當(dāng)點C′在劣弧AB上時，∠AC′B＝180°﹣50°＝130°，綜上所述：∠ACB的度數(shù)是50°或130°，故選：D．【點評】本題考查的是切線的性質(zhì)、圓周角定理，靈活運用分情況討論思想、掌握圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑是解題的關(guān)鍵．二．填空題（共17小題）4．（2025?齊齊哈爾）已知圓錐的底面半徑為40cm，母線長為90cm，則它的側(cè)面展開圖的圓心角為160度．【考點】弧長的計算．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】圓錐的底面半徑為40cm，則底面圓的周長是80πcm，圓錐的底面周長等于側(cè)面展開圖的扇形弧長，即側(cè)面展開圖的扇形弧長是80πcm，母線長為90cm即側(cè)面展開圖的扇形的半徑長是90cm．根據(jù)弧長公式即可計算．【解答】解：根據(jù)弧長的公式l=nπr80π=nπ?90解得n＝160度．側(cè)面展開圖的圓心角為160度．【點評】本題綜合考查有關(guān)扇形和圓錐的相關(guān)計算．解題思路：解決此類問題時要緊緊抓住兩者之間的兩個對應(yīng)關(guān)系：（1）圓錐的母線長等于側(cè)面展開圖的扇形半徑；（2）圓錐的底面周長等于側(cè)面展開圖的扇形弧長．正確對這兩個關(guān)系的記憶是解題的關(guān)鍵．5．（2025?黑龍江）如圖，PA、PB是圓O的切線，A、B為切點，AC是直徑，∠BAC＝35°，∠P＝70°．【考點】切線的性質(zhì)；圓周角定理．【專題】等腰三角形與直角三角形；與圓有關(guān)的位置關(guān)系；運算能力；推理能力．【答案】70°．【分析】由PA、PB是圓O的切線，得PA＝PB，PA⊥AC，則∠PAC＝90°，而∠BAC＝35°，則∠PBA＝∠PAB＝90°﹣∠BAC＝55°，所以∠P＝180°﹣∠PBA﹣∠PAB＝70°，于是得到問題的答案．【解答】解：∵PA、PB是圓O的切線，∴PA＝PB，∵AC是⊙O的直徑，∠BAC＝35°，∴PA⊥AC，∴∠PAC＝90°，∴∠PBA＝∠PAB＝90°﹣∠BAC＝90°﹣35°＝55°，∴∠P＝180°﹣∠PBA﹣∠PAB＝180°﹣55°﹣55°＝70°，故答案為：70°．【點評】此題重點考查切線的性質(zhì)、切線長定理、等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識，推導(dǎo)出PA＝PB及PA⊥AC是解題的關(guān)鍵．6．（2025?陜西）如圖，AB為⊙O的直徑，BC=BD，∠CDB＝24°，則∠ACD的度數(shù)為【考點】圓周角定理；圓心角、弧、弦的關(guān)系．【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；推理能力．【答案】66°．【分析】連接BC，如圖，先利用圓周角定理得到∠BCD＝∠CDB＝24°，∠ACB＝90°，然后利用互余計算出∠ACD的度數(shù)．【解答】解：連接BC，如圖，∵BC=∴∠BCD＝∠CDB＝24°，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠ACD＝90°﹣24°＝66°．故答案為：66°．【點評】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半；半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．7．（2025?河南）我國魏晉時期數(shù)學(xué)家劉徽在為《九章算術(shù)》作注時，創(chuàng)立了“割圓術(shù)”．如圖是研究“割圓術(shù)”時的一個圖形，AB所在圓的圓心為點O，四邊形ABCD為矩形，邊CD與⊙O相切于點E，連接BE，∠ABE＝15°，連接OE交AB于點F．若AB＝4，則圖中陰影部分的面積為4π3?23【考點】切線的性質(zhì)；扇形面積的計算；矩形的性質(zhì)．【專題】與圓有關(guān)的位置關(guān)系；推理能力．【答案】4π3?2【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)得到OE⊥CD，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到AB∥CD，得到OE⊥AB，根據(jù)垂徑定理求出AF，解直角三角形分別求出OA、OF，根據(jù)扇形面積公式、三角形面積公式計算，得到答案．【解答】解：∵邊CD與⊙O相切于點E，∴OE⊥CD，∵四邊形ABCD為矩形，∴AB∥CD，∴OE⊥AB，∴AF＝FB=12AB由圓周角定理得：∠AOE＝2∠ABE＝30°，∴OA＝2AF＝4，由勾股定理得：OF=OA2則S陰影部分＝S扇形AOE﹣S△AOF=30π×42360?故答案為：4π3?2【點評】本題考查的是切線的性質(zhì)、扇形面積計算、矩形的性質(zhì)，熟記圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑是解題的關(guān)鍵．8．（2025?宜賓）如圖，已知∠BAC是⊙O的圓周角，∠BAC＝40°，則∠OBC＝50°．【考點】圓周角定理；圓心角、弧、弦的關(guān)系．【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)．【答案】50．【分析】先由圓周角定理求出∠BOC＝2∠BAC＝80°，再由等邊對等角以及三角形內(nèi)角和定理即可求解．【解答】解：∵∠BAC是⊙O的圓周角，∠BAC＝40°，∴∠BOC＝2∠BAC＝80°，∵OB＝OC，∴∠OBC=∠OCB=180°?80°故答案為：50．【點評】本題考查了圓周角定理，三角形的內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握各知識點并靈活運用是解題的關(guān)鍵．9．（2025?蘇州）“蘇州之眼”摩天輪是亞洲最大的水上摩天輪，共設(shè)有28個回轉(zhuǎn)式太空艙全景轎廂，其示意圖如圖所示．該摩天輪高128m（即最高點離水面平臺MN的距離），圓心O到MN的距離為68m，摩天輪勻速旋轉(zhuǎn)一圈用時30min．某轎廂從點A出發(fā)，10min后到達點B，此過程中，該轎廂所經(jīng)過的路徑（即AB）長度為40πm．（結(jié)果保留π）【考點】弧長的計算．【專題】與圓有關(guān)的計算；運算能力；推理能力．【答案】40π．【分析】先根據(jù)題意求出∠AOB的度數(shù)，再求出圓O的半徑，利用弧長公式進行求解即可；【解答】解：由題意得∠AOB＝360°×10圓O的半徑為128﹣68＝60（m），∴該轎廂所經(jīng)過的路徑（即AB）長度為120π×60180=40π（故答案為：40π．【點評】本題主要考查了弧長的計算，熟記弧長公式是解題的關(guān)鍵．10．（2025?揚州）如圖，點A，B，C在⊙O上，∠BAC＝50°，則∠OBC＝40°．【考點】圓周角定理．【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；運算能力．【答案】40．【分析】根據(jù)圓周角定理可得∠BOC＝100°，然后利用等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理進行計算，即可解答．【解答】解：∵∠BAC＝50°，∴∠BOC＝2∠BAC＝100°，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB=180°?∠BOC故答案為：40．【點評】本題考查了圓周角定理，準(zhǔn)確熟練地進行計算是解題的關(guān)鍵．11．（2025?安徽）如圖，AB是⊙O的弦，PB與⊙O相切于點B，圓心O在線段PA上．已知∠P＝50°，則∠PAB的大小為20°．【考點】切線的性質(zhì)；圓周角定理．【專題】等腰三角形與直角三角形；圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；與圓有關(guān)的位置關(guān)系；運算能力；推理能力．【答案】20．【分析】連接OB，由切線的性質(zhì)得∠OBP＝90°，因為∠P＝50°，所以∠POB＝40°，則∠PAB=12∠【解答】解：連接OB，∵PB與⊙O相切于點B，∴PB⊥OB，∴∠OBP＝90°，∵∠P＝50°，∴∠POB＝90°﹣∠P＝40°，∴∠PAB=12∠故答案為：20．【點評】此題重點考查切線的性質(zhì)、直角三角形的兩個銳角互余、圓周角定理等知識，正確地添加輔助線是解題的關(guān)鍵．12．（2025?云南）已知⊙O的半徑為5cm．若點P在⊙O上，則點P到圓心O的距離為5cm．【考點】點與圓的位置關(guān)系．【專題】與圓有關(guān)的位置關(guān)系；應(yīng)用意識．【答案】5．【分析】根據(jù)“點P在圓上?d＝r”求解即可．【解答】解：∵⊙O的半徑為5cm，點P在⊙O上，∴點P到圓心O的距離為5cm，故答案為：5．【點評】本題主要考查點與圓的位置關(guān)系，點與圓的位置關(guān)系有3種．設(shè)⊙O的半徑為r，點P到圓心的距離OP＝d，則有：①點P在圓外?d＞r；②點P在圓上?d＝r；③點P在圓內(nèi)?d＜r．13．（2025?煙臺）如圖，正六邊形ABCDEF的邊長為4，中心為點O，以點O為圓心，以AB長為半徑作圓心角為120°的扇形，則圖中陰影部分的面積為16π3?8【考點】正多邊形和圓；扇形面積的計算．【專題】正多邊形與圓．【答案】16π3【分析】連接OA、OE、OF，過點O作OM⊥AF于點M，根據(jù)正六邊形的性質(zhì)得出OA＝OE＝OF，∠AOF=∠EOF=360°6=60°，∠BAF＝120°，證明△OAF和△OEF為等邊三角形，求出S△OAF=12AF×OM=12×4×23=43，證明△GOA≌△HOE，得出S△GOA＝S△【解答】解：連接OA、OE、OF，過點O作OM⊥AF于點M，如圖所示：∵六邊形ABCDEF為正六邊形，∴OA＝OE＝OF，∠AOF=∠EOF=360°6=60°∴△OAF和△OEF為等邊三角形，∠AOE＝60°+60°＝120°，∴∠OEF＝∠OAF＝60°，∵OM⊥AF，∴AM＝FM=12∴OM=4∴S△OAF=1∵∠BAF＝120°，∴∠OAG＝120°﹣60°＝60°，∴∠OAG＝∠OEH，∴∠GOA+∠AOH＝∠AOH+∠EOH＝120°，∴∠GOA＝∠EOH，∴△GOA≌△HOE，∴S△GOA＝S△HOE，∴S△GOA+S四邊形AOHF＝S△HOE+S四邊形AOHF，∴S五邊形AGOHF＝S四邊形AOEF=2S∴S陰影＝S扇形﹣S五邊形AGOHF=120π×=16π答案為：16π3【點評】本題主要考查了正六邊形的性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，扇形面積計算，三角形全等的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握正六邊形的性質(zhì)．14．（2025?廣安）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∠BCD＝120°，⊙O的半徑為6，則BD的長為63．【考點】圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)；圓周角定理．【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；運算能力．【答案】63．【分析】作直徑DE，連接BE，根據(jù)圓周角定理得出∠A＝∠E，∠EBD＝90°，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出∠A+∠BCD＝180°，求出∠A＝60°＝∠E，解直角三角形求出BD即可．【解答】解：如圖，作直徑DE，連接BE，則由圓周角定理得：∠A＝∠E，∠EBD＝90°，∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠A+∠BCD＝180°，∵∠BCD＝120°，∴∠A＝60°，∴∠E＝60°，∵⊙O的半徑為6，∴DE＝12，∴BD＝DE×sin∠E＝12×sin60°＝12×32=故答案為：63．【點評】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和圓周角定理，掌握圓內(nèi)接四邊形的對角互補以及圓周角定理是解題的關(guān)鍵．15．（2025?連云港）如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，∠BAC＝45°．若⊙O的半徑為2，則劣弧BC的長為π．【考點】三角形的外接圓與外心；弧長的計算．【專題】與圓有關(guān)的計算；推理能力．【答案】π．【分析】連接OB、OC，根據(jù)圓周角定理求出∠BOC，再根據(jù)弧長公式計算即可．【解答】解：如圖，連接OB、OC，由圓周角定理得：∠BOC＝2∠BAC＝2×45°＝90°，∴劣弧BC的長為：90π×2180=故答案為：π．【點評】本題考查的是三角形的外接圓與外心，掌握圓周角定理、弧長公式是解題的關(guān)鍵．16．（2025?內(nèi)江）如圖，AB是⊙O的弦，半徑OC⊥AB于點D，且AB＝8，OC＝5．則DC的長是2．【考點】垂徑定理；勾股定理．【專題】與圓有關(guān)的位置關(guān)系；推理能力．【答案】2．【分析】根據(jù)垂徑定理由OC⊥AB得到AD=12AB＝4，再根據(jù)勾股定理開始出OD，然后用OC﹣OD即可得到【解答】解：∵OC⊥AB，∴AD＝BD=12AB在Rt△OAD中，OA＝5，AD＝4，∴OD=O∴DC＝OC﹣OD＝5﹣3＝2．故答案為：2．【點評】本題考查了垂徑定理：平分弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條?。部疾榱斯垂啥ɡ恚?7．（2025?上海）已知平面內(nèi)有一個角，一個圓與這個角的兩邊都有兩個交點，若此圓在角的邊上截得的兩條弦恰好是某正五邊形的一邊，那么這個角的度數(shù)為108或36度．【考點】直線與圓的位置關(guān)系；正多邊形和圓；多邊形內(nèi)角與外角．【專題】多邊形與平行四邊形；與圓有關(guān)的位置關(guān)系；正多邊形與圓；運算能力；推理能力．【答案】108或36．【分析】分兩種情況，由正多邊形的性質(zhì)，即可求解．【解答】解：如圖：∵∠MPN是正五邊形的一個內(nèi)角，∴∠MPN=(5?2)×180°如圖：∵∠OAB和∠OBA是正五邊形的兩個外角，∴∠OAB＝∠OBA=360°∴∠AOB＝180°﹣72°﹣72°＝36°，∴這個角的度數(shù)為108°或36°．故答案為：108或36．【點評】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，正多邊形和圓，多邊形的內(nèi)角和外角，關(guān)鍵是要分兩種情況討論．18．（2025?涼山州）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠B＝65°，∠C＝70°，若BC＝22，則BC的長為π．【考點】三角形的外接圓與外心；弧長的計算；圓周角定理．【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；與圓有關(guān)的計算；推理能力．【答案】π．【分析】連接OB、OC，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠A，根據(jù)圓周角定理求出∠BOC，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出OC，再根據(jù)弧長公式計算即可．【解答】解：如圖，連接OB、OC，∵∠ABC＝65°，∠ACB＝70°，∴∠A＝180°﹣65°﹣70°＝45°，由圓周角定理得：∠BOC＝2∠A＝90°，∴OC＝OB=22BC=2∴BC的長為：90π×2180=故答案為：π．【點評】本題考查的是三角形的外接圓與外心，掌握圓周角定理、弧長公式是解題的關(guān)鍵．19．（2025?成都）正六邊形ABCDEF的邊長為1，則對角線AD的長為2．【考點】正多邊形和圓．【專題】正多邊形與圓．【答案】2．【分析】如圖，連接AC，求出正六邊形的一個內(nèi)角的度數(shù)，等邊對等角，求出∠BCA的度數(shù)，進而推出△ACD為含30度角的直角三角形，進行求解即可．【解答】解：連接AC，∵正六邊形ABCDEF，∴AB＝BC＝CD＝1，∠ABC=∠BCD=∠CDE=1∴∠BCA＝∠BAC＝30°，∴∠ACD＝120°﹣30°＝90°，∵正六邊形為軸對稱圖形，∴∠CDA=1∴∠CAD＝30°，∴AD＝2CD＝2，故答案為：2．【點評】本題考查正多邊形的內(nèi)角，等邊對等角，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，20．（2025?重慶）如圖，AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，連接AC．以AC為邊作菱形ACDE，CD交⊙O于點F，AB⊥CD，垂足為G．連接AD，交⊙O于點H，連接EH．若AG＝12，GF＝5，則DF的長度為3，EH的長度為13413【考點】圓周角定理；勾股定理；菱形的性質(zhì)；垂徑定理．【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)．【答案】3，134【分析】由垂徑定理以及勾股定理可得CG＝GF＝5，即CF＝2CG＝10、AC＝13，由菱形的性質(zhì)可得CD＝AC＝13，進而得到GD＝8、DF＝3、AD=413，如圖：連接BC，BH，由圓周角定理可得∠ACB＝90°、∠AHB＝90°，再解直角三角形可得AB=16912，AH=13413；由菱形的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)可得∠DAE＝∠CDA，如圖：過H作HF⊥AE于F，解直角三角形可得【解答】解：∵AB⊥CD，AG＝12，GF＝5，∴CG＝GF＝5，即CF＝2CG＝10，∴AC=A∵四邊形ACDE是菱形，∵CD＝AC＝13，∴GD＝CD﹣GC＝13﹣5＝8，DF＝CD﹣CF＝13﹣10＝3，∴AD=A如圖，連接BC，BH，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∠AHB＝90°，∴cos∠CAB=AGAC=解得：AB=169∴cos∠DAB=AGAD=解得：AH=13∵四邊形ACDE是菱形，∴CD∥AE，∴∠DAE＝∠CDA，如圖，過H作HM⊥AE于M，∴sin∠DAE＝sin∠GDA，cos∠DAE＝cos∠GDA，∴FHAH=AG∴MH13∴MH=394，∴ME=AE?AM=13?13∴EH=E故答案為：3，134【點評】本題主要考查了垂徑定理、圓周角定理、菱形的性質(zhì)、解直角三角形等知識點，正確作出輔助線、運用解直角三角形解決問題成為解題的關(guān)鍵．

考點卡片1．對頂角、鄰補角（1）對頂角：有一個公共頂點，并且一個角的兩邊分別是另一個角的兩邊的反向延長線，具有這種位置關(guān)系的兩個角，互為對頂角．（2）鄰補角：只有一條公共邊，它們的另一邊互為反向延長線，具有這種關(guān)系的兩個角，互為鄰補角．（3）對頂角的性質(zhì)：對頂角相等．（4）鄰補角的性質(zhì)：鄰補角互補，即和為180°．（5）鄰補角、對頂角成對出現(xiàn)，在相交直線中，一個角的鄰補角有兩個．鄰補角、對頂角都是相對與兩個角而言，是指的兩個角的一種位置關(guān)系．它們都是在兩直線相交的前提下形成的．2．勾股定理（1）勾股定理：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方．如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理應(yīng)用的前提條件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的變形有：a=c2?b2，b（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜邊大于該直角三角形中的每一條直角邊．3．多邊形內(nèi)角與外角（1）多邊形內(nèi)角和定理：（n﹣2）?180°（n≥3且n為整數(shù)）此公式推導(dǎo)的基本方法是從n邊形的一個頂點出發(fā)引出（n﹣3）條對角線，將n邊形分割為（n﹣2）個三角形，這（n﹣2）個三角形的所有內(nèi)角之和正好是n邊形的內(nèi)角和．除此方法之和還有其他幾種方法，但這些方法的基本思想是一樣的．即將多邊形轉(zhuǎn)化為三角形，這也是研究多邊形問題常用的方法．（2）多邊形的外角和等于360°．①多邊形的外角和指每個頂點處取一個外角，則n邊形取n個外角，無論邊數(shù)是幾，其外角和永遠為360°．②借助內(nèi)角和和鄰補角概念共同推出以下結(jié)論：外角和＝180°n﹣（n﹣2）?180°＝360°．4．菱形的性質(zhì)（1）菱形的性質(zhì)①菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；②菱形的四條邊都相等；③菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；④菱形是軸對稱圖形，它有2條對稱軸，分別是兩條對角線所在直線．（2）菱形的面積計算①利用平行四邊形的面積公式．②菱形面積=12ab．（a、5．矩形的性質(zhì)（1）矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形是矩形．（2）矩形的性質(zhì)①平行四邊形的性質(zhì)矩形都具有；②角：矩形的四個角都是直角；③邊：鄰邊垂直；④對角線：矩形的對角線相等；⑤矩形是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形．它有2條對稱軸，分別是每組對邊中點連線所在的直線；對稱中心是兩條對角線的交點．（3）由矩形的性質(zhì)，可以得到直角三角形的一個重要性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．6．垂徑定理（1）垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條?。?）垂徑定理的推論推論1：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條?。普?：弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條?。普?：平分弦所對一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧．7．圓心角、弧、弦的關(guān)系（1）定理：在同圓和等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等．（2）推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等．說明：同一條弦對應(yīng)兩條弧，其中一條是優(yōu)弧，一條是劣弧，而在本定理和推論中的“弧”是指同為優(yōu)弧或劣?。?）正確理解和使用圓心角、弧、弦三者的關(guān)系三者關(guān)系可理解為：在同圓或等圓中，①圓心角相等，②所對的弧相等，③所對的弦相等，三項“知一推二”，一項相等，其余二項皆相等．這源于圓的旋轉(zhuǎn)不變性，即：圓繞其圓心旋轉(zhuǎn)任意角度，所得圖形與原圖形完全重合．（4）在具體應(yīng)用上述定理解決問題時，可根據(jù)需要，選擇其有關(guān)部分．8．圓周角定理（1）圓周角的定義：頂點在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角．注意：圓周角必須滿足兩個條件：①頂點在圓上．②角的兩條邊都與圓相交，二者缺一不可．（2）圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．（3）在解圓的有關(guān)問題時，常常需要添加輔助線，構(gòu)成直徑所對的圓周角，這種基本技能技巧一定要掌握．（4）注意：①圓周角和圓心角的轉(zhuǎn)化可通過作圓的半徑構(gòu)造等腰三角形．利用等腰三角形的頂點和底角的關(guān)系進行轉(zhuǎn)化．②圓周角和圓周角的轉(zhuǎn)化可利用其“橋梁”﹣﹣﹣圓心角轉(zhuǎn)化．③定理成立的條件是“同一條弧所對的”兩種角，在運用定理時不要忽略了這個條件，把不同弧所對的圓周角與圓心角錯當(dāng)成同一條弧所對的圓周角和圓心角．9．圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)（1）圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：①圓內(nèi)接四邊形的對角互補．②圓內(nèi)接四邊形的任意一個外角等于它的內(nèi)對角（就是和它相鄰的內(nèi)角的對角）．（2）圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)是溝通角相等關(guān)系的重要依據(jù)，在應(yīng)用此性質(zhì)時，要注意與圓周角定理結(jié)合起來．在應(yīng)用時要注意是對角，而不是鄰角互補．10．點與圓的位置關(guān)系（1）點與圓的位置關(guān)系有3種．設(shè)⊙O的半徑為r，點P到圓心的距離OP＝d，則有：①點P在圓外?d＞r②點P在圓上?d＝r①點P在圓內(nèi)?d＜r（2）點的位置可以確定該點到圓心距離與半徑的關(guān)系，反過來已知點到圓心距離與半徑的關(guān)系可以確定該點與圓的位置關(guān)系．（3）符號“?”讀作“等價于”，它表示