《一元線性回歸模型及其應(yīng)用》教學(xué)設(shè)計(jì)一、教學(xué)目標(biāo)1、熟悉認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)回歸方程和經(jīng)驗(yàn)回歸直線、殘差概念．2、逐步熟悉并掌握最小二乘法，學(xué)會(huì)簡(jiǎn)單的應(yīng)用.二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)重點(diǎn)：熟悉認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)回歸方程和經(jīng)驗(yàn)回歸直線、殘差概念.難點(diǎn)：熟悉并掌握最小二乘法及其應(yīng)用.三、學(xué)法與教學(xué)用具1、學(xué)法：學(xué)生在老師的引導(dǎo)下，通過(guò)閱讀教材，自主學(xué)習(xí)、思考、交流、討論和概括，從而完成本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo).2、教學(xué)用具：多媒體設(shè)備等四、教學(xué)過(guò)程（一）創(chuàng)設(shè)情景，揭示課題【回顧】最小二乘估計(jì)(leastsquaresestimate)稱為關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，求經(jīng)驗(yàn)回歸方程的方法叫做最小二乘法，叫做的最小二乘估計(jì)(leastsquaresestimate).殘差通過(guò)觀測(cè)得到的數(shù)據(jù)稱為觀測(cè)值，通過(guò)經(jīng)驗(yàn)回歸方程得到的稱為預(yù)測(cè)值，觀測(cè)值減去預(yù)測(cè)值稱為殘差.【問(wèn)題】如何有效地解決線性回歸方程的問(wèn)題？【研讀交流】研讀課本，與同桌或小組交流.（用時(shí)約5-6分鐘）（二）閱讀精要，研討新知【例題研究】經(jīng)驗(yàn)表明，一般樹(shù)的胸徑(樹(shù)的主干在地面以上1.3m處的直徑)越大，樹(shù)就越高，由于測(cè)量樹(shù)高比測(cè)量胸徑困難，因此研究人員希望由胸徑預(yù)測(cè)樹(shù)高.在研究樹(shù)高與胸徑之間的關(guān)系時(shí)，某林場(chǎng)收集了某種樹(shù)的一些數(shù)據(jù)(表8.2-3)，試根據(jù)這些數(shù)據(jù)建立樹(shù)高關(guān)于胸徑的經(jīng)驗(yàn)回歸方程.解：以胸徑為橫坐標(biāo)、樹(shù)高為縱坐標(biāo)作散點(diǎn)圖，得到圖8.2-9.在圖8.2-9中，散點(diǎn)大致分布在一條從左下角到右上角的直線附近，表明兩個(gè)變量線性相關(guān)，并且是正相關(guān)，因此可以用一元線性回歸模型刻畫(huà)樹(shù)高與胸徑之間的關(guān)系.用表示胸徑，表示樹(shù)高，根據(jù)最小二乘法，計(jì)算可得經(jīng)驗(yàn)回歸方程為0.249314.84相應(yīng)的經(jīng)驗(yàn)回歸直線如圖8.210所示.根據(jù)經(jīng)驗(yàn)回歸方程，由表8.2-3中胸徑的數(shù)據(jù)可以計(jì)算出樹(shù)高的預(yù)測(cè)值(精確到0.1)以及相應(yīng)的殘差，如表8.2-4所示.以胸徑為橫坐標(biāo)，殘差為縱坐標(biāo)，作殘差圖，得到圖8.2-11.觀察殘差表和殘差圖，可以看到，殘差的絕對(duì)值最大是0.8，所有殘差分布在以橫軸為對(duì)稱軸、寬度小于2的帶狀區(qū)城內(nèi)，可見(jiàn)經(jīng)驗(yàn)回歸方程較好地刻畫(huà)了樹(shù)高與胸徑的關(guān)系，我們可以根據(jù)經(jīng)驗(yàn)回歸方程由胸徑預(yù)測(cè)樹(shù)高.【問(wèn)題及其解讀】人們常將男子短跑100m的高水平運(yùn)動(dòng)員稱為“百米飛人”。表8.2-5給出了1968年之前男子短跑100m世界紀(jì)錄產(chǎn)生的年份和世界紀(jì)錄的數(shù)據(jù).試依據(jù)這些成對(duì)數(shù)據(jù)，建立男子短跑100m世界紀(jì)錄關(guān)于紀(jì)錄產(chǎn)生年份的經(jīng)驗(yàn)回歸方程.以成對(duì)數(shù)據(jù)中的世界紀(jì)錄產(chǎn)生年份為橫坐標(biāo)，世界紀(jì)錄為縱坐標(biāo)作散點(diǎn)圖，得到圖8.2-12.在圖8.2-12中，散點(diǎn)看上去大致分布在一條直線附近，可用一元線性回歸模型建立經(jīng)驗(yàn)回歸方程.用表示男子短跑100m的世界紀(jì)錄，表示紀(jì)錄產(chǎn)生的年份，利用一元線性回歸模型來(lái)刻畫(huà)世界紀(jì)錄和世界紀(jì)錄產(chǎn)生年份之間的關(guān)系.根據(jù)最小二乘法，由表中的數(shù)據(jù)得到經(jīng)驗(yàn)回歸方程為0.0203374349.76913031①將經(jīng)驗(yàn)回歸直線疊加到散點(diǎn)圖，得到圖8.2-13.【發(fā)現(xiàn)】觀察圖8.2-12,可以發(fā)現(xiàn)散點(diǎn)更趨向于落在中間下凸且遞減的某條曲線附近.回顧已有的函數(shù)知識(shí)，可以發(fā)現(xiàn)函數(shù)的圖象具有類似的形狀特征.注意到100m短跑的第一個(gè)世界紀(jì)錄產(chǎn)生于1896年，因此可以認(rèn)為散點(diǎn)是集中在曲線1895的周圍，其中和為未知的參數(shù)，且.用上述函數(shù)刻畫(huà)數(shù)據(jù)變化的趨勢(shì)，這是一個(gè)非線性經(jīng)驗(yàn)回歸函數(shù)，其中，是待定參數(shù).【問(wèn)題轉(zhuǎn)化】如何利用成對(duì)數(shù)據(jù)估計(jì)參數(shù)和.引進(jìn)一個(gè)中間變量，令1895.通過(guò)1895，將年份變量數(shù)據(jù)進(jìn)行變換，得到新的成對(duì)數(shù)據(jù)(精確到0.01)，如表8.2-6所示.在直角坐標(biāo)系中畫(huà)出表8.2-6中成對(duì)數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，如圖8.2-14所示，散點(diǎn)的分布呈現(xiàn)出很強(qiáng)的線性相關(guān)特征.因此，用一元線性回歸模型擬合表8.2-6中的成對(duì)數(shù)據(jù)，得到經(jīng)驗(yàn)回歸方程0.426439811.8012653（*）再在圖8.2-14中畫(huà)出(*)式所對(duì)應(yīng)的經(jīng)驗(yàn)回歸直線，得到圖8.2-15.圖8.2-15表明，經(jīng)驗(yàn)回歸方程(*)對(duì)于表8.2-6中的成對(duì)數(shù)據(jù)具有非常好的擬合精度.將圖8.2-15與圖8.2-13進(jìn)行對(duì)比，可以發(fā)現(xiàn)和之間的線性相關(guān)程度比原始樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度強(qiáng)得多.將1895代人(*)式，得到由創(chuàng)紀(jì)錄年份預(yù)報(bào)世界紀(jì)錄的經(jīng)驗(yàn)回歸方程0.4264398189511.8012653②在同一坐標(biāo)系中畫(huà)出成對(duì)數(shù)據(jù)散點(diǎn)圖、非線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程②的圖象(藍(lán)色)以及經(jīng)驗(yàn)回歸方程①的圖象(紅色)，如圖8.216所示.發(fā)現(xiàn)，散點(diǎn)圖中各散點(diǎn)都非?？拷诘膱D象，表明非線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程②對(duì)于原始數(shù)據(jù)的擬合效果遠(yuǎn)遠(yuǎn)好于經(jīng)驗(yàn)回歸方程①.【殘差分析】下面通過(guò)殘差來(lái)比較這兩個(gè)經(jīng)驗(yàn)回歸方程對(duì)數(shù)據(jù)刻畫(huà)的好壞.在表8.2-5中，用表示編號(hào)為的年份數(shù)據(jù)，用表示編號(hào)為的紀(jì)錄數(shù)據(jù)，則經(jīng)驗(yàn)回歸方程①和②的殘差計(jì)算公式分別為0.0203374349.76913031,1,2,...,8;0.02033743189511.8012653,1,2,...,8.兩個(gè)經(jīng)驗(yàn)回歸方程的殘差(精確到0.0)如表8.2-7所示觀察各項(xiàng)殘差的絕對(duì)值，發(fā)現(xiàn)經(jīng)驗(yàn)回歸方程②遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于①，即經(jīng)驗(yàn)回歸方程②的擬合效果要遠(yuǎn)遠(yuǎn)好于①.在一般情況下，直接比較兩個(gè)模型的殘差比較困難，因?yàn)樵谀承┥Ⅻc(diǎn)上一個(gè)模型的殘差的絕對(duì)值比另一個(gè)模型的小，而另一些散點(diǎn)的情況則相反.可以通過(guò)比較殘差的平方和來(lái)比較兩個(gè)模型的效果.由0.669,0.004,可知，因此在殘差平方和最小的標(biāo)準(zhǔn)下，非線性回歸模型的擬合效果要優(yōu)于一元線性回歸模型的擬合效果.也可以用決定系數(shù)來(lái)比較兩個(gè)模型的擬合效果，的計(jì)算公式為在表達(dá)式中，與經(jīng)驗(yàn)回歸方程無(wú)關(guān)，殘差平方和與經(jīng)驗(yàn)回歸方程有關(guān).因此越大，表示殘差平方和越小，即模型的報(bào)合效果越好;越小，表示殘差平方和越大，即模型的擬合效果越差.由表8.2-7容易算出經(jīng)驗(yàn)回歸方程①和②的分別約為0.7325和0.9983,因此經(jīng)驗(yàn)回歸方程②的刻畫(huà)效果比經(jīng)驗(yàn)回歸方程①的好很多.【小結(jié)】在使用經(jīng)驗(yàn)回歸方程進(jìn)行預(yù)測(cè)時(shí)，需要注意下列問(wèn)題:（1）經(jīng)驗(yàn)回歸方程只適用于所研究的樣本的總體.例如，根據(jù)我國(guó)父親身高與兒子身高的數(shù)據(jù)建立的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，不能用來(lái)描述美國(guó)父親身高與兒子身高之間的關(guān)系.同樣，根據(jù)生長(zhǎng)在南方多雨地區(qū)的樹(shù)高與胸徑的數(shù)據(jù)建立的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，不能用來(lái)描述北方干旱地區(qū)的樹(shù)高與胸徑之間的關(guān)系；（2）經(jīng)驗(yàn)回歸方程一般都有時(shí)效性.例如，根據(jù)20世紀(jì)80年代的父親身高與兒子身高的數(shù)據(jù)建立的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，不能用來(lái)描述現(xiàn)在的父親身高與兒子身高之間的關(guān)系；（3）解釋變量的取值不能離樣本數(shù)據(jù)的范圍太遠(yuǎn).一般解釋變量的取值在樣本數(shù)據(jù)范圍內(nèi)，經(jīng)驗(yàn)回歸方程的預(yù)報(bào)效果會(huì)比較好，超出這個(gè)范圍越遠(yuǎn)，預(yù)報(bào)的效果越差；（4）不能期望經(jīng)驗(yàn)回歸方程得到的預(yù)報(bào)值就是響應(yīng)變量的精確值.事實(shí)上，它是響應(yīng)變量的可能取值的平均值.【小組互動(dòng)】完成課本練習(xí)1、2，同桌交換檢查，老師答疑.【練習(xí)答案】（三）探索與發(fā)現(xiàn)、思考與感悟1.（多選）下列命題是假命題的有（

）A．經(jīng)驗(yàn)回歸方程至少經(jīng)過(guò)其樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)中的一個(gè)B．可以用相關(guān)系數(shù)r來(lái)刻畫(huà)兩個(gè)變量x和y線性相關(guān)程度的強(qiáng)弱，r的值越小，說(shuō)明兩個(gè)變量線性相關(guān)程度越弱C．在回歸分析中，決定系數(shù)的模型比決定系數(shù)的模型擬合的效果要好D．殘差平方和越小的模型，擬合的效果越好解：對(duì)于A，經(jīng)驗(yàn)回歸方程是由最小二乘法計(jì)算出來(lái)的，它不一定經(jīng)過(guò)其樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)，一定經(jīng)過(guò)，所以A是假命題；對(duì)于B，由相關(guān)系數(shù)的意義，當(dāng)越接近1時(shí)，表示變量y與x之間的線性相關(guān)程度越強(qiáng)，所以B是假命題；對(duì)于C，用決定系數(shù)的值判斷模型的擬合效果，越大，模型的擬合效果越好，所以C是假命題；由殘差的統(tǒng)計(jì)學(xué)意義知，D為真命題.故選ABC2.中國(guó)共產(chǎn)黨第二十次全國(guó)代表大會(huì)上的報(bào)告中提到，新時(shí)代十年我國(guó)經(jīng)濟(jì)實(shí)力實(shí)現(xiàn)歷史性躍升，國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值從54萬(wàn)億元增長(zhǎng)到114萬(wàn)億元，我國(guó)經(jīng)濟(jì)總量穩(wěn)居世界第二位.建立年份編號(hào)為解釋變量，地區(qū)生產(chǎn)總值為響應(yīng)變量的一元線性回歸模型，現(xiàn)就2012-2016某市的地區(qū)生產(chǎn)總值統(tǒng)計(jì)如下：年份20122013201420152016年份編號(hào)12345地區(qū)生產(chǎn)總值（億元）2.83.13.94.65.6（1）求出回歸方程，并計(jì)算2016年地區(qū)生產(chǎn)總值的殘差；（2）隨著我國(guó)打贏了人類歷史上規(guī)模最大的脫貧攻堅(jiān)戰(zhàn)，該市2017-2022的地區(qū)生產(chǎn)總值持續(xù)增長(zhǎng)，現(xiàn)對(duì)這11年的數(shù)據(jù)有三種經(jīng)驗(yàn)回歸模型、、，它們的分別為0.976，0.880和0.985，請(qǐng)根據(jù)的數(shù)值選擇最好的回歸模型預(yù)測(cè)一下2023年該市的地區(qū)生產(chǎn)總值；（3）若2012-2022該市的人口數(shù)（單位：百萬(wàn)）與年份編號(hào)的回歸模型為，結(jié)合（2）問(wèn)中的最佳模型，預(yù)測(cè)一下在2023年以后，該市人均地區(qū)生產(chǎn)總值的變化趨勢(shì)．參考公式：，.解：（1）由數(shù)據(jù)，，，而，，所以，則，綜上，回歸方程為，當(dāng)時(shí)，，故2016年地區(qū)生產(chǎn)總值殘差為.（2）根據(jù)相關(guān)指數(shù)越大擬合越好，由于，故模型較好，因?yàn)?023年對(duì)應(yīng)，則億元.（3）由（2）及題設(shè)知：該市人均地區(qū)生產(chǎn)總值，令，且，若，所以，而且，則，故，所以在上遞增，則在上遞增，所以該市人均地區(qū)生產(chǎn)總值逐年遞增.（四）歸納小結(jié)，回顧重點(diǎn)最小二乘估計(jì)(leastsquaresestimate)稱為關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，圖形稱為經(jīng)驗(yàn)回歸直線.求經(jīng)驗(yàn)回歸方