中考數(shù)學整式乘法與因式分解易錯壓軸解答題(含答案)一、整式乘法與因式分解易錯壓軸解答題1.

(1)計算并觀察下列各式:
________;
________;
________;(2)從上面的算式及計算結(jié)果,你發(fā)現(xiàn)了什么？請根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律直接填寫下面的空格.
________;(3)利用該規(guī)律計算:
.2.某同學利用若干張正方形紙片進行以下操作:（1）從邊長為a的正方形紙片中減去一個邊長為b的小正方形,如圖1,再沿線段AB把紙片剪開,最后把剪成的兩張紙片拼成如圖2的等腰梯形,這一過程所揭示的公式是________.(2)先剪出一個邊長為a的正方形紙片和一個邊長為b的正方形紙片,再剪出兩張邊長分別為a和b的長方形紙片,如圖3,最后把剪成的四張紙片拼成如圖4的正方形.這一過程你能發(fā)現(xiàn)什么代數(shù)公式?(3)先剪出兩個邊長為a的正方形紙片和一個邊長為b的正方形紙片,再剪出三張邊長分別為a和占的長方形紙片,如圖5,你能否把圖5中所有紙片拼成一個長方形?如果可以,請畫出草圖,并寫出相應的等式.如果不能,請說明理由.3.觀察下列各式:(x﹣1)(x+1)＝x2﹣1;(x﹣1）(x2+x+1）＝x3﹣1;（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1;……根據(jù)這一規(guī)律計算:(1)(x﹣1)(x4+x3+x2+x+1)＝________.(x﹣1)(xn+xn﹣1+…+x+1)＝________.(2)22020+22019+22018+…+22+2+1.(3)32020﹣32019+32018﹣32017+…+32﹣3+1.4．如圖,有一個邊長為a的大正方形與兩個邊長均為b的小正方形(a>b),按如圖1、2所示的方式擺放,設圖1中陰影部分的面積之和為S1,圖2中陰影部分的面積為S2。(1)用含a,b的代數(shù)式表示S1與S2(結(jié)果要化為最簡形式)。(2)當S1+3S2=
b2時,求a:b的值。5.【閱讀材料】我們知道,圖形也是一種重要的數(shù)學語言,它直觀形象,能有效地表現(xiàn)一些代數(shù)中的數(shù)量關系,而運用代數(shù)思想也能巧妙地解決一些圖形問題。在一次數(shù)學活動課上,張老師準備了若干張如圖1所示的甲、乙、丙三種紙片,其中甲種紙片是邊長為x的正方形,乙種紙片是邊長為y的正方形,丙種紙片是長為y,寬為x的長方形,并用甲種紙片一張,乙種紙片一張,丙種紙片兩張拼成了如圖2所示的一個大正方形。(1)【理解應用】觀察圖2,用兩種不同方式表示陰影部分的面積可得到一個等式,請你直接寫出這個等式。(2)【拓展升華】利用(1)中的等式解決下列問題:①已知a2+b2=10,a+b=6,求ab的值。②已知(2021-c)(c-2019)=2020,求(2021-c)2+(c-2019)2的值。6．如圖,長方形ABCD中,AB=x(6<x<9),AD=y(6<y<9),放入一個邊長為6的正方形AEFG和兩個邊長都為3的正方形CHIJ及正方形DKMN,S1,S2,S3分別表示對應陰影部分的面積．(1)MH=________,KG=________,BJ=________(結(jié)果用含x或y的代數(shù)式表示)(2)若S2=S3,求長方形ABCD的周長.（3）若2S1+3S2=5S3,且AD比AB長1,求長方形ABCD的面積.7．上數(shù)學課時,王老師在講完乘法公式(a±b)2=a2±2ab+b2的多種運用后,要求同學們運用所學知識解答：求代數(shù)式x2+4x+5的最小值?同學們經(jīng)過交流、討論,最后總結(jié)出如下解答方法：解:x2+4x+5=x2+4x+4+1=(x+2)2+1∵(x+2)2≥0∴當x=-2時,(x+2)2的值最小,最小值是0,∴(x+2)2+1≥1∴當(x+2)2=0時,(x+2)2+1的值最小,最小值是1,∴x2+4x+5的最小值是1.請你根據(jù)上述方法,解答下列各題(1)知識再現(xiàn):當x=________時,代數(shù)式x2-6x+12的最小值是________;(2)知識運用:若y=-x2+2x-3,當x=________時,y有最________值(填"大"或"小")（3）知識拓展:若-x2+3x+y+5=0,求y+x的最小值8．數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學問題的一種重要的思想方法,借助圖的直觀性,可以幫助理解數(shù)學問題．(1)請寫出圖1.圖2.圖3分別能解釋的乘法公式.(2)用4個全等的長和寬分別為a、b的長方形拼擺成一個如圖4的正方形,請你寫出這三個代數(shù)式(a+b)2.(a﹣b)2.ab之間的等量關系.(3)根據(jù)(2)中你探索發(fā)現(xiàn)的結(jié)論,完成下列問題:①當a+b＝5,ab＝﹣6時,則a﹣b的值為________.②設
,B＝x﹣2y﹣3,計算：（A+B）2﹣（A﹣B）2的結(jié)果________.9．我國古代數(shù)學的許多發(fā)現(xiàn)都曾位居世界前列,其中“楊輝三角”就是一大重要研究成果．如圖所示的三角形數(shù)表,稱“楊輝三角”．具體法則：兩側(cè)的數(shù)都是1,其余每個數(shù)均為其上方左右兩數(shù)之和,它給出了（a+b）n（n為正整數(shù)）的展開式（按a的次數(shù)由大到小的順序排列）的系數(shù)規(guī)律：(1)根據(jù)上面的規(guī)律,寫出(a+b)5的展開式;(2)利用上面的規(guī)律計算:(﹣3)4+4×(﹣3)3×2+6×(﹣3)2×22+4×(﹣3)×23+24.10.提出問題：“周長一定的長方形,當鄰邊長度滿足什么條件時面積最大？”探究發(fā)現(xiàn)：如圖所示,小敏用4個完全相同的、鄰邊長度分別為a、b的長方形拼成一個邊長為（a+b）的正方形（其中a、b的和不變,但a、b的數(shù)值及兩者的大小關系都可以變化）.仔細觀察拼圖,我們發(fā)現(xiàn),如果右圖中間有空白圖形F,那么它一定是正方形(1)空白圖形F的邊長為________;(2)通過計算左右兩個圖形的面積,我們發(fā)現(xiàn)(a+b)2.(a﹣b)2和ab之間存在一個等量關系式.①這個關系式是________;②已知數(shù)x、y滿足：x+y＝6,xy＝
,則x﹣y＝________;問題解決:問題:"周長一定的長方形,當鄰邊長度滿足什么條件時面積最大?"①對于周長一定的長方形,設周長是20,則長a和寬b的和是________面積S＝ab的最大值為________,此時a、b的關系是________;②對于周長為L的長方形,面積的最大值為________.活動經(jīng)驗:周長一定的長方形,當鄰邊長度a、b滿足________時面積最大.11.認真閱讀材料,然后回答問題:我們初中學習了多項式的運算法則,相應的,我們可以計算出多項式的展開式,如:（a+b）1=a+b,（a+b）2=a2+2ab+b2,（a+b）3=（a+b）2（a+b）=a3+3a2b+3ab2+b3,…下面我們依次對（a+b）n展開式的各項系數(shù)進一步研究發(fā)現(xiàn),當n取正整數(shù)時可以單獨列成表中的形式：上面的多項式展開系數(shù)表稱為"楊輝三角形";仔細觀察"楊輝三角形",用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律回答下列問題:(1)多項式(a+b)n的展開式是一個幾次幾項式?并預測第三項的系數(shù);(2)請你預測一下多項式(a+b)n展開式的各項系數(shù)之和.（3）結(jié)合上述材料,推斷出多項式（a+b）n（n取正整數(shù)）的展開式的各項系數(shù)之和為S,（結(jié)果用含字母n的代數(shù)式表示）.12．現(xiàn)有若干張如圖1所示的正方形紙片A,B和長方形紙片C．(1)小王利用這些紙片拼成了如圖2的一個新正方形,通過用兩種不同的方法計算新正方形面積,由此,他得到了一個等式:________;(2)小王再取其中的若干張紙片(三種紙片都要取到)拼成一個面積為a2+3ab+nb2的長方形,則n可取的正整數(shù)值是________,并請你在圖3位置畫出拼成的長方形________;(3)根據(jù)拼圖經(jīng)驗,請將多項式a2+5ab+4b2分解因式.【參考答案】***試卷處理標記,請不要刪除一、整式乘法與因式分解易錯壓軸解答題1.(1);;（2）(3)解:＝＝.【解析】【解答】(1)(x-1)(x+1)=x2+x-x-1=x2-1;(x-1)(x2+x+1)=x3+x2+x--x2-x-1=x3-1;解析:（1）
；
；
（2）(3)解:
＝＝.【解析】【解答】(1)(x-1)(x+1)=x2+x-x-1=x2-1;(x-1)(x2+x+1)=x3+x2+x--x2-x-1=x3-1;(x-1)(x3+x2+x+1)=x4+x3+x2+x-x3--x2-x-1=x4-1;故答案為:x2-1,x3-1,x4-1.【分析】（1)利用多項式乘以多項式的法則：用一個多項式的每一項與另一個多項式的每一項相乘,再把它們的積相加,可得結(jié)果。(2)根據(jù)(1)中的規(guī)律可得答案。(3）將原式轉(zhuǎn)化為(x-1）(xn+xn-1+
+x+1）=xn+1-1(n為正整數(shù)）,因此只需在原式乘以
,就可得出結(jié)果。2.（1)(2)a2+b2+2ab=(a+b)2（3)解:能拼成長方形.如圖.(不止一種）畫圖正確得分.等式:2a2+3ab+b2=(a+b)(2a+b).(等式左右兩邊交換不扣分)解析:（1）
（2）(3)解:能拼成長方形.如圖.(不止一種）畫圖正確得分.等式:
.(等式左右兩邊交換不扣分)【解析】【分析】(1)圖1陰影部分面積為S1=a2-b2,圖1陰影部分面積為S2=
,根據(jù)展開前后圖形的面積相等得到S1=S2,所以

;(2)圖3四個圖形面積和為S3=a2+b2+2ab,圖4的面積S4=(a+b)2,因為圖4為圖3的四個圖形拼成,所以S3=S4,即
;(3)圖5六個圖形面積和為S5=2a2+b2+3ab,畫出的長方形的面積S=(a+b)(2a+b),因為畫出的長方形為圖5的六個圖形拼成,所以S5=S,即

.3.(1)x5﹣1;xn+1﹣1（2）解:（x﹣1）（xn+xn﹣1+…+x+1）＝xn+1﹣1,把x＝2,n＝2020代入得,22020+22019+22018+…+22+2+1＝（2﹣解析:(1)x5﹣1;xn+1﹣1(2)解:(x﹣1)(xn+xn﹣1+…+x+1)＝xn+1﹣1,把x＝2,n＝2020代入得,22020+22019+22018+…+22+2+1＝(2﹣1)(22020+22019+22018+…+22+2+1),＝22021﹣1(3)解:(x﹣1)(xn+xn﹣1+…+x+1)＝xn+1﹣1,把x＝﹣3,n＝2020代入得,(﹣3﹣1)(32020﹣32019+32018﹣32017+…+32﹣3+1)＝(﹣3)2021﹣1,所以.32020﹣32019+32018﹣32017+…+32﹣3+1,＝
,＝【解析】【解答】解:(1)根據(jù)規(guī)律可得,x5﹣1,xn+1﹣1;故答案為：x5﹣1,xn+1﹣1；【分析】(1)根據(jù)代數(shù)式的規(guī)律可得答案;（2)根據(jù)規(guī)律（x﹣1)（xn+xn﹣1+…+x+1)＝xn+1﹣1,把x＝2,n＝2020代入計算即可;(3）根據(jù)規(guī)律(x﹣1）(xn+xn﹣1+…+x+1）＝xn+1﹣1,把x＝﹣3,n＝2020代入計算即可.4.（1）解：S1=2(a-b)2+(2b-a)2=3a2-8ab+6b2S2=b2-(a-b)2=2ab-a2(2)解:∵S1+3S2=72b2,∴3a2-8ab+6b2+3(解析:(1)解:S1=2(a-b)2+(2b-a)2=3a2-8ab+6b2S2=b2-(a-b)2=2ab-a2(2)解:∵S1+3S2=
b2,∴3a2-8ab+6b2+3(2ab-a2)=b2化簡得:5b2=4ab,∵b≠0,∴兩邊同除以b,得：5b=4a,∴a:b=5:4【解析】【分析】(1)根據(jù)圖1可知左下角及右上角兩個圖形是全等的正方形,其邊長為(a-b),中間的小正方形應該是(2b-a),然后根據(jù)正方形面積的計算方法即可列出算式S1=2(a-b)2+(2b-a)2,再根據(jù)完全平方公式展開括號,再合并同類項即可;由圖2可知:陰影部分的面積=邊長為b的正方形的面積-邊長為(a-b)的正方形的面積,從而根據(jù)正方形面積的計算方法即可列出算式,再根據(jù)完全平方公式展開括號,再合并同類項即可;(2）根據(jù)(1）的計算結(jié)果,由S1+3S2=
b2列出方程,化簡即可得出答案.5.（1）解：x2+y2=(x+y)2-2xy(2)解:①由題意得:ab=把a2+b2=10,a+b=6代入上式得,ab==13②由題意得:(2021-c)2+(c-2019)解析:(1)解:x2+y2=(x+y)2-2xy(2)解:①由題意得:ab=
把a2+b2=10,a+b=6代入上式得,ab==13②由題意得:(2021-c)2+(c-2019)2=(2021-c+c-2019)2-2(2021-c)(c-2019)=22-2×2020=-4036【解析】【分析】(1)方法一是直接求出陰影部分面積x2＋y2,方法二是間接求出陰影部分面積,即(x＋y)為邊的正方形面積減去兩個x為寬、y為長的矩形面積,即(x＋y)2?2xy,進而根據(jù)用兩個不同的算式表示同一個圖形的面積,則這兩個式子應該相等即可得出等式;(2)①根據(jù)等式的性質(zhì)將(1)所得的等式變形后將a2＋b2＝10,a＋b＝6代入即可解決問題;②根據(jù)完全平方公式的恒等變形,a2+b2=(a+b）2-2ab,可以將2021?c看作a,將c?2019看作b,整體代入就可算出答案.6.（1）；9-y;y-3(2)解:FG=EB=x-6,IP=KG=9-y,IQ=IJ-EB=3-(x-6)=9-x,∴S2=IP×IQ=(9-y)(9-x),LN=GD=KD-K解析:(1)
；9-y;y-3（2）解:FG=EB=x-6,IP=KG=9-y,IQ=IJ-EB=3-(x-6)=9-x,∴S2=IP×IQ=(9-y)(9-x),LN=GD=KD-KG=3-(9-y)=y-6,∴S3=LN×NH=(y-6)(x-6),∵S2=S3,∴(9-y)(9-x)=(y-6)(x-6),81-9y-9x+xy=xy-6x-6y+363(x+y)=81,x+y=27.∴長方形ABCD的周長=2(x+y)=54.(3)解:S1=EB×BJ=(x-6)(y-3),由2S1+3S2=5S3得,2(x-6)(y-3)+3(9-y)(9-x)=5(y-6)(x-6),整理得:3y-x=33,∵y=x+1,解得x=15,y=16,則長方形ABCD的面積=xy=15×16=240.【解析】【解答】【解答】(1)由圖可知,AG+KD=AG+GD+KG=AD+KG,即6+3=y+KG,∴KG=9-y,由圖可知,BJ=AK=AG-KG=6-(9-y)=y-3,NH=DC-DN-HC=AB-2DN=x-6,則MH=;【分析】(1)根據(jù)線段之間的關系,結(jié)合正方形的性質(zhì)推得AG+KD=AD+KG,求出KG=KG=9-y,由BJ=AK=AG-KG,從而求得BG=y-3;(2)根據(jù)已求線段的值,結(jié)合線段之間的關系,把IP和IQ,LN和NH分別用含x和y的代數(shù)式表示,根據(jù)S2=S3列式,求得x+y=27,則矩形的周長可求;(3)把S1.S2和S3分別用含x和y的代數(shù)式表示,根據(jù)2S1+3S2=5S3列式,

結(jié)合y=x+1,從而解出x、y則可求出長方形ABCD的面積.7.(1)3；3(2)1;-2（3）解:∵-x2+3x+y+5=0,∴x+y=x2-2x-5=(x-1)2-6,∵(x-1)2≥0∴(x-1)2-6≥-6∴當x=1時,y+x的最小值為解析:(1)3；3(2)1;-2（3）解:∵-x2+3x+y+5=0,∴x+y=x2-2x-5=(x-1)2-6,∵(x-1)2≥0∴(x-1)2-6≥-6∴當x=1時,y+x的最小值為-6.【解析】【解答】解:(1)∵x2-6x+12=(x-3)2+3,∴當x=3時,有最小值3:(2)∵y=-x2+2x-3=-(x-1)2-2,∴當x=1時有最大值-2【分析】(1)把代數(shù)式x2-6x+12根據(jù)完全平方公式配方,由配方的結(jié)果:(x-3)2+3,得(x-3)2≥0,當(x-3)2=0,即x=3時,求得x2-6x+12最小值為3;(2)把y=-x2+2x-3配方,由配方的結(jié)果:-(x-1)2-2,得-(x-1)2≤0,則當-(x-1)2=0,即x=1時,y有最大值為-2;(3)首先移項,求出y+x的表達式,再把此表達式配方,根據(jù)配方的結(jié)果,因為(x-1)2≥0,得出x=1,

y+x有最小值-6即可.8.(1）圖1：(a+b）2＝a2+2ab+b2;圖2:（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2;圖3：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2,(2)圖4:(a+b)2﹣(a﹣b)2＝4ab（3解析:(1)圖1:(a+b)2＝a2+2ab+b2;圖2:(a﹣b)2＝a2﹣2ab+b2;圖3：(a+b)(a﹣b)＝a2﹣b2,(2)圖4:(a+b)2﹣(a﹣b)2＝4ab（3)±7;∵
,B＝x﹣2y﹣3,∴(A+B)2﹣(A﹣B)2＝4×A×B＝4×
×(x﹣2y﹣3)＝(x+2y﹣3)(x﹣2y﹣3)＝[(x﹣3)+2y][(x﹣3)﹣2y]＝x2﹣6x+9﹣4y2.【解析】【解答】（3）①由（2）知:（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab,∵a+b＝5,ab＝﹣6,∴52﹣(a﹣b)2＝4×(﹣6),(a﹣b）2＝25+24＝49,∴a﹣b＝±7,故答案為:±7;【分析】(1)根據(jù)圖形面積直接得出即可;(2)用兩種方法表示陰影部分的面積可得結(jié)論;(3)①根據(jù)(2)中的等量關系代入計算可得結(jié)論;②同理根據(jù)(2)中的公式代入可得結(jié)論.9.(1）解：根據(jù)規(guī)律可得：(a+b）5首項a的次數(shù)是5次方,b為0次方,后續(xù)每項a的次數(shù)減少1而b的次數(shù)增加1,每項的系數(shù)根據(jù)規(guī)律則依次為為1,1+4=5,4+6=10,6+4=10,4+1=5,1解析:（1）解:根據(jù)規(guī)律可得:（a+b）5首項a的次數(shù)是5次方,b為0次方,后續(xù)每項a的次數(shù)減少1而b的次數(shù)增加1,每項的系數(shù)根據(jù)規(guī)律則依次為為1,1+4=5,4+6=10,6+4=10,4+1=5,1,根據(jù)以上規(guī)律,則（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；（2)解：由題知：
,對比(﹣3)4+4×(﹣3)3×2+6×(﹣3)2×22+4×(﹣3)×23+24可知a=-3,b=2,則原式＝(﹣3+2)4＝1.【解析】【分析】（1)根據(jù)上面的規(guī)律,按a的次數(shù)由大到小的順序判斷出各是多少,寫出（a+b)5的展開式即可;（2)利用上面的規(guī)律,（-3)4+4×（-3)3×2+6×（-3)2×22+4×（-3)×23+24=（-3+2)4,據(jù)此求出算式的值是多少即可．10.(1)a﹣b(2)(a+b)2﹣(a﹣b)2＝4ab;5或﹣5;10;25;a＝b;116L2;a＝b【解析】【解答】(1)由圖可知：空白圖形F的邊長為：a﹣b,故答案為:a﹣b;解析:(1)a﹣b(2)(a+b)2﹣(a﹣b)2＝4ab;5或﹣5;10;25;a＝b;
L2;a＝b【解析】【解答】(1)由圖可知：空白圖形F的邊長為：a﹣b,故答案為:a﹣b;(2)①左圖形的面積為:2a×2b＝4ab,右圖形的面積為:（a+b)2﹣（a﹣b)2,∴(a+b)2﹣(a﹣b)2＝4ab,故答案為:(a+b)2﹣(a﹣b)2＝4ab;②由(a+b）2﹣(a﹣b）2＝4ab得:(x+y）2﹣(x﹣y）2＝4xy,即:62﹣（x﹣y)2＝4×
,∴(x﹣y）2＝25,∴x﹣y＝5或x﹣y＝﹣5,故答案為:5或﹣5;問題解決:解:①∵長方形的周長是20,∴2(a+b）＝20,∴a+b＝10,則b＝10﹣a,∴面積S＝ab＝a(10﹣a)＝﹣a2+10a＝﹣(a﹣5)2+25,∴a＝5時,S＝ab的最大值為25,此時a、b的關系是a＝b,故答案為:10,25,a＝b;②對于周長為L的長方形,設一邊長為a,則鄰邊長為
﹣a,∴面積
;∴面積的最大值為
L2;故答案為:
L2;活動經(jīng)驗:解：周長一定的長方形,當鄰邊長度a、b滿足a＝b時面積最大;故答案為:a＝b.【分析】探究發(fā)現(xiàn)(1)由圖可知:空白圖形F的邊長為:a-b;(2)①由矩形的性質(zhì)得出左圖形的面積為:2a×2b=4ab,由正方形的性質(zhì)得出右圖形的面積為:(a+b)2-(a-b)2,即可得出答案;②由①得出(x-y)2=25,即可得出答案;問題解決①由長方形的性質(zhì)得出a+b=10,面積S=ab=a(10-a)=-a2+10a=-(a-5)2+25,由二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出答案;②由長方形的性質(zhì)得出面積
;由二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出答案;活動經(jīng)驗根據(jù)前面的問題即可得出結(jié)論.11.(1)解：∵當n=1時