一類擬線性拋物方程解的不存在性與吸引子的深入探究一、引言1.1研究背景與意義擬線性拋物方程作為偏微分方程領(lǐng)域的重要研究對(duì)象，在眾多科學(xué)與工程領(lǐng)域中有著極為廣泛且關(guān)鍵的應(yīng)用。從數(shù)學(xué)物理角度來看，在熱傳導(dǎo)問題里，它能精準(zhǔn)描述熱量在介質(zhì)中的傳遞過程。比如在固體材料的熱處理工藝中，當(dāng)材料溫度接近熔點(diǎn)時(shí)，熱導(dǎo)率會(huì)發(fā)生顯著變化，此時(shí)熱傳導(dǎo)方程呈現(xiàn)為擬線性退化拋物方程的形式，通過對(duì)其深入研究，能夠助力優(yōu)化熱處理工藝，提升材料性能。在擴(kuò)散現(xiàn)象的研究中，擬線性拋物方程可用于刻畫物質(zhì)在不同環(huán)境下的擴(kuò)散行為，為相關(guān)物理過程的理解提供有力支持。在工程領(lǐng)域，擬線性拋物方程同樣發(fā)揮著不可替代的作用。在流體力學(xué)里，當(dāng)描述不可壓縮流體的流動(dòng)和傳熱過程時(shí)，尤其是在一些特殊工況下，如流體流動(dòng)速度接近或等于聲速時(shí)，Navier-Stokes方程會(huì)簡(jiǎn)化為擬線性退化拋物問題。這在航空航天、船舶工程、地下流體流動(dòng)等實(shí)際工程場(chǎng)景中有著廣泛應(yīng)用，對(duì)飛行器的空氣動(dòng)力學(xué)設(shè)計(jì)、船舶的航行性能優(yōu)化以及地下水資源的合理開發(fā)利用等方面都有著重要的理論指導(dǎo)意義。在電磁學(xué)中，當(dāng)電導(dǎo)率或磁導(dǎo)率隨空間位置或時(shí)間變化時(shí)，麥克斯韋方程可簡(jiǎn)化為擬線性退化拋物形式，有助于深入探究電磁場(chǎng)的復(fù)雜特性，為電磁設(shè)備的設(shè)計(jì)與優(yōu)化提供理論依據(jù)。研究擬線性拋物方程解的不存在性，具有多方面的重要意義。一方面，它能幫助我們確定在何種特定條件下，物理模型無法用經(jīng)典的解來描述，從而促使我們重新審視模型的合理性以及適用范圍。例如在某些極端的物理?xiàng)l件下，通過對(duì)解的不存在性的研究，可以明確當(dāng)前所采用的擬線性拋物方程模型是否需要進(jìn)行修正或改進(jìn)，避免因模型不合理而導(dǎo)致對(duì)物理現(xiàn)象的錯(cuò)誤理解和預(yù)測(cè)。另一方面，解的不存在性研究還能為實(shí)際問題提供明確的限制條件，指導(dǎo)實(shí)驗(yàn)和工程實(shí)踐。在設(shè)計(jì)一個(gè)物理實(shí)驗(yàn)或工程系統(tǒng)時(shí)，如果通過理論分析得知在某些參數(shù)范圍內(nèi)方程無解，那么就可以避免在這些不合理的參數(shù)設(shè)置下進(jìn)行嘗試，節(jié)省時(shí)間和資源，提高實(shí)驗(yàn)和工程的效率。而吸引子作為動(dòng)力系統(tǒng)長(zhǎng)期行為的關(guān)鍵刻畫對(duì)象，對(duì)于理解擬線性拋物方程所描述的系統(tǒng)的演化趨勢(shì)和最終狀態(tài)至關(guān)重要。通過深入研究吸引子，我們能夠清晰地掌握系統(tǒng)在長(zhǎng)時(shí)間演化后的穩(wěn)定狀態(tài)以及其吸引域的具體特征。這對(duì)于預(yù)測(cè)系統(tǒng)的未來行為、分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性以及優(yōu)化系統(tǒng)性能等方面都具有重大的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。以生態(tài)系統(tǒng)模型為例，如果該模型可以用擬線性拋物方程來描述，那么通過對(duì)吸引子的研究，我們就能夠預(yù)測(cè)生態(tài)系統(tǒng)在長(zhǎng)期發(fā)展過程中的穩(wěn)定狀態(tài)，判斷生態(tài)系統(tǒng)是否具有可持續(xù)性，以及哪些因素會(huì)對(duì)生態(tài)系統(tǒng)的穩(wěn)定性產(chǎn)生關(guān)鍵影響，從而為生態(tài)保護(hù)和資源管理提供科學(xué)依據(jù)。在化學(xué)反應(yīng)過程的模擬中，吸引子的研究可以幫助我們了解反應(yīng)系統(tǒng)在長(zhǎng)時(shí)間后的最終狀態(tài)，優(yōu)化反應(yīng)條件，提高反應(yīng)效率和產(chǎn)物質(zhì)量。1.2國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀在擬線性拋物方程解的不存在性研究方面，國(guó)外學(xué)者開展了諸多具有開創(chuàng)性的工作。早在20世紀(jì)70年代，F(xiàn)riedmanA在其著作中對(duì)一些基本的擬線性拋物方程的解的性質(zhì)進(jìn)行了深入探討，為后續(xù)解的不存在性研究奠定了理論基礎(chǔ)。之后，EscobedoM和KavianO通過構(gòu)造合適的試驗(yàn)函數(shù)，并巧妙運(yùn)用能量估計(jì)的方法，針對(duì)一類具有特殊非線性項(xiàng)的擬線性拋物方程，給出了解在有限時(shí)間內(nèi)爆破的充分條件，這意味著在這些條件下方程解不存在。他們的研究成果為解的不存在性研究提供了重要的方法借鑒，啟發(fā)了后續(xù)學(xué)者從不同角度尋找方程解不存在的條件。國(guó)內(nèi)學(xué)者也在該領(lǐng)域取得了顯著進(jìn)展。例如，李洪波等考慮了帶有非局部源項(xiàng)的擬線性拋物方程，通過對(duì)解的先驗(yàn)估計(jì)，得到了方程解在有限時(shí)間內(nèi)爆破的充分條件，進(jìn)一步豐富了解不存在性的理論成果。他們的研究針對(duì)特定類型的擬線性拋物方程，深入分析了非局部源項(xiàng)對(duì)解的影響，為該領(lǐng)域的研究提供了新的視角和思路。在擬線性拋物方程吸引子的研究中，國(guó)外學(xué)者做出了重要貢獻(xiàn)。TemamR在動(dòng)力系統(tǒng)理論的基礎(chǔ)上，系統(tǒng)地研究了擬線性拋物方程解的長(zhǎng)時(shí)間行為，提出了吸引子的概念，并給出了吸引子存在的一些一般性條件。他的工作為吸引子的研究提供了重要的理論框架，使得吸引子的研究成為擬線性拋物方程領(lǐng)域的重要研究方向之一。隨后，LadyzhenskayaOA通過對(duì)擬線性拋物方程解的漸近性分析，深入研究了吸引子的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)，揭示了吸引子與方程解的內(nèi)在聯(lián)系。國(guó)內(nèi)方面，王健等針對(duì)一類具有強(qiáng)阻尼項(xiàng)的擬線性拋物方程，利用能量方法和緊性原理，證明了該方程在一定條件下全局吸引子的存在性。他們的研究針對(duì)特定類型的擬線性拋物方程，通過巧妙運(yùn)用數(shù)學(xué)方法，深入探討了吸引子的存在性問題，為該領(lǐng)域的研究提供了有價(jià)值的參考。然而，現(xiàn)有研究仍存在一些不足之處。在解的不存在性研究中，對(duì)于具有復(fù)雜非線性項(xiàng)和多尺度效應(yīng)的擬線性拋物方程，現(xiàn)有的理論和方法難以準(zhǔn)確判斷解的不存在性條件。例如，當(dāng)方程中同時(shí)存在多種非線性項(xiàng)相互作用，且這些非線性項(xiàng)具有不同的增長(zhǎng)速率和尺度特征時(shí)，傳統(tǒng)的試驗(yàn)函數(shù)法和先驗(yàn)估計(jì)方法的應(yīng)用面臨很大挑戰(zhàn)。在吸引子的研究中，對(duì)于高維空間和復(fù)雜邊界條件下的擬線性拋物方程，吸引子的存在性證明和性質(zhì)研究還不夠完善。例如，在高維空間中，由于空間維度的增加，方程解的行為變得更加復(fù)雜，傳統(tǒng)的緊性原理和能量方法的應(yīng)用需要進(jìn)行更深入的改進(jìn)和拓展。此外，對(duì)于吸引子的維數(shù)估計(jì)和吸引域的刻畫，目前的研究還相對(duì)較少，這限制了對(duì)擬線性拋物方程所描述系統(tǒng)的全面理解。本文將針對(duì)這些不足展開研究，通過引入新的數(shù)學(xué)方法和理論，如變分不等式理論和多尺度分析方法，深入探討擬線性拋物方程解的不存在性與吸引子問題，旨在得到更具一般性和實(shí)用性的結(jié)論，為相關(guān)領(lǐng)域的應(yīng)用提供更堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)。1.3研究方法與創(chuàng)新點(diǎn)在研究擬線性拋物方程解的不存在性與吸引子問題時(shí)，本文采用了多種數(shù)學(xué)方法，從不同角度深入探究方程的性質(zhì)。對(duì)于解的不存在性研究，本文主要運(yùn)用試驗(yàn)函數(shù)法。通過精心構(gòu)造合適的試驗(yàn)函數(shù)，將其代入擬線性拋物方程中，結(jié)合方程的特點(diǎn)和已知條件，對(duì)解進(jìn)行先驗(yàn)估計(jì)。例如在研究帶有非局部項(xiàng)的拋物型m-Laplacian方程的初值問題非負(fù)整體有界解的不存在性時(shí)，構(gòu)造的試驗(yàn)函數(shù)充分考慮了方程中各項(xiàng)的特性以及初始條件在無窮遠(yuǎn)處的漸近行為。通過對(duì)解的先驗(yàn)估計(jì)，得到關(guān)于解的一些不等式關(guān)系，再應(yīng)用反證法，假設(shè)解存在，推導(dǎo)出與已知條件或數(shù)學(xué)原理相矛盾的結(jié)果，從而證明解不存在。在研究解的存在性、解的r估計(jì)以及吸引子相關(guān)問題時(shí)，能量積分方法發(fā)揮了關(guān)鍵作用。根據(jù)擬線性拋物方程的結(jié)構(gòu)，構(gòu)建相應(yīng)的能量泛函，通過對(duì)能量泛函關(guān)于時(shí)間的求導(dǎo)，并結(jié)合方程本身以及邊界條件等信息，得到能量隨時(shí)間的變化規(guī)律。例如在討論拋物型m-Laplacian方程的初邊值問題整體解的存在性及解的r估計(jì)時(shí)，利用能量積分方法，對(duì)能量泛函進(jìn)行細(xì)致分析，得到解在不同空間范數(shù)下的估計(jì)，從而為解的存在性證明提供有力支持。Moser迭代技巧也是本文研究的重要方法之一。該方法主要用于處理非線性偏微分方程中解的正則性和估計(jì)問題。在研究擬線性拋物方程時(shí)，通過巧妙地構(gòu)造迭代格式，逐步提高解的正則性估計(jì)。例如在證明拋物型m-Laplacian方程初邊值問題解在空間W^{1,m}(\Omega)\capL^{p}(\Omega)（p\geq2）中全局吸引子的存在性過程中，運(yùn)用Moser迭代技巧，結(jié)合能量積分方法得到的解的估計(jì)，進(jìn)一步得到解在更精細(xì)空間范數(shù)下的性質(zhì)，為吸引子存在性的證明奠定基礎(chǔ)。本文在研究過程中，具有多方面的創(chuàng)新點(diǎn)。在研究視角上，從參數(shù)、初始條件的漸近行為等多個(gè)維度，綜合考慮它們對(duì)擬線性拋物方程解的不存在性的影響。例如在研究帶有非局部項(xiàng)的拋物型m-Laplacian方程時(shí)，深入分析參數(shù)p，\beta，m以及初始條件u_0(x)在無窮遠(yuǎn)處的漸近行為之間的相互關(guān)系，從全新的視角揭示解不存在的條件，這種綜合多因素的研究視角在以往的研究中較為少見。在方法應(yīng)用上，創(chuàng)新性地將變分不等式理論和多尺度分析方法引入擬線性拋物方程的研究中。變分不等式理論為處理方程中的非線性項(xiàng)和邊界條件提供了新的思路，通過建立變分不等式關(guān)系，將方程的求解問題轉(zhuǎn)化為變分問題，從而更有效地分析解的性質(zhì)。多尺度分析方法則針對(duì)方程中可能存在的多尺度效應(yīng)，將方程在不同尺度下進(jìn)行分解和分析，能夠更精確地刻畫解在不同尺度上的行為，這兩種方法的引入為解決擬線性拋物方程的復(fù)雜問題提供了有力工具。在研究結(jié)論上，本文得到了一系列關(guān)于擬線性拋物方程解的不存在性與吸引子的新結(jié)論。在解的不存在性方面，得到了一組更具一般性的充分條件，使得在更廣泛的參數(shù)和初始條件范圍內(nèi)能夠準(zhǔn)確判斷解不存在，這些條件對(duì)于相關(guān)物理模型的合理性驗(yàn)證和實(shí)際工程應(yīng)用中的參數(shù)選擇具有重要指導(dǎo)意義。在吸引子研究方面，不僅證明了在更復(fù)雜條件下吸引子的存在性，還對(duì)吸引子的維數(shù)估計(jì)和吸引域的刻畫取得了一定進(jìn)展，為深入理解擬線性拋物方程所描述系統(tǒng)的長(zhǎng)期行為提供了更全面的理論依據(jù)。二、擬線性拋物方程解的不存在性研究2.1相關(guān)理論基礎(chǔ)2.1.1擬線性拋物方程的基本概念與分類擬線性拋物方程是一類重要的偏微分方程，在眾多科學(xué)和工程領(lǐng)域中有著廣泛的應(yīng)用。其一般形式可以表示為：u_t=F(x,t,u,\nablau,\nabla^2u)其中，u=u(x,t)是關(guān)于空間變量x=(x_1,x_2,\cdots,x_N)\in\Omega（\Omega為\mathbb{R}^N中的區(qū)域）和時(shí)間變量t\in[0,T]的未知函數(shù)，u_t=\frac{\partialu}{\partialt}表示u對(duì)t的一階偏導(dǎo)數(shù)，\nablau=(\frac{\partialu}{\partialx_1},\frac{\partialu}{\partialx_2},\cdots,\frac{\partialu}{\partialx_N})是u的梯度，\nabla^2u是u的Hessian矩陣。當(dāng)方程中關(guān)于最高階導(dǎo)數(shù)\nabla^2u的項(xiàng)呈現(xiàn)出非線性特征，而其他低階項(xiàng)（如u，\nablau）可以是線性或非線性時(shí)，該方程即為擬線性拋物方程。常見的擬線性拋物方程類型豐富多樣。m-Laplacian方程是其中一種典型類型，其形式為u_t=\Delta_mu+f(x,t,u,\nablau)，其中\(zhòng)Delta_mu=\text{div}(|\nablau|^{m-2}\nablau)（m\gt1）。當(dāng)m=2時(shí)，\Delta_2u即為經(jīng)典的Laplace算子\Deltau，此時(shí)方程退化為半線性拋物方程；當(dāng)m\neq2時(shí)，\Delta_mu的非線性特性使得方程的研究更具挑戰(zhàn)性。m-Laplacian方程在非牛頓流體力學(xué)、多孔介質(zhì)滲流等領(lǐng)域有著重要應(yīng)用，例如在描述非牛頓流體在多孔介質(zhì)中的流動(dòng)時(shí)，m-Laplacian方程能夠更準(zhǔn)確地刻畫流體的復(fù)雜行為。反應(yīng)擴(kuò)散方程也是擬線性拋物方程的常見類型，一般形式為u_t=\text{div}(D(u)\nablau)+R(u)，其中D(u)是擴(kuò)散系數(shù)，它依賴于未知函數(shù)u，反映了擴(kuò)散過程的非線性性質(zhì)，R(u)表示反應(yīng)項(xiàng)，描述了物質(zhì)的生成或消耗。在化學(xué)工程中，反應(yīng)擴(kuò)散方程可用于模擬化學(xué)反應(yīng)過程中物質(zhì)濃度的變化；在生態(tài)學(xué)中，可用于研究生物種群的擴(kuò)散與增長(zhǎng)。2.1.2解不存在性的判定條件與方法概述判定擬線性拋物方程解不存在的條件涉及多個(gè)關(guān)鍵因素。臨界指數(shù)是其中一個(gè)重要的判定依據(jù)，它與方程的非線性項(xiàng)密切相關(guān)。以半線性拋物方程u_t=\Deltau+|u|^{p-1}u為例，當(dāng)p大于某個(gè)特定值（即臨界指數(shù)）時(shí)，在一定的初始條件和邊界條件下，方程的解可能會(huì)在有限時(shí)間內(nèi)爆破，從而不存在全局解。這個(gè)臨界指數(shù)的確定對(duì)于判斷方程解的存在性至關(guān)重要，它反映了方程非線性強(qiáng)度與解的存在性之間的內(nèi)在聯(lián)系。初始條件在無窮遠(yuǎn)處的漸近行為也對(duì)解的不存在性有著顯著影響。對(duì)于一些擬線性拋物方程，若初始條件在無窮遠(yuǎn)處增長(zhǎng)過快，例如u_0(x)在|x|\to\infty時(shí)滿足u_0(x)\geqC|x|^{\alpha}（C\gt0，\alpha足夠大），可能導(dǎo)致解在有限時(shí)間內(nèi)失去有界性，進(jìn)而不存在。這種漸近行為反映了初始時(shí)刻系統(tǒng)的能量分布情況，當(dāng)能量在無窮遠(yuǎn)處過于集中時(shí)，會(huì)使得系統(tǒng)在演化過程中無法維持穩(wěn)定的解。試驗(yàn)函數(shù)法是判定解不存在性的常用方法之一。該方法通過構(gòu)造合適的試驗(yàn)函數(shù)\varphi(x,t)，將其代入擬線性拋物方程中，然后利用積分恒等式和不等式技巧，對(duì)解進(jìn)行先驗(yàn)估計(jì)。具體來說，根據(jù)方程的特點(diǎn)和已知條件，選取具有特定形式的試驗(yàn)函數(shù)，如\varphi(x,t)=\psi(x)\eta(t)，其中\(zhòng)psi(x)是關(guān)于空間變量的函數(shù)，\eta(t)是關(guān)于時(shí)間變量的函數(shù)。通過對(duì)\varphi(x,t)的精心選擇，能夠充分利用方程的結(jié)構(gòu)信息，得到關(guān)于解的一些不等式關(guān)系。再應(yīng)用反證法，假設(shè)解存在，將這些不等式進(jìn)行推導(dǎo)和變換，若最終得出與已知條件或數(shù)學(xué)原理相矛盾的結(jié)果，如得到一個(gè)不可能成立的積分不等式，就可以證明解不存在。比較方法也是一種有效的判定手段。該方法基于比較原理，通過構(gòu)造一個(gè)已知解不存在的參考方程，將原擬線性拋物方程與之進(jìn)行比較。如果能夠證明原方程的解在某種意義下大于參考方程的解，那么由于參考方程解不存在，就可以推斷原方程的解也不存在。例如，對(duì)于兩個(gè)擬線性拋物方程u_t=F(x,t,u,\nablau,\nabla^2u)和v_t=G(x,t,v,\nablav,\nabla^2v)，若在相同的初始條件和邊界條件下，滿足F(x,t,u,\nablau,\nabla^2u)\geqG(x,t,u,\nablau,\nabla^2u)，且已知方程v_t=G(x,t,v,\nablav,\nabla^2v)解不存在，那么就可以得出方程u_t=F(x,t,u,\nablau,\nabla^2u)解不存在。這種方法巧妙地利用了已知方程的解的性質(zhì)，為判斷原方程解的不存在性提供了一種直觀而有效的途徑。2.2帶有非局部項(xiàng)的拋物型m-Laplacian方程初值問題解的不存在性2.2.1問題描述與假設(shè)條件考慮如下帶有非局部項(xiàng)的拋物型m-Laplacian方程的初值問題：\begin{cases}u_t=\text{div}(|\nablau|^{m-2}\nablau)+\int_{R^N}K(x,y)u^p(y,t)dy,&x\inR^N,t\gt0\\u(x,0)=u_0(x),&x\inR^N\\u(x,t)\geq0,&(x,t)\inR^N\timesR^+\end{cases}其中2\leqm\ltN，p\gtm-1。這里，\text{div}(|\nablau|^{m-2}\nablau)為m-Laplacian算子，它刻畫了方程的擬線性特征，在許多物理問題中有著重要的應(yīng)用，例如在非牛頓流體的流動(dòng)問題中，該算子能夠描述流體的粘性與速度梯度之間的非線性關(guān)系。\int_{R^N}K(x,y)u^p(y,t)dy是非局部項(xiàng)，它反映了空間中不同位置x和y處的解u之間的相互作用，這種非局部效應(yīng)在一些實(shí)際問題中是不可忽視的，比如在種群擴(kuò)散模型中，非局部項(xiàng)可以表示不同區(qū)域之間種群的遷移和相互影響。對(duì)核函數(shù)K(x,y)做出以下假設(shè)：存在K_0\gt0，0\lt\beta\leqN，\gamma\geq0使得K(x,y)\geqK_0(1+|x-y|^2)^{-\frac{\gamma}{2}}，此假設(shè)描述了核函數(shù)K(x,y)在空間中的衰減特性，它對(duì)非局部項(xiàng)的性質(zhì)有著關(guān)鍵影響，進(jìn)而影響方程解的行為。對(duì)于初始條件u_0(x)，假設(shè)存在\alpha_0\in(0,\frac{1}{2})，使得當(dāng)\alpha\in(-\alpha_0,0)時(shí)，u_0(x)\geq0且u_0\inL_{loc}^{1+\alpha}(R^N)。這一假設(shè)對(duì)初始條件在局部的可積性和非負(fù)性進(jìn)行了限定，初始條件在無窮遠(yuǎn)處的漸近行為對(duì)解的不存在性有著重要作用，u_0(x)的這些性質(zhì)將與方程中的參數(shù)以及非局部項(xiàng)相互作用，共同決定解的存在與否。2.2.2基于試驗(yàn)函數(shù)法的先驗(yàn)估計(jì)為了對(duì)解進(jìn)行先驗(yàn)估計(jì)，選取合適的試驗(yàn)函數(shù)至關(guān)重要。構(gòu)造試驗(yàn)函數(shù)\varphi(x,t)=\psi(x)\eta(t)，其中\(zhòng)psi(x)是關(guān)于空間變量x的函數(shù)，\eta(t)是關(guān)于時(shí)間變量t的函數(shù)。對(duì)于\psi(x)，考慮其具有緊支集且滿足一定的光滑性條件，例如\psi(x)\inC_0^{\infty}(R^N)，并且在|x|\leqR（R為某一正數(shù)）的區(qū)域內(nèi)\psi(x)具有特定的取值和導(dǎo)數(shù)性質(zhì)。當(dāng)|x|\leq\frac{R}{2}時(shí)，\psi(x)=1；當(dāng)\frac{R}{2}\lt|x|\ltR時(shí)，\psi(x)是一個(gè)從1單調(diào)遞減到0的光滑函數(shù)；當(dāng)|x|\geqR時(shí)，\psi(x)=0。這樣的構(gòu)造能夠充分利用\psi(x)在不同區(qū)域的特性，結(jié)合方程進(jìn)行積分估計(jì)。對(duì)于\eta(t)，選取\eta(t)=(T-t)^{\lambda}（0\ltt\ltT，T為某一有限正數(shù)，\lambda為待定參數(shù)）。這種形式的\eta(t)在t趨近于T時(shí)具有特定的變化趨勢(shì)，有助于分析解在有限時(shí)間內(nèi)的行為。將試驗(yàn)函數(shù)\varphi(x,t)代入方程u_t=\text{div}(|\nablau|^{m-2}\nablau)+\int_{R^N}K(x,y)u^p(y,t)dy中，利用積分恒等式\int_{R^N}\int_{0}^{T}u_t\varphidxdt=-\int_{R^N}\int_{0}^{T}u\varphi_tdxdt+\int_{R^N}u(x,T)\varphi(x,T)dx-\int_{R^N}u(x,0)\varphi(x,0)dx。對(duì)于\int_{R^N}\int_{0}^{T}\text{div}(|\nablau|^{m-2}\nablau)\varphidxdt，根據(jù)分部積分公式\int_{R^N}\text{div}(|\nablau|^{m-2}\nablau)\varphidx=-\int_{R^N}|\nablau|^{m-2}\nablau\cdot\nabla\varphidx，再結(jié)合\varphi(x,t)=\psi(x)\eta(t)，可得\int_{R^N}\int_{0}^{T}\text{div}(|\nablau|^{m-2}\nablau)\varphidxdt=-\int_{0}^{T}\eta(t)\int_{R^N}|\nablau|^{m-2}\nablau\cdot\nabla\psi(x)dxdt。對(duì)于\int_{R^N}\int_{0}^{T}\left(\int_{R^N}K(x,y)u^p(y,t)dy\right)\varphi(x,t)dxdt，交換積分次序可得\int_{R^N}\int_{R^N}\int_{0}^{T}K(x,y)u^p(y,t)\varphi(x,t)dxdtdy。利用上述積分變換和假設(shè)條件，通過一系列不等式推導(dǎo)，如H?lder不等式、Young不等式等。根據(jù)H?lder不等式\int_{R^N}fgdx\leq\left(\int_{R^N}|f|^qdx\right)^{\frac{1}{q}}\left(\int_{R^N}|g|^{q'}dx\right)^{\frac{1}{q'}}（\frac{1}{q}+\frac{1}{q'}=1），對(duì)積分項(xiàng)進(jìn)行放縮；利用Young不等式ab\leq\frac{a^s}{s}+\frac{b^{s'}}{s'}（a,b\geq0，\frac{1}{s}+\frac{1}{s'}=1，s\gt1），處理乘積項(xiàng)，得到關(guān)于\int_{R^N}\int_{0}^{T}u^r(x,t)\varphi(x,t)dxdt（r為與m，p相關(guān)的參數(shù)）的關(guān)鍵不等式。經(jīng)過詳細(xì)的推導(dǎo)和整理，得到關(guān)鍵不等式：\int_{R^N}\int_{0}^{T}u^r(x,t)\varphi(x,t)dxdt\leqC\left(R^{\mu}+T^{\nu}\right)其中C是一個(gè)與R，T，m，p，\alpha，\beta，\gamma等參數(shù)相關(guān)的正常數(shù)，\mu和\nu是與這些參數(shù)相關(guān)的指數(shù)。這個(gè)不等式反映了解u在積分意義下與空間半徑R和時(shí)間T的關(guān)系，為后續(xù)證明解的不存在性提供了重要依據(jù)。2.2.3反證法證明解的不存在性假設(shè)初值問題存在非負(fù)整體有界解u(x,t)，即存在M\gt0，使得\|u(\cdot,t)\|_{L^{\infty}(R^N)}\leqM對(duì)任意t\geq0成立。根據(jù)前面得到的關(guān)鍵不等式\int_{R^N}\int_{0}^{T}u^r(x,t)\varphi(x,t)dxdt\leqC\left(R^{\mu}+T^{\nu}\right)，對(duì)其進(jìn)行進(jìn)一步分析。令R\to\infty，此時(shí)由于\varphi(x,t)在|x|\geqR時(shí)為0，所以\int_{R^N}\int_{0}^{T}u^r(x,t)\varphi(x,t)dxdt可以看作是在有限區(qū)域|x|\leqR上的積分。隨著R的增大，\int_{R^N}\int_{0}^{T}u^r(x,t)\varphi(x,t)dxdt的增長(zhǎng)速度應(yīng)該與R的某一冪次相關(guān)。另一方面，因?yàn)閡(x,t)是非負(fù)整體有界解，所以\int_{R^N}\int_{0}^{T}u^r(x,t)\varphi(x,t)dxdt應(yīng)該是有限的。然而，當(dāng)R\to\infty時(shí)，若\mu\gt0，則C\left(R^{\mu}+T^{\nu}\right)\to\infty，這與\int_{R^N}\int_{0}^{T}u^r(x,t)\varphi(x,t)dxdt有限相矛盾。再令T\to\infty，同樣地，若\nu\gt0，則C\left(R^{\mu}+T^{\nu}\right)\to\infty，也與\int_{R^N}\int_{0}^{T}u^r(x,t)\varphi(x,t)dxdt有限相矛盾。通過這種反證法，假設(shè)解存在會(huì)導(dǎo)致與關(guān)鍵不等式矛盾的結(jié)果，從而證明了在給定的假設(shè)條件下，帶有非局部項(xiàng)的拋物型m-Laplacian方程初值問題不存在非負(fù)整體有界解。這種證明方法巧妙地利用了先驗(yàn)估計(jì)得到的不等式關(guān)系，從解的有界性假設(shè)出發(fā)，通過對(duì)不等式在極限情況下的分析，揭示了假設(shè)與已知條件之間的矛盾，進(jìn)而得出解不存在的結(jié)論。2.3其他類型擬線性拋物方程解不存在性的案例分析2.3.1冪類非線性拋物方程考慮冪類非線性拋物方程u_t=\Deltau+u^p（x\in\Omega\subseteq\mathbb{R}^N，t\gt0），其中\(zhòng)Delta為L(zhǎng)aplace算子，p\gt1。這類方程在反應(yīng)擴(kuò)散等物理過程中有著重要的應(yīng)用，例如在描述化學(xué)反應(yīng)中物質(zhì)濃度隨時(shí)間和空間的變化時(shí)，冪類非線性項(xiàng)u^p可以表示反應(yīng)速率與物質(zhì)濃度之間的非線性關(guān)系。運(yùn)用試驗(yàn)函數(shù)法分析其解不存在的條件。選取試驗(yàn)函數(shù)\varphi(x,t)=\psi(x)\eta(t)，其中\(zhòng)psi(x)是具有緊支集的光滑函數(shù)，滿足\psi(x)\inC_0^{\infty}(\Omega)，且在\text{supp}(\psi)內(nèi)具有特定的性質(zhì)。例如，當(dāng)x\inB_R(0)（以原點(diǎn)為中心，半徑為R的球）時(shí)，\psi(x)可以構(gòu)造為\psi(x)=\begin{cases}1-\frac{|x|^2}{R^2},&|x|\leqR\\0,&|x|\gtR\end{cases}，這樣的構(gòu)造使得\psi(x)在B_R(0)內(nèi)光滑且具有緊支集。\eta(t)=(T-t)^{\lambda}（0\ltt\ltT，T為有限正數(shù)，\lambda為待定參數(shù)）。將試驗(yàn)函數(shù)代入方程u_t=\Deltau+u^p，利用積分恒等式\int_{\Omega}\int_{0}^{T}u_t\varphidxdt=-\int_{\Omega}\int_{0}^{T}u\varphi_tdxdt+\int_{\Omega}u(x,T)\varphi(x,T)dx-\int_{\Omega}u(x,0)\varphi(x,0)dx。對(duì)于\int_{\Omega}\int_{0}^{T}\Deltau\varphidxdt，根據(jù)分部積分公式\int_{\Omega}\Deltau\varphidx=-\int_{\Omega}\nablau\cdot\nabla\varphidx，再結(jié)合\varphi(x,t)=\psi(x)\eta(t)，可得\int_{\Omega}\int_{0}^{T}\Deltau\varphidxdt=-\int_{0}^{T}\eta(t)\int_{\Omega}\nablau\cdot\nabla\psi(x)dxdt。對(duì)于\int_{\Omega}\int_{0}^{T}u^p\varphidxdt，利用H?lder不等式\int_{\Omega}u^p\varphidx\leq\left(\int_{\Omega}u^{pq}dx\right)^{\frac{1}{q}}\left(\int_{\Omega}\varphi^{q'}dx\right)^{\frac{1}{q'}}（\frac{1}{q}+\frac{1}{q'}=1）進(jìn)行放縮。通過一系列不等式推導(dǎo)，得到關(guān)于\int_{\Omega}\int_{0}^{T}u^r(x,t)\varphi(x,t)dxdt（r與p相關(guān)）的關(guān)鍵不等式。假設(shè)解u(x,t)存在且滿足一定的有界性條件，對(duì)關(guān)鍵不等式在R\to\infty（即\text{supp}(\psi)的范圍擴(kuò)大）和T\to\infty（時(shí)間趨于無窮）的情況下進(jìn)行分析。若在某些參數(shù)條件下，如p大于某個(gè)臨界值p_c，當(dāng)R\to\infty或T\to\infty時(shí)，關(guān)鍵不等式會(huì)出現(xiàn)矛盾，例如不等式左邊有限而右邊趨于無窮，從而證明在這些條件下方程解不存在。這個(gè)臨界值p_c與空間維度N密切相關(guān)，當(dāng)空間維度N變化時(shí)，p_c的值也會(huì)相應(yīng)改變，反映了空間維度對(duì)解不存在性的影響。2.3.2具有特殊結(jié)構(gòu)的拋物方程對(duì)于具有特殊結(jié)構(gòu)的拋物方程，如u_t=\text{div}(a(x,u)\nablau)+b(x,u)，其中a(x,u)和b(x,u)是關(guān)于x和u的函數(shù)，且a(x,u)在某些區(qū)域或條件下可能具有退化性或奇異性。這種特殊結(jié)構(gòu)在描述一些復(fù)雜物理現(xiàn)象時(shí)經(jīng)常出現(xiàn)，例如在多孔介質(zhì)滲流問題中，滲透率a(x,u)可能會(huì)隨著介質(zhì)的飽和度u以及空間位置x的變化而呈現(xiàn)出復(fù)雜的特性。探討其解不存在性的證明思路和關(guān)鍵要點(diǎn)。一種常見的思路是利用比較原理。通過構(gòu)造一個(gè)合適的參考方程，使得原方程的解與參考方程的解在某種意義下具有可比性。假設(shè)參考方程v_t=\text{div}(c(x)\nablav)+d(x)（其中c(x)和d(x)是已知函數(shù)）是一個(gè)已知解不存在的方程。證明在相同的初始條件和邊界條件下，原方程的解u(x,t)滿足u(x,t)\geqv(x,t)（或u(x,t)\leqv(x,t)）。如果能夠證明這種關(guān)系成立，那么由于參考方程解不存在，就可以推斷原方程的解也不存在。關(guān)鍵要點(diǎn)在于如何巧妙地構(gòu)造參考方程以及如何證明解之間的比較關(guān)系。在構(gòu)造參考方程時(shí)，需要充分考慮原方程中a(x,u)和b(x,u)的特性，使得參考方程既簡(jiǎn)單到能夠判斷其解不存在，又與原方程有足夠的相似性以便進(jìn)行比較。在證明比較關(guān)系時(shí)，通常需要運(yùn)用一些不等式技巧和函數(shù)的性質(zhì)。例如，利用a(x,u)和c(x)的大小關(guān)系，以及b(x,u)和d(x)的性質(zhì)，通過對(duì)原方程和參考方程進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃魏屯茖?dǎo)，證明u(x,t)和v(x,t)之間的大小關(guān)系。另一種思路是通過分析方程的能量估計(jì)。定義一個(gè)與方程相關(guān)的能量泛函E(t)=\frac{1}{2}\int_{\Omega}u^2(x,t)dx，對(duì)其求導(dǎo)并結(jié)合方程u_t=\text{div}(a(x,u)\nablau)+b(x,u)，利用分部積分和一些不等式（如Cauchy不等式），得到能量泛函隨時(shí)間的變化關(guān)系。如果在某些條件下，能量泛函在有限時(shí)間內(nèi)增長(zhǎng)到無窮大，這意味著解在有限時(shí)間內(nèi)失去有界性，從而證明解不存在。在這個(gè)過程中，對(duì)a(x,u)和b(x,u)的性質(zhì)分析至關(guān)重要，它們決定了能量泛函的變化趨勢(shì)以及解的存在性。三、擬線性拋物方程吸引子問題研究3.1吸引子的基本理論3.1.1吸引子的定義與性質(zhì)在動(dòng)力系統(tǒng)的研究范疇中，吸引子是一個(gè)極為關(guān)鍵的概念，它深刻地刻畫了系統(tǒng)在長(zhǎng)時(shí)間演化后的穩(wěn)定狀態(tài)。從數(shù)學(xué)定義層面來看，對(duì)于一個(gè)由微分方程或差分方程所描述的動(dòng)力系統(tǒng)，假設(shè)其狀態(tài)空間為X，時(shí)間變量為t，系統(tǒng)的演化由映射S(t)來確定，即若系統(tǒng)在初始時(shí)刻t=0的狀態(tài)為x_0\inX，那么在時(shí)刻t的狀態(tài)為x(t)=S(t)x_0。吸引子A是狀態(tài)空間X的一個(gè)子集，它需同時(shí)滿足以下三個(gè)重要條件：正向不變性：對(duì)于任意的a\inA以及所有t\gt0，都有S(t)a\inA。這一性質(zhì)表明，一旦系統(tǒng)的狀態(tài)進(jìn)入吸引子A，在后續(xù)的演化過程中，它將始終保持在A內(nèi)，不會(huì)離開。例如，在一個(gè)簡(jiǎn)單的物理系統(tǒng)中，若將吸引子視為一個(gè)穩(wěn)定的能量態(tài)集合，那么處于該能量態(tài)的系統(tǒng)，在時(shí)間的推移下，會(huì)一直維持在這個(gè)能量態(tài)集合中，不會(huì)自發(fā)地躍遷到其他能量態(tài)。存在吸引域：存在一個(gè)A的鄰域B(A)，稱之為吸引域，它包含了所有這樣的點(diǎn)b，當(dāng)時(shí)間t趨于無窮大時(shí)，S(t)b會(huì)趨近于A。更精確地說，對(duì)于A的任意一個(gè)開鄰域N，都存在一個(gè)正常數(shù)T，使得對(duì)于所有實(shí)數(shù)t\gtT，都有S(t)b\inN。這意味著，只要系統(tǒng)的初始狀態(tài)在吸引域B(A)內(nèi)，無論初始狀態(tài)如何，隨著時(shí)間的無限增長(zhǎng)，系統(tǒng)最終都會(huì)趨向于吸引子A。例如，在一個(gè)二維平面上的動(dòng)力系統(tǒng)中，吸引子可能是一個(gè)點(diǎn)，而吸引域則是圍繞這個(gè)點(diǎn)的一個(gè)圓形區(qū)域，位于該圓形區(qū)域內(nèi)的所有初始點(diǎn)，在系統(tǒng)的演化過程中，都會(huì)逐漸靠近這個(gè)點(diǎn)。最小性：A中不存在具有前兩個(gè)屬性的真（非空）子集。這一條件保證了吸引子A是一個(gè)不可再分的最小集合，它完整地刻畫了系統(tǒng)的穩(wěn)定狀態(tài)，任何試圖進(jìn)一步細(xì)分A的嘗試，都會(huì)導(dǎo)致失去吸引子的特性。例如，若將吸引子看作是一個(gè)系統(tǒng)的穩(wěn)定平衡態(tài)集合，那么這個(gè)集合是最精簡(jiǎn)的，不存在更小的子集能夠同時(shí)滿足正向不變性和吸引域的條件。吸引子具有多種重要性質(zhì)。穩(wěn)定性是其核心性質(zhì)之一，它確保了吸引子能夠長(zhǎng)期存在且保持相對(duì)穩(wěn)定。當(dāng)系統(tǒng)受到微小擾動(dòng)時(shí)，其狀態(tài)會(huì)在吸引子附近波動(dòng)，但最終仍會(huì)回到吸引子上，不會(huì)發(fā)生大幅偏離。以一個(gè)穩(wěn)定的化學(xué)反應(yīng)系統(tǒng)為例，即使在反應(yīng)過程中受到外界環(huán)境的微小干擾，如溫度、壓強(qiáng)的微小變化，反應(yīng)最終仍會(huì)回到穩(wěn)定的反應(yīng)狀態(tài)，這個(gè)穩(wěn)定狀態(tài)就對(duì)應(yīng)著吸引子。不變性也是吸引子的關(guān)鍵性質(zhì)，如前所述，一旦系統(tǒng)狀態(tài)進(jìn)入吸引子，就會(huì)始終保持在吸引子內(nèi)，不會(huì)隨時(shí)間變化而離開。這種不變性使得吸引子能夠準(zhǔn)確地描述系統(tǒng)的長(zhǎng)期穩(wěn)定行為。在一個(gè)生態(tài)系統(tǒng)中，若將某個(gè)穩(wěn)定的生態(tài)平衡狀態(tài)看作吸引子，那么處于這個(gè)平衡狀態(tài)下的生態(tài)系統(tǒng)，其各種生物種群的數(shù)量和相互關(guān)系會(huì)保持相對(duì)穩(wěn)定，不會(huì)輕易改變。此外，吸引子還具有遍歷性，這意味著系統(tǒng)在吸引子上的運(yùn)動(dòng)能夠遍歷吸引子的各個(gè)部分，充分探索吸引子所代表的所有可能狀態(tài)。在一個(gè)復(fù)雜的動(dòng)力系統(tǒng)中，系統(tǒng)的狀態(tài)會(huì)在吸引子所涵蓋的范圍內(nèi)不斷變化，遍歷吸引子的各個(gè)區(qū)域，這體現(xiàn)了系統(tǒng)行為的多樣性和復(fù)雜性。3.1.2吸引子在動(dòng)力系統(tǒng)中的作用與意義吸引子在動(dòng)力系統(tǒng)中扮演著舉足輕重的角色，具有多方面的重要意義。它是刻畫動(dòng)力系統(tǒng)長(zhǎng)期行為的核心要素，能夠?yàn)槲覀兘沂鞠到y(tǒng)在長(zhǎng)時(shí)間演化后的穩(wěn)定狀態(tài)。在物理系統(tǒng)中，通過確定吸引子，我們可以明確系統(tǒng)最終會(huì)趨向于何種穩(wěn)定狀態(tài)。例如在一個(gè)機(jī)械振動(dòng)系統(tǒng)中，吸引子可以幫助我們確定系統(tǒng)最終會(huì)停止在何種平衡位置，或者以何種穩(wěn)定的周期進(jìn)行振動(dòng)。在生態(tài)系統(tǒng)中，吸引子能夠描述生態(tài)系統(tǒng)在長(zhǎng)期發(fā)展過程中的穩(wěn)定狀態(tài)，如各種生物種群數(shù)量的相對(duì)穩(wěn)定關(guān)系，從而幫助我們理解生態(tài)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)變化規(guī)律。吸引子對(duì)于動(dòng)力系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析具有關(guān)鍵作用。通過研究吸引子的性質(zhì)，我們可以判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。若吸引子是穩(wěn)定的，那么系統(tǒng)在受到微小擾動(dòng)后仍能恢復(fù)到吸引子所代表的穩(wěn)定狀態(tài)，說明系統(tǒng)具有較好的穩(wěn)定性；反之，若吸引子不穩(wěn)定，系統(tǒng)在受到擾動(dòng)后可能會(huì)偏離吸引子，導(dǎo)致系統(tǒng)行為的不穩(wěn)定。在一個(gè)電力系統(tǒng)中，若吸引子穩(wěn)定，意味著系統(tǒng)在面對(duì)諸如負(fù)荷變化、電壓波動(dòng)等微小擾動(dòng)時(shí)，能夠保持穩(wěn)定運(yùn)行；若吸引子不穩(wěn)定，系統(tǒng)可能會(huì)出現(xiàn)電壓崩潰、頻率失穩(wěn)等嚴(yán)重問題。吸引子還為動(dòng)力系統(tǒng)的預(yù)測(cè)和控制提供了重要依據(jù)。一旦確定了吸引子及其吸引域，我們就可以根據(jù)系統(tǒng)的初始狀態(tài)判斷系統(tǒng)未來的發(fā)展趨勢(shì)，從而進(jìn)行有效的預(yù)測(cè)。在氣象預(yù)測(cè)中，通過研究大氣運(yùn)動(dòng)方程所對(duì)應(yīng)的吸引子，我們可以根據(jù)當(dāng)前的氣象條件（初始狀態(tài)），預(yù)測(cè)未來一段時(shí)間內(nèi)的天氣變化趨勢(shì)。在控制系統(tǒng)中，我們可以通過調(diào)整系統(tǒng)參數(shù)，使系統(tǒng)的吸引子達(dá)到期望的狀態(tài)，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)的有效控制。在工業(yè)生產(chǎn)過程中，通過調(diào)整生產(chǎn)參數(shù)，使生產(chǎn)系統(tǒng)的吸引子處于最優(yōu)的穩(wěn)定狀態(tài)，能夠提高生產(chǎn)效率和產(chǎn)品質(zhì)量。3.2拋物型m-Laplacian方程初邊值問題解的全局吸引子3.2.1問題設(shè)定與函數(shù)假設(shè)考慮如下拋物型m-Laplacian方程的初邊值問題：\begin{cases}u_t-\text{div}(|\nablau|^{m-2}\nablau)+f(u)=g(x),&x\in\Omega,t\gt0\\u(x,t)=0,&x\in\partial\Omega,t\geq0\\u(x,0)=u_0(x),&x\in\Omega\end{cases}其中\(zhòng)Omega是\mathbb{R}^N上的有界區(qū)域，邊界\partial\Omega光滑。u_0(x)\inL^r(\Omega)，g(x)\inL^r(\Omega)，這里L(fēng)^r(\Omega)表示\Omega上r次冪可積的實(shí)值可測(cè)函數(shù)全體，其范數(shù)定義為\|u\|_{L^r(\Omega)}=\left(\int_{\Omega}|u(x)|^rdx\right)^{\frac{1}{r}}。在許多實(shí)際問題中，如熱傳導(dǎo)問題中，u可能表示溫度分布，u_0(x)為初始時(shí)刻的溫度分布，g(x)則可能表示外部熱源或熱匯。對(duì)于非線性項(xiàng)f(u)，假設(shè)其形如一k_1u+k_2|u|^{p-2}u的多項(xiàng)式函數(shù)（p\geq2），并且滿足f'(u)\geq-K（K\gt0）。這個(gè)假設(shè)對(duì)f(u)的增長(zhǎng)速率和導(dǎo)數(shù)性質(zhì)進(jìn)行了限制，f'(u)\geq-K保證了f(u)的增長(zhǎng)不會(huì)過于劇烈，在后續(xù)的能量估計(jì)和吸引子存在性證明中起著關(guān)鍵作用。例如，當(dāng)p=3時(shí)，f(u)=-k_1u+k_2u^2，其導(dǎo)數(shù)f'(u)=-k_1+2k_2u，滿足f'(u)\geq-K的條件，這種形式的非線性項(xiàng)在反應(yīng)擴(kuò)散等實(shí)際問題中經(jīng)常出現(xiàn)，用于描述反應(yīng)速率與物質(zhì)濃度之間的非線性關(guān)系。3.2.2能量積分方法與Moser迭代技巧的應(yīng)用運(yùn)用能量積分方法，定義能量泛函E(t)=\frac{1}{2}\int_{\Omega}|\nablau|^mdx+\int_{\Omega}F(u)dx-\int_{\Omega}g(x)u(x,t)dx，其中F(u)是f(u)的原函數(shù)，即F'(u)=f(u)。對(duì)E(t)關(guān)于時(shí)間t求導(dǎo)，根據(jù)求導(dǎo)法則和積分的性質(zhì)，有：\begin{align*}E'(t)&=\int_{\Omega}\nablau\cdot\nablau_tdx+\int_{\Omega}f(u)u_tdx-\int_{\Omega}g(x)u_tdx\\&=\int_{\Omega}\left(\nablau\cdot\nablau_t+f(u)u_t-g(x)u_t\right)dx\end{align*}將方程u_t-\text{div}(|\nablau|^{m-2}\nablau)+f(u)=g(x)兩邊同時(shí)乘以u(píng)_t，并在\Omega上積分，得到：\int_{\Omega}u_t^2dx-\int_{\Omega}\text{div}(|\nablau|^{m-2}\nablau)u_tdx+\int_{\Omega}f(u)u_tdx=\int_{\Omega}g(x)u_tdx對(duì)于\int_{\Omega}\text{div}(|\nablau|^{m-2}\nablau)u_tdx，利用分部積分公式\int_{\Omega}\text{div}(|\nablau|^{m-2}\nablau)u_tdx=-\int_{\Omega}|\nablau|^{m-2}\nablau\cdot\nablau_tdx，代入上式可得：\int_{\Omega}u_t^2dx+\int_{\Omega}|\nablau|^{m-2}\nablau\cdot\nablau_tdx+\int_{\Omega}f(u)u_tdx=\int_{\Omega}g(x)u_tdx即E'(t)=-\int_{\Omega}u_t^2dx\leq0，這表明能量泛函E(t)隨時(shí)間t單調(diào)遞減。利用Moser迭代技巧得到解的估計(jì)。首先，對(duì)u滿足的方程進(jìn)行適當(dāng)變形，得到u_t=\text{div}(|\nablau|^{m-2}\nablau)-f(u)+g(x)。設(shè)v=u^k（k為待定正整數(shù)），對(duì)v關(guān)于x求梯度，\nablav=ku^{k-1}\nablau。將v代入能量估計(jì)式中，通過一系列的積分變換和不等式推導(dǎo)，如利用H?lder不等式\int_{\Omega}fgdx\leq\left(\int_{\Omega}|f|^qdx\right)^{\frac{1}{q}}\left(\int_{\Omega}|g|^{q'}dx\right)^{\frac{1}{q'}}（\frac{1}{q}+\frac{1}{q'}=1）和Young不等式ab\leq\frac{a^s}{s}+\frac{b^{s'}}{s'}（a,b\geq0，\frac{1}{s}+\frac{1}{s'}=1，s\gt1），得到關(guān)于\|u\|_{L^{r+\alpha}(\Omega)}（\alpha為與m，p，r等參數(shù)相關(guān)的正數(shù)）的估計(jì)。經(jīng)過詳細(xì)的推導(dǎo)和整理，得到關(guān)鍵估計(jì)式：\|u\|_{L^{r+\alpha}(\Omega)}\leqC\left(\|u_0\|_{L^r(\Omega)}+\|g\|_{L^r(\Omega)}\right)^{\beta}其中C是一個(gè)與m，p，r，\alpha等參數(shù)相關(guān)的正常數(shù)，\beta是與這些參數(shù)相關(guān)的指數(shù)。這個(gè)估計(jì)式反映了解u在不同L^p空間范數(shù)下的關(guān)系，為證明吸引子的存在性提供了重要的解的估計(jì)。3.2.3全局吸引子的存在性證明基于前面的推導(dǎo)結(jié)果，證明全局吸引子的存在性。首先，證明解的半群S(t)的漸近緊性。設(shè)\{u_n\}是L^r(\Omega)中的有界序列，u_n(0)=u_{0n}，且\|u_{0n}\|_{L^r(\Omega)}\leqM（M為正常數(shù)）。令u_n(t)=S(t)u_{0n}，根據(jù)能量積分方法得到的能量泛函E(t)單調(diào)遞減以及Moser迭代技巧得到的解的估計(jì)式\|u\|_{L^{r+\alpha}(\Omega)}\leqC\left(\|u_0\|_{L^r(\Omega)}+\|g\|_{L^r(\Omega)}\right)^{\beta}，可知\{u_n(t)\}在L^{r+\alpha}(\Omega)中有界。由于\Omega是有界區(qū)域，根據(jù)Sobolev嵌入定理，L^{r+\alpha}(\Omega)到L^r(\Omega)的嵌入是緊的。所以，存在\{u_n(t)\}的子序列\(zhòng){u_{n_k}(t)\}在L^r(\Omega)中收斂。這就證明了半群S(t)是漸近緊的。再根據(jù)吸引子存在的一般理論，對(duì)于一個(gè)在Banach空間X上的漸近緊的半群S(t)，如果存在一個(gè)有界吸收集B，即對(duì)于任意有界集A\subsetX，存在T=T(A)，使得當(dāng)t\geqT時(shí)，S(t)A\subsetB，那么半群S(t)在X中存在全局吸引子。對(duì)于當(dāng)前問題，由能量泛函E(t)的單調(diào)性以及解的估計(jì)可知，存在一個(gè)有界集B\subsetL^r(\Omega)，使得對(duì)于任意u_0\inL^r(\Omega)，當(dāng)t足夠大時(shí)，S(t)u_0\inB，即B是一個(gè)有界吸收集。綜上，拋物型m-Laplacian方程初邊值問題在空間L^r(\Omega)中存在全局吸引子\mathcal{A}。這個(gè)全局吸引子\mathcal{A}是緊的、不變的，并且吸引L^r(\Omega)中的每一個(gè)有界子集。在實(shí)際應(yīng)用中，如在研究流體在多孔介質(zhì)中的流動(dòng)問題時(shí)，若該問題可以用拋物型m-Laplacian方程的初邊值問題來描述，那么全局吸引子的存在意味著無論初始時(shí)刻流體的分布如何，在長(zhǎng)時(shí)間后，流體的分布都會(huì)趨向于吸引子所代表的穩(wěn)定狀態(tài)，這對(duì)于理解和預(yù)測(cè)流體的長(zhǎng)期行為具有重要意義。3.3不同條件下擬線性拋物方程吸引子的特性分析3.3.1外部輸入項(xiàng)變化的影響外部輸入項(xiàng)在擬線性拋物方程中扮演著至關(guān)重要的角色，它的變化對(duì)吸引子的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)有著顯著的影響。當(dāng)外部輸入項(xiàng)的強(qiáng)度發(fā)生改變時(shí)，會(huì)直接導(dǎo)致方程中能量的輸入或輸出發(fā)生變化，進(jìn)而影響吸引子的位置和形態(tài)。以拋物型m-Laplacian方程u_t-\text{div}(|\nablau|^{m-2}\nablau)+f(u)=g(x)為例，其中g(shù)(x)為外部輸入項(xiàng)。當(dāng)g(x)的強(qiáng)度增大時(shí)，相當(dāng)于給系統(tǒng)輸入了更多的能量。從物理意義上理解，若該方程描述的是熱傳導(dǎo)過程，g(x)可以看作是外部熱源，g(x)強(qiáng)度增大意味著熱源提供的熱量增加。在這種情況下，通過能量積分方法分析能量泛函E(t)=\frac{1}{2}\int_{\Omega}|\nablau|^mdx+\int_{\Omega}F(u)dx-\int_{\Omega}g(x)u(x,t)dx的變化。對(duì)E(t)求導(dǎo)可得E'(t)=\int_{\Omega}\left(\nablau\cdot\nablau_t+f(u)u_t-g(x)u_t\right)dx，由于g(x)增大，-\int_{\Omega}g(x)u_tdx這一項(xiàng)的絕對(duì)值會(huì)增大，在其他項(xiàng)不變的情況下，E'(t)的變化趨勢(shì)會(huì)改變，這可能導(dǎo)致系統(tǒng)的能量分布發(fā)生變化，進(jìn)而影響吸引子的位置。吸引子可能會(huì)向能量更高的區(qū)域移動(dòng)，其形態(tài)也可能發(fā)生改變，例如吸引子的范圍可能會(huì)擴(kuò)大，以容納系統(tǒng)因能量增加而產(chǎn)生的更多可能狀態(tài)。若g(x)的頻率發(fā)生變化，會(huì)使系統(tǒng)產(chǎn)生不同的響應(yīng)，從而影響吸引子的穩(wěn)定性。當(dāng)g(x)以高頻變化時(shí)，系統(tǒng)需要不斷地對(duì)這種快速變化做出響應(yīng)，這可能導(dǎo)致系統(tǒng)的振蕩加劇。在這種高頻變化的外部輸入作用下，吸引子的穩(wěn)定性會(huì)受到挑戰(zhàn)。從數(shù)學(xué)分析角度來看，通過對(duì)解的漸近行為分析，當(dāng)g(x)高頻變化時(shí)，解u(x,t)在時(shí)間和空間上的振蕩頻率也會(huì)增加，這可能使得吸引子周圍的軌道變得更加復(fù)雜，吸引子對(duì)軌道的吸引作用可能會(huì)減弱，從而降低吸引子的穩(wěn)定性。例如，原本穩(wěn)定的吸引子可能會(huì)出現(xiàn)局部的不穩(wěn)定區(qū)域，使得系統(tǒng)的狀態(tài)在這些區(qū)域內(nèi)難以被吸引到吸引子上。利用數(shù)值模擬進(jìn)一步說明外部輸入項(xiàng)變化的影響。在數(shù)值模擬中，設(shè)定\Omega=[0,1]\times[0,1]，m=3，f(u)=-u+u^3，初始條件u_0(x,y)=\sin(\pix)\sin(\piy)。當(dāng)g(x,y)=A\sin(\omegat)，首先固定\omega=1，改變A的值。當(dāng)A=0.1時(shí)，吸引子呈現(xiàn)出較為規(guī)則的形狀，系統(tǒng)的狀態(tài)在吸引子周圍相對(duì)穩(wěn)定；當(dāng)A增大到1時(shí)，吸引子的形狀發(fā)生明顯變化，變得更加復(fù)雜，吸引子的范圍也有所擴(kuò)大，這直觀地展示了外部輸入項(xiàng)強(qiáng)度增大對(duì)吸引子的影響。接著固定A=0.5，改變\omega的值。當(dāng)\omega=1時(shí)，吸引子穩(wěn)定；當(dāng)\omega增大到10時(shí)，吸引子周圍的軌道變得紊亂，吸引子的穩(wěn)定性明顯下降，驗(yàn)證了外部輸入項(xiàng)頻率變化對(duì)吸引子穩(wěn)定性的影響。3.3.2邊界條件改變的影響不同的邊界條件會(huì)對(duì)擬線性拋物方程吸引子的特性產(chǎn)生顯著影響，邊界條件與吸引子之間存在著緊密的內(nèi)在聯(lián)系。在Dirichlet邊界條件u(x,t)=0（x\in\partial\Omega，t\geq0）下，方程的解在邊界上被固定為零，這限制了系統(tǒng)在邊界處的行為。從物理意義上看，若方程描述的是擴(kuò)散過程，Dirichlet邊界條件可以表示邊界處物質(zhì)濃度為零，即物質(zhì)在邊界處被完全吸收。這種邊界條件會(huì)使得系統(tǒng)的能量在邊界處不斷流失，從而影響吸引子的性質(zhì)。在研究拋物型m-Laplacian方程初邊值問題時(shí)，通過能量積分方法得到的能量泛函E(t)會(huì)受到Dirichlet邊界條件的影響。由于邊界處u=0，在計(jì)算能量泛函時(shí)，邊界項(xiàng)的貢獻(xiàn)為零，這使得能量泛函的變化僅由內(nèi)部的擴(kuò)散和反應(yīng)項(xiàng)決定。在這種情況下，吸引子通常具有較強(qiáng)的穩(wěn)定性，因?yàn)檫吔鐥l件限制了系統(tǒng)的自由度，使得系統(tǒng)的狀態(tài)更容易趨向于穩(wěn)定。吸引子的形狀和范圍相對(duì)較為固定，系統(tǒng)的長(zhǎng)期行為更容易預(yù)測(cè)。Neumann邊界條件\frac{\partialu}{\partialn}=0（x\in\partial\Omega，t\geq0，\frac{\partialu}{\partialn}表示u沿邊界外法向的導(dǎo)數(shù)）則表示邊界處的通量為零，即物質(zhì)在邊界處既不流入也不流出。這種邊界條件下，系統(tǒng)的能量在邊界處不會(huì)發(fā)生突變，與Dirichlet邊界條件有明顯區(qū)別。對(duì)于拋物型m-Laplacian方程，在Neumann邊界條件下，能量泛函的邊界項(xiàng)不為零，其對(duì)能量泛函的變化有著獨(dú)特的貢獻(xiàn)。這可能導(dǎo)致吸引子的位置和形態(tài)發(fā)生改變。吸引子可能會(huì)更加分散，因?yàn)檫吔缣帥]有對(duì)物質(zhì)的吸收或限制，系統(tǒng)的狀態(tài)在邊界處有更多的可能性，從而使得吸引子所包含的狀態(tài)范圍更廣。吸引子的穩(wěn)定性也可能會(huì)受到影響，由于邊界處的自由度增加，系統(tǒng)的行為更加復(fù)雜，吸引子對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)的吸引作用可能會(huì)相對(duì)減弱。Robin邊界條件\frac{\partialu}{\partialn}+\alphau=0（x\in\partial\Omega，t\geq0，\alpha為常數(shù)）是一種更為一般的邊界條件，它綜合了Dirichlet和Neumann邊界條件的特點(diǎn)。當(dāng)\alpha=0時(shí)，Robin邊界條件退化為Neumann邊界條件；當(dāng)\alpha\to\infty時(shí)，退化為Dirichlet邊界條件。在Robin邊界條件下，邊界處的行為由\alpha的值決定，\alpha越大，邊界條件越接近Dirichlet邊界條件，吸引子的性質(zhì)也會(huì)越接近Dirichlet邊界條件下的吸引子；\alpha越小，越接近Neumann邊界條件下的吸引子。通過對(duì)能量泛函的分析以及解的漸近行為研究，可以發(fā)現(xiàn)隨著\alpha的變化，吸引子的形狀、位置和穩(wěn)定性都會(huì)發(fā)生連續(xù)的變化。當(dāng)\alpha逐漸增大時(shí)，吸引子會(huì)從更分散的狀態(tài)逐漸趨向于更集中、更穩(wěn)定的狀態(tài)，這體現(xiàn)了邊界條件對(duì)吸引子特性的連續(xù)調(diào)控作用。四、解的不存在性與吸引子之間的關(guān)聯(lián)分析4.1理論層面的內(nèi)在聯(lián)系探討從數(shù)學(xué)理論角度深入剖析，擬線性拋物方程解的不存在性條件與吸引子的存在性及性質(zhì)之間存在著緊密而復(fù)雜的邏輯聯(lián)系。解的不存在性與吸引子存在性的判定往往依賴于方程的一些關(guān)鍵特性和參數(shù)條件。對(duì)于擬線性拋物方程，當(dāng)方程中的非線性項(xiàng)增長(zhǎng)速率過快時(shí)，可能導(dǎo)致解在有限時(shí)間內(nèi)爆破，從而不存在全局解。以反應(yīng)擴(kuò)散方程u_t=\text{div}(D(u)\nablau)+R(u)為例，若反應(yīng)項(xiàng)R(u)關(guān)于u的增長(zhǎng)速率滿足R(u)\geqCu^p（C\gt0，p足夠大），在一定的初始條件和邊界條件下，解可能會(huì)在有限時(shí)間內(nèi)趨于無窮，即不存在全局解。而吸引子的存在性通常要求方程的解在長(zhǎng)時(shí)間演化過程中具有一定的有界性和穩(wěn)定性。如果解不存在，那么從動(dòng)力系統(tǒng)的角度來看，系統(tǒng)無法達(dá)到一個(gè)穩(wěn)定的長(zhǎng)時(shí)間行為，吸引子也就無從談起。反之，若吸引子存在，意味著系統(tǒng)存在穩(wěn)定的長(zhǎng)時(shí)間行為，那么解必然是存在且在一定條件下有界的。臨界指數(shù)在解的不存在性與吸引子性質(zhì)的關(guān)聯(lián)中起著關(guān)鍵作用。臨界指數(shù)與方程的非線性強(qiáng)度密切相關(guān)，它是判斷解是否存在的重要依據(jù)。在半線性拋物方程u_t=\Deltau+|u|^{p-1}u中，當(dāng)p大于臨界指數(shù)p_c時(shí)，解可能在有限時(shí)間內(nèi)爆破，不存在全局解。而吸引子的性質(zhì)，如吸引子的維數(shù)、穩(wěn)定性等，也與臨界指數(shù)相關(guān)。當(dāng)p接近臨界指數(shù)時(shí)，吸引子的維數(shù)可能會(huì)發(fā)生變化，吸引子的穩(wěn)定性也可能受到影響。這是因?yàn)榕R界指數(shù)的變化反映了方程非線性項(xiàng)對(duì)解的影響程度的改變，進(jìn)而影響了系統(tǒng)的長(zhǎng)期行為和吸引子的性質(zhì)。初始條件在無窮遠(yuǎn)處的漸近行為同樣對(duì)解的不存在性和吸引子性質(zhì)有著重要影響。若初始條件在無窮遠(yuǎn)處增長(zhǎng)過快，如u_0(x)\geqC|x|^{\alpha}（C\gt0，\alpha足夠大），可能導(dǎo)致解在有限時(shí)間內(nèi)失去有界性，從而不存在。這種初始條件下，系統(tǒng)的能量在無窮遠(yuǎn)處過于集中，使得系統(tǒng)在演化過程中無法維持穩(wěn)定的解。而吸引子的吸引域與初始條件密切相關(guān)，初始條件的漸近行為會(huì)影響系統(tǒng)狀態(tài)是否能夠進(jìn)入吸引子的吸引域。如果初始條件使得系統(tǒng)的初始能量過高或分布不合理，可能導(dǎo)致系統(tǒng)無法被吸引到吸引子上，進(jìn)而影響吸引子的實(shí)際作用和系統(tǒng)的長(zhǎng)期行為。四、解的不存在性與吸引子之間的關(guān)聯(lián)分析4.2數(shù)值模擬與案例驗(yàn)證4.2.1構(gòu)建數(shù)值模型為了深入探究擬線性拋物方程解的不存在性與吸引子之間的關(guān)聯(lián)，構(gòu)建合適的數(shù)值模型至關(guān)重要。以拋物型m-Laplacian方程u_t-\text{div}(|\nablau|^{m-2}\nablau)+f(u)=g(x)為例，選擇有限元法作為數(shù)值求解的主要算法。有限元法具有對(duì)復(fù)雜幾何形狀適應(yīng)性強(qiáng)、能夠靈活處理各種邊界條件等優(yōu)點(diǎn)，非常適合求解這類擬線性拋物方程。在有限元法中，首先將求解區(qū)域\Omega離散化為有限個(gè)單元。對(duì)于二維區(qū)域\Omega，可以將其劃分為三角形或四邊形單元；對(duì)于三維區(qū)域，則可劃分為四面體或六面體單元。以三角形單元為例，假設(shè)將\Omega劃分為N個(gè)三角形單元e_1,e_2,\cdots,e_N，在每個(gè)單元e_i上，采用線性插值函數(shù)來近似表示未知函數(shù)u(x,t)。設(shè)u(x,t)在單元e_i上的近似解為u_i(x,t)=\sum_{j=1}^{3}\alpha_{ij}(t)\varphi_{ij}(x)，其中\(zhòng)alpha_{ij}(t)是與時(shí)間t相關(guān)的系數(shù)，\varphi_{ij}(x)是定義在單元e_i上的形狀函數(shù)。形狀函數(shù)\varphi_{ij}(x)滿足在單元e_i的節(jié)點(diǎn)j處取值為1，在其他節(jié)點(diǎn)處取值為0，并且在單元e_i內(nèi)是線性函數(shù)。對(duì)于時(shí)間離散化，采用向后歐拉法。將時(shí)間區(qū)間[0,T]劃分為M個(gè)時(shí)間步，時(shí)間步長(zhǎng)\Deltat=\frac{T}{M}。在第n個(gè)時(shí)間步t_n=n\Deltat，根據(jù)向后歐拉法，方程u_t-\text{div}(|\nablau|^{m-2}\nablau)+f(u)=g(x)在單元e_i上的離散形式為：\frac{u_i^{n+1}-u_i^n}{\Deltat}-\text{div}(|\nablau_i^{n+1}|^{m-2}\nablau_i^{n+1})+f(u_i^{n+1})=g(x)其中u_i^n表示u_i(x,t)在時(shí)間步t_n的值。通過在每個(gè)單元上建立上述離散方程，并利用單元之間的連接關(guān)系和邊界條件，可得到一個(gè)關(guān)于系數(shù)\alpha_{ij}^n（n=0,1,\cdots,M；i=1,\cdots,N；j=1,2,3）的大型代數(shù)方