第三節(jié)函數(shù)的奇偶性與周期性高中總復習·數(shù)學課標要求

1.

了解函數(shù)奇偶性的含義，了解函數(shù)的周期性及其幾何意義.2.

會依據(jù)函數(shù)的性質進行簡單的應用.目錄CONTENTS知識·逐點夯實01.考點·分類突破02.課時·跟蹤檢測03.PART01知識·逐點夯實必備知識|課前自修

1.

函數(shù)的奇偶性偶函數(shù)奇函數(shù)定義一般地，設函數(shù)f（x）的定義域為D，如果?x∈D，都

有

∈D且f（－x）＝

?

，那么函數(shù)f（x）就叫做偶函數(shù)且f（－x）＝

，那

么函數(shù)f（x）就叫做奇函數(shù)圖象特征關于

?對稱關于

?對稱－x

f（x）

－f（x）

y軸

原點

提醒函數(shù)存在奇偶性的前提條件是定義域關于原點對稱.2.

函數(shù)的周期性（1）周期函數(shù)：設函數(shù)f（x）的定義域為D，如果存在一個非零常數(shù)

T，使得對每一個x∈D，都有x＋T∈D，且

?，

那么函數(shù)f（x）就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個函數(shù)的周期；（2）最小正周期：如果在周期函數(shù)f（x）的所有周期中存在一個

?

的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做f（x）的最小正周期.f（x＋T）＝f（x）

最

小

1.

函數(shù)奇偶性常用結論（1）如果函數(shù)f（x）是奇函數(shù)且在x＝0處有定義，則一定有f（0）＝

0；如果函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，那么f（x）＝f（｜x｜）；（2）奇函數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上具有相同的單調性；偶函數(shù)在兩個對稱

的區(qū)間上具有相反的單調性.

1.

判斷正誤.（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）（1）函數(shù)y＝x2在x∈（0，＋∞）上是偶函數(shù).

（

×

）（2）若函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，則一定有f（0）＝0.

（

×

）（3）若T是函數(shù)的一個周期，則nT（n∈Z，n≠0）也是函數(shù)的周期.

（

√

）××√2.

（人A必修一P84例6改編）下列函數(shù)是奇函數(shù)的是（

）A.

y＝x2sin

xB.

y＝x2cos

xC.

y＝ln

｜x｜D.

y＝2－x解析：

根據(jù)奇函數(shù)的定義知奇函數(shù)滿足f（－x）＝－f（x），且定義

域關于原點對稱，A選項為奇函數(shù)；B選項為偶函數(shù)；C選項為偶函數(shù)；D

選項既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù).√3.

（蘇教必修一P127習題5題改編）已知f（x）＝ax2＋bx是定義在[a－

1，2a]上的偶函數(shù)，那么a＋b的值是（

）A.

－

B.

C.

D.

－

√4.

（人A必修一P203練習4題改編）已知函數(shù)f（x）滿足f（x＋3）＝f

（x），當x∈[0，2]時，f（x）＝x2＋4，則f（2

026）＝

?.解析：因為f（x＋3）＝f（x），所以f（x）是以3為周期的周期函數(shù)，

所以f（2

026）＝f（675×3＋1）＝f（1）＝5.5.

已知f（x）為定義在R上的奇函數(shù)，當x≥0時，f（x）＝2x＋m，則f

（－3）＝

?.解析：由結論知f（0）＝0，即f（0）＝20＋m＝0，解得m＝－1，故f

（x）＝2x－1（x≥0），則f（－3）＝－f（3）＝－（23－1）＝－7.5

－7

PART02考點·分類突破精選考點|課堂演練函數(shù)奇偶性的判斷（師生共研過關）

判斷下列函數(shù)的奇偶性：

解：

f（x）的定義域為{－1，1}，關于原點對稱.又f（－1）＝f（1）＝0，f（－1）＝－f（1）＝0，所以f（x）既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).（2）f（x）＝｜x＋1｜－｜x－1｜；解：

f（x）的定義域為R，且f（－x）＝｜－x＋1｜－｜－x－1｜

＝｜x－1｜－｜x＋1｜＝－f（x），所以函數(shù)f（x）為奇函數(shù).

解題技法函數(shù)奇偶性的判斷方法（1）定義法（2）圖象法（3）性質法：設f（x），g（x）的定義域分別是D1，D2，那么在它們

的公共定義域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，

奇×偶＝奇.提醒對函數(shù)奇偶性的判斷，不能用特殊值法，如存在x0使f（－x0）＝－f

（x0），不能判定函數(shù)f（x）是奇函數(shù).

1.

（2024·天津高考4題）下列函數(shù)是偶函數(shù)的是（

）A.

f（x）＝

B.

f（x）＝

C.

f（x）＝

D.

f（x）＝

√

法三（性質法）

易知y＝x2＋1與y＝e｜x｜均為偶函數(shù)，且恒為正.對于A，

由于y＝ex－x2是非奇非偶函數(shù)，所以f（x）也是非奇非偶函數(shù)；對于B，

y＝cos

x＋x2是偶函數(shù)，所以f（x）是偶函數(shù)；對于C，易知f（x）的定

義域不關于原點對稱，所以f（x）是非奇非偶函數(shù)；對于D，y＝sin

x＋

4x是奇函數(shù)，所以f（x）是奇函數(shù)，故選B.

2.

設函數(shù)f（x）＝ln｜2x＋1｜－ln｜2x－1｜，則f（x）（

）A.

是偶函數(shù)，且在（

，＋∞）上單調遞增B.

是奇函數(shù)，且在（－

，

）上單調遞減C.

是偶函數(shù)，且在（－∞，－

）上單調遞增D.

是奇函數(shù)，且在（－∞，－

）上單調遞減√

函數(shù)奇偶性的應用（定向精析突破）考向1

利用函數(shù)奇偶性求值（解析式）

A.

－

＋2B.1C.

＋2D.3C

（2）已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當x≥0時，f（x）＝2x－

2x＋a，則a＝

；當x＜0時，f（x）＝

?.解析：

因為函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，所以f（0）＝0，即

1＋a＝0，所以a＝－1.當x≥0時，f（x）＝2x－2x－1，設x＜0，則－

x＞0，所以f（－x）＝2－x－2（－x）－1＝2－x＋2x－1，又f（x）為奇

函數(shù)，所以f（x）＝－f（－x），所以f（x）＝－2－x－2x＋1.－1

－2－x－2x＋1

解題技法函數(shù)奇偶性的應用類型及解題策略（1）求解析式：先將待求區(qū)間上的自變量轉化到已知區(qū)間上，再利用奇

偶性求出f（x）的解析式，或充分利用奇偶性構造關于f（x）的方程式

（組），從而得到f（x）的解析式；（2）求函數(shù)值：將待求函數(shù)值利用函數(shù)的奇偶性轉化為已知區(qū)間上的函

數(shù)值求解；（3）求參數(shù)值：利用待定系數(shù)法求解，根據(jù)f（x）±f（－x）＝0得到

關于待求參數(shù)的恒等式，由系數(shù)的對等性，得出參數(shù)的值.對于在x＝0處

有定義的奇函數(shù)f（x），可考慮列等式f（0）＝0求解.考向2

利用函數(shù)奇偶性解不等式

（2025·朔州高三階段練習）已知函數(shù)f（x）是定義域為R的奇函

數(shù)，當x≥0時，f（x）＝x（x＋2）.若f（3＋m）＋f（3m－7）＞0，

則m的取值范圍為（

）A.

（－∞，0）B.

（0，＋∞）C.

（－∞，1）D.

（1，＋∞）√解析：

當x≥0時，f（x）的對稱軸為x＝－1，故f（x）在[0，＋

∞）上單調遞增.函數(shù)在x＝0處連續(xù)，又f（x）是定義域為R的奇函數(shù)，

故f（x）在R上是增函數(shù).因為f（－x）＝－f（x），由f（3＋m）＋f

（3m－7）＞0，可得f（3＋m）＞f（7－3m），又因為f（x）在R上是

增函數(shù)，所以3＋m＞7－3m，解得m＞1.故選D.

解題技法利用函數(shù)的奇偶性解不等式的解題策略

利用奇、偶函數(shù)的圖象特征或根據(jù)奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調性一

致，偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調性相反，將問題轉化到同一單調區(qū)間內求

解，涉及偶函數(shù)時常用f（x）＝f（｜x｜），將問題轉化到區(qū)間[0，＋

∞）上求解.

A.0B.

－1C.1D.

±1√解析：

法一（定義法）因為函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，所以f（－x）＝

－f（x），當x＞0時，－x＜0，f（－x）＝－a2x－1，－f（x）＝－x

－a，則－a2x－1＝－x－a，可得a＝1，故選C.

法二（特殊值法）因為函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，所以f（－1）＝－f

（1），即－a2－1＝－（1＋a），解得a＝0或a＝1，經檢驗a＝1符合題

意，故選C.

2.

已知偶函數(shù)f（x）在（－∞，0]上單調遞減，且f（1）＝0，則不等式

xf（x－2）＞0的解集為（

）A.

（1，3）B.

（3，＋∞）C.

（－3，－1）∪（3，＋∞）D.

（0，1）∪（3，＋∞）解析：

偶函數(shù)f（x）在（－∞，0]上單調遞減，則在（0，＋∞）上

單調遞增.因為f（1）＝0，則當x＞0時，xf（x－2）＞0即f（｜x－

2｜）＞0＝f（1），所以x－2＞1或x－2＜－1，解得x＞3或x＜1，所以

x∈（0，1）∪（3，＋∞）.當x＜0時，xf（x－2）＞0即f（x－2）＜

0，f（｜x－2｜）＜0＝f（1），所以－1＜x－2＜1，解得1＜x＜3，所

以解集為空集.綜上，原不等式的解集為（0，1）∪（3，＋∞）.√函數(shù)的周期性（師生共研過關）

2

解題技法函數(shù)周期性的判定與應用（1）判定：判斷函數(shù)為周期函數(shù)只需證明f（x＋T）＝f（x）（T≠0）

即可，且周期為T，函數(shù)的周期性常與函數(shù)的其他性質綜合命題；（2）應用：根據(jù)函數(shù)的周期性，可以由函數(shù)的局部性質得到函數(shù)的整體

性質，即周期性與奇偶性都具有將未知區(qū)間上的問題轉化到已知區(qū)間上的

功能.在解決具體問題時，要注意結論：若T是函數(shù)的周期，則kT（k∈Z

且k≠0）也是函數(shù)的周期.

1.

定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x＋1）＝f（x）－2，則下列是周期

函數(shù)的是（

）A.

y＝f（x）－xB.

y＝f（x）＋xC.

y＝f（x）－2xD.

y＝f（x）＋2x解析：

依題意，定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x＋1）＝f（x）－

2，所以f（x＋1）＋2（x＋1）＝f（x）＋2x，所以y＝f（x）＋2x是

周期為1的周期函數(shù).√2.

已知f（x）是R上最小正周期為2的周期函數(shù)，且當0≤x＜2時，f

（x）＝x3－x，則函數(shù)y＝f（x）的圖象在區(qū)間[0，4]上與x軸的交點

有

個.解析：當0≤x＜2時，令f（x）＝x3－x＝x（x2－1）＝0，所以y＝f

（x）的圖象與x軸交點的橫坐標分別為x1＝0，x2＝1.當2≤x＜4時，

0≤x－2＜2，又f（x）的最小正周期為2，所以f（x－2）＝f（x），所

以f（x）＝（x－2）（x－1）（x－3），所以當2≤x＜4時，y＝f

（x）的圖象與x軸交點的橫坐標分別為x3＝2，x4＝3.又f（4）＝f（2）

＝f（0）＝0，綜上可知，共有5個交點.5

PART03課時·跟蹤檢測關鍵能力|課后練習

A.

－

B.

C.

－1D.1

12345678910111213141516

A.

是偶函數(shù)，且在（0，＋∞）上單調遞增B.

是奇函數(shù)，且在（0，＋∞）上單調遞增C.

是偶函數(shù)，且在（0，＋∞）上單調遞減D.

是奇函數(shù)，且在（0，＋∞）上單調遞減

√12345678910111213141516

A.1B.

－1C.2D.

－2

√123456789101112131415164.

已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且對任意的x∈R都有f（x＋2）＝

－f（x），當x∈[0，2]時，f（x）＝x2＋ax＋b，則a＋b＝（

）A.0B.

－1C.

－2D.2

√123456789101112131415165.

〔多選〕函數(shù)f（x），g（x）分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，

且f（x）－g（x）＝x3＋x2－1，則（

）A.

f（－1）＝－1B.

g（－1）＝－2C.

f（1）＋g（1）＝1D.

f（1）＋g（1）＝2√√12345678910111213141516

123456789101112131415166.

〔多選〕函數(shù)f（x）的定義域為R，且f（x）與f（x＋1）都為奇函

數(shù)，則（

）A.

f（x－1）為奇函數(shù)B.

f（x）為周期函數(shù)C.

f（x＋3）為奇函數(shù)D.

f（x＋2）為偶函數(shù)解析：

由題意知：f（－x－1）＋f（x＋1）＝0且f（－x＋1）＋f

（x＋1）＝0，∴f（1－x）＝f（－1－x），即f（x－1）＝f（x＋

1），可得f（x）＝f（x＋2），∴f（x）是周期為2的函數(shù)，且f（x－

1），f（x＋2）為奇函數(shù)，故A、B正確，D錯誤；由上知：f（x＋1）＝

f（x＋3），即f（x＋3）為奇函數(shù)，C正確.故選A、B、C.

√√√123456789101112131415167.

已知f（x）＝x5＋ax3＋bx－8（a，b是常數(shù)），且f（－3）＝5，則f

（3）＝

?.解析：令g（x）＝x5＋ax3＋bx，則g（－x）＝（－x）5＋a（－x）3

＋b（－x）＝－g（x），即g（x）是奇函數(shù)，依題意，g（x）＝f

（x）＋8，而g（－3）＋g（3）＝0，則

f（－3）＋8＋f（3）＋8＝0，

又f（－3）＝5，所以f（3）＝－21.－21

123456789101112131415168.

（2025·中山模擬預測）已知函數(shù)f（x）＝2x－sin

2x，則不等式f

（x2）＋f（3x－4）＜0的解集為

?.解析：由f（x）＝2x－sin

2x得f'（x）＝2－2cos

2x＝2（1－cos

2x）

≥0，所以函數(shù)f（x）＝2x－sin

2x是R上的增函數(shù)，又由f（－x）＝－

2x－sin（－2x）＝－（2x－sin

2x）＝－f（x）得函數(shù)f（x）是奇函

數(shù)，則由f（x2）＋f（3x－4）＜0得f（x2）＜－f（3x－4）＝f（4－

3x），所以x2＜4－3x?x2＋3x－4＜0?（x－1）（x＋4）＜0，解得－4

＜x＜1.（－4，1）

123456789101112131415169.

設f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且對任意實數(shù)x，恒有f（x＋2）＝

－f（x）.當x∈[0，2]時，f（x）＝2x－x2.（1）求證：f（x）是周期函數(shù)；解：

證明：因為f（x＋2）＝－f（x），所以f（x＋4）＝－f（x

＋2）＝f（x）.所以f（x）是周期為4的周期函數(shù).（2）當x∈[2，4]時，求f（x）的解析式.解：

因為x∈[2，4]，所以－x∈[－4，－2]，所以4－x∈[0，2]，

所以f（4－x）＝2（4－x）－（4－x）2＝－x2＋6x－8.因為f（4－x）＝f（－x）＝－f（x），所以－f（x）＝－x2＋6x－8，

即f（x）＝x2－6x＋8，x∈[2，4].12345678910111213141516

10.

已知函數(shù)f（x）（x∈R，且x≠0）對任意不等于0的實數(shù)x1，x2都有

f（x1x2）＝f（x1）＋f（x2），則f（x）為（

）A.

奇函數(shù)B.

偶函數(shù)C.

非奇非偶函數(shù)D.

既為奇函數(shù)也為偶函數(shù)解析：

令x1＝x2＝1得f（1）＝f（1）＋f（1），即f（1）＝0，令x1

＝x2＝－1得f（1）＝f（－1）＋f（－1），即f（－1）＝0，令x1＝－

1，x2＝x得f（－x）＝f（－1）＋f（x），即f（－x）＝f（x），所以

f（x）是偶函數(shù)，故選B.

√1234567891011121314151611.

已知函數(shù)f（x）的定義域為R，y＝f（x）＋ex是偶函數(shù)，y＝f

（x）－3ex是奇函數(shù)，則函數(shù)f（x）的最小值為（

）A.eB.

2

C.

2

D.2e√1234