第三節(jié)平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用高中總復(fù)習(xí)·數(shù)學(xué)課標(biāo)要求1.

理解平面向量數(shù)量積的概念及其物理意義，會計算平面向量的數(shù)量積.2.

了解平面向量投影的概念以及投影向量的意義.3.

會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系.4.

能用坐標(biāo)表示平面向量的數(shù)量積、平面向量垂直的條件，會運用數(shù)量積

表示兩個平面向量的夾角.目錄CONTENTS知識·逐點夯實01.考點·分類突破02.課時·跟蹤檢測03.PART01知識·逐點夯實必備知識|課前自修

非零

[0，π]

2.

平面向量的數(shù)量積（1）定義：已知兩個非零向量a與b，它們的夾角為θ，我們把數(shù)量

?

叫做向量a與b的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作a·b，即

a·b＝

?.規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0.｜

a｜｜b｜cos

θ

｜a｜｜b｜cos

θ

（2）投影向量：

②數(shù)乘結(jié)合律：（λa）·b＝λ（a·b）＝a·（λb）；③分配律：（a＋b）·c＝a·c＋b·c.提醒向量的數(shù)量積運算不滿足結(jié)合律，即（a·b）c≠a（b·c），也不滿

足消去律.即a·b＝a·c?/

b＝c.（3）運算律①交換律：a·b＝b·a；3.

平面向量數(shù)量積的有關(guān)結(jié)論已知非零向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），a與b的夾角為θ.幾何表示坐標(biāo)表示數(shù)量積a·b＝｜a｜｜b｜cos

θa·b＝

?模｜a｜＝

｜a｜＝

?夾角cos

θ＝

cos

θ＝

x1x2＋y1y2

幾何表示坐標(biāo)表示a⊥b的充要條件a·b＝0

?a∥b的充要條件a＝λb（λ∈R）

?｜a·b｜與｜

a｜｜b｜的關(guān)系｜a·b｜≤｜a｜｜

b｜（當(dāng)且僅當(dāng)a∥b

時等號成立）｜x1x2＋y1y2｜≤

提醒

（1）向量平行與垂直的坐標(biāo)公式不要記混；（2）a⊥b?a·b＝0是

對非零向量而言的，若a＝0，雖然有a·b＝0，但不能說a⊥b.x1x2＋y1y2＝0x1y2－x2y1＝0

1.

平面向量數(shù)量積運算的常用公式（1）（a＋b）·（a－b）＝a2－b2；（2）（a±b）2＝a2±2a·b＋b2.2.

有關(guān)向量夾角的兩個結(jié)論（1）兩個向量a與b的夾角為銳角，則有a·b＞0，反之不成立（因為夾角

為0時不成立）；（2）兩個向量a與b的夾角為鈍角，則有a·b＜0，反之不成立（因為夾角

為π時不成立）.

1.

判斷正誤.（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）

（2）向量在另一個向量上的投影向量為數(shù)量，而不是向量.

（

×

）（3）若非零向量a，b滿足｜a·b｜＝｜a｜｜b｜，則a∥b.

（

√

）（4）若a2＋b2＝0，則a＝b＝0.

（

√

）××√√

A.45°B.135°C.

－45°D.30°

√3.

（蘇教必修二P37習(xí)題10題改編）已知｜a｜＝8，｜b｜＝10，｜a＋

b｜＝16，則｜a－b｜＝（

）A.

4

B.

5

C.

6

D.

7

√

A.

B.

C.

D.

√5.

已知向量a＝（1，2），b＝（－1，1），當(dāng)λ＝

時，λa＋b

與b垂直.解析：因為λa＋b＝λ（1，2）＋（－1，1）＝（λ－1，2λ＋1），且

λa＋b與b垂直，所以（λa＋b）·b＝（λ－1）·（－1）＋2λ＋1＝λ

＋2＝0，所以λ＝－2.－2

PART02考點·分類突破精選考點|課堂演練

平面向量數(shù)量積的基本運算（基礎(chǔ)自學(xué)過關(guān)）

A.

－3B.

－2C.2D.3

√

A.

－36B.

－12C.6D.36

√

A.2B.

－2C.4D.

－4√

（－2，6）

A.

－2B.

－

C.

－

D.

－1√

練后悟通求兩個向量的數(shù)量積的三種方法平面向量數(shù)量積的應(yīng)用（定向精析突破）考向1

平面向量的模

（人A必修二P61復(fù)習(xí)參考題13（6）題改編）若平面向量a，b，c

兩兩夾角相等，且｜a｜＝1，｜b｜＝1，｜c｜＝4，則｜2a＋2b－c｜

＝（

）A.0B.6C.0或

D.0或6√

解題技法求平面向量的模的兩種方法考向2

平面向量的夾角與平面向量的垂直

（1）（2024·新高考Ⅰ卷3題）已知向量a＝（0，1），b＝（2，

x），若b⊥（b－4a），則x＝（

D

）A.

－2B.

－1C.1D.2D解析：

法一因為b⊥（b－4a），所以b·（b－4a）＝0，所以b2－

4a·b＝0，即4＋x2－4x＝0，故x＝2，故選D.

法二因為a＝（0，1），b＝（2，x），所以b－4a＝（2，x）－4（0，

1）＝（2，x）－（0，4）＝（2，x－4）.因為b⊥（b－4a），所以

b·（b－4a）＝0，所以2×2＋x（x－4）＝0，所以（x－2）2＝0，解得

x＝2，故選D.

A.

－

B.

C.

－

D.

A

解題技法1.

求平面向量的夾角的方法2.

兩個向量垂直的充要條件a⊥b?a·b＝0?｜a－b｜＝｜a＋b｜（其中a≠0，b≠0）.

1.

（2024·新高考Ⅱ卷3題）已知向量a，b滿足｜a｜＝1，｜a＋2b｜＝

2，且（b－2a）⊥b，則｜b｜＝（

）A.

B.

C.

D.1

√2.

已知向量a＝（3，4），b＝（1，0），c＝a＋tb，若＜a，c＞＝＜

b，c＞，則t＝（

）A.

－6B.

－5C.5D.6

√

A.

B.

C.

D.1√

投影向量（師生共研過關(guān)）

A.

B.

C.

－

D.

√

解題技法投影向量的兩種求法（1）用幾何法作出恰當(dāng)?shù)拇咕€，直接得到投影向量；

1.

（2025·深圳一調(diào)）已知a，b是夾角為120°的兩個單位向量，若向量a

＋λb在向量a上的投影向量為2a，則λ＝（

）A.

－2B.2C.

－

D.

√

A.

B.

C.3D.7√

PART03課時·跟蹤檢測關(guān)鍵能力|課后練習(xí)

1.

（2024·重慶部分學(xué)校聯(lián)考）已知向量a＝（m，1），b＝（0，3），

且a⊥（a－b），則m＝（

）A.

B.2C.

±

D.

±2

12345678910111213141516171819202022232425√2.

（2025·肇慶質(zhì)量檢測）已知e1，e2是單位向量，且它們的夾角是60°.

若a＝e1＋2e2，b＝λe1－e2，且｜a｜＝｜b｜，則λ＝（

）A.2B.

－2C.2或－3D.3或－2

√3.

（2025·河南五市第一次聯(lián)考）平面向量a，b滿足｜a｜＝2，｜b｜＝

3，｜a＋b｜＝4，則b在a方向上的投影向量為（

）A.

aB.

aC.

aD.

a

√4.

已知a，b為單位向量，且｜3a－5b｜＝7，則a與a－b的夾角為

（

）A.

B.

C.

D.

√

A.

｜

｜＝1B.

∥aC.

＝aD.

·a＝｜a｜√√√

6.

〔多選〕已知向量m＋n＝（3，1），m－n＝（1，－1），則

（

）A.

（m－n）∥nB.

（m－n）⊥nC.

｜m｜＝

｜n｜D.

＜m，n＞＝45°√√√

10

8.

設(shè)a＝（－2，1），b＝（m，－1），m∈R，若a與b的夾角為鈍

角，則m的取值范圍是

?.

9.

已知｜a｜＝2，｜b｜＝3，（a＋b）·b＝8.（1）求｜a＋b｜的值；

（2）當(dāng)k為何值時，ka－b與a＋2b垂直？

（3）求向量a與a＋b的夾角的余弦值.

A.

B.

C.

－

D.

－

√

A.

鈍角三角形B.

直角三角形C.

等腰直角三角形D.

等邊三角形

√

－12

①③

14.

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A（