第一節(jié)數(shù)列的概念與表示高中總復(fù)習(xí)·數(shù)學(xué)課標要求

通過日常生活和數(shù)學(xué)中的實例，了解數(shù)列的概念和表示方法（列表、

圖象、通項公式），了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類特殊函數(shù).目錄CONTENTS知識·逐點夯實01.考點·分類突破02.課時·跟蹤檢測03.PART01知識·逐點夯實必備知識|課前自修1.

數(shù)列的概念概念含義數(shù)列按照

?排列的一列數(shù)數(shù)列的項數(shù)列中的

?數(shù)列的通項數(shù)列{an}的第n項an通項公式數(shù)列{an}的第n項an與

?之間的關(guān)系式前n項和數(shù)列{an}中，Sn＝

?確定的順序

每一個數(shù)

序號n

a1＋a2＋…＋an

提醒數(shù)列的項是指數(shù)列中某一確定的數(shù)，而項數(shù)是指數(shù)列的項對應(yīng)的位置

序號.2.

數(shù)列的分類及性質(zhì)3.

數(shù)列的表示方法列表法列出表格表示n與an的對應(yīng)關(guān)系圖象法把點

?畫在平面直角坐標系中公式法通項公式把數(shù)列的通項用

?表示遞推公式如果一個數(shù)列的相鄰兩項或多項之間的關(guān)系可以用

一個式子來表示，那么這個式子叫做這個數(shù)列的遞

推公式（n，an）

公式

4.

數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系數(shù)列{an}是從正整數(shù)集N*（或它的有限子集{1，2，…，n}）到實數(shù)集R

的函數(shù)，其自變量是

，對應(yīng)的函數(shù)值是

?，

記為an＝f（n）.序號n

數(shù)列的第n項an

2.

若an＋k＝an（k為非零常數(shù)），則數(shù)列{an}為周期數(shù)列，k為{an}的一

個周期.

1.

判斷正誤.（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）（1）相同的一組數(shù)按不同順序排列時都表示同一個數(shù)列.

（

×

）（2）1，1，1，1，…，不能構(gòu)成一個數(shù)列.

（

×

）（3）任何一個數(shù)列都有唯一的通項公式.

（

×

）（4）如果數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則對任意n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－

Sn.

（

√

）×××√

A.10B.

－10C.

－11D.

√

A.

B.

C.

D.

4.

已知數(shù)列{an}滿足an＝3n＋kn，若{an}為遞增數(shù)列，則實數(shù)k的取值范

圍是（

）A.

（－2，＋∞）B.

（－6，＋∞）C.

（－∞，－2）D.

（－∞，2）解析：

要想{an}為遞增數(shù)列，則an＋1－an＝3n＋1＋kn＋k－3n－kn＝

2×3n＋k＞0恒成立，故k＞－2×3n，又n＝1時，－2×3n取得最大值，

最大值為－6，故k＞－6.√5.

（人A選二P8練習(xí)4題改編）已知數(shù)列{an}的前n項和公式為Sn＝n2，

則an＝

?.解析：當n＝1時，a1＝S1＝1，當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2n－1，且a1

＝1也滿足此式，故an＝2n－1，n∈N*.2n－1

PART02考點·分類突破精選考點|課堂演練

由數(shù)列的前幾項歸納通項公式（師生共研過關(guān)）

（人A選二P6例4改編）如圖，在n×n的單位正方形網(wǎng)格中，陰影相

連的正方形個數(shù)依次為1，5，9，13，則下一陰影相連的正方形個數(shù)

為

，這個數(shù)列的一個通項公式an＝

?.17

4n－3

解析：從陰影相連的正方形個數(shù)依次為1，5，9，13看出，從第2項起每一

項比它的前一項多4，故下一陰影相連的正方形個數(shù)為13＋4＝17，且a2＝

5＝a1＋4，a3＝9＝a1＋2×4，a4＝13＝a1＋3×4，a5＝17＝a1＋4×4，根

據(jù)上述規(guī)律an＝a1＋（n－1）×4＝1＋（n－1）×4＝4n－3.所以通項公

式an＝4n－3.解題技法由數(shù)列的前幾項歸納通項公式應(yīng)注意的4個特征（1）分式中分子、分母的特征；（2）相鄰項的變化特征；（3）拆項后的特征：把數(shù)列的項拆分成變化的部分和不變的部分；（4）各項的符號特征.

根據(jù)下面各數(shù)列前幾項的值，寫出數(shù)列的一個通項公式：（1）－1，7，－13，19，…；解：

偶數(shù)項為正，奇數(shù)項為負，故通項公式必含有因式（－1）n；

觀察各項的絕對值，后一項的絕對值總比它前一項的絕對值大6，故數(shù)列

的一個通項公式為an＝（－1）n（6n－5）.

（4）9，99，999，9

999，….解：

這個數(shù)列的前4項可以寫成10－1，100－1，1

000－1，10

000－

1，故所求數(shù)列的一個通項公式為an＝10n－1.由an與Sn的關(guān)系求an（師生共研過關(guān)）

A.

－

B.

－

A

C.

D.

（2）已知數(shù)列{an}滿足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n，則an

＝

?.

解題技法1.

Sn與an關(guān)系問題的求解思路根據(jù)所求結(jié)果的不同要求，將問題向兩個不同的方向轉(zhuǎn)化.（1）利用an＝Sn－Sn－1（n≥2）轉(zhuǎn)化為只含Sn，Sn－1的關(guān)系式，再求

解；（2）利用Sn－Sn－1＝an（n≥2）轉(zhuǎn)化為只含an，an－1的關(guān)系式，再求解.2.

已知Sn求an的3個步驟（1）先利用a1＝S1求出a1；（2）用n－1替換Sn中的n得到一個新的關(guān)系，利用an＝Sn－Sn－1

（n≥2）即可求出當n≥2時an的表達式；（3）注意檢驗n＝1時的表達式是否可以與n≥2時的表達式合并.

1.

數(shù)列{an}的前n項和Sn＝2n－3，則此數(shù)列的通項公式an

＝

?.

（2n－1）·3n－1

數(shù)列的性質(zhì)（定向精析突破）考向1

數(shù)列的周期性

A.

B.3C.

－2D.

－

√

解題技法解決數(shù)列周期性問題的方法

根據(jù)所給的關(guān)系式求出數(shù)列的若干項，通過觀察歸納出數(shù)列的周期，

進而求出有關(guān)項的值或者前n項的和.考向2

數(shù)列的單調(diào)性

已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝n2－kn＋5，則“k≤2”是“數(shù)列

{an}為單調(diào)遞增數(shù)列”的（

）A.

充分不必要條件B.

必要不充分條件C.

充要條件D.

既不充分也不必要條件√解析：

根據(jù)題意，數(shù)列{an}的通項公式為an＝n2－kn＋5，若數(shù)列

{an}為單調(diào)遞增數(shù)列，則有an＋1－an＝（n＋1）2－k（n＋1）＋5－（n2

－kn＋5）＝2n＋1－k＞0（n∈N*），所以k＜2n＋1.因為n∈N*，所以

當k≤2時，數(shù)列{an}為單調(diào)遞增數(shù)列，而當數(shù)列{an}為單調(diào)遞增數(shù)列時，

k≤2不一定成立，所以“k≤2”是“數(shù)列{an}為單調(diào)遞增數(shù)列”的充分不

必要條件.故選A.

解題技法解決數(shù)列單調(diào)性問題的方法（1）作差比較法：根據(jù)an＋1－an的符號判斷數(shù)列{an}是遞增數(shù)列、遞減

數(shù)列還是常數(shù)列；

（3）函數(shù)法：結(jié)合相應(yīng)的函數(shù)圖象直觀判斷.考向3

數(shù)列的最大（小）項

5或6

解題技法求數(shù)列最大項與最小項的常用方法（1）函數(shù)法：利用相關(guān)的函數(shù)求最值.若能借助表達式觀察出單調(diào)性，直

接確定最大（小）項，否則，利用作差法；

A.

B.

4

－1C.

D.

√

2.

如表定義函數(shù)f（x）：x12345f（x）45123數(shù)列{an}中，a1＝3，an＝f（an－1），n＝2，3，4，…，則a2

025

＝

?.解析：由an＝f（an－1），a1＝3，可得a2＝f（a1）＝f（3）＝1，a3＝f

（a2）＝f（1）＝4，a4＝f（a3）＝f（4）＝2，a5＝f（a4）＝f（2）＝

5，a6＝f（a5）＝f（5）＝3，…，可得數(shù)列{an}是以5為周期的周期數(shù)

列，則a2

025＝a5＝5.5

PART03課時·跟蹤檢測關(guān)鍵能力|課后練習(xí)

A.

第8項B.

第9項C.

第10項D.

第11項

√123456789101112131415161718192020222324252.

已知數(shù)列{an}滿足：對任意m，n∈N*，都有anam＝an＋m，且a2＝2，

那么a20＝（

）A.240B.230C.220D.210

√3.

數(shù)列{an}滿足a1＝2，an＋1＝－an，則S2

025＝（

）A.4

050B.

－4

050C.2D.

－2解析：

因為a1＝2，an＋1＝－an，所以a2＝－a1＝－2，a3＝－a2＝2，

a4＝－2，…，所以an＋2＝an，所以{an}是周期為2的周期數(shù)列，所以S2

025

＝a1＋a2＋…＋a2

025＝2＋（－2）＋2＋（－2）＋…＋2＝2.故選C.

√4.

給定一個函數(shù)y＝f（x），對任意an∈（0，1），由關(guān)系式an＋1＝f

（an）得到的數(shù)列{an}滿足an＋1＞an（n∈N*），則該函數(shù)的圖象是

（

）√解析：

由an＋1＝f（an），an＋1＞an知f（an）＞an，可以知道x∈（0，1）時f（x）＞x，即f（x）的圖象在y＝x圖象的上方，由選項中所給的圖象可以看出，A符合條件.5.

已知Sn是數(shù)列{an}的前n項和，則“an＞0”是“{Sn}是遞增數(shù)列”的

（

）A.

充分不必要條件B.

必要不充分條件C.

充要條件D.

既不充分也不必要條件解析：

若an＞0，則Sn＞Sn－1，所以{Sn}是遞增數(shù)列，所以“an＞0”

是“{Sn}是遞增數(shù)列”的充分條件；若{Sn}是遞增數(shù)列，則Sn＞Sn－1，所

以an＞0（n≥2），但是a1的符號不確定，所以“an＞0”不是“{Sn}是遞

增數(shù)列”的必要條件，故選A.

√6.

〔多選〕已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋an－1＝n2（n≥2，n∈N*），

Sn為其前n項和，則（

）A.

a4－a2＝7B.

a10＝55C.

S5＝35D.

a8＋a4＝28解析：

因為a1＝1，a2＋a1＝22，a3＋a2＝32，a4＋a3＝42，a5＋a4

＝52，a6＋a5＝62，…，a10＋a9＝102，所以a4－a2＝42－32＝7，a6－a4＝

62－52＝11，a8－a6＝82－72＝15，a10－a8＝102－92＝19，累加得a10－a2

＝7＋11＋15＋19＝52，所以a10＝a2＋52＝22－a1＋52＝3＋52＝55，S5＝

a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝1＋32＋52＝35，因為a4－a2＝7，a8－a2＝7＋11＋

15＝33，所以a8＋a4＝7＋33＋2a2＝46，故選A、B、C.

√√√

A.

數(shù)列{an}有最小項，且有最大項B.

使an∈Z的項共有5項C.

滿足anan＋1an＋2≤0的n的值共有5個D.

使Sn取得最小值的n為4√√√

要使anan＋1an＋2≤0，又an≠0，所以an，an＋1，an＋2中有1個負數(shù)或3個負

數(shù)，所以n＝1或n＝2或n＝4，故滿足anan＋1an＋2≤0的n的值共有3個，故

C錯誤；因為n≤4時an＜0，n≥5時an＞0，所以當n為4時Sn取得最小值，

故D正確.8.

已知Sn為數(shù)列{an}的前n項和，且log2（Sn＋1）＝n＋1，則數(shù)列{an}

的通項公式為

?.

9.

已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足an＝1－Sn.（1）求數(shù)列{an}的通項公式；

（2）設(shè)bn＝（n2＋n）an，求數(shù)列{bn}的最大項.

10.

（2025·寧波二模）已知數(shù)列{an}滿足an＝λn2－n，對任意n∈{1，

2，3}都有an＞an＋1，且對任意n∈{n｜n≥7，n∈N}都有an＜an＋1，則

實數(shù)λ的取值范圍是（

）A.

［

，

］B.

（

，

）C.

（

，

）D.

（

，

］√

A.

當n≥2時，0＜an≤2B.

當

＜a1＜1時，T4n＝1C.

無論a1取何值，均存在λ∈N*，使得an＋λ＝an對任意n∈N*成立D.

無論a1取何值，數(shù)列{an}中均存在與a1的數(shù)值相同的另一項√√

13.

（2024·杭州模擬）兩千多年前，古希臘畢達哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家在沙

灘上研究數(shù)學(xué)問題.他們在沙灘上畫點或用小石子來表示數(shù)，按照點或小

石子排列的形狀對數(shù)進行分類.如圖中的實心點個數(shù)1，5，12，22，…，

被稱為五角形數(shù)，其中第1個五角形數(shù)記作a1＝1，第2個五角形數(shù)記作a2＝

5，第3個五角形數(shù)記作a3＝12，第4