考教銜接“算兩次”在解三角形中的運(yùn)用高中總復(fù)習(xí)·數(shù)學(xué)

“算兩次”就是從兩個(gè)不同的角度或用兩種不同的方法、途徑表示同

一數(shù)學(xué)對(duì)象，根據(jù)結(jié)果的唯一性，得到方程的方法.“算兩次”在運(yùn)用的

過(guò)程中要求學(xué)生能用數(shù)學(xué)的眼光看問(wèn)題，找尋等量關(guān)系，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽

象、數(shù)學(xué)建模等思維能力提出了較高要求，在解三角形中經(jīng)常通過(guò)特定關(guān)

系的邊、角或面積，通過(guò)“算兩次”的方法找到解決問(wèn)題的關(guān)鍵點(diǎn).

（2）由（1）的解答可以得到三角形的三個(gè)內(nèi)角的大小及它們對(duì)應(yīng)的正弦

值，再利用正弦定理得到a，c邊的關(guān)系.根據(jù)所給三角形的面積建立關(guān)于

c的方程，解方程即可求出c.

三、技法探究“邊”算兩次

2

本題選取了兩個(gè)三角形的“公共邊”為切入口，在不同的三角形中利

用正弦定理兩次表示邊AD，再運(yùn)用等量關(guān)系表示出角A，C的關(guān)系，進(jìn)而

求解.“角”算兩次角度1

同一角算兩次

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反思感悟

本題選取兩個(gè)三角形的公共角B為切入口，分別在兩個(gè)不同的三角形

內(nèi)利用余弦定理對(duì)角進(jìn)行表示，構(gòu)建方程進(jìn)行求解.解題的關(guān)鍵是尋找兩

個(gè)三角形的公共元素，在兩個(gè)三角形內(nèi)分別利用正、余弦定理、勾股定理

進(jìn)行邊、角互化，獲得等量關(guān)系.角度2

補(bǔ)角算兩次

（2021·新高考Ⅰ卷19題）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為

a，b，c.已知b2＝ac，點(diǎn)D在邊AC上，BD

sin∠ABC＝a

sin

C.

（1）證明：BD＝b；解：

證明：因?yàn)锽D

sin∠ABC＝a

sin

C，所以由正弦定理得，BD·b

＝ac，又b2＝ac，所以BD·b＝b2，又b＞0，所以BD＝b.（2）若AD＝2DC，求cos∠ABC.

反思感悟

本題選取兩個(gè)三角形中的相關(guān)“角”，兩個(gè)角互為補(bǔ)角即∠BED＋

∠ABC＝π為切入口，通過(guò)兩次計(jì)算相關(guān)角的余弦值，從而得到a，b，c

的數(shù)量關(guān)系，結(jié)合已知條件及余弦定理求解.“面積”算兩次

△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若△ABC的面

積S＝（b＋c）2－a2，則sin

A＝

?.

反思感悟

本題以三角形的面積為突破口，采用“算兩次”的方法對(duì)面積進(jìn)行表

示，從而得到等量關(guān)系進(jìn)而得解.四、回顧反思

一個(gè)三角形中含有各種幾何量，如邊、角、面積等，特別是一個(gè)多邊

形中含有“公共邊”“公共角”“互為補(bǔ)角”“相等面積”等時(shí)，常利用

“算兩次”解決問(wèn)題，“算兩次”有助于調(diào)動(dòng)學(xué)生思維和行動(dòng)的積極性，

增強(qiáng)獲取知識(shí)的能力，