第六節(jié)余弦定理和正弦定理

借助向量的運(yùn)算，探索三角形邊長與角度的關(guān)系，掌握余弦定

理、正弦定理.目錄CONTENTS123知識體系構(gòu)建微專題7三角形的角平分線、中線、高線問題考點(diǎn)分類突破4課時跟蹤檢測PART1知識體系構(gòu)建必備知識系統(tǒng)梳理基礎(chǔ)重落實(shí)課前自修

A.150°B.90°C.60°D.30°

A.1B.

C.

D.3解析：

由余弦定理

AC

2＝

AB

2＋

BC

2－2

AB

·

BC

cos

B

，得

BC

2＋

2

BC

－15＝0，解得

BC

＝3或

BC

＝－5（舍去）.故選D.3.在△

ABC

中，

AB

＝5，

AC

＝3，

BC

＝7，則

A

＝

?.

4.在△

ABC

中，

a

cos

A

＝

b

cos

B

，則這個三角形的形狀為

?

?.

等腰三角

形或直角三角形

1.（多選）在△

ABC

中，角

A

，

B

，

C

所對的邊分別為

a

，

b

，

c

，下

列結(jié)論正確的是（

）A.

a

2＝

b

2＋

c

2－2

bc

cos

A

B.

a

sin

B

＝

b

sin

A

C.

a

＝

b

cos

C

＋

c

cos

B

D.

a

cos

B

＋

b

cos

C

＝

c

解析：

易知A、B正確，由結(jié)論2可得C正確，D錯誤.2.已知△

ABC

的三邊長分別為

a

＝5，

b

＝6，

c

＝7，則△

ABC

的外接

圓半徑

R

＝

?.

PART2考點(diǎn)分類突破精選考點(diǎn)典例研析技法重悟通課堂演練利用正、余弦定理解三角形

（1）求

A

；

解題技法1.正、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情況下求解其余元

素，基本思想是方程思想，即根據(jù)正、余弦定理列出關(guān)于未知元素

的方程，通過解方程求得未知元素.2.正、余弦定理的另一個作用是實(shí)現(xiàn)三角形邊角關(guān)系的互化，解題時

可以把已知條件化為角的三角函數(shù)關(guān)系，也可以把已知條件化為三

角形邊的關(guān)系.

正、余弦定理的簡單應(yīng)用

A.直角三角形B.等邊三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形

等邊三角形

解題技法判定三角形形狀的兩種常用途徑提醒

“角化邊”后要注意用因式分解、配方等方法得出邊的相應(yīng)關(guān)

系；“邊化角”后要注意用三角恒等變換公式、三角形內(nèi)角和定理及

誘導(dǎo)公式推出角的關(guān)系.考向2

面積問題【例3】

（2023·全國乙卷18題）在△

ABC

中，已知∠

BAC

＝120°，

AB

＝2，

AC

＝1.（1）求sin∠

ABC

；

（2）若

D

為

BC

上一點(diǎn)，且∠

BAD

＝90°，求△

ADC

的面積.

A.鈍角三角形B.

直角三角形C.銳角三角形D.

等邊三角形

與平面幾何有關(guān)的問題

（1）求sin∠

ADB

；

解題技法利用正、余弦定理解決平面圖形問題的策略（1）將所給平面圖形分拆成若干個三角形，然后在各個三角形內(nèi)利

用正、余弦定理建立邊角關(guān)系進(jìn)行求解；（2）充分注意各個三角形之間的聯(lián)系，特別是公共邊、鄰角之間的

等量關(guān)系，交叉使用公共條件進(jìn)行求解；（3）注意三角形相似、平行四邊形性質(zhì)等幾何結(jié)論的應(yīng)用；（4）注意方程思想的靈活運(yùn)用，通過設(shè)出未知變量，建立方程進(jìn)行

求解.

（1）求cos∠

ADB

；

（2）若

BC

＝5，求△

BCD

的面積.

PART3微專題7三角形的角平分線、中線、高線問題

（1）若

D

是

BC

的中點(diǎn)，求

AD

的長度；

（2）若

E

是邊

BC

上一點(diǎn)，

AE

為△

ABC

的角平分線，求

AE

的長度.

點(diǎn)評

角平分線是平面幾何的一個重要特征，解題方法主要有

兩種，一是利用角平分線定理，找邊之間的關(guān)系；二是角平分

線把三角形分成兩個三角形，利用等面積法求解.

（2）若

CD

＝

CB

＝2，求△

ABC

的面積.

（2）若

b

2＋

c

2＝8，求

b

，

c

.

法二

因?yàn)?/p>

D

為

BC

的中點(diǎn)，所以

BD

＝

DC

.

因?yàn)椤?/p>

ADB

＋∠

ADC

＝π，所以cos∠

ADB

＝－cos∠

ADC

，

得1＋

BD

2－

c

2＝－（1＋

BD

2－

b

2），

（2）若

b

＝3，

D

為

AC

的中點(diǎn)，

BD

＝2，求△

ABC

的面積.

三、三角形的高線問題【例3】

△

ABC

中，角

A

，

B

，

C

的對邊分別是

a

，

b

，

c

，且滿足

a

sin（

B

＋

C

）＝（

b

－

c

）sin

B

＋

c

sin

C

.

（1）求

A

；

（2）若

D

在

BC

上，

a

＝2，且

AD

⊥

BC

，求

AD

的最大值.

（2）求高一般采用等面積法，即求某邊上的高，需要求出面積和底邊長度.

（2023·新高考Ⅰ卷17題）已知在△

ABC

中，

A

＋

B

＝3

C

，2sin（

A

－

C

）＝sin

B

.

（1）求sin

A

；

（2）設(shè)

AB

＝5，求

AB

邊上的高.

PART4課時跟蹤檢測關(guān)鍵能力分層施練素養(yǎng)重提升課后練習(xí)

A.2B.3C.4D.5解析：

由余弦定理，得

b

2＝

a

2＋

c

2－2

ac

cos

B

＝9＋

c

2－3

c

＝13，即

c

2－3

c

－4＝0，解得

c

＝－1（舍）或

c

＝4，∴

c

＝

4，故選C.123456789101112131415162.（2024·巢湖模擬）在△

ABC

中，角

A

，

B

，

C

所對的邊分別為

a

，

b

，

c

.若

a

＋

c

cos

A

＝

b

＋

c

cos

B

，則△

ABC

為（

）A.等腰三角形B.

直角三角形C.等腰直角三角形D.

等腰或直角三角形

12345678910111213141516

A.

B.

C

.

D.

12345678910111213141516

A.

B.

C.

D.112345678910111213141516

12345678910111213141516

A.cos

C

＝

B.sin

B

＝

C.

a

＝3D.

S

△

ABC

＝

12345678910111213141516

12345678910111213141516

A.

AB

＝8B.

C.

AB

＝6D.△

ABD

的面積為

12345678910111213141516

123456789101112131415167.（2024·重慶診斷）已知△

ABC

中，角

A

，

B

，

C

的對邊分別為

a

，

b

，

c

，

b

＝2，

c

＝3，

A

＝2

B

，則

a

＝

?.

12345678910111213141516

12345678910111213141516（2）求

c

的值；

12345678910111213141516（3）求sin（

B

－

C

）的值.

12345678910111213141516

A.2≤

b

＜4B.

b

≥4C.2＜

b

＜4D.0＜

b

＜212345678910111213141516解析：

如圖所示，要使△

ABC

有兩解，則以點(diǎn)

B

為圓心，2為半

徑的圓與射線

AC

有兩個交點(diǎn)，△

ABC

有兩解的充要條件為

b

sin

A

＜

a

＜

b

，代入題設(shè)得2＜

b

＜4.故選C.12345678910111213141516

A.

B.

C.－

D.

－

12345678910111213141516

12345678910111213141516

A.sin∠

BCD

＝

B.△

ABC

的面積為8C.△

ABC

的周長為8＋4

D.△

ABC

為鈍角三角形12345678910111213141516

12345678910111213141516

1234567891011121314151612.趙爽是我國古代數(shù)學(xué)家，大約在公元222年，他為《周髀算經(jīng)》一

書作序時，介紹了“趙爽弦圖”——由四個全等的直角三角形與

一個小正方形拼成的一個大正方形，如圖①所示.類比“趙爽弦

圖”，可構(gòu)造如圖②所示的圖形，它是由3個全等的三角形與中間

一個小等邊三角形拼成的一個大等邊三角形.在△

ABC

中，若

AF

＝

1，

FD

＝2，則

AB

＝

?.

12345678910111213141516

12345678910111213141516

4

12345678910111213141516

12345678910111213141516

12345678910111213141516（2）求

CD

的長.

12345678910111213141516

12345678910111213141516

15.設(shè)

A

，

B