深圳坪地街道惠華學(xué)校初中部八年級上冊壓軸題數(shù)學(xué)模擬試卷及答案一、壓軸題1．如圖1．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=10，直線DE經(jīng)過點C，過點A，B分別作AD⊥DE，BE⊥DE，垂足分別為點D和E，AD=8，BE=6．（1）①求證：△ADC≌△CEB；②求DE的長；（2）如圖2，點M以3個單位長度/秒的速度從點C出發(fā)沿著邊CA運動，到終點A，點N以8個單位長度/秒的速度從點B出發(fā)沿著線BC—CA運動，到終點A．M，N兩點同時出發(fā)，運動時間為t秒(t＞0)，當(dāng)點N到達(dá)終點時，兩點同時停止運動，過點M作PM⊥DE于點P，過點N作QN⊥DE于點Q；①當(dāng)點N在線段CA上時，用含有t的代數(shù)式表示線段CN的長度；②當(dāng)t為何值時，點M與點N重合；③當(dāng)△PCM與△QCN全等時，則t=．2．直角三角形中，，直線過點．（1）當(dāng)時，如圖1，分別過點和作直線于點，直線于點，與是否全等，并說明理由；（2）當(dāng)，時，如圖2，點與點關(guān)于直線對稱，連接，點是上一點，點是上一點，分別過點作直線于點，直線于點，點從點出發(fā)，以每秒的速度沿路徑運動，終點為，點從點出發(fā)，以每秒的速度沿路徑運動，終點為，點同時開始運動，各自達(dá)到相應(yīng)的終點時停止運動，設(shè)運動時間為秒，當(dāng)為等腰直角三角形時，求的值．3．閱讀下面材料，完成(1)-(3)題．?dāng)?shù)學(xué)課上，老師出示了這樣一道題：如圖1，已知等腰△ABC中，AB＝AC，AD為BC邊上的中線，以AB為邊向AB左側(cè)作等邊△ABE，直線CE與直線AD交于點F．請?zhí)骄烤€段EF、AF、DF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．同學(xué)們經(jīng)過思考后，交流了自已的想法：小明：“通過觀察和度量，發(fā)現(xiàn)∠DFC的度數(shù)可以求出來．”小強(qiáng)：“通過觀察和度量，發(fā)現(xiàn)線段DF和CF之間存在某種數(shù)量關(guān)系．”小偉：“通過做輔助線構(gòu)造全等三角形，就可以將問題解決．”......老師：“若以AB為邊向AB右側(cè)作等邊△ABE，其它條件均不改變，請在圖2中補全圖形,探究線段EF、AF、DF三者的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．”（1）求∠DFC的度數(shù)；（2）在圖1中探究線段EF、AF、DF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；（3）在圖2中補全圖形，探究線段EF、AF、DF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．4．已知和都是等腰三角形，，，．（初步感知）（1）特殊情形：如圖①，若點，分別在邊，上，則__________．（填＞、＜或=）（2）發(fā)現(xiàn)證明：如圖②，將圖①中的繞點旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點在外部，點在內(nèi)部時，求證：．（深入研究）（3）如圖③，和都是等邊三角形，點，，在同一條直線上，則的度數(shù)為__________；線段，之間的數(shù)量關(guān)系為__________．（4）如圖④，和都是等腰直角三角形，，點、、在同一直線上，為中邊上的高，則的度數(shù)為__________；線段，，之間的數(shù)量關(guān)系為__________．（拓展提升）（5）如圖⑤，和都是等腰直角三角形，，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，連結(jié)、．當(dāng)，時，在旋轉(zhuǎn)過程中，與的面積和的最大值為__________．5．學(xué)習(xí)了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，我們繼續(xù)對“兩個三角形滿足兩邊的其中一邊的對角對應(yīng)相等”的情形進(jìn)行研究．（初步思考）我們不妨將問題用符號語言表示為：在△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，然后，對∠B進(jìn)行分類，可分為“∠B是直角、鈍角、銳角”三種情況進(jìn)行探究．（深入探究）第一種情況：當(dāng)∠B是直角時，△ABC≌△DEF．（1）如圖①，在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E＝90°，根據(jù)______，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF．第二種情況：當(dāng)∠B是鈍角時，△ABC≌△DEF．（2）如圖②，在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，且∠B、∠E都是鈍角．求證：△ABC≌△DEF．第三種情況：當(dāng)∠B是銳角時，△ABC和△DEF不一定全等．（3）在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，且∠B、∠E都是銳角．請你用直尺在圖③中作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等，并作簡要說明．6．如圖，若要判定紙帶兩條邊線a，b是否互相平行，我們可以采用將紙條沿AB折疊的方式來進(jìn)行探究．（1）如圖1，展開后，測得，則可判定a//b，請寫出判定的依據(jù)_________；（2）如圖2，若要使a//b，則與應(yīng)該滿足的關(guān)系是_________；（3）如圖3，紙帶兩條邊線a，b互相平行，折疊后的邊線b與a交于點C，若將紙帶沿（，分別在邊線a，b上）再次折疊，折疊后的邊線b與a交于點，AB//，，求出的長．7．如圖，在等邊中，線段為邊上的中線．動點在直線上時，以為一邊在的下方作等邊，連結(jié)．（1）求的度數(shù)；（2）若點在線段上時，求證：；（3）當(dāng)動點在直線上時，設(shè)直線與直線的交點為，試判斷是否為定值？并說明理由．8．（1）問題發(fā)現(xiàn)．如圖1，和均為等邊三角形，點、、均在同一直線上，連接．①求證：．②求的度數(shù)．③線段、之間的數(shù)量關(guān)系為__________．（2）拓展探究．如圖2，和均為等腰直角三角形，，點、、在同一直線上，為中邊上的高，連接．①請判斷的度數(shù)為____________．②線段、、之間的數(shù)量關(guān)系為________．（直接寫出結(jié)論，不需證明）9．如圖，中，，，點為射線上一動點，連結(jié)，作且．（1）如圖1，過點作交于點，求證：；（2）如圖2，連結(jié)交于點，若，，求證：點為中點．（3）當(dāng)點在射線上，連結(jié)與直線交于點，若，，則______．（直接寫出結(jié)果）10．已知ABC，P是平面內(nèi)任意一點（A、B、C、P中任意三點都不在同一直線上）．連接PB、PC，設(shè)∠PBA＝s°，∠PCA＝t°，∠BPC＝x°，∠BAC＝y(tǒng)°．（1）如圖，當(dāng)點P在ABC內(nèi)時，①若y＝70，s＝10，t＝20，則x＝；②探究s、t、x、y之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你得到的結(jié)論．（2）當(dāng)點P在ABC外時，直接寫出s、t、x、y之間所有可能的數(shù)量關(guān)系，并畫出相應(yīng)的圖形．11．對定義一種新運算，規(guī)定：（其中均為非零常數(shù)）．例如：．（1）已知．①求的值；②若關(guān)于的不等式組恰好有3個整數(shù)解，求的取值范圍；（2）當(dāng)時，對任意有理數(shù)都成立，請直接寫出滿足的關(guān)系式．學(xué)習(xí)參考：①，即單項式乘以多項式就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的結(jié)果相加；②，即多項式乘以多項式就是用一個多項式的每一項去乘另一個多項式的每一項，再把所得的結(jié)果相加．12．問題背景：（1）如圖1，已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直線m經(jīng)過點A，BD⊥直線m，CE⊥直線m，垂足分別為點D、E．求證：DE＝BD＋CE．拓展延伸：（2）如圖2，將（1）中的條件改為：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三點都在直線m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC．請寫出DE、BD、CE三條線段的數(shù)量關(guān)系．（不需要證明）實際應(yīng)用：（3）如圖，在△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，點C的坐標(biāo)為(－2，0)，點A的坐標(biāo)為(－6，3)，請直接寫出B點的坐標(biāo)．13．探索發(fā)現(xiàn)：……根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，回答下列問題：（1）＝，＝；（2）利用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律計算：（3）利用規(guī)律解方程：14．在我們認(rèn)識的多邊形中，有很多軸對稱圖形．有些多邊形，邊數(shù)不同對稱軸的條數(shù)也不同；有些多邊形，邊數(shù)相同但卻有不同數(shù)目的對稱軸．回答下列問題：（1）非等邊的等腰三角形有________條對稱軸，非正方形的長方形有________條對稱軸，等邊三角形有___________條對稱軸；（2）觀察下列一組凸多邊形（實線畫出），它們的共同點是只有1條對稱軸，其中圖1-2和圖1-3都可以看作由圖1-1修改得到的，仿照類似的修改方式，請你在圖1-4和圖1-5中，分別修改圖1-2和圖1-3，得到一個只有1條對稱軸的凸五邊形，并用實線畫出所得的凸五邊形；（3）小明希望構(gòu)造出一個恰好有2條對稱軸的凸六邊形，于是他選擇修改長方形，圖2中是他沒有完成的圖形，請用實線幫他補完整個圖形；（4）請你畫一個恰好有3條對稱軸的凸六邊形，并用虛線標(biāo)出對稱軸．15．（1）發(fā)現(xiàn)：如圖1，的內(nèi)角的平分線和外角的平分線相交于點。①當(dāng)時，則②當(dāng)時，求的度數(shù)（用含的代數(shù)式表示）﹔（2）應(yīng)用：如圖2，直線與直線垂直相交于點，點在射線上運動（點不與點重合），點在射線上運動（點不與點重合），延長至，已知的角平分線與的角平分線所在的直線相交于，在中，如果一個角是另一個角的倍，請直接寫出的度數(shù).16．如圖，在中，為的中點，，．動點從點出發(fā)，沿方向以的速度向點運動；同時動點從點出發(fā)，沿方向以的速度向點運動，運動時間是．（1）在運動過程中，當(dāng)點位于線段的垂直平分線上時，求出的值；（2）在運動過程中，當(dāng)時，求出的值；（3）是否存在某一時刻，使？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．17．閱讀材料并完成習(xí)題：在數(shù)學(xué)中，我們會用“截長補短”的方法來構(gòu)造全等三角形解決問題．請看這個例題：如圖1，在四邊形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，若AC=2cm，求四邊形ABCD的面積．解：延長線段CB到E，使得BE=CD，連接AE，我們可以證明△BAE≌△DAC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得AE=AC=2，∠EAB=∠CAD，則∠EAC=∠EAB+∠BAC=∠DAC+∠BAC=∠BAD=90°，得S四邊形ABCD=S△ABC+S△ADC=S△ABC+S△ABE=S△AEC，這樣，四邊形ABCD的面積就轉(zhuǎn)化為等腰直角三角形EAC面積．（1）根據(jù)上面的思路，我們可以求得四邊形ABCD的面積為cm2．（2）請你用上面學(xué)到的方法完成下面的習(xí)題．如圖2，已知FG=FN=HM=GH+MN=2cm，∠G=∠N=90°，求五邊形FGHMN的面積．18．直線與相互垂直，垂足為點，點在射線上運動，點在射線上運動，點、點均不與點重合．（1）如圖1，平分，平分，若，求的度數(shù)；（2）如圖2，平分，平分，的反向延長線交于點．①若，則______度（直接寫出結(jié)果，不需說理）；②點、在運動的過程中，是否發(fā)生變化，若不變，試求的度數(shù)：若變化，請說明變化規(guī)律．（3）如圖3，已知點在的延長線上，的角平分線、的角平分線與的角平分線所在的直線分別相交于的點、，在中，如果有一個角的度數(shù)是另一個角的4倍，請直接寫出的度數(shù)．19．完全平方公式：適當(dāng)?shù)淖冃?，可以解決很多的數(shù)學(xué)問題．例如：若，求的值．解：因為所以所以得．根據(jù)上面的解題思路與方法，解決下列問題：（1）若，求的值；（2）①若,則；②若則；（3）如圖，點是線段上的一點，以為邊向兩邊作正方形，設(shè)，兩正方形的面積和，求圖中陰影部分面積．20．(1)問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，△ACB和△DCE均為等邊三角形，點A、D、E在同一直線上，連接BE．①請直接寫出∠AEB的度數(shù)為_____；②試猜想線段AD與線段BE有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明；(2)拓展探究：圖2，△ACB和△DCE均為等腰三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，點A、D、E在同－直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，連接BE，請判斷∠AEB的度數(shù)線段CM、AE、BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【參考答案】***試卷處理標(biāo)記，請不要刪除一、壓軸題1．（1）①證明見解析；②DE=14；（2）①8t－10；②t=2；③t=【解析】【分析】（1）①先證明∠DAC＝∠ECB，由AAS即可得出△ADC≌△CEB；②由全等三角形的性質(zhì)得出AD＝CE＝8，CD＝BE＝6，即可得出DE＝CD＋CE＝14；（2）①當(dāng)點N在線段CA上時，根據(jù)CN＝CN?BC即可得出答案；②點M與點N重合時，CM＝CN，即3t＝8t?10，解得t＝2即可；③分兩種情況：當(dāng)點N在線段BC上時，△PCM≌△QNC，則CM＝CN，得3t＝10?8t，解得t＝1011；當(dāng)點N在線段CA上時，△PCM≌△QCN，則3t＝8t?10，解得t＝2；即可得出答案．【詳解】（1）①證明：∵AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠DAC＋∠DCA＝∠DCA＋∠BCE＝90°，∴∠DAC＝∠ECB，在△ADC和△CEB中，∴△ADC≌△CEB（AAS）；②由①得：△ADC≌△CEB，∴AD＝CE＝8，CD＝BE＝6，∴DE＝CD＋CE＝6＋8＝14；（2）解：①當(dāng)點N在線段CA上時，如圖3所示：CN＝CN?BC＝8t?10；②點M與點N重合時，CM＝CN，即3t＝8t?10，解得：t＝2，∴當(dāng)t為2秒時，點M與點N重合；③分兩種情況：當(dāng)點N在線段BC上時，△PCM≌△QNC，∴CM＝CN，∴3t＝10?8t，解得：t＝；當(dāng)點N在線段CA上時，△PCM≌△QCN，點M與N重合，CM＝CN，則3t＝8t?10，解得：t＝2；綜上所述，當(dāng)△PCM與△QCN全等時，則t等于s或2s，故答案為：s或2s．【點睛】本題是三角形綜合題目，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、分類討論等知識；本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（1）全等，理由見解析；（2）t=3.5秒或5秒【解析】【分析】（1）根據(jù)垂直的定義得到∠DAC=∠ECB，利用AAS定理證明△ACD≌△CBE；（2）分點F沿C→B路徑運動和點F沿B→C路徑運動兩種情況，根據(jù)等腰三角形的定義列出算式，計算即可；【詳解】解：（1）△ACD與△CBE全等．理由如下：∵AD⊥直線l，∴∠DAC+∠ACD=90°，∵∠ACB=90°，∴∠BCE+∠ACD=90°，∴∠DAC=∠ECB，在△ACD和△CBE中，，∴△ACD≌△CBE（AAS）；（2）由題意得，AM=t，F(xiàn)N=3t，則CM=8-t，由折疊的性質(zhì)可知，CF=CB=6，∴CN=6-3t，點N在BC上時，△CMN為等腰直角三角形，當(dāng)點N沿C→B路徑運動時，由題意得，8-t=3t-6，解得，t=3.5，當(dāng)點N沿B→C路徑運動時，由題意得，8-t=18-3t，解得，t=5，綜上所述，當(dāng)t=3.5秒或5秒時，△CMN為等腰直角三角形；【點睛】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理，靈活運用分情況討論思想是解題的關(guān)鍵．3．（1）60°；（2）EF=AF+FC，證明見解析；（3）AF=EF+2DF，證明見解析．【解析】【分析】（1）可設(shè)∠BAD＝∠CAD＝α，∠AEC＝∠ACE＝β，在△ACE中，根據(jù)三角形內(nèi)角和可得2α＋60＋2β＝180°，從而有α＋β＝60°，即可得出∠DFC的度數(shù)；（2）在EC上截取EG＝CF，連接AG，證明△AEG≌△ACF，然后再證明△AFG為等邊三角形，從而可得出EF＝EG＋GF＝AF＋FC；（3）在AF上截取AG＝EF，連接BG，BF，證明方法類似（2），先證明△ABG≌△EBF，再證明△BFG為等邊三角形，最后可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）∵AB=AC，AD為BC邊上的中線，∴可設(shè)∠BAD＝∠CAD＝α，又△ABE為等邊三角形，∴AE=AB=AC，∠EAB=60°，∴可設(shè)∠AEC＝∠ACE＝β，在△ACE中，2α＋60°＋2β＝180°，∴α＋β＝60°，∴∠DFC=α＋β＝60°；（2）EF=AF+FC，證明如下：∵AB=AC，AD為BC邊上的中線，∴AD⊥BC，∴∠FDC=90°，∵∠CFD＝60°，則∠DCF=30°，∴CF＝2DF，在EC上截取EG＝CF，連接AG，又AE=AC，∴∠AEG=∠ACF，∴△AEG≌△ACF（SAS）,∴∠EAG＝∠CAF，AG＝AF，又∠CAF=∠BAD，∴∠EAG=∠BAD，∴∠GAF＝∠BAD+∠BAG=∠EAG+∠BAG=∠60°，∴△AFG為等邊三角形，∴EF＝EG＋GF＝AF＋FC，即EF=AF+FC；（3）補全圖形如圖所示，結(jié)論：AF=EF+2DF．證明如下：同（1）可設(shè)∠BAD＝∠CAD＝α，∠ACE＝∠AEC＝β，∴∠CAE＝180°－2β，∴∠BAE＝2α＋180°－2β＝60°，∴β－α＝60°，∴∠AFC=β－α＝60°，又△ABE為等邊三角形，∴∠ABE=∠AFC=60°，∴由8字圖可得：∠BAD＝∠BEF，在AF上截取AG＝EF，連接BG，BF，又AB=BE，∴△ABG≌△EBF（SAS），∴BG＝BF，又AF垂直平分BC，∴BF=CF，∴∠BFA=∠AFC=60°，∴△BFG為等邊三角形，∴BG=BF，又BC⊥FG，∴FG=BF=2DF，∴AF＝AG＋GF＝BF＋EF＝2DF＋EF．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識，解決問題的關(guān)鍵是常用輔助線構(gòu)造全等三角形，屬于中考?？碱}型．4．（1）=；（2）證明見解析；（3）60°，BD=CE；（4）90°，AM+BD=CM；（5）7【解析】【分析】（1）由DE∥BC，得到，結(jié)合AB=AC，得到DB=EC；（2）由旋轉(zhuǎn)得到的結(jié)論判斷出△DAB≌△EAC，得到DB=CE；（3）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定定理證明△DAB≌△EAC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求出結(jié)論；（4）根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（5）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的過程中△ADE的面積始終保持不變，而在旋轉(zhuǎn)的過程中，△ADC的AC始終保持不變，即可．【詳解】[初步感知]（1）∵DE∥BC，∴，∵AB=AC，∴DB=EC，故答案為：=，（2）成立．理由：由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知∠DAB=∠EAC，在△DAB和△EAC中，∴△DAB≌△EAC（SAS），∴DB=CE；[深入探究]（3）如圖③，設(shè)AB，CD交于O，∵△ABC和△ADE都是等邊三角形，∴AD=AE，AB=AC，∠DAE=∠BAC=60°，∴∠DAB=∠EAC，在△DAB和△EAC中，∴△DAB≌△EAC（SAS），∴DB=CE，∠ABD=∠ACE，∵∠BOD=∠AOC，∴∠BDC=∠BAC=60°；（4）∵△DAE是等腰直角三角形，∴∠AED=45°，∴∠AEC=135°，在△DAB和△EAC中，∴△DAB≌△EAC（SAS），∴∠ADB=∠AEC=135°，BD=CE，∵∠ADE=45°，∴∠BDC=∠ADB-∠ADE=90°，∵△ADE都是等腰直角三角形，AM為△ADE中DE邊上的高，∴AM=EM=MD，∴AM+BD=CM；故答案為：90°，AM+BD=CM；【拓展提升】（5）如圖，由旋轉(zhuǎn)可知，在旋轉(zhuǎn)的過程中△ADE的面積始終保持不變，△ADE與△ADC面積的和達(dá)到最大，∴△ADC面積最大，∵在旋轉(zhuǎn)的過程中，AC始終保持不變，∴要△ADC面積最大，∴點D到AC的距離最大，∴DA⊥AC，∴△ADE與△ADC面積的和達(dá)到的最大為2+×AC×AD=5+2=7，故答案為7．【點睛】此題是幾何變換綜合題，主要考查了旋轉(zhuǎn)和全等三角形的性質(zhì)和判定，旋轉(zhuǎn)過程中面積變化分析，解本題的關(guān)鍵是三角形全等的判定．5．（1）HL；（2）見解析；（3）如圖②，見解析；△DEF就是所求作的三角形，△DEF和△ABC不全等．【解析】【分析】（1）根據(jù)直角三角形全等的方法“HL”證明；（2）過點C作CG⊥AB交AB的延長線于G，過點F作FH⊥DE交DE的延長線于H，根據(jù)等角的補角相等求出∠CBG=∠FEH，再利用“角角邊”證明△CBG和△FEH全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得CG=FH，再利用“HL”證明Rt△ACG和Rt△DFH全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠A=∠D，然后利用“角角邊”證明△ABC和△DEF全等；（3）以點C為圓心，以AC長為半徑畫弧，與AB相交于點D，E與B重合，F(xiàn)與C重合，得到△DEF與△ABC不全等；（4）根據(jù)三種情況結(jié)論，∠B不小于∠A即可．【詳解】（1）在直角三角形中一條斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等運用的是HL．（2）證明：如圖①，分別過點C、F作對邊AB、DE上的高CG、FH，其中G、H為垂足．∵∠ABC、∠DEF都是鈍角∴G、H分別在AB、DE的延長線上．∵CG⊥AG，F(xiàn)H⊥DH，∴∠CGA＝∠FHD＝90°．∵∠CBG＝180°－∠ABC，∠FEH＝∠180°－∠DEF，∠ABC＝∠DEF，∴∠CBG＝∠FEH．在△BCG和△EFH中，∵∠CGB＝∠FHE，∠CBG＝∠FEH，BC＝EF，∴△BCG≌△EFH．∴CG＝FH．又∵AC＝DF．∴Rt△ACG≌△DFH．∴∠A＝∠D．在△ABC和△DEF中，∵∠ABC＝∠DEF，∠A＝∠D，AC＝DF，∴△ABC≌△DEF．（3）如圖②，△DEF就是所求作的三角形，△DEF和△ABC不全等．【點睛】本題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，應(yīng)用與設(shè)計作圖，熟練掌握三角形全等的判定方法是解題的關(guān)鍵，閱讀量較大，審題要認(rèn)真仔細(xì)．6．（1）內(nèi)錯角相等，兩直線平行；（2）∠1+2∠2=180°；（3）4或10【解析】【分析】（1）根據(jù)平行線的判定定理，即可得到答案；（2）由折疊的性質(zhì)得：∠3=∠4，若a∥b，則∠3=∠2，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理，即可得到答案；（3）分兩種情況：①當(dāng)B1在B的左側(cè)時，如圖2，當(dāng)B1在B的右側(cè)時，如圖3，分別求出的長，即可得到答案．【詳解】（1）∵，∴a∥b（內(nèi)錯角相等，兩直線平行），故答案是：內(nèi)錯角相等，兩直線平行；（2）如圖1，由折疊的性質(zhì)得：∠3=∠4，若a∥b，則∠3=∠2，∴∠4=∠2，∵∠2+∠4+∠1=180°，∴∠1+2∠2=180°，∴要使a∥b，則與應(yīng)該滿足的關(guān)系是：∠1+2∠2=180°．故答案是：∠1+2∠2=180°；（3）①當(dāng)B1在B的左側(cè)時，如圖2，∵AB//，a∥b，∴AA1=BB1=3，∴=AC-AA1=7-3=4；②當(dāng)B1在B的右側(cè)時，如圖3，∵AB//，a∥b，∴AA1=BB1=3，∴=AC+AA1=7+3=10．綜上所述：=4或10．【點睛】本題主要考查平行線的判定和性質(zhì)定理，折疊的性質(zhì)以及三角形的內(nèi)角和定理，掌握“平行線間的平行線段長度相等”是解題的關(guān)鍵．7．（1）30°；（2）證明見解析；（3）是定值，.【解析】【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可以直接得出結(jié)論；（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)就可以得出，，，，由等式的性質(zhì)就可以，根據(jù)就可以得出；（3）分情況討論：當(dāng)點在線段上時，如圖1，由（2）可知，就可以求出結(jié)論；當(dāng)點在線段的延長線上時，如圖2，可以得出而有而得出結(jié)論；當(dāng)點在線段的延長線上時，如圖3，通過得出同樣可以得出結(jié)論．【詳解】（1）是等邊三角形，．線段為邊上的中線，，．（2）與都是等邊三角形，，，，，．在和中，；（3）是定值，，理由如下：①當(dāng)點在線段上時，如圖1，由（2）可知，則，又，，是等邊三角形，線段為邊上的中線平分，即．②當(dāng)點在線段的延長線上時，如圖2，與都是等邊三角形，，，，，，在和中，，，同理可得：，．③當(dāng)點在線段的延長線上時，與都是等邊三角形，，，，，，在和中，，，同理可得：，∵，．綜上，當(dāng)動點在直線上時，是定值，．【點睛】此題考查等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，等邊三角形三線合一的性質(zhì)，解題中注意分類討論的思想解題.8．（1）①詳見解析；②60°；③；（2）①90°；②【解析】【分析】（1）易證∠ACD＝∠BCE，即可求證△ACD≌△BCE，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可求得AD＝BE，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等即可求得∠AEB的大?。唬?）易證△ACD≌△BCE，可得∠ADC＝∠BEC，進(jìn)而可以求得∠AEB＝90°，即可求得DM＝ME＝CM，即可解題．【詳解】解：（1）①證明：∵和均為等邊三角形，∴，，又∵，∴，∴．②∵為等邊三角形，∴．∵點、、在同一直線上，∴，又∵，∴，∴．③，∴．故填：；（2）①∵和均為等腰直角三角形，∴，，又∵，∴，∴，在和中，，∴，∴．∵點、、在同一直線上，∴，∴．②∵，∴．∵，，∴．又∵，∴，∴．故填：①90°；②．【點睛】本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等的性質(zhì)，本題中求證△ACD≌△BCE是解題的關(guān)鍵．9．（1）見解析；（2）見解析；（3）或【解析】【分析】（1）證明△AFD≌△EAC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到DF=AC，等量代換證明結(jié)論；（2）作FD⊥AC于D，證明△FDG≌△BCG，得到DG=CG，求出CE，CB的長，得到答案；（3）過F作FD⊥AG的延長線交于點D，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CG=GD，AD=CE=7，代入計算即可．【詳解】解：（1）證明：∵FD⊥AC，∴∠FDA=90°，∴∠DFA+∠DAF=90°，同理，∠CAE+∠DAF=90°，∴∠DFA=∠CAE，在△AFD和△EAC中，，∴△AFD≌△EAC（AAS），∴DF=AC，∵AC=BC，∴FD=BC；（2）作FD⊥AC于D，由（1）得，F(xiàn)D=AC=BC，AD=CE，在△FDG和△BCG中，，∴△FDG≌△BCG（AAS），∴DG=CG=1，∴AD=2，∴CE=2，∵BC=AC=AG+CG=4，∴E點為BC中點；（3）當(dāng)點E在CB的延長線上時，過F作FD⊥AG的延長線交于點D，BC=AC=4，CE=CB+BE=7，由（1）（2）知：△ADF≌△ECA，△GDF≌△GCB，∴CG=GD，AD=CE=7，∴CG=DG=1.5，∴，同理，當(dāng)點E在線段BC上時，，故答案為：或.【點睛】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．10．（1）①100；②x=y+s+t；（2）見詳解．【解析】【分析】（1）①利用三角形的內(nèi)角和定理即可解決問題；②結(jié)論：x=y+s+t．利用三角形內(nèi)角和定理即可證明；（2）分6種情形分別求解即可解決問題．【詳解】解：（1）①∵∠BAC=70°，∴∠ABC+∠ACB=110°，∵∠PBA=10°，∠PCA=20°，∴∠PBC+∠PCB=80°，∴∠BPC=100°，∴x=100，故答案為：100．②結(jié)論：x=y+s+t．理由：∵∠A+∠ABC+∠ACB=∠A+∠PBA+∠PCA+∠PBC+∠PCB=180°，∠PBC+∠PCB+∠BPC=180°，∴∠A+∠PBA+∠PCA=∠BPC，∴x=y+s+t．（2）s、t、x、y之間所有可能的數(shù)量關(guān)系：如圖1：s+x=t+y；如圖2：s+y=t+x；如圖3：y=x+s+t；如圖4：x+y+s+t=360°；如圖5：t=s+x+y；如圖6：s=t+x+y；【點睛】本題考查三角形的內(nèi)角和定理，三角形的外角的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用分類討論的思想思考問題．11．（1）①；②42≤a＜54；（2）m=2n【解析】【分析】（1）①構(gòu)建方程組即可解決問題；②根據(jù)不等式即可解決問題；（2）利用恒等式的性質(zhì)，根據(jù)關(guān)系式即可解決問題．【詳解】解：（1）①由題意得，解得，②由題意得，解不等式①得p＞-1．解不等式②得p≤，∴-1＜p≤，∵恰好有3個整數(shù)解，∴2≤＜3．∴42≤a＜54；（2）由題意：（mx+ny）（x+2y）=（my+nx）（y+2x），∴mx2+（2m+n）xy+2ny2=2nx2+（2m+n）xy+my2，∵對任意有理數(shù)x，y都成立，∴m=2n．【點睛】本題考查一元一次不等式、二元一次方程組、恒等式等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考常考題型．12．（1）證明見解析；（2）DE＝BD＋CE；（3）B(1，4)【解析】【分析】（1）證明△ABD≌△CAE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AE=BD，AD=CE，結(jié)合圖形解答即可；（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理、平角的定義證明∠ABD=∠CAE，證明△ABD≌△CAE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AE=BD，AD=CE，結(jié)合圖形解答即可；（3）根據(jù)△AEC≌△CFB，得到CF=AE=3，BF=CE=OE-OC=4，根據(jù)坐標(biāo)與圖形性質(zhì)解答．【詳解】（1）證明：∵BD⊥直線m，CE⊥直線m，∴∠ADB＝∠CEA＝90°∵∠BAC＝90°∴∠BAD＋∠CAE＝90°∵∠BAD＋∠ABD＝90°∴∠CAE＝∠ABD∵在△ADB和△CEA中∴△ADB≌△CEA（AAS）∴AE＝BD，AD＝CE∴DE＝AE＋AD＝BD＋CE即：DE＝BD＋CE（2）解：數(shù)量關(guān)系：DE＝BD＋CE理由如下：在△ABD中，∠ABD=180°-∠ADB-∠BAD，∵∠CAE=180°-∠BAC-∠BAD，∠BDA=∠AEC，∴∠ABD=∠CAE，在△ABD和△CAE中，∴△ABD≌△CAE（AAS）∴AE=BD，AD=CE，∴DE=AD+AE=BD+CE；（3）解：如圖，作AE⊥x軸于E，BF⊥x軸于F，由（1）可知，△AEC≌△CFB，∴CF=AE=3，BF=CE=OE-OC=4，∴OF=CF-OC=1，∴點B的坐標(biāo)為B（1，4）．【點睛】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．13．（1）；（2）；（3）見解析．【解析】【分析】（1）根據(jù)簡單的分式可得，相鄰兩個數(shù)的積的倒數(shù)等于它們的倒數(shù)之差，即可得到和（2）根據(jù)（1）規(guī)律將乘法寫成減法的形式，可以觀察出前一項的減數(shù)等于后一項的被減數(shù)，因此可得它們的和.（3）首先利用（2）的和的結(jié)果將左邊化簡，再利用分式方程的解法求解即可.【詳解】解：（1），；故答案為（2）原式＝;（3）已知等式整理得：所以，原方程即：，方程的兩邊同乘x（x+5），得：x+5﹣x＝2x﹣1，解得：x＝3，檢驗：把x＝3代入x（x+5）＝24≠0，∴原方程的解為：x＝3．【點睛】本題主要考查學(xué)生的歸納總結(jié)能力，關(guān)鍵在于根據(jù)簡單的數(shù)的運算尋找規(guī)律,是考試的熱點.14．（1）1，2，3；（2）答案見解析；（3）答案見解析；（4）答案見解析．【解析】【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可；（2）中圖1-2和圖1-3都可以看作由圖1-1修改得到的，在圖1-4和圖1-5中，分別仿照類似的修改方式進(jìn)行畫圖即可；（3）長方形具有兩條對稱軸，在長方形的右側(cè)補出與左側(cè)一樣的圖形，即可構(gòu)造出一個恰好有2條對稱軸的凸六邊形；（4）在等邊三角形的基礎(chǔ)上加以修改，即可得到恰好有3條對稱軸的凸六邊形．【詳解】解：（1）非等邊的等腰三角形有1條對稱軸，非正方形的長方形有2條對稱軸，等邊三角形有3條對稱軸，故答案為1，2，3；（2）恰好有1條對稱軸的凸五邊形如圖中所示．（3）恰好有2條對稱軸的凸六邊形如圖所示．（4）恰好有3條對稱軸的凸六邊形如圖所示．15．（1）①25°；②；（2）．【解析】【分析】（1）①利用外角和性質(zhì)∠ACD＝∠ABC＋∠A，∠OCD＝∠BOC＋∠OBC，再利用角平分線的定義進(jìn)行等量代換即可；②與①同理可得；（2）根據(jù)題意分情況進(jìn)行討論，用到（1）的結(jié)論計算即可【詳解】（1）①∠ACD＝∠ABC＋∠A，∠OCD＝∠BOC＋∠OBC，∵OB、OC分別平分∠ABC、∠ACD，∴∠ACD＝2∠OCD，∠ABC＝2∠OBC，∴2∠OCD＝2∠OBC＋∠A，∴∠A＝2∠BOC，∵∠A＝50°，∴∠BOC＝∠A＝25°，故填：25°；②，且平分平分（2）的角平分線與的角平分線所在的直線相交于，符合題意的情況有兩種：①根據(jù)（1）可知：②根據(jù)（1）可知：【點睛】本題考查三角形外角和的性質(zhì)、角平分線的定義，利用分類討論的數(shù)學(xué)思想是關(guān)鍵．16．（1）時，點位于線段的垂直平分線上；（2）；（3）不存在，理由見解析．【解析】【分析】（1）根據(jù)題意求出BP，CQ，結(jié)合圖形用含t的代數(shù)式表示CP的長度，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到CP＝CQ，列式計算即可；（2）根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等列式計算；（3）根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等列式計算，判斷即可．【詳解】解：（1）由題意得，則，當(dāng)點位于線段的垂直平分線上時，，∴，解得，，則當(dāng)時，點位于線段的垂直平分線上；（2）∵為的中點，，∴，∵，∴，∴，解得，，則當(dāng)時，；（3）不存在，∵，∴，則解得，，，∴不存在某一時刻，使．【點睛】本題考查的是幾何動點運動問題、全等三角形的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的對應(yīng)邊相等是解題的關(guān)鍵．17．（1）2；（2）4【解析】【分析】（1）根據(jù)題意可直接求等腰直角三角形EAC的面積即可；（2）延長MN到K，使NK=GH，連接FK、FH、FM，由（1）易證，則有FK=FH，因為HM=GH+MN易證，故可求解．【詳解】（1）由題意知，故答案為2；（2）延長MN到K，使NK=GH，連接FK、FH、FM，如圖所示：FG=FN=HM=GH+MN=2cm，∠G=∠N=90°，∠FNK=∠FGH=90°，，F(xiàn)H=FK，又FM=FM，HM=KM=MN+GH=MN+NK，，MK=FN=2cm，．【點睛】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)與判定，關(guān)鍵是根據(jù)截長補短法及割補法求面積的運用．18．（1）135°；（2）①45°；②不變；45°；（3）45°或36°【解析】【分析】靈活運用三角形的一個外角等于與其不相鄰的兩個內(nèi)角和；（1）求出，，根據(jù)，即可解決問題；（2）①求出，，根據(jù)，即可求出的值；②根據(jù)即可得出結(jié)論；（3）首先證明，，再分四種情況討論①