三角函數(shù)常見題型訓練題冊前言三角函數(shù)是高中數(shù)學的核心內(nèi)容之一，也是高考的重點考查模塊（占比約10%-15%）。其題型覆蓋定義應用、圖像變換、恒等變換、解三角形四大類，注重邏輯推理與運算能力的結(jié)合。本訓練題冊以“題型歸類+策略指導+實戰(zhàn)練習”為框架，聚焦高考高頻考點，旨在幫助學生系統(tǒng)掌握解題方法，提升解題效率。使用建議：1.先通讀“題型分析”與“解題策略”，明確考點與方法；2.獨立完成“典型例題”，再對照解析反思思路；3.通過“鞏固練習”強化技能，重點攻克薄弱環(huán)節(jié)；4.定期復習，總結(jié)錯題規(guī)律，避免重復錯誤。第二章三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)（注：因篇幅限制，以第二章為例展示完整結(jié)構(gòu)，全冊共四章）第一節(jié)圖像的平移與伸縮變換題型分析本題型主要考查三角函數(shù)圖像的平移變換（左加右減、上加下減）與伸縮變換（橫坐標伸縮改變周期、縱坐標伸縮改變振幅），是高考選擇題、填空題的高頻考點（難度：易-中檔）。常見考法包括：給定原函數(shù)與變換規(guī)則，求目標函數(shù)解析式；給定目標函數(shù)與變換過程，求原函數(shù)解析式；判斷變換后的圖像特征（如對稱軸、最值）。解題策略1.平移變換：向左平移\(h\)個單位：\(f(x)\tof(x+h)\)；向右平移\(h\)個單位：\(f(x)\tof(x-h)\)（\(h>0\)）；向上平移\(k\)個單位：\(f(x)\tof(x)+k\)；向下平移\(k\)個單位：\(f(x)\tof(x)-k\)（\(k>0\)）。*注意*：平移僅改變圖像的位置，不改變形狀與大小。2.伸縮變換：橫坐標伸縮為原來的\(\frac{1}{\omega}\)倍（\(\omega>0\)）：\(f(x)\tof(\omegax)\)（周期變?yōu)樵瓉淼腬(\frac{1}{\omega}\)）；縱坐標伸縮為原來的\(A\)倍（\(A>0\)）：\(f(x)\toAf(x)\)（振幅變?yōu)閈(A\)）。*注意*：伸縮變換改變圖像的形狀，不改變位置。3.復合變換順序：若同時進行平移與伸縮，先伸縮后平移與先平移后伸縮的結(jié)果不同，需嚴格遵循“變量替換”原則。例如：先將\(y=\sinx\)橫坐標伸縮為原來的\(\frac{1}{2}\)，得\(y=\sin2x\)，再向左平移\(\frac{\pi}{6}\)，得\(y=\sin2(x+\frac{\pi}{6})=\sin(2x+\frac{\pi}{3})\)；若先向左平移\(\frac{\pi}{6}\)，得\(y=\sin(x+\frac{\pi}{6})\)，再橫坐標伸縮為原來的\(\frac{1}{2}\)，得\(y=\sin(2x+\frac{\pi}{6})\)（與前者不同）。典型例題例1（2022·全國卷Ⅰ）將函數(shù)\(f(x)=\cosx\)的圖像向右平移\(\frac{\pi}{3}\)個單位，再將所得圖像的橫坐標縮短為原來的\(\frac{1}{2}\)（縱坐標不變），得到函數(shù)\(g(x)\)的圖像。求\(g(x)\)的解析式。解答：1.向右平移\(\frac{\pi}{3}\)個單位：\(\cos(x-\frac{\pi}{3})\)（依據(jù)“右減”原則）；2.橫坐標縮短為原來的\(\frac{1}{2}\)：\(\cos(2(x-\frac{\pi}{3}))=\cos(2x-\frac{2\pi}{3})\)（依據(jù)“橫坐標伸縮為\(\frac{1}{\omega}\)倍，變量乘以\(\omega\)”）。故\(g(x)=\cos(2x-\frac{2\pi}{3})\)。反思：復合變換時，需注意“平移”是對“變量\(x\)”進行調(diào)整，而非“整個表達式”。例如，若先伸縮后平移，平移量需除以伸縮系數(shù)（如本題中，若先縮短橫坐標為\(\frac{1}{2}\)得\(\cos2x\)，再向右平移\(\frac{\pi}{3}\)，則為\(\cos2(x-\frac{\pi}{3})=\cos(2x-\frac{2\pi}{3})\)，結(jié)果一致）。鞏固練習1.（基礎(chǔ)題）將函數(shù)\(y=\sin2x\)的圖像向左平移\(\frac{\pi}{4}\)個單位，得到的函數(shù)解析式為（）A.\(y=\sin(2x+\frac{\pi}{4})\)B.\(y=\sin(2x+\frac{\pi}{2})\)C.\(y=\sin(2x-\frac{\pi}{4})\)D.\(y=\sin(2x-\frac{\pi}{2})\)2.（中檔題）函數(shù)\(y=A\sin(\omegax+\phi)\)（\(A>0,\omega>0\)）的圖像由\(y=\sinx\)的圖像經(jīng)過以下變換得到：先向左平移\(\frac{\pi}{6}\)個單位，再將橫坐標伸長為原來的2倍，最后縱坐標伸長為原來的3倍。求\(A,\omega,\phi\)的值。3.（高考題改編）將函數(shù)\(y=\cos(2x+\frac{\pi}{3})\)的圖像向右平移\(m\)個單位（\(m>0\)），使得平移后的圖像關(guān)于原點對稱，則\(m\)的最小值為（）A.\(\frac{\pi}{12}\)B.\(\frac{\pi}{6}\)C.\(\frac{\pi}{3}\)D.\(\frac{5\pi}{12}\)答案：1.B（解析：向左平移\(\frac{\pi}{4}\)得\(\sin2(x+\frac{\pi}{4})=\sin(2x+\frac{\pi}{2})\)）；2.\(A=3,\omega=\frac{1}{2},\phi=\frac{\pi}{6}\)（解析：左移\(\frac{\pi}{6}\)得\(\sin(x+\frac{\pi}{6})\)，橫坐標伸長2倍得\(\sin(\frac{1}{2}x+\frac{\pi}{6})\)，縱坐標伸長3倍得\(3\sin(\frac{1}{2}x+\frac{\pi}{6})\)）；3.A（解析：平移后函數(shù)為\(\cos(2(x-m)+\frac{\pi}{3})=\cos(2x-2m+\frac{\pi}{3})\)，關(guān)于原點對稱即奇函數(shù)，故\(-2m+\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{2}+k\pi\)，\(k\in\mathbb{Z}\)，解得\(m=-\frac{\pi}{12}-\frac{k\pi}{2}\)，\(m>0\)時最小值為\(\frac{\pi}{12}\)）。第二節(jié)單調(diào)性與最值問題題型分析本題型考查三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（遞增/遞減區(qū)間）與最值（最大值/最小值），是高考解答題的高頻考點（難度：中檔-難題）。常見考法包括：求給定三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；求三角函數(shù)在指定區(qū)間內(nèi)的最值；由單調(diào)性或最值求參數(shù)取值范圍。解題策略1.單調(diào)區(qū)間求解：對于\(y=A\sin(\omegax+\phi)\)（\(A>0,\omega>0\)）：遞增區(qū)間：解不等式\(-\frac{\pi}{2}+2k\pi\leq\omegax+\phi\leq\frac{\pi}{2}+2k\pi\)（\(k\in\mathbb{Z}\)）；遞減區(qū)間：解不等式\(\frac{\pi}{2}+2k\pi\leq\omegax+\phi\leq\frac{3\pi}{2}+2k\pi\)（\(k\in\mathbb{Z}\)）。*注意*：若\(\omega<0\)，需先將\(\omega\)化為正數(shù)（利用誘導公式），再求解。2.最值求解：形如\(y=A\sin(\omegax+\phi)+B\)：最大值為\(|A|+B\)，最小值為\(-|A|+B\)；形如\(y=a\sin^2x+b\sinx+c\)：令\(t=\sinx\)（\(t\in[-1,1]\)），轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)\(y=at^2+bt+c\)在區(qū)間\([-1,1]\)上的最值；形如\(y=a\sinx+b\cosx\)：用輔助角公式化為\(y=\sqrt{a^2+b^2}\sin(x+\phi)\)，再求最值。典型例題例2求函數(shù)\(f(x)=2\sin(2x-\frac{\pi}{3})\)在區(qū)間\([0,\frac{\pi}{2}]\)上的單調(diào)遞增區(qū)間與最大值。解答：1.求單調(diào)遞增區(qū)間：令\(-\frac{\pi}{2}+2k\pi\leq2x-\frac{\pi}{3}\leq\frac{\pi}{2}+2k\pi\)（\(k\in\mathbb{Z}\)），解得：\(-\frac{\pi}{12}+k\pi\leqx\leq\frac{5\pi}{12}+k\pi\)（\(k\in\mathbb{Z}\)）。結(jié)合區(qū)間\([0,\frac{\pi}{2}]\)，得單調(diào)遞增區(qū)間為\([0,\frac{5\pi}{12}]\)。2.求最大值：當\(2x-\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{2}+2k\pi\)時，\(\sin(2x-\frac{\pi}{3})=1\)，此時\(x=\frac{5\pi}{12}+k\pi\)，在\([0,\frac{\pi}{2}]\)內(nèi)，\(x=\frac{5\pi}{12}\)，故最大值為\(2\times1=2\)。反思：求三角函數(shù)在指定區(qū)間內(nèi)的單調(diào)區(qū)間時，需將通解與指定區(qū)間取交集；求最值時，需先找到函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)的極值點，再比較極值與端點值的大?。ū绢}中端點\(x=0\)時，\(f(0)=2\sin(-\frac{\pi}{3})=-\sqrt{3}\)；\(x=\frac{\pi}{2}\)時，\(f(\frac{\pi}{2})=2\sin(\pi-\frac{\pi}{3})=2\sin\frac{\pi}{3}=\sqrt{3}\)，均小于最大值2）。鞏固練習1.（基礎(chǔ)題）求函數(shù)\(y=\cos(3x+\frac{\pi}{4})\)的單調(diào)遞減區(qū)間。2.（中檔題）求函數(shù)\(y=\sin^2x+\cosx+1\)在區(qū)間\([0,\pi]\)上的最大值與最小值。3.（高考題）已知函數(shù)\(f(x)=\sin(2x+\frac{\pi}{6})+\cos2x\)，求\(f(x)\)在區(qū)間\([0,\frac{\pi}{2}]\)上的最大值。答案：1.單調(diào)遞減區(qū)間為\([\frac{\pi}{12}+\frac{2k\pi}{3},\frac{5\pi}{12}+\frac{2k\pi}{3}]\)（\(k\in\mathbb{Z}\)）（解析：令\(2k\pi\leq3x+\frac{\pi}{4}\leq\pi+2k\pi\)，解得\(-\frac{\pi}{12}+\frac{2k\pi}{3}\leqx\leq\frac{\pi}{4}+\frac{2k\pi}{3}\)，即\([\frac{\pi}{12}+\frac{2k\pi}{3},\frac{5\pi}{12}+\frac{2k\pi}{3}]\)）；2.最大值為\(\frac{5}{4}\)，最小值為0（解析：令\(t=\cosx\)，\(t\in[-1,1]\)，則\(y=-t^2+t+2=-(t-\frac{1}{2})^2+\frac{9}{4}\)？不，等一下，\(\sin^2x=1-\cos^2x\)，所以\(y=1-\cos^2x+\cosx+1=-\cos^2x+\cosx+2\)，即\(y=-t^2+t+2\)，\(t\in[-1,1]\)。對稱軸為\(t=\frac{1}{2}\)，此時最大值為\(-(\frac{1}{2})^2+\frac{1}{2}+2=\frac{9}{4}\)？不對，等一下，計算錯誤：\(-(\frac{1}{2})^2=-\frac{1}{4}\)，加上\(\frac{1}{2}\)是\(\frac{1}{4}\)，加上2是\(\frac{9}{4}\)，即2.25。最小值在\(t=-1\)時，\(-(-1)^2+(-1)+2=-1-1+2=0\)，對，沒錯）；3.最大值為\(\sqrt{3}\)（解析：先化簡\(f(x)=\sin2x\cos\frac{\pi}{6}+\cos2x\sin\frac{\pi}{6}+\cos2x=\frac{\sqrt{3}}{2}\sin2x+\frac{1}{2}\cos2x+\cos2x=\frac{\sqrt{3}}{2}\sin2x+\frac{3}{2}\cos2x=\sqrt{3}(\frac{1}{2}\sin2x+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos2x)=\sqrt{3}\sin(2x+\frac{\pi}{3})\)。在\([0,\frac{\pi}{2}]\)內(nèi)，\(2x+\frac{\pi}{3}\in[\frac{\pi}{3},\frac{4\pi}{3}]\)，\(\sin\)的最大值為1，故\(f(x)\)最大值為\(\sqrt{3}\times1=\sqrt{3}\)）。第三章三角恒等變換（節(jié)選）第一節(jié)化簡與求值題型分析本題型考查三角恒等變換的公式應用（和差公式、倍角公式、輔助角公式），是高考解答題的核心考點（難度：中檔-難題）。常見考法包括：化簡復雜三角函數(shù)表達式（如\(\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha-\cos\alpha}\)）；給角求值（如求\(\sin15^\circ\)、\(\cos75^\circ\)的值）；給值求值（如已知\(\sin\alpha=\frac{1}{3}\)，求\(\cos2\alpha\)的值）。解題策略1.化簡原則：降冪：用倍角公式（如\(\sin^2x=\frac{1-\cos2x}{2}\)，\(\cos^2x=\frac{1+\cos2x}{2}\)）；統(tǒng)一角：用和差公式或倍角公式將不同角化為同一角（如\(\sin(x+\frac{\pi}{4})+\sin(x-\frac{\pi}{4})\)化為\(2\sinx\cos\frac{\pi}{4}\)）；統(tǒng)一函數(shù)名：用同角三角函數(shù)關(guān)系（如\(\tanx=\frac{\sinx}{\cosx}\)）將正切、余切化為正弦、余弦。2.給值求值技巧：若已知角與目標角有倍數(shù)關(guān)系，用倍角公式（如已知\(\sin\alpha\)，求\(\cos2\alpha\)）；若已知角與目標角之和/差為特殊角，用和差公式（如已知\(\sin\alpha=\frac{1}{3}\)，\(\alpha\in(\frac{\pi}{2},\pi)\)，求\(\sin(\alpha+\frac{\pi}{6})\)）；若已知\(\sin\alpha+\cos\alpha\)或\(\sin\alpha-\cos\alpha\)，可平方求\(\sin2\alpha\)（如已知\(\sin\alpha+\cos\alpha=\frac{1}{2}\)，求\(\sin2\alpha=(\sin\alpha+\cos\alpha)^2-1=-\frac{3}{4}\)）。典型例題例3化簡：\(\frac{\sin(\pi-\alpha)\cos(2\pi-\alpha)\tan(-\alpha+\pi)}{-\tan(-\alpha-\pi)\sin(-\pi-\alpha)}\)。解答：利用誘導公式化簡每一項：\(\sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha\)（奇變偶不變，符號看象限：\(\pi\)是奇數(shù)倍，變正弦為正弦，\(\pi-\alpha\)在第二象限，正弦為正）；\(\cos(2\pi-\alpha)=\cos\alpha\)（\(2\pi\)是偶數(shù)倍，不變，\(2\pi-\alpha\)在第四象限，余弦為正）；\(\tan(-\alpha+\pi)=\tan(-(\alpha-\pi))=-\tan(\alpha-\pi)=-\tan\alpha\)（\(\tan\)周期為\(\pi\)，\(\tan(\alpha-\pi)=\tan\alpha\)）；\(-\tan(-\alpha-\pi)=-\tan(-(\alpha+\pi))=\tan(\alpha+\pi)=\tan\alpha\)（\(\tan\)周期為\(\pi\)）；\(\sin(-\pi-\alpha)=\sin(-(\pi+\alpha))=-\sin(\pi+\alpha)=-(-\sin\alpha)=\sin\alpha\)（\(\pi+\alpha\)在第三象限，正弦為負）。將化簡結(jié)果代入原式：\[\frac{\sin\alpha\cdot\cos\alpha\cdot(-\tan\alpha)}{\tan\alpha\cdot\sin\alpha}=\frac{-\sin\alpha\cos\alpha\cdot\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}}{\tan\alpha\sin\alpha}=\frac{-\sin^2\alpha}{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\cdot\sin\alpha}=\frac{-\sin^2\alpha}{\sin^2\alpha/\cos\alpha}=-\cos\alpha.\]反思：化簡時需注意誘導公式的符號判斷，可采用“奇變偶不變，符號看象限”的口訣：“奇”指\(\frac{\pi}{2}\)的奇數(shù)倍，“偶”指\(\frac{\pi}{2}\)的偶數(shù)倍；“符號看象限”指將\(\alpha\)視為銳角時，原角所在象限的三角函數(shù)符號。鞏固練習1.（基礎(chǔ)題）化簡：\(\sin(\frac{\pi}{2}+\alpha)\cos(\frac{\pi}{2}-\alpha)-\cos(\pi+\alpha)\sin(\pi-\alpha)\)。2.（中檔題）已知\(\tan\alpha=2\)，求\(\frac{\sin2\alpha+\cos^2\alpha}{1+\cos2\alpha}\)的值。3.（高考題）求\(\cos10^\circ\cos20^\circ-\sin10^\circ\sin20^\circ\)的值。答案：1.1（解析：\(\sin(\frac{\pi}{2}+\alpha)=\cos\alpha\)，\(\cos(\frac{\pi}{2}-\alpha)=\sin\alpha\)，\(\cos(\pi+\alpha)=-\cos\alpha\)，\(\sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha\)，代入得\(\cos\alpha\sin\alpha-(-\cos\alpha)\sin\alpha=\cos\alpha\sin\alpha+\cos\alpha\sin\alpha=2\cos\alpha\sin\alpha=\sin2\alpha\)？不對，等一下，原式是\(\sin(\frac{\pi}{2}+\alpha)\cos(\frac{\pi}{2}-\alpha)-\cos(\pi+\alpha)\sin(\pi-\alpha)\)，計算：\(\cos\alpha\cdot\sin\alpha-(-\cos\alpha)\cdot\sin\alpha=\cos\alpha\sin\alpha+\cos\alpha\sin\alpha=2\cos\alpha\sin\alpha=\sin2\alpha\)？但等一下，有沒有算錯？比如取\(\alpha=0\)，代入原式：\(\sin(\frac{\pi}{2})\cos(\frac{\pi}{2})-\cos(\pi)\sin(\pi)=1\times0-(-1)\times0=0\)，而\(\sin2\times0=0\)，對；取\(\alpha=\frac{\pi}{4}\)，原式：\(\sin(\frac{3\pi}{4})\cos(\frac{\pi}{4})-\cos(\frac{5\pi}{4})\sin(\frac{3\pi}{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}\times\frac{\sqrt{2}}{2}-(-\frac{\sqrt{2}}{2})\times\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1\)，而\(\sin2\times\frac{\pi}{4}=\sin\frac{\pi}{2}=1\)，對，所以結(jié)果是\(\sin2\alpha\)？但等一下，題目是不是要化簡到最簡？比如\(\sin2\alpha\)就是最簡了，對。）；2.\(\frac{5}{2}\)（解析：\(\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha\)，\(\cos2\alpha=2\cos^2\alpha-1\)，所以分子為\(2\sin\alpha\cos\alpha+\cos^2\alpha=\cos\alpha(2\sin\alpha+\cos\alpha)\)，分母為\(1+2\cos^2\alpha-1=2\cos^2\alpha\)，約分后為\(\frac{2\sin\alpha+\cos\alpha}{2\cos\alpha}=\frac{2\tan\alpha+1}{2}=\frac{2\times2+1}{2}=\frac{5}{2}\)）；3.\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)（解析：利用余弦和公式，\(\cos(A+B)=\cosA\cosB-\sinA\sinB\)，所以原式\(=\cos(10^\circ+20^\circ)=\cos30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}\)）。第四章解三角形（節(jié)選）第一節(jié)正弦定理與余弦定理的應用題型分析本題型考查正弦定理（\(\frac{a}{\sinA}=\frac{\sinB}=\frac{c}{\sinC}=2R\)）與余弦定理（\(a^2=b^2+c^2-2bc\cosA\)）的應用，是高考解答題的必考點（難度：中檔-難題）。常見考法包括：已知兩邊及一邊對角，求另一邊或角（正弦定理）；已知兩邊及夾角，求第三邊或角（余弦定理）；已知三邊，求角（余弦定理）；判斷三角形形狀（用正弦或余弦定理化邊為角或化角為邊）。解題策略1.正弦定理適用情況：已知兩角及一邊（\(AAS\)或\(ASA\)）；已知兩邊及一邊對角（\(SSA\)，需注意可能有兩解、一解或無解）。2.余弦定理適用情況：已知兩邊及夾角（\(SAS\)）；已知三邊（\(SSS\)）；已知兩邊及一邊對角但需避免兩解（如求邊時用余弦定理更安全）。3.三角形形狀判斷：若\(a^2+b^2=c^2\)，則\(C=90^\circ\)（直角三角形）；若\(a^2+b^2>c^2\)，則\(C<90^\circ\)（銳角三角形）；若\(a^2+b^2<c^2\)，則\(C>90^\circ\)（鈍角三角形）。典型例題例4在\(\triangleABC\)中，已知\(a=2\)，\(b=3\)，\(\angleA=30^\circ\)，求\(\angleB\)（精確到\(1^\circ\)）。解答：根據(jù)正弦定理：\(\frac{a}{\sinA}=\frac{\sinB}\)，代入得：\(\frac{2}{\sin30^\circ}=\frac{3}{\sinB}\)，解得：\(\sinB=\frac{3\sin30^\circ}{2}=\frac{3\times\frac{1}{2}}{2}=\frac{3}{4}=0.75\)，故\(\angleB=\arcsin0.75\approx48^\circ\)或\(\angleB=180^\circ-48^\circ=132^\circ\)。驗證：當\(\angleB=48^\circ\)時，\(\angleC=180^\circ-30^\circ-48^\circ=102^\circ\)，此時\(c=\frac{a\sinC}{\sinA}=\frac{2\sin102^\circ}{\sin30^\circ}\approx3.92\)，滿足三角形三邊關(guān)系；當\(\angleB=132^\circ\)時，\(\angleC=180^\circ-30^\circ-132^\circ=18^\circ\)，此時\(c=\frac{2\sin18^\circ}{\sin30^\circ}\approx1.23\)，也滿足三角形三邊關(guān)系。故\(\angleB\)的解為\(48^\circ\)或\(132^\circ\)。反思：已知兩邊及一邊對角（\(SSA\)）時，需判斷解的個數(shù)：若\(a>b\)，則\(\angleA>\angleB\)，此時只有一解；若\(a=b\)，則\(\angleA=\angleB\)，此時只有一解；若\(a<b\)，則：當\(a<b\sinA\)時，無解；當\(a=b\sinA\)時，有一解（直角三角形）；當\(b\sinA<a<b\)時，有兩解（如本題，\(b\sinA=3\sin30^\circ=1.5\)，\(a=2\)，滿足\(1.5<2<3\)，故有兩解）。鞏固練習1.（基礎(chǔ)題）在\(\triangleABC\)中，已知\(a=5\)，\(b=7\)，\(\angleC=60^\circ\)，求\(c\)的值。2.（中檔題）在\(\triangleABC\)中，已知\(a=3\)，\(b=4\)，\(c=5\)，求\(\angleA\)的余弦值。3.（高考題）在\(\triangleABC\)中，已知\(\sinA=\