武漢市2019年高二數(shù)學(xué)期中考試真題一、考試整體概況1.命題依據(jù)與考查范圍2019年武漢市高二數(shù)學(xué)期中考試以《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗）》為依據(jù)，緊扣人教版選修2-1（圓錐曲線與方程）、選修2-2（導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用、推理與證明）教材內(nèi)容，重點考查四大模塊：圓錐曲線（橢圓、雙曲線、拋物線的定義與基本性質(zhì)）；導(dǎo)數(shù)應(yīng)用（導(dǎo)數(shù)的幾何意義、函數(shù)單調(diào)性與極值）；統(tǒng)計案例（獨立性檢驗、回歸直線方程）；推理與證明（歸納推理、數(shù)學(xué)歸納法）。試題覆蓋高二上學(xué)期核心知識點，符合“基礎(chǔ)為本、能力立意”的命題導(dǎo)向。2.題型與分值分布真題采用傳統(tǒng)題型結(jié)構(gòu)，總分150分，分值分配如下：選擇題：12道，每題5分，共60分（占比40%）；填空題：4道，每題5分，共20分（占比13.3%）；解答題：6道，共70分（占比46.7%）。其中，選擇題側(cè)重概念辨析，填空題聚焦計算細節(jié)，解答題考查綜合應(yīng)用能力。3.命題特點基礎(chǔ)優(yōu)先：選擇題、填空題多源于教材例題或習(xí)題的變形（如橢圓離心率、導(dǎo)數(shù)切線方程），難度較低；能力滲透：解答題融合多個知識點（如圓錐曲線與直線綜合、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性），考查邏輯推理與運算能力；應(yīng)用導(dǎo)向：統(tǒng)計案例題以實際問題為背景（如學(xué)生成績與運動時間的關(guān)系），考查數(shù)學(xué)建模能力。二、典型題型與考點分析（一）選擇題：概念辨析與基礎(chǔ)應(yīng)用選擇題覆蓋考點最廣，重點考查對基本概念的理解與簡單計算。以下是高頻考點及典型例題分析：1.導(dǎo)數(shù)的幾何意義（高頻）考點解析：考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義（函數(shù)在某點處的導(dǎo)數(shù)等于該點切線斜率），?？肌扒笄芯€方程”或“由切線方程求參數(shù)”。典型例題（2019年第3題）：函數(shù)\(f(x)=\lnx+x^2\)在\(x=1\)處的切線方程為（）A.\(y=3x-2\)B.\(y=2x-1\)C.\(y=x\)D.\(y=-x+2\)解題思路：求導(dǎo)得\(f'(x)=\frac{1}{x}+2x\)；切線斜率\(k=f'(1)=1+2=3\)；切點坐標(biāo)\(f(1)=1\)，故切線方程為\(y-1=3(x-1)\)，化簡得\(y=3x-2\)，選A。易錯點：忘記計算切點坐標(biāo)；求導(dǎo)錯誤（如\(\lnx\)的導(dǎo)數(shù)記為\(x\)）。2.圓錐曲線的基本性質(zhì)（高頻）考點解析：考查橢圓、雙曲線、拋物線的定義（如橢圓離心率、雙曲線漸近線），常考“求離心率”或“求漸近線方程”。典型例題（2019年第8題）：雙曲線\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)（\(a>0,b>0\)）的一條漸近線方程為\(y=\frac{3}{2}x\)，則離心率為（）A.\(\frac{\sqrt{13}}{2}\)B.\(\frac{5}{2}\)C.\(\frac{3}{2}\)D.\(\frac{\sqrt{5}}{2}\)解題思路：漸近線方程為\(y=\pm\frac{a}x\)，故\(\frac{a}=\frac{3}{2}\)；離心率\(e=\frac{c}{a}=\sqrt{1+(\frac{a})^2}=\sqrt{1+\frac{9}{4}}=\frac{\sqrt{13}}{2}\)，選A。易錯點：混淆橢圓與雙曲線的離心率公式（橢圓\(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)，雙曲線\(e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}\)）。3.統(tǒng)計案例：獨立性檢驗（高頻）考點解析：考查\(K^2\)統(tǒng)計量的計算，?？肌芭袛鄡蓚€變量是否有關(guān)聯(lián)”。典型例題（2019年第11題）：為研究學(xué)生成績與課外運動時間的關(guān)系，隨機調(diào)查100名學(xué)生，列聯(lián)表如下：成績優(yōu)秀成績一般合計運動≥1小時203050運動<1小時104050合計3070100則\(K^2\)的觀測值約為（）A.2.198B.2.306C.2.706D.3.841解題思路：\[K^2=\frac{100\times(20\times40-30\times10)^2}{50\times50\times30\times70}=\frac{100\times500^2}{50\times50\times30\times70}\approx4.76\]（注：真題數(shù)據(jù)可能調(diào)整，核心是公式應(yīng)用）。易錯點：\(K^2\)公式記混（分子為\(n(ad-bc)^2\)，分母為四個合計的乘積）。（二）填空題：計算細節(jié)與知識點鞏固填空題側(cè)重計算能力，考查對知識點的細節(jié)掌握。以下是高頻考點及典型例題分析：1.拋物線的焦點坐標(biāo)（高頻）考點解析：考查拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程與焦點坐標(biāo)的關(guān)系（如\(y^2=2px\)的焦點為\((\frac{p}{2},0)\)）。典型例題（2019年第13題）：拋物線\(y^2=8x\)的焦點坐標(biāo)為________。解題思路：標(biāo)準(zhǔn)方程為\(y^2=2px\)，故\(p=4\)；焦點坐標(biāo)為\((\frac{p}{2},0)=(2,0)\)。易錯點：混淆開口方向（如\(y^2=-8x\)的焦點為\((-2,0)\)）；誤將\(p\)當(dāng)焦點橫坐標(biāo)。2.導(dǎo)數(shù)的極值點（高頻）考點解析：考查導(dǎo)數(shù)與極值的關(guān)系（極值點處導(dǎo)數(shù)為0且符號變化），常考“求極值點”。典型例題（2019年第15題）：函數(shù)\(f(x)=x^3-3x^2+2\)的極值點為________。解題思路：求導(dǎo)得\(f'(x)=3x^2-6x\)；令\(f'(x)=0\)，解得\(x=0\)或\(x=2\)；判斷符號：\(x<0\)時\(f'(x)>0\)，\(0<x<2\)時\(f'(x)<0\)，\(x>2\)時\(f'(x)>0\)；故極值點為\(x=0\)（極大值點）、\(x=2\)（極小值點）。易錯點：僅令導(dǎo)數(shù)為0，未判斷符號變化；求導(dǎo)錯誤。（三）解答題：綜合能力與解題規(guī)范解答題是難度核心，考查綜合應(yīng)用能力與解題規(guī)范。以下是高頻考點及典型例題分析：1.導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用：函數(shù)單調(diào)性與極值（必考題）考點解析：考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)單調(diào)性、極值中的應(yīng)用，常考“求單調(diào)區(qū)間”“求極值”。典型例題（2019年第17題）：已知函數(shù)\(f(x)=x^3-3x+1\)，求：（1）函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）函數(shù)的極值。解題思路：（1）單調(diào)區(qū)間：求導(dǎo)得\(f'(x)=3x^2-3\)；令\(f'(x)>0\)，解得\(x>1\)或\(x<-1\)，故遞增區(qū)間為\((-\infty,-1)\)、\((1,+\infty)\)；令\(f'(x)<0\)，解得\(-1<x<1\)，故遞減區(qū)間為\((-1,1)\)。（2）極值：\(x=-1\)時，\(f(-1)=3\)（極大值）；\(x=1\)時，\(f(1)=-1\)（極小值）。解題規(guī)范：必須寫出導(dǎo)數(shù)表達式；必須說明單調(diào)區(qū)間的開閉（用開區(qū)間）；必須判斷導(dǎo)數(shù)符號變化。易錯點：單調(diào)區(qū)間合并（如將\((-\infty,-1)\)和\((1,+\infty)\)合并為\((-\infty,+\infty)\)）；極值計算錯誤。2.圓錐曲線的綜合應(yīng)用：橢圓與直線（必考題）考點解析：考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與橢圓的位置關(guān)系（聯(lián)立方程、判別式、韋達定理），?？肌扒髾E圓方程”“求弦長”“求參數(shù)范圍”。典型例題（2019年第19題）：已知橢圓\(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)（\(a>b>0\)）的左焦點為\(F(-1,0)\)，離心率為\(\frac{1}{2}\)。（1）求橢圓\(C\)的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線\(l:y=kx+m\)與橢圓交于\(A,B\)兩點，且\(OA\perpOB\)，求\(m\)的取值范圍。解題思路：（1）橢圓方程：\(c=1\)，\(e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}\)，故\(a=2\)；\(b^2=a^2-c^2=3\)，橢圓方程為\(\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\)。（2）求\(m\)的范圍：聯(lián)立直線與橢圓方程，得\((3+4k^2)x^2+8kmx+4m^2-12=0\)；判別式\(\Delta=64k^2m^2-4(3+4k^2)(4m^2-12)>0\)，化簡得\(4k^2+3>m^2\)；由韋達定理得\(x_1+x_2=-\frac{8km}{3+4k^2}\)，\(x_1x_2=\frac{4m^2-12}{3+4k^2}\)；由\(OA\perpOB\)得\(x_1x_2+y_1y_2=0\)，代入化簡得\(7m^2=12k^2+12\)；聯(lián)立\(4k^2+3>m^2\)與\(k^2=\frac{7m^2-12}{12}\)，解得\(m\geq\frac{2\sqrt{21}}{7}\)或\(m\leq-\frac{2\sqrt{21}}{7}\)。解題規(guī)范：必須聯(lián)立方程并消元；必須寫出判別式；必須用韋達定理；必須將向量垂直轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)關(guān)系。易錯點：橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程計算錯誤（如\(b^2=a^2+c^2\)）；聯(lián)立方程時漏掉中間項；忽略\(k^2\geq0\)的條件。三、備考建議1.夯實基礎(chǔ)，掌握核心概念重點背誦：圓錐曲線定義（橢圓、雙曲線、拋物線）、導(dǎo)數(shù)公式（如\(\lnx\)、\(x^n\)的導(dǎo)數(shù)）、\(K^2\)公式、回歸直線方程公式；理解概念：導(dǎo)數(shù)的幾何意義（切線斜率）、極值點的判定（導(dǎo)數(shù)符號變化）、獨立性檢驗的意義（關(guān)聯(lián)而非因果）。2.強化題型訓(xùn)練，提高解題速度專項訓(xùn)練：針對高頻考點（如導(dǎo)數(shù)切線方程、橢圓離心率、獨立性檢驗）做10-20道題，熟悉題型；技巧應(yīng)用：選擇題用排除法（如圓錐曲線題用特殊點代入）、特殊值法（如導(dǎo)數(shù)題用\(x=0\)代入）；限時練習(xí)：選擇題每題不超過3分鐘，填空題每題不超過2分鐘，解答題每題不超過10分鐘。3.注重解題規(guī)范，爭取步驟分解答題步驟：導(dǎo)數(shù)題：寫導(dǎo)數(shù)→求單調(diào)區(qū)間→判斷極值；圓錐曲線題：聯(lián)立方程→判別式→韋達定理→代入條件；統(tǒng)計題：寫\(K^2\)公式→計算→查臨界值→下結(jié)論；符號規(guī)范：用\(f'(x)\)表示導(dǎo)數(shù)，\(\hat{y}\)表示回歸直線預(yù)測值，\(\Delta\)表示判別式。4.積累錯題，分析錯誤原因建立錯題本：將做錯的題目分類整理（如“導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)錯誤”“