第2課時(shí)旋轉(zhuǎn)體與簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球的定義.2.掌握?qǐng)A柱、圓錐、圓臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征.3.了解簡(jiǎn)單組合體的概念及結(jié)構(gòu)特征．知識(shí)點(diǎn)一圓柱思考觀(guān)察如圖所示的旋轉(zhuǎn)體，你能說(shuō)出它們是什么平面圖形通過(guò)怎樣的旋轉(zhuǎn)得到的嗎？答案以矩形的一邊所在直線(xiàn)為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體．梳理圓柱的結(jié)構(gòu)特征圓柱圖形及表示定義：以矩形的一邊所在直線(xiàn)為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓柱圖中圓柱表示為圓柱O′O相關(guān)概念：圓柱的軸：旋轉(zhuǎn)軸圓柱的底面：垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面圓柱的側(cè)面：平行于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面圓柱側(cè)面的母線(xiàn)：無(wú)論旋轉(zhuǎn)到什么位置，不垂直于軸的邊知識(shí)點(diǎn)二圓錐思考仿照?qǐng)A柱的定義，你能定義什么是圓錐嗎？答案以直角三角形的一條直角邊所在直線(xiàn)為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體．梳理圓錐的結(jié)構(gòu)特征

圓錐圖形及表示定義：以直角三角形的一條直角邊所在直線(xiàn)為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體圖中圓錐表示為圓錐SO相關(guān)概念：圓錐的軸：旋轉(zhuǎn)軸圓錐的底面：垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面?zhèn)让妫褐苯侨切蔚男边呅D(zhuǎn)而成的曲面母線(xiàn)：無(wú)論旋轉(zhuǎn)到什么位置，不垂直于軸的邊知識(shí)點(diǎn)三圓臺(tái)思考下圖中的物體叫做圓臺(tái)，也是旋轉(zhuǎn)體，它是什么圖形通過(guò)怎樣的旋轉(zhuǎn)得到的呢？除了旋轉(zhuǎn)得到以外，對(duì)比棱臺(tái)，圓臺(tái)還可以怎樣得到呢？答案(1)圓臺(tái)可以是直角梯形以垂直于底邊的腰所在的直線(xiàn)為旋轉(zhuǎn)軸，其他三邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的幾何體．(2)圓臺(tái)也可以看作是等腰梯形以其底邊的中垂線(xiàn)為軸，各邊旋轉(zhuǎn)180°形成的面所圍成的幾何體．(3)類(lèi)比棱臺(tái)的定義圓臺(tái)還可以如下得到：用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面和截面之間的部分叫做圓臺(tái)．梳理圓臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征圓臺(tái)圖形及表示定義：用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面和截面之間的部分叫做圓臺(tái)旋轉(zhuǎn)法定義：以直角梯形中垂直于底邊的腰所在直線(xiàn)為旋轉(zhuǎn)軸，將直角梯形繞旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周而形成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓臺(tái)圖中圓臺(tái)表示為：圓臺(tái)O′O相關(guān)概念：圓臺(tái)的軸：旋轉(zhuǎn)軸圓臺(tái)的底面：垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)一周所形成的圓面圓臺(tái)的側(cè)面：不垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面母線(xiàn)：無(wú)論旋轉(zhuǎn)到什么位置，不垂直于軸的邊知識(shí)點(diǎn)四球思考球也是旋轉(zhuǎn)體，它是由什么圖形旋轉(zhuǎn)得到的？答案以半圓的直徑所在直線(xiàn)為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體叫做球體．梳理球的結(jié)構(gòu)特征球圖形及表示定義：以半圓的直徑所在直線(xiàn)為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體叫做球體，簡(jiǎn)稱(chēng)球圖中的球表示為球O相關(guān)概念：球心：半圓的圓心半徑：半圓的半徑直徑：半圓的直徑知識(shí)點(diǎn)五簡(jiǎn)單組合體思考下圖中的兩個(gè)空間幾何體是柱、錐、臺(tái)、球體中的一種嗎？它們是如何構(gòu)成的？答案這兩個(gè)幾何體都不是單純的柱、錐、臺(tái)、球體，而是由柱、錐、臺(tái)、球體中的兩種或三種組合而成的幾何體．梳理簡(jiǎn)單組合體(1)概念：由簡(jiǎn)單幾何體組合而成的，這些幾何體叫做簡(jiǎn)單組合體．常見(jiàn)的簡(jiǎn)單組合體大多是由具有柱、錐、臺(tái)、球等幾何結(jié)構(gòu)特征的物體組合而成的．(2)基本形式：一種是由簡(jiǎn)單幾何體拼接而成，另一種是由簡(jiǎn)單幾何體截去或挖去一部分而成．類(lèi)型一旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征例1下列命題正確的是________．①以直角三角形的一邊所在直線(xiàn)為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐；②以直角梯形的一腰所在直線(xiàn)為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái)；③圓柱、圓錐、圓臺(tái)的底面都是圓；④以等腰三角形的底邊上的高線(xiàn)所在的直線(xiàn)為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體是圓錐；⑤半圓面繞其直徑所在直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)一周形成球；⑥用一個(gè)平面去截球，得到的截面是一個(gè)圓面．答案④⑤⑥解析①以直角三角形的一條直角邊所在直線(xiàn)為軸旋轉(zhuǎn)一周才可以得到圓錐；②以直角梯形垂直于底邊的一腰所在直線(xiàn)為軸旋轉(zhuǎn)一周可得到圓臺(tái)；③它們的底面為圓面；④⑤⑥正確．反思與感悟(1)判斷簡(jiǎn)單旋轉(zhuǎn)體結(jié)構(gòu)特征的方法①明確由哪個(gè)平面圖形旋轉(zhuǎn)而成．②明確旋轉(zhuǎn)軸是哪條直線(xiàn)．(2)簡(jiǎn)單旋轉(zhuǎn)體的軸截面及其應(yīng)用①簡(jiǎn)單旋轉(zhuǎn)體的軸截面中有底面半徑、母線(xiàn)、高等體現(xiàn)簡(jiǎn)單旋轉(zhuǎn)體結(jié)構(gòu)特征的關(guān)鍵量．②在軸截面中解決簡(jiǎn)單旋轉(zhuǎn)體問(wèn)題體現(xiàn)了化空間圖形為平面圖形的轉(zhuǎn)化思想．跟蹤訓(xùn)練1下列命題：①圓柱的軸截面是過(guò)母線(xiàn)的截面中最大的一個(gè)；②用任意一個(gè)平面去截圓錐得到的截面一定是一個(gè)圓；③圓臺(tái)的任意兩條母線(xiàn)的延長(zhǎng)線(xiàn)，可能相交也可能不相交；④球的半徑是球面上任意一點(diǎn)與球心的連線(xiàn)段．其中正確的個(gè)數(shù)為()A．0B．1C．2D．3答案C解析②錯(cuò)誤，截面可能是一個(gè)三角形；③錯(cuò)誤，圓臺(tái)的任意兩條母線(xiàn)的延長(zhǎng)線(xiàn)必相交于一點(diǎn)；①④正確．故選C.類(lèi)型二簡(jiǎn)單組合體eq\x(命題角度1直接描述組合體的構(gòu)成)例2觀(guān)察下圖中的幾何體，分析它們是由哪些基本幾何體組成的．解圖①是由一個(gè)四棱柱挖去一個(gè)三棱柱組成的幾何體．圖②是由一個(gè)四棱柱和一個(gè)底面與四棱柱上底面重合的四棱錐組合而成的幾何體．圖③是由一個(gè)圓臺(tái)和挖去一個(gè)和圓臺(tái)的上底面相同的圓錐組合而成的幾何體．反思與感悟(1)準(zhǔn)確理解簡(jiǎn)單幾何體(柱、錐、臺(tái)、球)的結(jié)構(gòu)特征．(2)正確掌握簡(jiǎn)單組合體構(gòu)成的兩種基本形式．(3)若用分割的方法，則需要根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征恰當(dāng)?shù)刈鞒鲚o助線(xiàn)(或面)．跟蹤訓(xùn)練2請(qǐng)描述如圖所示的幾何體是如何形成的．(1)________________________________________________________________________；(2)________________________________________________________________________；(3)________________________________________________________________________．答案(1)是由一個(gè)圓錐和一個(gè)圓臺(tái)拼接而成的組合體(2)是由一個(gè)長(zhǎng)方體截去一個(gè)三棱錐后得到的幾何體(3)是由一個(gè)圓柱挖去一個(gè)三棱錐后得到的幾何體eq\x(命題角度2圖形旋轉(zhuǎn)所得組合體問(wèn)題)例3直角梯形ABCD如圖所示，分別以CD，DA所在直線(xiàn)為軸旋轉(zhuǎn)，試說(shuō)明所得幾何體的形狀．解以CD為軸旋轉(zhuǎn)可得到一個(gè)圓臺(tái)，下底挖去一個(gè)小圓錐，上底增加一個(gè)較大的圓錐，以AD為軸旋轉(zhuǎn)可得到一個(gè)圓柱，上面挖去一個(gè)圓錐，如圖所示．引申探究例3中直角梯形分別以AB、BC所在直線(xiàn)為軸旋轉(zhuǎn)，試說(shuō)明所得幾何體的形狀．解以AB為軸旋轉(zhuǎn)可得到一個(gè)圓臺(tái)，以BC為軸旋轉(zhuǎn)可得一個(gè)圓柱和圓錐的組合體．如圖所示．反思與感悟(1)判斷旋轉(zhuǎn)體形狀的關(guān)鍵是軸的確定，看是由平面圖形繞哪條直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)所得，同一個(gè)平面圖形繞不同的軸旋轉(zhuǎn)，所得的旋轉(zhuǎn)體一般是不同的．(2)在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中觀(guān)察平面圖形的各邊所形成的軌跡，應(yīng)利用空間想象能力或親自動(dòng)手做出平面圖形的模型來(lái)分析旋轉(zhuǎn)體的形狀．跟蹤訓(xùn)練3如圖所示，已知梯形ABCD中，AD∥BC，且AD<BC.當(dāng)梯形ABCD繞AD所在直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)一周時(shí)，其他各邊旋轉(zhuǎn)形成的面圍成一個(gè)幾何體，試描述該幾何體的結(jié)構(gòu)特征．解如圖所示，旋轉(zhuǎn)所得的幾何體可看成由一個(gè)圓柱挖去兩個(gè)圓錐后剩余部分而成的組合體．類(lèi)型三旋轉(zhuǎn)體中的有關(guān)計(jì)算例4一個(gè)圓臺(tái)的母線(xiàn)長(zhǎng)為12cm，兩底面面積分別為4πcm2和25πcm2，求：(1)圓臺(tái)的高；(2)將圓臺(tái)還原為圓錐后，圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)．解(1)圓臺(tái)的軸截面是等腰梯形ABCD(如圖所示)．由已知可得O1A＝2cm，OB＝5cm.又由題意知腰長(zhǎng)為12cm，所以高AM＝eq\r(122－5－22)＝3eq\r(15)(cm)．(2)如圖所示，延長(zhǎng)BA，OO1，CD，交于點(diǎn)S，設(shè)截得此圓臺(tái)的圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為l，則由△SAO1∽△SBO，可得eq\f(l－12,l)＝eq\f(2,5)，解得l＝20(cm)．即截得此圓臺(tái)的圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為20cm.反思與感悟用平行于底面的平面去截柱、錐、臺(tái)等幾何體，注意抓住截面的性質(zhì)(與底面全等或相似)，同時(shí)結(jié)合旋轉(zhuǎn)體中的經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)軸的截面(軸截面)的性質(zhì)，利用相似三角形中的相似比，構(gòu)設(shè)相關(guān)幾何變量的方程組而得解．跟蹤訓(xùn)練4有一根長(zhǎng)為3πcm，底面半徑為1cm的圓柱形鐵管，用一段鐵絲在鐵管上纏繞2圈，并使鐵絲的兩個(gè)端點(diǎn)落在圓柱的同一母線(xiàn)的兩端，求鐵絲的最短長(zhǎng)度．解把圓柱側(cè)面及纏繞其上的鐵絲展開(kāi)，在平面上得到矩形ABCD(如圖所示)，由題意知BC＝3πcm，AB＝4πcm，點(diǎn)A與點(diǎn)C分別是鐵絲的起、止位置，故線(xiàn)段AC的長(zhǎng)度即為鐵絲的最短長(zhǎng)度．AC＝eq\r(AB2＋BC2)＝5πcm，故鐵絲的最短長(zhǎng)度為5πcm.1．下列說(shuō)法正確的是()A．圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)等于底面圓直徑B．圓柱的母線(xiàn)與軸垂直C．圓臺(tái)的母線(xiàn)與軸平行D．球的直徑必過(guò)球心答案D解析圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)與底面直徑無(wú)聯(lián)系；圓柱的母線(xiàn)與軸平行；圓臺(tái)的母線(xiàn)與軸不平行．2．下列選項(xiàng)中的三角形繞直線(xiàn)l旋轉(zhuǎn)一周，能得到如圖1中的幾何體的是()圖1答案B解析由題意知，所得幾何體是組合體，上、下各一圓錐，顯然B正確．3．下面幾何體的截面一定是圓面的是()A．圓臺(tái) B．球C．圓柱 D．棱柱答案B解析截面可以從各個(gè)不同的部位截取，截得的截面都是圓面的幾何體只有球．4．下圖中的組合體的結(jié)構(gòu)特征有以下幾種說(shuō)法：①由一個(gè)長(zhǎng)方體割去一個(gè)四棱柱構(gòu)成；②由一個(gè)長(zhǎng)方體與兩個(gè)四棱柱組合而成；③由一個(gè)長(zhǎng)方體挖去一個(gè)四棱臺(tái)構(gòu)成；④由一個(gè)長(zhǎng)方體與兩個(gè)四棱臺(tái)組合而成.其中正確說(shuō)法的序號(hào)是________．答案①②5．用一個(gè)平行于圓錐底面的平面截該圓錐，截得圓臺(tái)的上、下底面半徑之比是1∶4，截去的小圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)是3cm，則圓臺(tái)的母線(xiàn)長(zhǎng)為_(kāi)_______cm.答案9解析如圖，設(shè)圓臺(tái)的母線(xiàn)長(zhǎng)為y，小圓錐底面與被截的圓錐底面半徑分別是x,4x.根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得eq\f(3,3＋y)＝eq\f(x,4x)，解此方程得y＝9.所以圓臺(tái)的母線(xiàn)長(zhǎng)為9cm.1．圓柱、圓錐、圓臺(tái)的關(guān)系如圖所示．2．處理臺(tái)體問(wèn)題常采用還臺(tái)為錐的補(bǔ)體思想．3．處理組合體問(wèn)題常采用分割思想．4．重視圓柱、圓錐、圓臺(tái)的軸截面在解決幾何問(wèn)題中的特殊作用，切實(shí)體會(huì)空間幾何平面化的思想．課時(shí)作業(yè)一、選擇題1．下列幾何體中不是旋轉(zhuǎn)體的是()答案D2．下列命題中正確的是()A．將正方形旋轉(zhuǎn)不可能形成圓柱B．夾在圓柱的兩個(gè)平行截面間的幾何體還是一個(gè)旋轉(zhuǎn)體C．圓錐截去一個(gè)小圓錐后剩余部分是圓臺(tái)D．通過(guò)圓臺(tái)側(cè)面上一點(diǎn)，有無(wú)數(shù)條母線(xiàn)答案C解析將正方形繞其一邊所在直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)可以形成圓柱，所以A錯(cuò)誤；B中沒(méi)有說(shuō)明這兩個(gè)平行截面的位置關(guān)系，當(dāng)這兩個(gè)平行截面與底面平行時(shí)正確，其他情況結(jié)論不一定正確，所以B錯(cuò)誤；通過(guò)圓臺(tái)側(cè)面上一點(diǎn)，只有一條母線(xiàn)，所以D錯(cuò)誤，故選C.3．如圖所示的幾何體是由下面哪一個(gè)平面圖形旋轉(zhuǎn)而形成的()答案A解析此幾何體自上向下是由一個(gè)圓錐、兩個(gè)圓臺(tái)和一個(gè)圓柱構(gòu)成，是由A中的平面圖形旋轉(zhuǎn)而形成的．4．如圖所示的幾何體，關(guān)于其結(jié)構(gòu)特征，下列說(shuō)法不正確的是()A．該幾何體是由兩個(gè)同底的四棱錐組成的B．該幾何體有12條棱、6個(gè)頂點(diǎn)C．該幾何體有8個(gè)面，并且各面均為三角形D．該幾何體有9個(gè)面，其中一個(gè)面是四邊形，其余均為三角形答案D解析其中ABCD不是面，該幾何體有8個(gè)面．5．用一張長(zhǎng)為8，寬為4的矩形硬紙卷成圓柱的側(cè)面，則相應(yīng)圓柱的底面半徑是()A．2 B．2πC.eq\f(2,π)或eq\f(4,π) D.eq\f(π,2)或eq\f(π,4)答案C解析如圖所示，設(shè)底面半徑為r，若矩形的長(zhǎng)8為卷成圓柱底面的周長(zhǎng)，則2πr＝8，所以r＝eq\f(4,π)；同理，若矩形的寬4為卷成圓柱的底面周長(zhǎng)，則2πr＝4，所以r＝eq\f(2,π)，故選C.6．一個(gè)圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為20cm，母線(xiàn)與軸的夾角為30°，則圓錐的高為()A．10eq\r(3)cm B．20eq\r(3)cmC．20cm D．10cm答案A解析如圖所示，在Rt△ABO中，AB＝20cm，∠A＝30°，所以AO＝AB·cos30°＝20×eq\f(\r(3),2)＝10eq\r(3)(cm)．7.如圖所示的平面中陰影部分繞中間軸旋轉(zhuǎn)一周，形成的幾何體形狀為()A．一個(gè)球體B．一個(gè)球體中間挖去一個(gè)圓柱C．一個(gè)圓柱D．一個(gè)球體中間挖去一個(gè)長(zhǎng)方體答案B解析圓面繞著直徑所在的軸，旋轉(zhuǎn)而形成球，矩形繞著軸旋轉(zhuǎn)而形成圓柱.故選B.8．一個(gè)正方體內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球，作正方體的對(duì)角面，所得截面圖形是下圖中的()答案B解析由組合體的結(jié)構(gòu)特征知，球與正方體各面相切，與各棱相離，故選B.二、填空題9．正方形繞其一條對(duì)角線(xiàn)所在直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)一周，所得幾何體是________．答案兩個(gè)圓錐解析連接正方形的兩條對(duì)角線(xiàn)知對(duì)角線(xiàn)互相垂直，故繞對(duì)角線(xiàn)所在直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)一周形成兩個(gè)底面相同的圓錐．10．若母線(xiàn)長(zhǎng)是4的圓錐的軸截面的面積是8，則該圓錐的高是________．答案2eq\r(2)解析設(shè)圓錐的底面半徑為r，則圓錐的高h(yuǎn)＝eq\r(42－r2)，∴由題意可知eq\f(1,2)·2r·h＝req\r(42－r2)＝8，∴r2＝8，∴h＝2eq\r(2).11．已知球的兩個(gè)平行截面的面積分別為5π和8π，它們位于球心的同一側(cè)，且距離為1，那么這個(gè)球的半徑是________．答案3解析如圖所示，∵兩個(gè)平行截面的面積分別為5π、8π，∴兩個(gè)截面圓的半徑分別為r1＝eq\r(5)，r2＝2eq\r(2).∵球心到兩個(gè)截面的距離d1＝eq\r(R2－r\o\al(2,1))，d2＝eq\r(R2－r\o\al(2,2))，∴d1－d2＝eq\r(R2－5)－eq\r(R2－8)＝1，∴R2＝9，∴R＝3.三、解答題12．一個(gè)有30°角的直角三角尺繞其各條邊所在直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體都是圓錐嗎？如果以斜邊上的高所在的直線(xiàn)為軸旋轉(zhuǎn)180°得到什么圖形？旋轉(zhuǎn)360°又得到什么圖形？解如圖所示，圖(1)(2)旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體是圓錐，圖(3)旋轉(zhuǎn)一周所