第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年甘肅省甘南州夏河縣藏族中學(xué)高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知函數(shù)f(x)=x3+axA.?x0∈R，f(x0)=0

B.函數(shù)y=f(x)的圖象是中心對稱圖形

C.若x0是f(x)的極小值點，則f(x)在區(qū)間(?∞,x02.已知正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，AA1=2AB，A.1010 B.15 C.33.設(shè)f′(x)是奇函數(shù)f(x)(x∈R)的導(dǎo)函數(shù)，f(?1)=0，當(dāng)x>0時，xf′(x)?f(x)<0，則使得f(x)>0成立的x的取值范圍是A.(?∞,?1)∪(0,1)B.(?1,0)∪(1,+∞)C.(?∞,?1)∪(?1,0)D.(0,1)∪(1,+∞)4.已知AB=a，AC=b，BN=13A.23a+13b B.25.記動點P是棱長為1的正方體ABCD?A1B1C1D1的對角線BD1A.(0,1) B.(13,1) C.(0,6.若定義在R上的函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，且滿足f′(x)>f(x)，f(2022)=e2022，則不等式f(13A.(0,e6066) B.(0,e2022)7.已知直角梯形ABCD中，AB//DC，∠ABC=90°，P是邊BC上一點(不包括B、C兩點).若|AB|=2，|BC|=4，且|CD|=|ABA.0 B.2 C.3 D.48.已知函數(shù)f(x)=ex2x,g(x)=?x2+2x+a?1，若?x1，A.(?∞,e) B.(?∞,e] C.(?∞,e2]二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知函數(shù)f(x)=x2+x?1eA.函數(shù)f(x)存在兩個不同的零點

B.函數(shù)f(x)既存在極大值又存在極小值

C.當(dāng)?e<k<0時，方程f(x)=k有且只有兩個實根

D.若x∈[t,+∞)時，f(x)max=510.已知在正三棱錐P?ABC中，PA=3，AB=2，點D為BC的中點，下面結(jié)論正確的有(

)A.PC⊥AB B.平面PAD⊥平面PBC

C.PA與平面PBC所成的角的余弦值為13 D.三棱錐P?ABC的外接球的半徑為11.設(shè)函數(shù)f(x)=e2x?8ex+6x，若曲線y=f(x)在點P(x0A.?ln2 B.ln2 C.ln4 D.ln5三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知函數(shù)f(x)是(?π2,π2)上的奇函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，且f(1)=0，當(dāng)x>0時，13.若向量a=(x,?4,?5)，b=(1,?2,2)，且a與b的夾角的余弦值為?2614.已知側(cè)棱長為3的正四棱錐S?ABCD的所有頂點都在球O的球面上，當(dāng)該棱錐體積最大時，底面ABCD的邊長為

，此時球O的表面積為

．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題15分)

已知函數(shù)f(x)=ex?ax?1．

(1)若a=1，求函數(shù)f(x)的最小值；

(2)若函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[2,+∞)，求實數(shù)a16.(本小題15分)

如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，E為BB1的中點．

(Ⅰ)求證：BC1//平面17.(本小題15分)已知函數(shù)f(x)=x3+ax2(1)求f(x)的解析式；(2)求f(x)在[?2,3]18.(本小題15分)

如圖，已知矩形ABCD所在平面垂直于直角梯形ABPE所在平面于直線AB，且AB=BP=2，AD=AE=1，AE⊥AB，且AE//BP．

(Ⅰ)設(shè)點M為棱PD中點，求證：EM//平面ABCD；

(Ⅱ)線段PD上是否存在一點N，使得直線BN與平面PCD所成角的正弦值等于25？若存在，試確定點N的位置；若不存在，請說明理由．19.(本小題17分)

如圖1，在梯形ABCD中，AB//CD，AE⊥CD，垂足為E，AB=AE=12CE=1，DE=2.將△ADE沿AE翻折到△PAE，如圖2所示．M為線段PB的中點，且ME⊥PC．

(1)求證：PE⊥EC；

(2)設(shè)N為線段AE上任意一點，當(dāng)平面BMN與平面PCE所成銳二面角最小時，求答案解析1.【答案】C

【解析】【分析】本題考查了導(dǎo)數(shù)的運算法則、單調(diào)性與極值的關(guān)系等基礎(chǔ)知識與方法，考查了分類討論的思想方法等基本方法．屬于中檔題．

由函數(shù)f(x)的值域為R判斷A項正確;假設(shè)函數(shù)是中心對稱圖形，利用待定系數(shù)法求出對稱中心，，判斷B項正確;求導(dǎo)判斷函數(shù)的單調(diào)性從而判斷C項錯誤；根據(jù)導(dǎo)數(shù)的意義判斷D項正確．【解答】

解：由函數(shù)f(x)的值域為R知f(x)=0有解，所以A項正確;

由f(x)?c=x3+ax2+bx．

假設(shè)函數(shù)g(x)=x3+ax2+bx是中心對稱圖形，其對稱中心為(m,n)，

則g(m+x)+g(m?x)=2n，

∴(m+x)3+a(m+x)2+b(m+x)+(m?x)3+a(m?x)2+b(m?x)=2n

整理得(6m+2a)x2+2m3+2am2+2bm=2n

，對任意的x∈R恒成立，

∴6m+2a=02m3+2am2+2bm=2n，解得

m=?13an=227a3?13ab

∴函數(shù)g(x)=x3+ax2.【答案】C

【解析】【分析】本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．

由BA1//CD1，知∠A1BE是異面直線BE與CD【解答】

解：

∵正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，AA1=2AB，E為AA1中點，

∵BA1/?/CD1，∴∠A1BE是異面直線BE與CD1所形成角(或其補角)，

設(shè)AA1=2AB=2，

則A13.【答案】A

【解析】【分析】

本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，并由函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性解不等式，屬于綜合題．

由已知當(dāng)x>0時總有xf′(x)?f(x)<0成立，可判斷函數(shù)g(x)=f(x)x為減函數(shù)，由已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，可證明g(x)為(?∞,0)∪(0,+∞)上的偶函數(shù)，根據(jù)函數(shù)g(x)在(0,+∞)上的單調(diào)性和奇偶性，模擬g(x)的圖象，而不等式f(x)>0等價于x?g(x)>0，數(shù)形結(jié)合解不等式組即可．

【解答】

解：設(shè)g(x)=f(x)x，則g(x)的導(dǎo)數(shù)為：

g′(x)=xf′(x)?f(x)x2，

∵當(dāng)x>0時總有xf′(x)<f(x)成立，

即當(dāng)x>0時，g′(x)恒小于0，

∴當(dāng)x>0時，函數(shù)g(x)=f(x)x為減函數(shù)，

又∵g(?x)=f(?x)?x=?f(x)?x=f(x)x=g(x)，

∴函數(shù)g(x)為定義域上的偶函數(shù)4.【答案】C

【解析】解：因為BN=13BC，AB=a，AC=b，

所以AN=AB+BN=AB+13(AC?AB)=23AB+13AC，

因為GA+GN+GC=5.【答案】B

【解析】解：由題設(shè)可知，以DA、DC、DD1為單位正交基底，

建立如圖所示的空間直角坐標系D?xyz，

則有A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D1(0,0,1)

由D1B=(1,1,?1)，得D1P=λD1B=(λ,λ,?λ)，

所以PA=PD1+D1A=(?λ,?λ,λ)+(1,0,?1)=(1?λ,?λ,λ?1)，

PC=PD1+D1C=(?λ,?λ,λ)+(0,1,?1)=(?λ,1?λ,λ?1)

因為∠APC不是平角，

所以∠APC為鈍角等價于cos∠APC=cos<PA，PC6.【答案】A

【解析】解：設(shè)g(x)=f(x)ex，∵f′(x)>f(x)，

∴g′(x)=f′(x)?f(x)ex>0，

∴函數(shù)g(x)在R上是增函數(shù)，①

∵f(2022)=e2022，3x=eln(3x)=e13lnx，

∴f(13lnx)<3x?f(13lnx)e13lnx<1=f(2022)e2022，7.【答案】C

【解析】解：根據(jù)題意，以C為原點，CD為x軸，CB為y軸建立直角坐標系，如圖所示：

因為|AB|=2，|BC|=4，所以C(0,0)，B(0,4)，A(2,4)，

設(shè)P(0,m)(0<m<4)，

|CD|=|AB|+|BP|，所以CD=2+(4?m)=6?m，

所以D(6?m,0)，

所以PA=(2,4?m)，PD=(6?m,?m)，

所以PA?PD=2(6?m)?m(4?m)=m2?6m+12，

因為0<m<4，所以當(dāng)m=3時，PA?PD有最小值為3．8.【答案】C

【解析】解：f(x)=ex2x,g(x)=?x2+2x+a?1，

若?x1，x2∈(0,+∞)，都有f(x1)≥g(x2)恒成立，則f(x)min≥g(x)max(x∈(0,+∞))．

f′(x)=ex(x?1)2x2，當(dāng)0<x<1時，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)x>1時，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，故f(x)的最小值為f(x)=e29.【答案】ABC

【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的圖象的可能情況．

本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)問題中的運用，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題．【解答】

解：f′(x)=?x2+x+2ex，令f′(x)=0，解得x=?1或x=2，

當(dāng)x<?1或x>2時，f′(x)<0，故函數(shù)f(x)在(?∞,?1)，(2,+∞)上單調(diào)遞減，當(dāng)?1<x<2時，f′(x)>0，故函數(shù)在(?1,2)上單調(diào)遞增，

且函數(shù)f(x)有極小值f(?1)=?e，有極大值f(2)=5e2，當(dāng)x→?∞時，f(x)→+∞，當(dāng)x→+∞時，f(x)→0，

故作函數(shù)大致圖象如圖所示，

由圖可知，選項10.【答案】AB

【解析】解：對于AB.如圖，連接PD，AD，易得PD⊥BC，AD⊥BC，

∵AD∩PD=D，∴BC⊥平面APD，

∵BC?平面PBC，∴平面APD⊥平面PBC，

∴PA⊥BC，同理PC⊥AB，故選項A，B正確；

對于C.∠APD為PA與平面PBC所成的角，在△APD中，PD=32?1=22，AD=22?1=3，

根據(jù)余弦定理得cos∠APD=32+(22)2?(3)22×3×22=7212，故選項C錯誤；

對于D.取△ABC的重心為O1，連接PO1，設(shè)外接球的球心為O，半徑為R，連接AO，在Rt△AOO1中，可得R2=(233?R)2+(233)2，解得R=911.【答案】BCD

【解析】【分析】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點，求曲線上一點的切線方程，屬于較難題．

函數(shù)f(x)=e2x?8ex+6x，代入4個選項分別計算．

對于A選項，求出切點為?ln2,?154?6ln2，切線的方程為y1=52x?72ln2?154；設(shè)g(x)=f(x)?y1，求出g(x)在(0,1)內(nèi)的零點個數(shù)，可得y=f(x)與切線的交點個數(shù)；

對于B選項，求出切點為ln2,6ln2?12，切線的方程為y2=?2x+8ln2?12；設(shè)?(x)=f(x)?y2，求出?(x)在R上的零點個數(shù)，可得y=f(x)與切線的交點個數(shù)；

對于C選項，求出切點為【解答】

解：因為f(x)=e2x?8ex+6x，所以f′(x)=2e2x?8ex+6．

對于A選項，切點為P?ln2,?154?6ln2，則切線的斜率為f′(?ln2)=52，切線的方程為y1=52x?72ln2?154；設(shè)g(x)=f(x)?y1，則g(?ln2)=0，g(0)=72ln2?134<0，g(1)=e2?8e+6+54+72ln2>0，故g(x)在(0,1)內(nèi)必有1個零點，則y=f(x)與切線有2個交點，故A選項錯誤．

對于B選項，切點為Pln2,6ln2?12，則切線的斜率為f′(ln2)=?2，切線的方程為y2=?2x+8ln2?12，設(shè)?(x)=f(x)?y2，則?(ln2)=0，?′(x)=2e2x?8ex+6+2=φx，

φ′x=4ex(ex?2)，令φ′x=0，得x=ln2，則?′(x)在x=ln2處取得最小值?′(ln2)=0，所以?(x)單調(diào)遞增，故?(x)只有1個零點，則y=f(x)與切線只有1個交點，故B選項正確．

對于12.【答案】(1,π【解析】解：∵f(x)是(?π2,π2)上的奇函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，且f(1)=0，

令g(x)=f(x)sinx，?12π<x<12π且x≠0，

又當(dāng)x∈(0,12π)時，cosx>0，

由f′(x)tanx?f(x)>0可得f′(x)sinx?f(x)cosx>0，

∴g′(x)=f′(x)sinx?f(x)cosxsin2x>0，即g(x)在(0,12π)單調(diào)遞增，且g(1)=f(1)=0，

又f(x)為奇函數(shù)，即f(?x)=?f(x)，

所以g(?x)=f(?x)sin(?x)=g(x)，即g(x)為偶函數(shù)，

當(dāng)x∈(1,1213.【答案】?3

【解析】解：向量a=(x,?4,?5),?b=(1,?2,2)，

∴|a|=x2+16+25=x2+41，

|b|=1+4+4=3；a?b=x+8?10=x?2，且a與b的夾角余弦值為14.【答案】2；9π

【解析】【分析】本題考查正四棱錐體積最大時，底面邊長和外接球的表面積的求法，考查正四棱錐的結(jié)構(gòu)特征、導(dǎo)數(shù)性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，屬于中檔題．

設(shè)四棱錐的高為?，則V=13×12×(23??2)2?=2?(3??【解答】

解：設(shè)四棱錐的高為?，

則V=13×12×(23??2)2?=2?(3??2)3，

V′=2(1+?)(1??)，

當(dāng)0<?<1時，V′>0，V單調(diào)遞增，

當(dāng)?>1時，V′<0，V單調(diào)遞減，

∴當(dāng)?=1時，V最大，此時底面ABCD的邊長為2，

設(shè)球半徑為R，則2+(R?115.【答案】0；

e2．【解析】(1)當(dāng)a=1時，f(x)=ex?x?1，定義域為R，

則f′(x)=ex?1，由f′(x)=0得x=0，

由f′(x)<0，得x<0；由f′(x)>0，得x>0．

∴f(x)單調(diào)遞減區(qū)間為(?∞,0)，單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+∞)．

∴函數(shù)f(x)的最小值為f(0)=0．

(2)由題意，函數(shù)的定義域為R，f′(x)=ex?a，

①當(dāng)a≤0時，f′(x)>0在R上恒成立，∴f(x)在R上單調(diào)遞增，不合題意；

②當(dāng)a>0時，由f′(x)>0，即ex?a>0得x>lna，

∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[lna,+∞)，由已知得lna=2，

∴a=e2．

(1)根據(jù)題意將a=1代入函數(shù)解析式，通過求導(dǎo)分析函數(shù)單調(diào)性，從而求出最小值；16.【答案】解：(Ⅰ)由正方體的性質(zhì)可知，AB/?/C1D1中，且AB=C1D1，

∴四邊形ABC1D1是平行四邊形，∴BC1/?/AD1，

又BC1?平面AD1E，AD1?平面AD1E，∴BC1/?/平面AD1E.

(Ⅱ)解法一：以A為原點，AD、AB、AA1分別為x、y和z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，

設(shè)正方體的棱長為a，則A(0,0,0)，A1(0,0,a)，D1(a,0,a)，E(0,a,12a)，

∴AA1=(0,0,a)，AD1=(a,0,a)，AE=(0,a,12a)，

設(shè)平面AD1E的法向量為m=(x,y,z)，則m?AD1=0m?AE=0，即a(x+z)=0a(y+12z)=0，

令z=2，則x=?2，y=?1，∴m=(?2,?1,2)，

設(shè)直線AA1【解析】本題考查空間中線面平行的判定，直線與平面夾角的向量求法，屬于基礎(chǔ)題．

(1)根據(jù)正方體的性質(zhì)可證得BC1/?/AD1，再利用線面平行的判定定理即可得證；

(2)以A為原點，AD、AB、AA1分別為x、y和z軸建立空間直角坐標系，設(shè)直線AA1與平面AD117.【答案】解：(1)函數(shù)f(x)=x3+ax2+b，則f′(x)=3x2+2ax，

因為f(x)在x=2處有極值?2，所以f(2)=?2f′(2)=0，

即8+4a+b=?212+4a=0，解得a=?3b=2，經(jīng)檢驗，a=?3，b=2符合題意，

所以f(x)=x3?3x2+2；

(2)因為f(x)=x3?3x2+2所以f′(x)=3x2?6x=0，解得x=0或x=2，

當(dāng)?2<x<0時，f′(x)>0，則f(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)0<x<2時，f′(x)<0，則f(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)2<x<3時，f′(x)>0，則f(x)單調(diào)遞增，【解析】本題考查了函數(shù)解析式的求解，函數(shù)極值的理解與應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的最值，考查了邏輯推理能力與化簡運算能力，屬于中檔題．

(1)求出f′(x)，利用極值的定義，列出關(guān)于a和b的方程組，求解即可；

(2)求出f′(x)=0的根，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)在區(qū)間[?2,3]上的單調(diào)性，求出區(qū)間端點的函數(shù)值以及極值，比較即可得到答案．18.【答案】(Ⅰ)證明：∵平面ABCD⊥平面ABEP，平面ABCD∩平面ABEP=AB，BP⊥AB，

∴BP⊥平面ABCD，又AB⊥BC，

∴直線BA，BP，BC兩兩垂直，

以B為原點，分別以BA，BP，BC為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系．

則P(0,2,0)，B(0,0,0)，D(2,0,1)，E(2,1,0)，C(0,0,1)，∴M(1,1,12)，

∴EM=(?1,0,12)，BP=(0,2,0)．

∵BP⊥平面ABCD，∴BP為平面ABCD的一個法向量，

∵EM?BP=?1×0+0×2+12×0=0，

∴EM⊥BP.又EM?平面ABCD，

∴EM/?/平面ABCD．

(Ⅱ)解：當(dāng)點N與點D重合時，直線BN與平面PCD所成角的正弦值為25．

理由如下：

∵PD=(2,?2,1)，CD=(2,0,0)，

設(shè)平面PCD的法向量為n=(x,y,z)，則n?CD=0n?PD=0．