《課題學習：最短路徑問題（第二課時）》1.兩點一線型.如圖，點A，B分別是直線l異側的兩個點，在直線l上找一點C,使得AC+BC的值最小，此時點C就是線段AB與直線l的交點.BlAC知識回顧如圖，點A，B是直線l同側的兩點，在直線l上找一點C使得AC+BC的值最小，這時先作點B關于直線l的對稱點的B′，連接AB′交直線l于點C，此時點C就是所求作的點.B′ABlC1.兩點一線型.2.兩線一點型問題.如圖，在直線l1和直線l2上分別找到點M，N，使得△AMN的周長最小.此時過點A分別作關于直線l1，l2的對稱點A1，A2，連接A1A2分別交直線l1，l2于點M，N，則點M，N即為所求.l1l2AA1NA2M3.兩線兩點型問題.如圖，在直線l1和直線l2上分別找到點M，N，使得四邊形AMNB的周長最小.這時分別作點A，B關于直線l1，l2的對稱點A1，B1，連接A1B1分別交直線l1，l2于點M，N，則點M，N即為所求.l2l1BAB1MA1N1.利用軸對稱、平移等變化解決簡單的最短路徑問題.2.體會圖形的變化在解決最值問題中的作用，感受由實際問題轉化為數(shù)學問題的思想.學習目標如圖，A和B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN，橋造在何處可以使得從A到B的路徑AMNB最短？（假定河是平行的直線，橋要與河垂直）課堂導入這是個實際問題，你能用自己理解的語言描述一下嗎？如圖所示，將河的兩岸看成兩條平行線a和b，N為直線b上的一個動點，MN垂直于直線b，交直線a于點M.當點N在什么位置的時候，AM+MN+NB的值最?。緼Bab??MN知識點

造橋選址問題新知探究分析：由于河寬是固定的，則MN的大小是固定的.當AM+MN+BN的值最小時，也即AM+BN的值最小.ABab??MN你能用數(shù)學語言說明這個問題所表達的意思嗎？如圖，直線a，b滿足a//b，點A，點B分別在直線a，b的兩側，MN為直線a，b之間的距離，則點M，N在什么位置的時候，AM+MN+NB的值最小.ABab??MN分析：將AM沿著與直線a垂直的方向平移，點M移動到點N，點A移動到點A′，則AA′=MN，AM+NB=A′N+NB.此時問題轉化為，當點N在直線b的什么位置時，A′N+NB的值最小.ABab??MNA′如圖，連接A′，B，線段A′B最短.因此，線段A′B與直線b的交點即為所求的點N的位置，即在此處造橋MN，所得路徑AMNB是最短的.ABab??MNA′證明：在直線b上另外任意取一點N′，過點N′作N′M′⊥a，垂足為M′，連接AM′，A′N′，N′B.∵在△A′N′B中，A′B<A′N′+BN′，∴A′N+NB<A′N′+BN′.即A′N+NB+MN<A′N′+BN′+M′N′.∴AM+NB+MN<AM′+BN′+M′N′，即AM+NB+MN的值最小.ABab??MNA′M′N′如圖，從A地到B地要經(jīng)過一條小河（河的兩岸平行），現(xiàn)要在河上建一座橋（橋垂直于河的兩岸），應如何選擇橋的位置才能使從A地到B地的路程最短？跟蹤訓練AB新知探究解：（1）如圖，過點A作AC垂直于河岸，且使得AC的長等于河寬；（2）連接BC，與河岸GH相交于點N，且過點N作MN⊥EF于點M，則MN即為所建橋的位置.FHEGABMNC某大學建立分校,本部與分校隔著兩條平行的小河.如圖,小河甲的兩岸為l1,l2,且l1//l2,小河乙的兩岸為l3,l4,且l3//l4，A為本部大門,B為分校大門.為了方便兩校區(qū)人員來往,要在兩條小河上各建一座橋,橋面垂直于河岸.為使A,B兩點間來往路徑最短,試在圖中畫出符合條件的路徑,并標明橋的位置.ABB1A1l1l2l3l4隨堂練習最短路徑問題造橋選址問題ABab??MNA′課堂小結如圖，某河在CC1處直角拐彎，河寬均相同，現(xiàn)要在河流拐彎的兩旁分別造橋DD1，EE1，橋要與河垂直，問如何造橋可使ADD1E1EB的路程最短？ABB1A1DD1EE1CC1拓展提升

垂線段最短1.

已知在平面直角坐標系中點

M

(－4，2)，若點

N

是

y

軸上一動點，則

M

，

N

兩點之間的距離最小值為(

C

)A.

－4B.

2C.

4D.

－2C1234567891011

兩點之間線段最短2.

A

，

B

是直線

l

上的兩點，

P

是直線

l

上的任意一點，要使

PA

＋

PB

的

值最小，那么點

P

的位置應在(

A

)A.

線段

AB

上B.

線段

AB

的延長線上C.

線段

AB

的反向延長線上D.

直線

l

上A12345678910113.

(唐山期末)如圖，在平面直角坐標系中，有點

A

(－2，4)和

B

(4，2)，在

x

軸上取一點

P

，使點

P

到點

A

和點

B

的距離之和最小，則點

P

的坐標是(

B

)A.

(－2，0)B.

(2，0)C.

(0，－2)D.

(0，3)B1234567891011【解析】如圖，作點

A

關于

x

軸的對稱點

C

，連接

BC

交

x

軸于點

P

，連

接

AP

，則此時

AP

＋

PB

的值最小，由圖知

P

(2，0).12345678910114.

如圖，在△

ABC

中，

AB

⊥

AC

，

AB

＝3，

BC

＝5，

AC

＝4，

EF

垂

直平分

BC

，

P

為直線

EF

上的任意一點，則△

ABP

周長的最小值是

(

C

)A.

12B.

6C.

7D.

8C1234567891011【解析】∵

EF

垂直平分

BC

，

∴

B

，

C

關于

EF

對稱，

設

AC

交

EF

于

點

D

，

∴當點

P

和點

D

重合時，

AP

＋

BP

的值最小，最小值等于

AC

的

長.∵

AB

＝3，

AC

＝4，∴△

ABP

周長的最小值是

AB

＋

AC

＝3＋4＝7.12345678910115.

如圖，已知∠

AOB

的大小為α，

P

是∠

AOB

內部的一個定點，且

OP

＝5，點

E

，

F

分別是

OA

，

OB

上的動點，若△

PEF

周長的最小值等于

5，則α＝(

A

)A.

30°B.

45°C.

60°D.

90°A1234567891011【解析】如圖，分別作點

P

關于

OA

的對稱點

C

，關于

OB

的對稱點

D

，

連接

CD

，交

OA

于點

E

，

OB

于點

F

.

此時，△

PEF

的周長最小.連接

OC

，

OD

，

PE

，

PF

.

∵點

P

與點

C

關于

OA

對稱，∴

OA

垂直平分

PC

.

∴∠

COA

＝∠

AOP

，

PE

＝

CE

，

OC

＝

OP

.

同理，可得∠

DOB

＝∠

BOP

，

PF

＝

DF

，

OD

＝

OP

.

1234567891011∴∠

COA

＋∠

DOB

＝∠

AOP

＋∠

BOP

＝∠

AOB

＝α，

OC

＝

OD

＝

OP

＝5.∴∠

COD

＝2α.又∵△

PEF

的周長＝

PE

＋

EF

＋

FP

＝

CE

＋

EF

＋

FD

＝

CD

＝5，

∴

OC

＝

OD

＝

CD

＝5.∴△

COD

是等邊三角形.∴2α＝60°.∴α＝30°.1234567891011

垂線段最短和兩點之間線段最短6.

如圖，點

P

在銳角∠

AOB

的內部，在

OB

邊上求作一點

D

，在

OA

邊

上求作一點

C

.

(1)使

PD

＋

CD

最小，并說明依據(jù)的數(shù)學道理；解：(1)如圖1所示，作點

P

關于直線

OB

的對稱點

P

'，過點

P

'向直線

OA

作

垂線，垂足為

C

，與

OB

交于點

D

.

點

C

，

D

即為所求.原理：

PD

＋

CD

＝CP'，垂線段最短.1234567891011(2)使

PD

＋

PC

＋

CD

最小，并說明依據(jù)的數(shù)學道理.解：(2)如圖2所示，分別作點

P

關于直

線

OA

，

OB

的對稱點P'，P''，連接

P'P''分別交

OA

，

OB

于點

C

，

D

，點

C

，

D

即為所求.原理：

PC

＋

PD

＋

CD

＝P'P''，兩點之間，線段最短.1234567891011

平移和軸對稱解決最短問題7.

如圖，已知

A

，

B

是兩個定點，在定直線

l

上找兩個動點

M

與

N

，且

MN

等于定長

d

(動點

M

位于動點

N

左側)，使

AM

＋

MN

＋

NB

最小.1234567891011解：如圖，過點

A

作

l

的平行線l'，取

AA

'＝

d

，作點

B

關于

l

的對稱點

B

'，連接

A

'

B

'交

l

于點

N

，連接

BN

，將

A

'

N

向左平移定長

d

得到

AM

，

點

M

，

N

即為所求.(根據(jù)平移和軸對稱的性質可得

BN

＝

B

'

N

，

AM

＝

A

'

N

.

則

AM

＋

MN

＋

NB

＝

A

'

N

＋

B

'

N

＋

MN

＝

A

'

B

'＋

MN

，此時值

最小.)1234567891011

8.

如圖，在△

ABC

中，

AB

＝

AC

，

BC

＝4，面積是16，

AC

的垂直平

分線

EF

分別交

AC

，

AB

于點

E

，

F

，若

D

為

BC

的中點，點

M

為線段

EF

上一動點，則△

CDM

的周長的最小值為(

C

)A.

6B.

8C.

10D.

12C1234567891011【解析】如圖，連接

AD

，

AM

.

∵

AB

＝

AC

，

D

是

BC

的中點，∴

AD

⊥

BC

.

12345678910119.

(唐山第九中學期末)如圖，在五邊形

ABCDE

中，∠

AMN

＋∠

ANM

＝84°，∠

B

＝∠

E

＝90°，在

BC

，

DE

上分別找一點

M

，

N

，

當△

AMN

的周長最小時，∠

BAE

的度數(shù)為(

D

)A.

96°B.

106°C.

126°D.

138°D1234567891011【解析】如圖，分別作點

A

關于

BC

的對稱點

P

，關于

DE

的對稱點

Q

，

連接

PQ

與

BC

相交于點

M

，與

DE

相交于點

N

，∴

AM

＝

PM

，

AN

＝

QN

.

∴∠

P

＝∠

PAM

，∠

Q

＝∠

QAN

.

∴△

AMN

的周長＝

AM

＋

MN

＋

AN

＝

PM

＋

MN

＋

QN

＝

PQ

.

由軸對稱確定最短路徑，

PQ

的長度為△

AMN

的周長的最小值.∵∠

AMN

＝∠

P

＋∠

PAM

＝2∠

P

，∠

ANM

＝∠

Q

＋∠

QAN

＝2∠

Q

，∴∠

AMN

＋∠

ANM

＝2(∠

P

＋∠

Q

).1234567891011∵∠

AMN

＋∠

ANM

＝84°，∴∠

P

＋∠

Q

＝42°，∴∠

BAE

＝180°－42°＝138°.123456789101110.

如圖，∠

AOB

＝30°，∠

AOB

內有一定點

P

，且

OP

＝15，若在

OA

，

OB

上分別有動點

M

，

N

，則△

PMN

周長的最小值是

?.15

1234567891011【解析】如圖，作點

P

關于

OA

的對稱點

D

，關于

OB

的對稱點

E

，連接

DE

交

OA

于點

M

，交

OB

于點

N

，連接

PM

，

PN

，則此時△

PMN

的周

長最小，連接

OD

，

OE

，

OP

.

∵

P

，

D

關于

OA

對稱，

1234567891011∴

OD

＝

OP

，

PM

＝

DM

，

OA

⊥

PD

.

同理，

OE

＝

OP

，

PN

＝

EN

，∴

OD

＝

OE

＝

OP

＝15.∵

OD

＝

OP

，

OA

⊥

PD

，∴∠

DOA

＝∠

POA

.

同理，∠

POB

＝∠

EOB

，∴∠

DOE

＝2∠

AOB

＝2×30°＝60°.∵

OD

＝

OE

，∴△

DOE

是等邊三角形.∴

DE

＝

OD

＝15.∴△

PMN

的周長是

PM

＋

MN

＋

PN

＝

DM

＋

MN

＋

EN

＝

DE

＝15.1234567891011

11.

如圖，已知∠

MON

內有一點

A

，

AB

⊥

OM

于點

B

，

AC

⊥

ON

于點

C

，點

E

，

F

分別為

OB

，

OC

上的動點，若∠

MON

＝50°，則當△

AEF

周長最小時，∠

EAF

的度數(shù)是多少.1234567891011解：如圖，分別作點

A

關于

ON

，

OM

的對稱點A'，

A

″，連接

A'A″，分別交

OM

，

ON

于點

E

，

F

，連接

AE

，

AF

，此時△

AEF

的周長最小.1234567891011∵∠

MON

＝50°，

AB

⊥

OM

，

AC

⊥

ON

，∴∠

BAC

＝130°.∴∠A'＋∠

A

″＝50°.由軸對稱的性質，可知∠

A

″

AE

＝∠

A

″，∠FAA'＝∠A'，∴∠

AEF

＋∠

AFE

＝∠

A

″＋∠

A

″

AE

＋∠A'＋∠FAA'＝100°.∴∠

EAF

＝80°.1234567891011【變式