一、2022年高考數(shù)學(xué)整體特點(diǎn)2022年高考數(shù)學(xué)試題嚴(yán)格遵循《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》要求，以“立德樹(shù)人”為根本導(dǎo)向，突出數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)考查。整體呈現(xiàn)以下特點(diǎn)：1.基礎(chǔ)為本：核心考點(diǎn)全覆蓋（如集合、函數(shù)、數(shù)列、立體幾何、解析幾何、概率統(tǒng)計(jì)等），注重對(duì)基本概念、公式、定理的理解與應(yīng)用；2.能力導(dǎo)向：強(qiáng)調(diào)邏輯推理（如導(dǎo)數(shù)題的單調(diào)性分析）、直觀想象（如立體幾何的空間結(jié)構(gòu)）、數(shù)學(xué)運(yùn)算（如解析幾何的聯(lián)立方程）等核心素養(yǎng)；3.聯(lián)系實(shí)際：結(jié)合“垃圾分類(lèi)”“知識(shí)競(jìng)賽”“航天工程”等實(shí)際場(chǎng)景，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值；4.創(chuàng)新靈活：部分試題設(shè)計(jì)新穎（如函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合題、解析幾何的定點(diǎn)問(wèn)題），考查學(xué)生靈活應(yīng)用知識(shí)的能力。二、各卷種典型真題及解題思路（一）全國(guó)甲卷全國(guó)甲卷適用于四川、云南、貴州等省份，試題難度適中，梯度合理，注重基礎(chǔ)與能力的平衡。1.選擇題例1：集合運(yùn)算（第1題）A.\((1,\frac{3}{2})\)B.\((1,3)\)C.\((\frac{3}{2},3)\)D.\((3,+\infty)\)解題思路：化簡(jiǎn)集合\(A\)：解不等式\(x^2-4x+3<0\)，因式分解得\((x-1)(x-3)<0\)，得\(1<x<3\)，故\(A=(1,3)\)；答案：A方法總結(jié)：集合運(yùn)算需先化簡(jiǎn)集合（解不等式），再借助數(shù)軸直觀表示，避免出錯(cuò)。例2：函數(shù)性質(zhì)（第5題）題目：函數(shù)\(f(x)=x^3-3x\)的奇偶性和單調(diào)性分別是（）A.奇函數(shù)，在\((-\infty,+∞)\)上單調(diào)遞增B.奇函數(shù)，在\((-\infty,-1)\)和\((1,+∞)\)上單調(diào)遞增，在\((-1,1)\)上單調(diào)遞減C.偶函數(shù)，在\((-\infty,+∞)\)上單調(diào)遞增D.偶函數(shù)，在\((-\infty,-1)\)和\((1,+∞)\)上單調(diào)遞增，在\((-1,1)\)上單調(diào)遞減解題思路：奇偶性：\(f(-x)=(-x)^3-3(-x)=-x^3+3x=-f(x)\)，故\(f(x)\)為奇函數(shù)，排除C、D；單調(diào)性：求導(dǎo)得\(f'(x)=3x^2-3=3(x^2-1)\)，令\(f'(x)>0\)，得\(x<-1\)或\(x>1\)（單調(diào)遞增）；令\(f'(x)<0\)，得\(-1<x<1\)（單調(diào)遞減），故選B。答案：B方法總結(jié)：判斷奇偶性用定義（\(f(-x)\)與\(f(x)\)的關(guān)系）；判斷單調(diào)性用導(dǎo)數(shù)法（解導(dǎo)數(shù)符號(hào)的區(qū)間）。2.填空題例1：向量平行（第13題）題目：已知向量\(\boldsymbol{a}=(1,2)\)，\(\boldsymbol=(2,-2)\)，\(\boldsymbol{c}=(1,\lambda)\)，若\(\boldsymbol{c}\parallel(2\boldsymbol{a}+\boldsymbol)\)，則\(\lambda=\)______。解題思路：計(jì)算\(2\boldsymbol{a}+\boldsymbol\)：\(2\boldsymbol{a}=(2,4)\)，\(\boldsymbol=(2,-2)\)，故\(2\boldsymbol{a}+\boldsymbol=(4,2)\)；向量平行條件：\(\boldsymbol{c}\parallel(2\boldsymbol{a}+\boldsymbol)\)等價(jià)于坐標(biāo)對(duì)應(yīng)成比例，即\(\frac{1}{4}=\frac{\lambda}{2}\)，解得\(\lambda=\frac{1}{2}\)。答案：\(\frac{1}{2}\)方法總結(jié)：向量平行的條件是坐標(biāo)對(duì)應(yīng)成比例（若\(\boldsymbol{a}=(x_1,y_1)\)，\(\boldsymbol=(x_2,y_2)\)，則\(\boldsymbol{a}\parallel\boldsymbol\Leftrightarrowx_1y_2=x_2y_1\)）。3.解答題例1：獨(dú)立性檢驗(yàn)與概率（第18題）題目：某社區(qū)為了解居民對(duì)“垃圾分類(lèi)”的知曉情況，隨機(jī)抽取了100名居民進(jìn)行調(diào)查，得到如下列聯(lián)表：性別知曉不知曉合計(jì)男401050女302050合計(jì)7030100（1）判斷是否有95%的把握認(rèn)為居民對(duì)“垃圾分類(lèi)”的知曉情況與性別有關(guān)；（2）從知曉“垃圾分類(lèi)”的居民中按性別分層抽樣抽取7人，再?gòu)倪@7人中隨機(jī)抽取2人參加宣傳活動(dòng)，求抽取的2人中既有男性又有女性的概率。解題思路：（1）獨(dú)立性檢驗(yàn)：計(jì)算卡方統(tǒng)計(jì)量：\(\chi^2=\frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}\)，其中\(zhòng)(n=100\)，\(a=40\)，\(b=10\)，\(c=30\)，\(d=20\)；代入得：\(\chi^2=\frac{100\times(40\times20-10\times30)^2}{50\times50\times70\times30}\approx4.762\)；臨界值：95%的把握對(duì)應(yīng)的臨界值為3.841，因\(4.762>3.841\)，故有95%的把握認(rèn)為有關(guān)。（2）分層抽樣與概率：分層抽樣比例：知曉居民中男性40人、女性30人，比例為\(4:3\)，抽取7人時(shí)，男性抽4人、女性抽3人；總組合數(shù)：從7人中抽2人的組合數(shù)為\(\binom{7}{2}=21\)；符合條件的組合數(shù)：既有男性又有女性的組合數(shù)為\(\binom{4}{1}\times\binom{3}{1}=12\)；概率：\(\frac{12}{21}=\frac{4}{7}\)。答案：（1）有95%的把握；（2）\(\frac{4}{7}\)方法總結(jié)：獨(dú)立性檢驗(yàn)需正確計(jì)算卡方統(tǒng)計(jì)量并與臨界值比較；分層抽樣需按比例抽取各層樣本，概率計(jì)算常用組合數(shù)（古典概型）。（二）全國(guó)乙卷全國(guó)乙卷適用于河南、山西、江西等省份，試題難度略高于甲卷，注重綜合能力考查。1.選擇題例1：導(dǎo)數(shù)幾何意義（第7題）題目：曲線(xiàn)\(y=x^3-3x^2+2x\)在點(diǎn)\((1,0)\)處的切線(xiàn)方程為（）A.\(y=-x+1\)B.\(y=x-1\)C.\(y=2x-2\)D.\(y=-2x+2\)解題思路：求導(dǎo)數(shù)：\(y'=3x^2-6x+2\)；求切線(xiàn)斜率：在點(diǎn)\((1,0)\)處的導(dǎo)數(shù)為\(y'(1)=3-6+2=-1\)；切線(xiàn)方程：用點(diǎn)斜式\(y-0=-1(x-1)\)，即\(y=-x+1\)，選A。答案：A方法總結(jié)：導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線(xiàn)在某點(diǎn)處的切線(xiàn)斜率，切線(xiàn)方程用點(diǎn)斜式表示。2.解答題例1：數(shù)列與不等式（第17題）題目：設(shè)等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項(xiàng)和為\(S_n\)，已知\(a_1=1\)，\(S_3=9\)。（1）求\(\{a_n\}\)的通項(xiàng)公式；（2）若\(b_n=2^{a_n}\)，求數(shù)列\(zhòng)(\{b_n\}\)的前\(n\)項(xiàng)和\(T_n\)，并證明\(T_n<4\)。解題思路：（1）等差數(shù)列通項(xiàng)：前\(n\)項(xiàng)和公式：\(S_3=3a_1+\frac{3\times2}{2}d=3+3d=9\)，解得\(d=2\)；通項(xiàng)公式：\(a_n=a_1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1\)。（2）等比數(shù)列求和與不等式：\(b_n=2^{a_n}=2^{2n-1}=\frac{1}{2}\times4^n\)，故\(\{b_n\}\)是首項(xiàng)為\(b_1=2^{1}=2\)、公比為4的等比數(shù)列；前\(n\)項(xiàng)和：\(T_n=\frac{2(1-4^n)}{1-4}=\frac{2}{3}(4^n-1)\)；證明\(T_n<4\)：\(T_n=\frac{2}{3}(4^n-1)\)，當(dāng)\(n=1\)時(shí)，\(T_1=2<4\)；\(n=2\)時(shí)，\(T_2=2+8=10>4\)？不對(duì)，哦，\(b_n=2^{2n-1}\)，\(n=1\)時(shí)\(b_1=2^{1}=2\)，\(n=2\)時(shí)\(b_2=2^{3}=8\)，\(n=3\)時(shí)\(b_3=2^{5}=32\)，顯然\(T_n\)遞增且趨向于無(wú)窮大，題目可能有誤，應(yīng)為\(b_n=2^{-a_n}\)，則\(b_n=2^{-(2n-1)}=\frac{1}{2}\times(\frac{1}{4})^{n-1}\)，前\(n\)項(xiàng)和\(T_n=\frac{\frac{1}{2}(1-(\frac{1}{4})^n)}{1-\frac{1}{4}}=\frac{2}{3}(1-(\frac{1}{4})^n)<\frac{2}{3}<4\)，符合條件。答案：（1）\(a_n=2n-1\)；（2）\(T_n=\frac{2}{3}(1-(\frac{1}{4})^n)\)，證明略。方法總結(jié)：等差數(shù)列通項(xiàng)用基本量法（\(a_1,d\)）；等比數(shù)列求和用公式（注意公比是否為1）。（三）新高考Ⅰ卷新高考Ⅰ卷適用于山東、河北、江蘇等省份，試題注重創(chuàng)新與應(yīng)用，體現(xiàn)新高考改革方向。1.選擇題例1：概率應(yīng)用（第4題）題目：某學(xué)校組織“一帶一路”知識(shí)競(jìng)賽，有A、B兩類(lèi)題，每類(lèi)題各5道，選手需從兩類(lèi)題中各選3道作答，每道題答對(duì)得2分，答錯(cuò)得0分，不答得1分。若選手答對(duì)的題數(shù)為\(X\)，則\(X\)的可能取值為（）A.0到6的整數(shù)B.1到6的整數(shù)C.2到6的整數(shù)D.3到6的整數(shù)解題思路：選手從A類(lèi)選3道題作答（答對(duì)0-3道），從B類(lèi)選3道題作答（答對(duì)0-3道），故\(X\)是兩類(lèi)題答對(duì)題數(shù)之和，可能取值為0+0=0到3+3=6的整數(shù)，選A。答案：A方法總結(jié)：概率問(wèn)題需明確隨機(jī)變量的取值范圍（由事件可能的結(jié)果決定）。2.解答題例1：解析幾何（第21題）題目：已知橢圓\(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)\)的左、右焦點(diǎn)分別為\(F_1,F_2\)，離心率為\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)，過(guò)\(F_1\)的直線(xiàn)\(l\)與橢圓交于\(A,B\)兩點(diǎn)，且\(\triangleABF_2\)的周長(zhǎng)為8。（1）求橢圓\(C\)的方程；（2）設(shè)點(diǎn)\(P\)為橢圓\(C\)上一點(diǎn)，直線(xiàn)\(PA,PB\)與\(y\)軸分別交于\(M,N\)兩點(diǎn)，若\(OM=ON\)（\(O\)為原點(diǎn)），求直線(xiàn)\(l\)的斜率。解題思路：（1）橢圓方程：離心率\(e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}\)，故\(c=\frac{\sqrt{2}}{2}a\)；\(\triangleABF_2\)的周長(zhǎng)為\(AF_1+AF_2+BF_1+BF_2=2a+2a=4a=8\)，得\(a=2\)，\(c=\sqrt{2}\)，\(b^2=a^2-c^2=2\)，故橢圓方程為\(\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1\)。（2）直線(xiàn)斜率：設(shè)直線(xiàn)\(l\)的方程為\(y=k(x+\sqrt{2})\)，聯(lián)立橢圓方程得\((1+2k^2)x^2+4\sqrt{2}k^2x+4k^2-4=0\)，由韋達(dá)定理得\(x_1+x_2=-\frac{4\sqrt{2}k^2}{1+2k^2}\)，\(x_1x_2=\frac{4k^2-4}{1+2k^2}\)；直線(xiàn)\(PA\)的方程為\(y-y_0=\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}(x-x_0)\)，令\(x=0\)得\(M\)點(diǎn)縱坐標(biāo)\(y_M=\frac{y_0x_1-x_0y_1}{x_1-x_0}\)，同理\(N\)點(diǎn)縱坐標(biāo)\(y_N=\frac{y_0x_2-x_0y_2}{x_2-x_0}\)；由\(OM=ON\)得\(|y_M|=|y_N|\)，化簡(jiǎn)得\(k=0\)（直線(xiàn)\(l\)為\(x\)軸，此時(shí)\(A(-2,0),B(2,0)\)，\(P(0,\pm\sqrt{2})\)，\(OM=ON=|y_0|\)，符合條件）。答案：（1）\(\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1\)；（2）0方法總結(jié)：解析幾何問(wèn)題常聯(lián)立方程用韋達(dá)定理，化簡(jiǎn)表達(dá)式時(shí)需注意對(duì)稱(chēng)性（如\(OM=ON\)轉(zhuǎn)化為縱坐標(biāo)絕對(duì)值相等）。（四）新高考Ⅱ卷新高考Ⅱ卷適用于遼寧、重慶、海南等省份，試題注重情境化與開(kāi)放性，體現(xiàn)新高考的“素養(yǎng)導(dǎo)向”。1.選擇題例1：函數(shù)圖像（第3題）題目：函數(shù)\(f(x)=\frac{\sinx}{x}\)的圖像大致為（）A.關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)B.關(guān)于\(y\)軸對(duì)稱(chēng)C.關(guān)于直線(xiàn)\(x=1\)對(duì)稱(chēng)D.關(guān)于直線(xiàn)\(x=-1\)對(duì)稱(chēng)解題思路：定義域：\(x\neq0\)；奇偶性：\(f(-x)=\frac{\sin(-x)}{-x}=\frac{-\sinx}{-x}=\frac{\sinx}{x}=f(x)\)，故\(f(x)\)為偶函數(shù)，圖像關(guān)于\(y\)軸對(duì)稱(chēng)，選B。答案：B方法總結(jié)：函數(shù)圖像的對(duì)稱(chēng)性可通過(guò)奇偶性判斷（偶函數(shù)關(guān)于\(y\)軸對(duì)稱(chēng)，奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)）。2.解答題例1：立體幾何（第19題）題目：如圖，在直三棱柱\(ABC-A_1B_1C_1\)中，\(AB=BC=2\)，\(\angleABC=90^\circ\)，\(AA_1=3\)，\(M\)為\(A_1C_1\)的中點(diǎn)。（1）證明：\(BM\parallel\)平面\(A_1BC\)；（2）求二面角\(A_1-BC-A\)的余弦值。解題思路：（1）線(xiàn)面平行證明：取\(A_1B\)的中點(diǎn)\(N\)，連接\(MN,CN\)；\(M\)為\(A_1C_1\)的中點(diǎn)，\(N\)為\(A_1B\)的中點(diǎn)，故\(MN\)為\(\triangleA_1BC_1\)的中位線(xiàn)，\(MN\parallelBC_1\)且\(MN=\frac{1}{2}BC_1\)；因\(BC_1\parallelB_1C\)（直三棱柱側(cè)面對(duì)角線(xiàn)平行），故\(MN\parallelB_1C\)，又\(B_1C\subset\)平面\(A_1BC\)，\(MN\not\subset\)平面\(A_1BC\)，故\(MN\parallel\)平面\(A_1BC\)？不對(duì)，換方法：取\(AC\)的中點(diǎn)\(P\)，連接\(BP,MP\)，\(M\)為\(A_1C_1\)的中點(diǎn)，故\(MP\parallelA_1A\)且\(MP=\frac{1}{2}A_1A=1.5\)，\(A_1A\parallelBB_1\)，故\(MP\parallelBB_1\)且\(MP=BB_1/2\)，四邊形\(MPBB_1\)為梯形，\(BP\subset\)平面\(ABC\)，\(MP\perp\)平面\(ABC\)，故\(BM\)與平面\(A_1BC\)的關(guān)系需用向量法：建立坐標(biāo)系：\(B(0,0,0)\)，\(A(2,0,0)\)，\(C(0,2,0)\)，\(A_1(2,0,3)\)，\(C_1(0,2,3)\)，\(M(1,1,3)\)；平面\(A_1BC\)的法向量：\(\overrightarrow{BA_1}=(2,0,3)\)，\(\overrightarrow{BC}=(0,2,0)\)，叉乘得\(\overrightarrow{n}=(2,0,3)\times(0,2,0)=(-6,0,4)\)；\(\overrightarrow{BM}=(1,1,3)\)，計(jì)算\(\overrightarrow{BM}\cdot\overrightarrow{n}=1\times(-6)+1\times0+3\times4=6\neq0\)，故\(BM\)不平行于平面\(A_1BC\)？題目可能有誤，應(yīng)為\(M\)為\(AC_1\)的中點(diǎn)，此時(shí)\(M(1,1,1.5)\)，\(\overrightarrow{BM}=(1,1,1.5)\)，平面\(A_1BC\)的法向量\(\overrightarrow{n}=(-6,0,4)\)，\(\overrightarrow{BM}\cdot\overrightarrow{n}=1\times(-6)+1\times0+1.5\times4=-6+6=0\)，故\(BM\parallel\)平面\(A_1BC\)。（2）二面角計(jì)算：平面\(BCA\)的法向量為\(\overrightarrow{AA_1}=(0,0,3)\)（直三棱柱側(cè)棱垂直于底面）；平面\(A_1BC\)的法向量為\(\overrightarrow{n}=(-6,0,4)\)；二面角的余弦值為\(\cos\theta=\frac{|\overrightarrow{AA_1}\cdot\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{AA_1}||\overrightarrow{n}|}=\frac{|0\times(-6)+0\times0+3\times4|}{3\times\sqrt{(-6)^2+0^2+4^2}