高一數(shù)學(xué)函數(shù)專項訓(xùn)練試題集錦引言函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的核心主線，貫穿于三角函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、數(shù)列等后續(xù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)。高一函數(shù)（函數(shù)概念、單調(diào)性與奇偶性、一次/二次函數(shù)、指數(shù)/對數(shù)函數(shù)）是構(gòu)建函數(shù)體系的基礎(chǔ)框架。為幫助學(xué)生鞏固核心知識點、提升解題能力，本文按“知識點回顧—典型例題—專項練習(xí)—綜合訓(xùn)練”的梯度設(shè)計，涵蓋高一函數(shù)的常考題型與方法技巧，力求專業(yè)嚴謹、實用有效。專題一：函數(shù)的概念與表示一、知識點回顧1.函數(shù)定義：設(shè)\(A,B\)為非空數(shù)集，若對\(A\)中任意\(x\)，\(B\)中存在唯一\(f(x)\)與之對應(yīng)，則稱\(f:A\toB\)為函數(shù)，記作\(y=f(x)\)。其中：定義域：\(x\)的取值范圍（\(A\)）；值域：\(f(x)\)的集合（\(\{f(x)|x\inA\}\)）；對應(yīng)法則：\(f\)（決定\(x\tof(x)\)的關(guān)系）。2.定義域求法：分式：分母\(\neq0\)；二次根號：被開方數(shù)\(\geq0\)；對數(shù)：真數(shù)\(>0\)，底數(shù)\(>0\)且\(\neq1\)；實際問題：符合實際意義（如時間、數(shù)量為正）。3.值域求法：觀察法（如\(y=2x+1\)的值域為\(\mathbb{R}\)）；配方法（如二次函數(shù)\(y=x^2-2x+3\)的值域為\([2,+\infty)\)）；換元法（如\(y=\sqrt{x+1}-x\)，令\(t=\sqrt{x+1}\geq0\)，轉(zhuǎn)化為\(y=-t^2+t+1\)）；單調(diào)性法（如\(y=x+\frac{1}{x}\)在\((0,1]\)遞減，\([1,+\infty)\)遞增）。二、典型例題例1求函數(shù)\(f(x)=\frac{\sqrt{x-1}}{x-2}\)的定義域。解析需滿足：根號內(nèi)非負：\(x-1\geq0\Rightarrowx\geq1\)；分母非零：\(x-2\neq0\Rightarrowx\neq2\)。綜上，定義域為\([1,2)\cup(2,+\infty)\)。例2求函數(shù)\(f(x)=-x^2+4x-1\)的值域。解析配方法：\(f(x)=-(x-2)^2+3\)。因\((x-2)^2\geq0\)，故\(-(x-2)^2+3\leq3\)，值域為\((-\infty,3]\)。例3判斷對應(yīng)關(guān)系是否為函數(shù)：（1）\(A=\{1,2,3\}\)，\(B=\{4,5\}\)，\(f:1\to4,2\to5,3\to4\)；（2）\(A=\{1,2,3\}\)，\(B=\{4,5,6\}\)，\(f:1\to4,1\to5,2\to6\)。解析（1）是函數(shù)（\(A\)中任意\(x\)對應(yīng)\(B\)中唯一值）；（2）不是函數(shù)（\(1\)對應(yīng)\(4\)和\(5\)，不滿足唯一性）。三、專項練習(xí)基礎(chǔ)題（鞏固概念）1.求\(f(x)=\sqrt{2x+1}+\frac{1}{x-3}\)的定義域；2.求\(f(x)=x^2-2x+5\)的值域；3.判斷對應(yīng)\(A=\{0,1,2\}\)，\(B=\{1,2,3\}\)，\(f:0\to1,1\to2,2\to3\)是否為函數(shù)。提升題（靈活應(yīng)用）4.已知\(f(x)\)定義域為\([1,3]\)，求\(f(2x-1)\)的定義域；5.用換元法求\(f(x)=\sqrt{x+1}-x\)的值域（提示：令\(t=\sqrt{x+1}\geq0\)）。專題二：函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性一、知識點回顧1.單調(diào)性：增函數(shù)：對區(qū)間\(D\)內(nèi)任意\(x_1<x_2\)，有\(zhòng)(f(x_1)<f(x_2)\)；減函數(shù)：對區(qū)間\(D\)內(nèi)任意\(x_1<x_2\)，有\(zhòng)(f(x_1)>f(x_2)\)；判定方法：定義法（取值→作差→變形→定號→結(jié)論）、圖像法（上升/下降）、復(fù)合函數(shù)（同增異減）。2.奇偶性：奇函數(shù)：\(f(-x)=-f(x)\)（圖像關(guān)于原點對稱，定義域關(guān)于原點對稱）；偶函數(shù)：\(f(-x)=f(x)\)（圖像關(guān)于\(y\)軸對稱，定義域關(guān)于原點對稱）；判定步驟：①檢查定義域是否關(guān)于原點對稱；②計算\(f(-x)\)，與\(f(x)\)比較。二、典型例題例1用定義法證明\(f(x)=x^2\)在\((0,+\infty)\)上遞增。解析取\(0<x_1<x_2\)，則\(f(x_1)-f(x_2)=x_1^2-x_2^2=(x_1-x_2)(x_1+x_2)\)。因\(x_1-x_2<0\)，\(x_1+x_2>0\)，故\(f(x_1)-f(x_2)<0\)，即\(f(x_1)<f(x_2)\)。因此，\(f(x)\)在\((0,+\infty)\)上遞增。例2判斷\(f(x)=x^3+2x\)的奇偶性。解析①定義域為\(\mathbb{R}\)（關(guān)于原點對稱）；②計算\(f(-x)=(-x)^3+2(-x)=-x^3-2x=-(x^3+2x)=-f(x)\)。因此，\(f(x)\)是奇函數(shù)。例3已知\(f(x)=x^2+2ax+1\)在\([1,+\infty)\)上遞增，求\(a\)的取值范圍。解析二次函數(shù)對稱軸為\(x=-a\)，開口向上。要使\(f(x)\)在\([1,+\infty)\)遞增，需對稱軸\(\leq1\)，即\(-a\leq1\Rightarrowa\geq-1\)。三、專項練習(xí)基礎(chǔ)題（鞏固方法）1.用定義法證明\(f(x)=-x+1\)在\(\mathbb{R}\)上遞減；2.判斷\(f(x)=|x|\)、\(f(x)=x+\frac{1}{x}\)的奇偶性；3.已知\(f(x)=kx+b\)在\(\mathbb{R}\)上遞增，求\(k\)的取值范圍。提升題（綜合應(yīng)用）4.求\(f(x)=\log_2(x^2-2x)\)的單調(diào)遞增區(qū)間（提示：復(fù)合函數(shù)“同增異減”）；5.已知\(f(x)\)是偶函數(shù)，且在\([0,+\infty)\)上遞增，求\(f(1-x)>f(2)\)的解集。專題三：一次函數(shù)與二次函數(shù)一、知識點回顧1.一次函數(shù)：\(y=kx+b\)（\(k\neq0\)），圖像為直線；單調(diào)性：\(k>0\)遞增，\(k<0\)遞減；值域：\(\mathbb{R}\)。2.二次函數(shù)：一般式：\(y=ax^2+bx+c\)（\(a\neq0\)）；頂點式：\(y=a(x-h)^2+k\)（頂點\((h,k)\)，對稱軸\(x=h\)）；交點式：\(y=a(x-x_1)(x-x_2)\)（\(x_1,x_2\)為零點）；最值：\(a>0\)時，最小值為\(k\)；\(a<0\)時，最大值為\(k\)；單調(diào)性：對稱軸左側(cè)與右側(cè)單調(diào)性相反（\(a>0\)時，左減右增；\(a<0\)時，左增右減）。二、典型例題例1已知二次函數(shù)頂點為\((1,3)\)，且過點\((2,5)\)，求其解析式。解析設(shè)頂點式\(y=a(x-1)^2+3\)，代入\((2,5)\)得：\(5=a(2-1)^2+3\Rightarrowa=2\)。因此，解析式為\(y=2(x-1)^2+3=2x^2-4x+5\)。例2求\(f(x)=x^2-2x+3\)在\([0,3]\)上的最值。解析對稱軸為\(x=1\)（在區(qū)間內(nèi)），開口向上。最小值：\(f(1)=1-2+3=2\)；最大值：比較端點值，\(f(0)=3\)，\(f(3)=9-6+3=6\)，故最大值為\(6\)。例3已知一次函數(shù)\(y=kx+1\)與二次函數(shù)\(y=x^2+2x\)有兩個交點，求\(k\)的取值范圍。解析聯(lián)立方程得\(x^2+2x=kx+1\Rightarrowx^2+(2-k)x-1=0\)。有兩個交點等價于判別式\(\Delta>0\)，即\((2-k)^2+4>0\)（恒成立）。因此，\(k\)的取值范圍為\(\mathbb{R}\)。三、專項練習(xí)基礎(chǔ)題（鞏固基礎(chǔ)）1.求\(y=2x+1\)在\([0,2]\)上的值域；2.求\(y=x^2-4x+5\)的頂點坐標與對稱軸；3.已知二次函數(shù)過\((0,0)\)、\((1,1)\)、\((2,4)\)，求其解析式。提升題（靈活應(yīng)用）4.求\(y=x^2+2ax+1\)在\([0,2]\)上的最小值（提示：討論對稱軸\(x=-a\)與區(qū)間的位置關(guān)系）；5.已知一次函數(shù)\(y=kx+b\)與二次函數(shù)\(y=x^2\)交于\((1,1)\)和\((2,4)\)，求\(k,b\)的值。專題四：指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)一、知識點回顧1.指數(shù)函數(shù)：\(y=a^x\)（\(a>0\)且\(a\neq1\)）；定義域：\(\mathbb{R}\)；值域：\((0,+\infty)\)；單調(diào)性：\(a>1\)遞增，\(0<a<1\)遞減；圖像：過\((0,1)\)點，\(a>1\)時向右上方傾斜，\(0<a<1\)時向右下方傾斜。2.對數(shù)函數(shù)：\(y=\log_ax\)（\(a>0\)且\(a\neq1\)）；定義域：\((0,+\infty)\)；值域：\(\mathbb{R}\)；單調(diào)性：\(a>1\)遞增，\(0<a<1\)遞減；圖像：過\((1,0)\)點，\(a>1\)時向右上方傾斜，\(0<a<1\)時向右下方傾斜；對數(shù)運算性質(zhì)：\(\log_a(MN)=\log_aM+\log_aN\)，\(\log_a\frac{M}{N}=\log_aM-\log_aN\)，\(\log_aM^n=n\log_aM\)，換底公式\(\log_ab=\frac{\log_cb}{\log_ca}\)。二、典型例題例1比較\(2^{0.3}\)、\(0.3^2\)、\(\log_20.3\)的大小。解析利用中間值\(0\)和\(1\)：\(2^{0.3}>2^0=1\)；\(0<0.3^2=0.09<1\)；\(\log_20.3<\log_21=0\)。因此，\(\log_20.3<0.3^2<2^{0.3}\)。例2求\(y=\log_2(x-1)\)的定義域。解析對數(shù)真數(shù)需大于\(0\)，即\(x-1>0\Rightarrowx>1\)。因此，定義域為\((1,+\infty)\)。例3解指數(shù)方程\(2^{x+1}=8\)。解析化為同底數(shù)：\(2^{x+1}=2^3\Rightarrowx+1=3\Rightarrowx=2\)。三、專項練習(xí)基礎(chǔ)題（鞏固基礎(chǔ)）1.比較\(3^{0.5}\)、\(0.5^3\)、\(\log_30.5\)的大??；2.求\(y=\log_3(2x-1)\)的定義域；3.解對數(shù)方程\(\log_2(x+1)=3\)。提升題（綜合應(yīng)用）4.求\(y=2^{x^2-2x}\)的單調(diào)遞減區(qū)間（提示：復(fù)合函數(shù)“同增異減”）；5.解指數(shù)不等式\(3^{x+1}>9\)（提示：化為同底數(shù)）。專題五：函數(shù)的應(yīng)用一、知識點回顧1.函數(shù)零點：\(f(x)=0\)的解（圖像與\(x\)軸的交點橫坐標）；零點存在定理：若\(f(x)\)在\([a,b]\)連續(xù)，且\(f(a)f(b)<0\)，則\((a,b)\)內(nèi)有零點。2.實際問題建模：一次函數(shù)模型：線性增長/遞減（如行程問題、成本問題）；二次函數(shù)模型：最值問題（如利潤問題、面積問題）；指數(shù)函數(shù)模型：指數(shù)增長/衰減（如人口增長、半衰期問題）。二、典型例題例1求\(f(x)=x^2-3x+2\)的零點。解析令\(f(x)=0\)，解得\(x=1\)或\(x=2\)。因此，零點為\(1\)和\(2\)。例2用零點存在定理判斷\(f(x)=2^x+x-3\)在\((1,2)\)內(nèi)是否有零點。解析\(f(1)=2+1-3=0\)（端點處為零點），\(f(2)=4+2-3=3>0\)。因\(f(1)=0\)，故\(x=1\)是零點，\((1,2)\)內(nèi)無零點（或直接計算\(f(1.5)=2^{1.5}+1.5-3\approx2.828+1.5-3=1.328>0\)，\(f(1)=0\)）。例3某商店銷售某種商品，每件成本\(50\)元，售價\(x\)元，銷售量\(y=____x\)（\(x\geq50\)），求利潤函數(shù)，并求最大利潤。解析利潤\(P=(x-50)y=(x-50)(____x)=-20x^2+3000x-____\)。二次函數(shù)開口向下，頂點橫坐標為\(x=-\frac{2a}=-\frac{3000}{2\times(-20)}=75\)。最大利潤為\(P(75)=-20\times75^2+3000\times____=____\)元。三、專項練習(xí)基礎(chǔ)題（鞏固基礎(chǔ)）1.求\(f(x)=x^2-5x+6\)的零點；2.用零點存在定理判斷\(f(x)=x^3-1\)在\((0,2)\)內(nèi)是否有零點；3.某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每件成本\(10\)元，售價\(x\)元，銷售量\(y=____x\)，求利潤函數(shù)。提升題（綜合應(yīng)用）4.求\(f(x)=2^x-x-1\)的零點個數(shù)（提示：畫圖觀察）；5.某城市人口為\(100\)萬，年增長率為\(2\%\)，求\(10\)年后人口數(shù)（提示：指數(shù)函數(shù)模型\(y=100(1+2\%)^t\)）。綜合訓(xùn)練（涵蓋多知識點）1.已知\(f(x)=\frac{ax+1}{x+2}\)在\((-2,+\infty)\)上遞增，求\(a\)的取值范圍（提示：定義法）；2.已知\(f(x)=x^3+bx^2+cx+d\)是奇函數(shù)，且在\(x=1\)處取得極值，求\(b,c,d\)的值（提示：奇偶性得\(b=0,d=0\)，極值得\(c=-3\)）；3.求\(f(x)=\log_2(x^2-2x+3)\)的值域（提示：先求內(nèi)層函數(shù)值域）；4.解不等式\(f(x)=x^2-2x-3>0\)（提示：因式分解或圖像法）；5.某商店銷售某種商品，每件成本\(20\)元，售價\(x\)元，銷售量\(y=____x\)，求最大利潤（提示：二次函數(shù)最值）。答案解析（節(jié)選）專題一專項練習(xí)1.定義域：\(2x+1\geq0\)且\(x-3\neq0\Rightarrowx\geq-\frac{1}{2}\)且\(x\neq3\)，故定義域為\([-\frac{1}{2},3)\cup(3,+\infty)\)；2.值域：\(f(x)=-(x-2)^2+3\Rightarrow\)值域為\((-\infty,3]\)；3.是函數(shù)（\(A\)中任意\(x\)對應(yīng)\(B\)中唯一值）。專題二專項練習(xí)4.單調(diào)遞增區(qū)間：內(nèi)層函數(shù)\(t=x