2.2.2有理數(shù)加法的運(yùn)算律第二章

有理數(shù)及其運(yùn)算【2025新教材】北師大版數(shù)學(xué)

七年級(jí)上冊(cè)

授課教師：********班級(jí)：********時(shí)間：********2.2.2有理數(shù)加法的運(yùn)算律一、復(fù)習(xí)導(dǎo)入同學(xué)們，上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了有理數(shù)的加法法則，還記得同號(hào)兩數(shù)、異號(hào)兩數(shù)以及一個(gè)數(shù)與0相加的規(guī)則嗎？比如（+3）+（+2），根據(jù)同號(hào)兩數(shù)相加的法則，取相同的正號(hào)，把絕對(duì)值相加，結(jié)果是+5；（+5）+（-3），異號(hào)兩數(shù)相加，絕對(duì)值不相等，取絕對(duì)值較大的+5的符號(hào)，并用較大絕對(duì)值5減去較小絕對(duì)值3，結(jié)果是+2。同時(shí)我們也初步認(rèn)識(shí)了加法交換律和結(jié)合律，這節(jié)課我們將深入探究2.2.2有理數(shù)加法的運(yùn)算律，看看如何利用它們讓有理數(shù)加法運(yùn)算更加簡(jiǎn)便快捷。二、有理數(shù)加法運(yùn)算律回顧與深化（一）加法交換律回顧定義：兩個(gè)數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，和不變，用字母表示為\(a+b=b+a\)。通過(guò)簡(jiǎn)單例子，如\(2+3=3+2=5\)，\((-2)+5=5+(-2)=3\)，讓學(xué)生快速回憶起加法交換律的內(nèi)容。深化理解：提出問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生思考，“為什么加法交換律在有理數(shù)范圍內(nèi)同樣適用呢？”結(jié)合數(shù)軸，以\(3+(-5)\)和\((-5)+3\)為例，在數(shù)軸上分別演示兩種運(yùn)算順序的過(guò)程，發(fā)現(xiàn)最終到達(dá)的位置相同，說(shuō)明和不變。強(qiáng)調(diào)交換律不僅僅適用于正數(shù)相加，對(duì)于任意有理數(shù)，交換加數(shù)位置后，其在數(shù)軸上表示的“移動(dòng)”結(jié)果是一致的，進(jìn)一步理解交換律的本質(zhì)。（二）加法結(jié)合律回顧定義：三個(gè)數(shù)相加，先把前兩個(gè)數(shù)相加，或者先把后兩個(gè)數(shù)相加，和不變，用字母表示為\((a+b)+c=a+(b+c)\)。回顧上節(jié)課\((2+3)+4=2+(3+4)=9\)，\([(-1)+2]+3=(-1)+(2+3)=4\)的例子，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)結(jié)合律的記憶。深入探究：通過(guò)實(shí)際計(jì)算對(duì)比，讓學(xué)生感受結(jié)合律的作用。計(jì)算\((-2)+3+(-8)\)，按照常規(guī)順序從左到右計(jì)算：\((-2)+3=1\)，\(1+(-8)=-7\)；若利用結(jié)合律，將式子變形為\((-2)+[(-8)+3]\)，先計(jì)算\((-8)+3=-5\)，再計(jì)算\((-2)+(-5)=-7\)。雖然結(jié)果相同，但后一種方法通過(guò)將互為相反數(shù)或能湊整的數(shù)先結(jié)合相加，簡(jiǎn)化了計(jì)算過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)結(jié)合律在優(yōu)化計(jì)算步驟上的優(yōu)勢(shì)。三、有理數(shù)加法運(yùn)算律的綜合應(yīng)用（一）多個(gè)有理數(shù)相加的簡(jiǎn)便運(yùn)算同號(hào)結(jié)合法：對(duì)于多個(gè)有理數(shù)相加，先將正數(shù)與正數(shù)、負(fù)數(shù)與負(fù)數(shù)分別結(jié)合相加，再將所得結(jié)果相加。例如計(jì)算\((+3)+(-2)+(+5)+(-8)\)，可變形為\([(+3)+(+5)]+[(-2)+(-8)]\)，先計(jì)算\((+3)+(+5)=8\)，\((-2)+(-8)=-10\)，最后\(8+(-10)=-2\)。通過(guò)此類例題，讓學(xué)生掌握這種分類結(jié)合的方法，減少計(jì)算錯(cuò)誤。湊整結(jié)合法：觀察式子中哪些數(shù)相加能湊成整數(shù)（如整十、整百等），將這些數(shù)結(jié)合起來(lái)先進(jìn)行運(yùn)算。比如計(jì)算\(1.25+(-3.4)+0.75+2.4\)，可將式子變形為\((1.25+0.75)+[(-3.4)+2.4]\)，\(1.25+0.75=2\)，\((-3.4)+2.4=-1\)，最終\(2+(-1)=1\)。讓學(xué)生學(xué)會(huì)觀察數(shù)字特點(diǎn)，靈活運(yùn)用湊整技巧簡(jiǎn)化計(jì)算?；橄喾磾?shù)結(jié)合法：若式子中有互為相反數(shù)的數(shù)，將它們結(jié)合相加得0。如計(jì)算\((-5)+3+5+(-2)\)，可直接得到\([(-5)+5]+[3+(-2)]=0+1=1\)。強(qiáng)調(diào)這種方法能極大地簡(jiǎn)化計(jì)算，快速得出結(jié)果。（二）實(shí)際問(wèn)題中的運(yùn)算律應(yīng)用例題講解：“某建筑工地在一周內(nèi)，周一運(yùn)進(jìn)水泥\(12\)噸，周二運(yùn)出水泥\(8\)噸，周三運(yùn)進(jìn)水泥\(15\)噸，周四運(yùn)出水泥\(6\)噸，周五運(yùn)進(jìn)水泥\(10\)噸，周六和周日因休息無(wú)運(yùn)輸。請(qǐng)問(wèn)這一周工地的水泥存量是增加還是減少了？變化了多少噸？”引導(dǎo)學(xué)生將運(yùn)進(jìn)記為正，運(yùn)出記為負(fù)，列出算式\((+12)+(-8)+(+15)+(-6)+(+10)\)，利用加法交換律和結(jié)合律，變形為\([(+12)+(+15)+(+10)]+[(-8)+(-6)]\)，計(jì)算得出\((+37)+(-14)=23\)噸，說(shuō)明水泥存量增加了\(23\)噸。學(xué)生練習(xí)：給出類似實(shí)際問(wèn)題，如“小明的零花錢賬戶，月初有\(zhòng)(50\)元，周一支出\(15\)元買文具，周二收到紅包\(20\)元，周三又支出\(8\)元買零食，周四得到父母獎(jiǎng)勵(lì)\(12\)元，問(wèn)周四結(jié)束后小明零花錢賬戶還有多少錢？”讓學(xué)生獨(dú)立思考，運(yùn)用運(yùn)算律解決問(wèn)題，然后分享解題思路和過(guò)程。四、典型例題精講（一）復(fù)雜式子的簡(jiǎn)便運(yùn)算例題1：計(jì)算\((-2.78)+(-4.33)+7.78+(-2.67)\)解：觀察式子，發(fā)現(xiàn)\((-2.78)\)與\(7.78\)、\((-4.33)\)與\((-2.67)\)分別能通過(guò)湊整簡(jiǎn)化計(jì)算。利用加法交換律和結(jié)合律，將式子變形為\([(-2.78)+7.78]+[(-4.33)+(-2.67)]\)，先計(jì)算\((-2.78)+7.78=5\)，\((-4.33)+(-2.67)=-7\)，最后\(5+(-7)=-2\)。（二）涉及分?jǐn)?shù)的運(yùn)算律應(yīng)用例題2：計(jì)算\(\frac{1}{3}+(-\frac{3}{4})+\frac{2}{3}+(-\frac{1}{4})\)解：利用加法交換律和結(jié)合律，將式子變形為\((\frac{1}{3}+\frac{2}{3})+[(-\frac{3}{4})+(-\frac{1}{4})]\)，\(\frac{1}{3}+\frac{2}{3}=1\)，\((-\frac{3}{4})+(-\frac{1}{4})=-1\)，所以結(jié)果為\(1+(-1)=0\)。（三）運(yùn)算律的靈活運(yùn)用例題3：計(jì)算\(99\frac{17}{18}??(-9)\)解：將\(99\frac{17}{18}\)變形為\((100-\frac{1}{18})\)，然后利用乘法分配律（后續(xù)會(huì)學(xué)習(xí)，這里先滲透簡(jiǎn)便運(yùn)算思想），式子變?yōu)閈((100-\frac{1}{18})??(-9)=100??(-9)-\frac{1}{18}??(-9)=-900+\frac{1}{2}=-899\frac{1}{2}\)，雖然涉及乘法，但通過(guò)變形展示運(yùn)算律的靈活運(yùn)用，拓寬學(xué)生思路。五、課堂練習(xí)填空題計(jì)算\((-3)+5+(-7)\)，利用加法結(jié)合律可變形為______。若\(a+b=5\)，則\(b+a=\)______，依據(jù)是______。計(jì)算\(1\frac{1}{2}+(-\frac{2}{3})+\frac{1}{2}+(-\frac{1}{3})\)，結(jié)果為______。選擇題計(jì)算\((-1)+3+(-5)+7+\cdots+(-97)+99\)，簡(jiǎn)便方法是（

）A.把相鄰的兩個(gè)數(shù)相加B.把第一項(xiàng)與最后一項(xiàng)相加，第二項(xiàng)與倒數(shù)第二項(xiàng)相加，以此類推C.把第一個(gè)數(shù)與后面每一個(gè)數(shù)相加D.無(wú)法確定簡(jiǎn)便方法下列計(jì)算正確運(yùn)用運(yùn)算律的是（

）A.\((-8)+(-5)+10=(-8)+(10+5)\)B.\(3+(-2)+(-4)=3+[(-2)+(-4)]\)C.\([(-4)+(-6)]+3=(-4)+3+(-6)\)D.\(1+(-2)+3+(-4)=(1+2)+(-3-4)\)解答題計(jì)算\((-23)+59+(-41)+21\)。某汽車廠計(jì)劃一周生產(chǎn)汽車\(1400\)輛，平均每天生產(chǎn)\(200\)輛，但由于種種原因，實(shí)際每天生產(chǎn)量與計(jì)劃量相比有出入。下表是某周的生產(chǎn)情況（超產(chǎn)記為正、減產(chǎn)記為負(fù)）：|星期|一|二|三|四|五|六|日||----|----|----|----|----|----|----|----||增減|+5|-2|-4|+13|-10|+16|-9|求該廠本周實(shí)際生產(chǎn)汽車的數(shù)量。六、課堂小結(jié)回顧有理數(shù)加法交換律和結(jié)合律的定義、表達(dá)式及適用范圍，強(qiáng)調(diào)它們?cè)谟欣頂?shù)加法運(yùn)算中的重要性。總結(jié)有理數(shù)加法運(yùn)算律的應(yīng)用方法，如同號(hào)結(jié)合法、湊整結(jié)合法、互為相反數(shù)結(jié)合法等，以及在實(shí)際問(wèn)題中的運(yùn)用要點(diǎn)。提醒學(xué)生在運(yùn)用運(yùn)算律時(shí)，要仔細(xì)觀察式子中數(shù)字的特點(diǎn)，靈活選擇合適的方法進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算，同時(shí)注意符號(hào)的處理。七、課后作業(yè)完成課本上對(duì)應(yīng)本節(jié)內(nèi)容的練習(xí)題，鞏固有理數(shù)加法運(yùn)算律的應(yīng)用。思考并探索：在有理數(shù)加法中，是否存在其他特殊的簡(jiǎn)便運(yùn)算技巧或規(guī)律？嘗試舉例說(shuō)明。尋找生活中至少兩個(gè)可以運(yùn)用有理數(shù)加法運(yùn)算律解決的實(shí)際問(wèn)題，詳細(xì)記錄問(wèn)題及解題過(guò)程，下節(jié)課與同學(xué)交流分享。這份課件圍繞有理數(shù)加法運(yùn)算律展開，旨在幫助學(xué)生熟練運(yùn)用運(yùn)算律進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算。若你對(duì)內(nèi)容的講解深度、例題難度或練習(xí)類型有調(diào)整需求，隨時(shí)可以和我說(shuō)。5課堂檢測(cè)4新知講解6變式訓(xùn)練7中考考法8小結(jié)梳理學(xué)習(xí)目錄1復(fù)習(xí)引入2新知講解3典例講解通過(guò)探索有理數(shù)加法運(yùn)算律簡(jiǎn)化運(yùn)算的過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生觀察、比較、歸納及運(yùn)算能力。重點(diǎn)舊知回顧計(jì)算下列各題（直接寫結(jié)果）：（1）（－8）＋（－9），（－9）＋（－8）；（2）4＋（－7），（－7）＋4；（3）[2＋（－3）]＋（－8），2＋[（－3）＋（－8）]；（4）[10＋（－10）]＋（－5），10＋[（－10）＋（－5）]。（1）－17；－17。（2）－3；－3。（3）－9；－9。（4）－5；－5有理數(shù)加法的運(yùn)算律探究點(diǎn)請(qǐng)分別用文字表述和字母表示加法交換律、加法結(jié)合律。問(wèn)題1加法交換律加法結(jié)合律在有理數(shù)的加法中，三個(gè)數(shù)相加,先把前兩個(gè)數(shù)相加，或者先把后兩個(gè)數(shù)相加，和不變。在有理數(shù)的加法中，兩個(gè)數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，和不變。a+b=b+a(a+b)+c=a+(b+c)探索新知我們學(xué)習(xí)加法運(yùn)算律的目的是什么？問(wèn)題2通過(guò)改變加數(shù)的位置并進(jìn)行組合，使運(yùn)算更加簡(jiǎn)便。例

計(jì)算：31+(-28)+28+69.解：31+(-28)+28+69=31+69+[(-28)+28]=100+0=100加法交換律加法結(jié)合律有理數(shù)加法法則計(jì)算下列各式，說(shuō)一說(shuō)你是怎么做的。問(wèn)題3(1)20+(-17)+15+(-10)；(2)(-1.8)+(-6.5)+(-4)+6.5；(3)(-12)+34+(-38)+66；(4)。(1)20+(-17)+15+(-10)(2)(-1.8)+(-6.5)+(-4)+6.5=20+15+[(-17)+(-10)]=35+(-27)=8同號(hào)結(jié)合法=(-1.8)+(-4)+[(-6.5)+6.5]=-5.8+0=-5.8相反數(shù)結(jié)合法(3)(-12)+34+(-38)+66(4)=(-12)+(-38)+(66+34)=(-50)+100=50同號(hào)結(jié)合法湊整法同分母結(jié)合法湊整法結(jié)合問(wèn)題3的解題過(guò)程，對(duì)于有理數(shù)加法運(yùn)算，你積累了哪些簡(jiǎn)便計(jì)算的經(jīng)驗(yàn)？問(wèn)題4考慮使用加法運(yùn)算律先結(jié)合相加符號(hào)相同分母相同(或易于通分)互為相反數(shù)相加得整數(shù)1．計(jì)算：（1）(-3)+40+(-32)+(-8)；（2）13+(-56)+47+(-34)；（3）43+(-77)+27+(-43)。練一練【課本P37隨堂練習(xí)第1題】解：（1）(-3)+40+(-32)+(-8)=(-3)+40+[(-32)+(-8)]=(-3)+40+(-40)=(-3)+[40+(-40)]=-3（2）13+(-56)+47+(-34)=(13+47)+[(-56)+(-34)]=60+(-90)=-30（3）43+(-77)+27+(-43)=

[43+(-43)]+[

(-77)+27]

=0+(-50)=-50例某早餐店購(gòu)進(jìn)標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量為50kg的面粉10袋，復(fù)稱時(shí)發(fā)現(xiàn)誤差(單位:kg)如下(超過(guò)的部分記為正，不足的部分記為負(fù)):+0.6，+1.8，-2.2，+0.4，-1.4，-0.9，+0.3，+1.5，+0.9，-0.8。(1)該早餐店實(shí)際購(gòu)進(jìn)的面粉總質(zhì)量比標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量重還是輕?重或輕多少千克?解：0.6+1.8+(-2.2)

+0.4+

(-1.4)+

(-0.9)

+0.3+1.5+0.9+(-0.8)=(0.6+0.4)+[1.8+(-0.8)]+[(-2.2)+(-1.4)]+[(-0.9)+0.9

]

+(0.3+1.5)=1+1+(-3.6)+0+1.8=0.2(kg)因此，該早餐店實(shí)際購(gòu)進(jìn)的面粉總質(zhì)量比標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量重，重0.2kg。+0.6，+1.8，-2.2，+0.4，-1.4，-0.9，+0.3，+1.5，+0.9，-0.8。(2)這10袋面粉的總質(zhì)量是多少千克?解：(2)50×10+0.2=500.2(kg)因此，這10袋面粉的總質(zhì)量是500.2kg。1．某日小明在一條南北方向的健身步道上跑步。

他從A地出發(fā)，每隔10min記錄下自己的跑步情況（向南為正方向，單位：m）：-1008，1100，-976，1010，-827，946。1h后他停下來(lái)休息，此時(shí)他在A地的什么方向？距A地多遠(yuǎn)？小明共跑了多少米？練一練【課本P44習(xí)題2.2第5題】解：(-1008)+1100+(-976)+1010+(-827)+946=1100+1010+946+[(-1008)+(-976)+(-827)]=3056+(-2811)=245(m)答：小明