第一節(jié)真值聯(lián)結(jié)詞與真值函項第二節(jié)命題判定

第三節(jié)命題自然推理第一節(jié)真值聯(lián)結(jié)詞與真值函項一、真值形式與真值函項(一)真值形式復(fù)合命題是由若干肢命題借助一定的邏輯聯(lián)結(jié)詞而構(gòu)成的。各種復(fù)合命題的肢命題之間，除了具有真假關(guān)系之外，還存在著某些其他方面的聯(lián)系。邏輯學(xué)沒有必要，也沒有可能對它們都一一加以研究。命題邏輯只從形式結(jié)構(gòu)上來研究命題，它在研究復(fù)合命題時，要研究和把握的僅僅是復(fù)合命題的肢命題之間在結(jié)構(gòu)上的最一般聯(lián)系，即真假方面的聯(lián)系。命題邏輯和傳統(tǒng)邏輯都屬二值邏輯，真和假是命題僅有的兩個值，統(tǒng)稱“真值”，因此，肢命題之間存在的真假方面的聯(lián)系，就是肢命題之間的真值聯(lián)系。命題邏輯從命題間的各種聯(lián)系中抽象和概括出真假方面的聯(lián)系(真值聯(lián)系)，并從肢命題之間的真假(真值)角度來考慮和判定復(fù)合命題的真假。于是，命題邏輯將一些由復(fù)合命題聯(lián)結(jié)詞和肢命題構(gòu)成的形式結(jié)構(gòu)稱作真值形式。1.真值聯(lián)結(jié)詞真值聯(lián)結(jié)詞指表示復(fù)合命題與肢命題之間真假關(guān)系，并從肢命題真假來考查復(fù)合命題的真假而確定其真假關(guān)系的命題邏輯聯(lián)結(jié)詞。基本的真值聯(lián)結(jié)詞主要有五個：否定(并非)、合取(并且)、析取(或)、蘊涵(如果，那么)、等值(當(dāng)且僅當(dāng))。2.真值形式真值形式其實就是由真值聯(lián)結(jié)詞和命題變項所構(gòu)成的形式結(jié)構(gòu)，這里的命題變項指成分命題(肢命題)，成分命題可以是復(fù)合命題,也可以是基本結(jié)構(gòu)原子命題(簡單命題)，所以，真值形式實際上也就是復(fù)合命題形式，即復(fù)合命題形式結(jié)構(gòu)。真值形式有一個構(gòu)成定義，按構(gòu)成定義得到的結(jié)構(gòu)，才是可用的真值形式，如果不滿足這個構(gòu)成定義，就不是一個真值形式。真值形式構(gòu)成定義首先給出可用的基本符號，有了基本符號，用這些可用符號表達真值形式結(jié)構(gòu)的時候，應(yīng)考慮真值形式構(gòu)成原則的問題，由這些原則來構(gòu)成的，才是一個有意義的命題形式結(jié)構(gòu)，也才可以表達真值形式。(二)真值函項1.真值函數(shù)真值函項其實是從真值的對應(yīng)角度建立起來的一種函數(shù)，通常情況下人們所說的函數(shù)，指的是兩類對象之間的某種對應(yīng)關(guān)系，這種對應(yīng)關(guān)系可以是不同方面的，通常情況下是指數(shù)值方面的對應(yīng)。兩個類，一類當(dāng)中的數(shù)值對應(yīng)另一類當(dāng)中的數(shù)值，這種對應(yīng)如果存在，那么我們就說這兩個類存在函數(shù)關(guān)系。當(dāng)然這種關(guān)系不一定都是數(shù)值的對應(yīng)，它也可以是其它的一些東西，比如說，真值。真值函數(shù)定義：自變量定義域為真值，其值域仍為真值的函數(shù)叫做真值函數(shù)。一個類的真值對應(yīng)另一個類的真值，于是，我們就說這兩類存在著一種函數(shù)關(guān)系，這個函數(shù)由于是真值對應(yīng)函數(shù)，所以，就把這種函數(shù)稱之為真值函數(shù)。復(fù)合命題由基本原子命題構(gòu)成，復(fù)合命題與構(gòu)成它的基本原子命題之間確實存在著這種真值對應(yīng)，如果我們把構(gòu)成復(fù)雜結(jié)構(gòu)的基本原子命題看成一個類，在基本原子命題被賦予特定的真值情況下，就一定對應(yīng)著(基本原子命題所構(gòu)成的)復(fù)合命題某種真假，于是，就可以把復(fù)合命題(真值形式)說成是它的自變元(也就是基本原子命題)的函數(shù)，現(xiàn)代命題邏輯把反映一種特定真值對應(yīng)結(jié)果的真值函數(shù)稱為真值函項。真值函項是由真值形式來表達的，任意一個真值形式，都可以表達一個真值函項。真值函項反映著某種跟真假取值有關(guān)的真值對應(yīng)關(guān)系，它所考慮的僅只是真值對應(yīng)關(guān)系結(jié)果，而并不關(guān)心真值函項所確定的真值對應(yīng)結(jié)果是由什么樣的真值形式結(jié)構(gòu)來反映的，對于真值函項來說，只要其所確定的真值對應(yīng)結(jié)果相同，就被認定為同一真值函項。真值函項不同于真值形式的地方在于，真值形式只關(guān)注形式結(jié)構(gòu)本身，它的真假，即取值結(jié)果一定是由真值形式本身的結(jié)構(gòu)關(guān)系決定的。因此，真值形式跟真值函項的對應(yīng)就不是一對一的，不同的真值形式可以表達同一個真值函項。但是如果要從真值函項這個角度來看，其實他們表達的是同一真值函項，為什么呢，因為他們所確定的真值對應(yīng)結(jié)果是完全一樣的，所以，真值形式同真值函項的對應(yīng)關(guān)系是，不同的真值形式它可以表達相同的真值函項。2.真值函項的個數(shù)真值形式都可以用來表達真值函項，所以真值函項的總數(shù)自然是無窮多的。這里我們要討論在給定n個命題變元前提下，通過這n個命題變元表達的真值對應(yīng)結(jié)果，即通過它們表達的真值函項有多少個？n個命題變元情況下，命題變元的真值排列結(jié)果為2n種可能，對應(yīng)的表達的真值對應(yīng)結(jié)果真值函項則有22n個。當(dāng)n=1時，也就是只有一個子變元的時候，命題變元真假的取值只有兩種，就是真和假，如表7-1所示。從表中可知，只有一個命題變元時的真值函項共有四個，f1(p)是指不論命題變元p取何值(真或假)，函項值總為真。f4(p)?則相反，不論命題變元p真假如何，函數(shù)值總為假。f2(p)和f3(p)?則有時真有時假。這四種真值函項可以用相應(yīng)的真值形式表示：f1(p)是恒取值為真的函項，其相應(yīng)真值形式可表示為p∨﹁p；f2(p)取值可真可假，與“p”取值相同，故可用?﹁﹁p來表示；f3(p)取值可真可假，與“p”取值正好相反，故可用?﹁p來表示；f4(p)恒取值為假，故可以表示為p∧﹁p，也可以表示為?﹁(p∨﹁p)?？梢?，不同的真值形式可以表示相同的真值函項。設(shè)n?=?2，那么命題變元真假搭配(排列)為22?=?4，真值函項的個數(shù)為2的4次方等于16。我們把fi(p,q)簡寫成fi(i?=?1,?2,?…,?16)，這16個真值函項都可以找到表達它們的真值形式，如表7-2所示。其中，f2(p,q)可用p∨q表示；f5(p,q)可用p?→?q表示；f7(p,q)可用p???q表示；f8(p,q)可用p∧q表示。不同的真值形式可以描述有著相同的真值對應(yīng)結(jié)果的真值函項，只要能判定它的取值結(jié)果是一樣的，當(dāng)然，如何來判定涉及到等值判定的問題。3.真值函項和真值形式的種類真值函項的種類：(1)常真的，如上真值表中第一種情況，不管是n等于1還是n等于2的真值函項，對于自變元的任意真值指派，第一個真值函項取值總是真的，這種真值函項稱之為常真的真值函項。(2)常假的，上表中不管是n等于1還是2，最后一列這個真值函項，對于自變元的任意真值指派，取值都是假的。這種真值函項稱為常假的真值函項。(3)可滿足的，除永真式和永假式外，對于自變元的任意真值指派，真值函項的取值可真可假，這種真值函項稱為可滿足的真值函項。真值形式的種類：(1)重言式(永真式)，可表達常真的真值函項的真值形式稱之為重言式，也叫永真式。(2)矛盾式，用于表達常假的真值函項的真值形式稱為矛盾式。(3)可滿足式，用于表達有時真有時假的真值函項的真值形式稱為可滿足式。二、重言式重言式是邏輯真理的表現(xiàn)形式，重言式表達了有關(guān)真值聯(lián)結(jié)詞的邏輯規(guī)律，也是相關(guān)的各種復(fù)合命題的邏輯規(guī)律。命題邏輯中的一切正確(有效)的推理形式均表現(xiàn)為重言式。傳統(tǒng)邏輯的同一律、矛盾律和排中律也可分別表現(xiàn)為p?→?p、﹁(p∧﹁p)、p∨﹁p等重言式；而充分條件假言推理的“否定后件式”則可表現(xiàn)為重言式：(p?→?q)∧﹁q?→?﹁p；反三段論原理可表現(xiàn)為重言式：(((p∧q?→?r)∧(p∧﹁r)))?→?﹁q；等等。重言式中重言蘊涵式和重言等值式尤為重要。因為凡是正確的推理形式均可表現(xiàn)為重言蘊涵式或重言等值式，并且絕大多數(shù)常用的邏輯規(guī)律都表達為重言蘊涵式或重言等值式。重言蘊涵式和重言等值式，分別是指其主連接詞是蘊涵詞和等值詞的重言式，它們是邏輯推理的真理表達形式。第二節(jié)命題判定一、真值表法真值表的主要作用是判定作用，對一個命題結(jié)構(gòu)的取值情況，通過圖表描述直觀地反映出來，通過真值表，可以判定一個真值形式的情況，是永真的，永假的，還是可滿足的情況，都可以直觀地反映出來。所以，所謂的真值表就是一種顯示命題變元在各種真值指派下，命題形式或者真值形式的取值情況的表格。借助這種真值表的描述可以進行以下判定：(1)判定一個真值形式是否是重言式，矛盾式，可滿足式；(2)判定兩個真值形式是等值的，還是矛盾的；(3)判定推理形式是否有效。真值表判定重言式主要針對推理，它的最終目的是判定推理的有效性，如果表達推理的真值形式通過真值表判定為永真式，這個推理就是一個有效的推理。所以如果把推理看成是一個蘊涵式的真值形式，就可以借助真值表來判斷它有效與否。真值表法的三個步驟：(1)找出給定真值形式的所有命題變元，即基本命題變項，選擇字母p、q、r等表示這些命題變元，然后把這些命題變元的真值指派(真假排列)統(tǒng)統(tǒng)列舉出來。(2)根據(jù)需判定真值形式的結(jié)構(gòu)構(gòu)成情況，由簡到繁地把需判定的真值形式當(dāng)中所出現(xiàn)的所有的真值成分都列在真值表當(dāng)中。順序是從簡到繁的順序，就是說不管這個真值形式有多么復(fù)雜，凡是需判定真值形式成分結(jié)構(gòu)，統(tǒng)統(tǒng)都要列在真值表當(dāng)中，因為需判定的真值形式的真值，與所有成分結(jié)構(gòu)有關(guān)。(3)通過演算各部分的真值，最后得到需判定的真值形式的取值結(jié)果，這個取值結(jié)果反映在真值表中，真值表的工作就完成了，現(xiàn)在只需要來看真值表結(jié)果就可以了，這個結(jié)果反映出它是一個重言式，矛盾式還是可滿足式。二、歸謬賦值法上面我們介紹了真值表的判定方法，一個真值形式，只要是有限構(gòu)成的，都可用真值表方法判定。但是，包含了多個命題變項的真值形式，由于它的真值表有2n行(比如有4個命題變項，那么真值表上就應(yīng)有16行)。顯然，真值表對于包含較多命題變項的真值形式來講，其判定過程非常的繁瑣。因此，有必要使用更加簡便的方法。于是，人們就在真值表方法的基礎(chǔ)上提出了簡化的真值表方法，稱為歸謬賦值法。這種方法主要用于判定蘊涵式以及能轉(zhuǎn)換為蘊涵式的等值式。由于要判定的真值形式通常是代表推理形式的蘊涵式，因此，歸謬賦值法是一種非常適用的判定方法。歸謬賦值法的主要思路是：要證明一個蘊涵公式(A?→?B)是重言式，則要證明：其中的變項無論被賦予何值，蘊涵公式前件A真而后件B假是不可能的，換言之，如果前件真而后件假，則變項的賦值結(jié)果必然出現(xiàn)邏輯矛盾(不可能的完全真值指派)。歸謬賦值法可分為三個步驟：(1)假定需判定的真值形式(蘊涵式)是假的。(2)從第一步的假定出發(fā)，根據(jù)五個真值聯(lián)結(jié)詞的真值表，依次對公式中的各部分公式賦以相應(yīng)的真值，直到所有的變項都被賦以確定的真值(完全真值指派)為止。(3)檢查所有變項的真值，如果其中至少一個變項既真又假，即出現(xiàn)了賦值矛盾(注：如果有多于一種真值指派，則需每種指派時都出現(xiàn)矛盾)，這樣可以證明被判定的公式不可能為假，只能為真，因而它是一個重言式；如果并未導(dǎo)致邏輯矛盾，這就證明原假定成立，因而被判定的公式不是重言式。

第三節(jié)命題自然推理一、自然推理系統(tǒng)中的合式公式傳統(tǒng)邏輯主要是采用自然語言的結(jié)構(gòu)詞來表達各種形式結(jié)構(gòu)及各種結(jié)構(gòu)方面的特性的，但正是由于自然語言表達方面比較豐富，因此就導(dǎo)致自然語言存在歧義。為了克服這種弊端，現(xiàn)代邏輯采用形式語言符號來表達各種形式結(jié)構(gòu)。也就是說，采用形式語言來給出形式結(jié)構(gòu)方面的表意。這樣就顯得非常精確。形式語言是一種具有精確規(guī)則的能夠表意的符號系統(tǒng)。實際上，形式語言是構(gòu)造邏輯系統(tǒng)的基礎(chǔ)，任何邏輯演算系統(tǒng)都是建立在這種形式語言基礎(chǔ)上的。形式語言是由字母表和合式公式來構(gòu)成的。以字母表形式給出符號庫，在形式語言中，只有采用符號庫所提供的符號，才是合法的。不能夠選擇符號庫之外的符號來構(gòu)成符號表意。也就是說形式結(jié)構(gòu)里邊不能夠出現(xiàn)符號庫以外的字母。符號庫的符號分為三種：一種是命題變項符號，采用小寫字母表示，如：p、q、r、s、p1、p2…。另一種是聯(lián)結(jié)詞符號，實際上就是前面講的真值聯(lián)結(jié)詞，有五個基本的真值聯(lián)結(jié)詞，﹁、∧、∨、→、?。除此之外的其它符號還包括括號和逗號(，)。以上是符號庫里合法的、可以用于構(gòu)造形式結(jié)構(gòu)的符號。合式公式的構(gòu)成規(guī)則：(1)任何命題變項都是合式公式。(2)如果A和B是合式公式，那么由5個基本的真值聯(lián)結(jié)詞來連接A，B之后得到的也是合式公式，即?﹁A、A∧B、A∨B、A?→?B、A?B是合式公式。從邏輯角度來講，各種形式結(jié)構(gòu)都可以被視為合式公式。合式公式的意思是指由命題變元加上結(jié)構(gòu)詞合成的形式。實際上，邏輯學(xué)中的合式公式指的就是命題形式，或者說命題結(jié)構(gòu)。第一，任何的命題變項都是合式公式，這一點指出命題邏輯是以命題作為基本變元的形式結(jié)構(gòu)作為研究對象的，即命題演算系統(tǒng)中基本的命題變元并不是詞項而是命題。命題演算中各種形式結(jié)構(gòu)的命題變項只能是合式公式，不能是詞項。命題邏輯的研究內(nèi)容是圍繞命題間的邏輯關(guān)系來展開的。第二，如果A和B是合式公式，則非A，A和B的合取，A和B的析取，A蘊涵B，A和B的等值也是合式公式。五種聯(lián)結(jié)詞除否定以外的其它四個，只能在兩個合式公式之間出現(xiàn)才是合法的。第三，只有按此構(gòu)成規(guī)則構(gòu)成的是有窮符號串。才是合式公式。邏輯演算系統(tǒng)有公理化系統(tǒng)和自然推理系統(tǒng)。本書主要介紹自然推理系統(tǒng)。二、公理化系統(tǒng)命題邏輯公理化系統(tǒng)建立在以下內(nèi)容基礎(chǔ)上：(1)字母表(形式語言符號庫)。(2)構(gòu)成規(guī)則。(3)若干條基本公理。(4)基本規(guī)則。任何邏輯系統(tǒng)都要使用形式語言。形式語言的符號庫、基本字母表和合式公式的構(gòu)成規(guī)則是一個公理系統(tǒng)及任意一個邏輯系統(tǒng)的基礎(chǔ)，對于每一個邏輯系統(tǒng)來講都是如此。1.字母表(1)命題變項符號：p、q、r、s、p1，p2…(2)聯(lián)結(jié)詞符號：﹁、∧、∨、→、?(3)括號和逗號：(,)2.合式公式(1)?p、q、r、s、p1，p2…是合式公式。(2)如果A是合式公式，則﹁A也是。(3)如果A、B是合式公式，則(A∧B)、(A∨B)、(A?→?B)、(A???B)也是。(4)只有(1)，(2)，(3)構(gòu)成的有窮長符號串才是合式公式。定理：命題B為A1，A2，…，AK的邏輯結(jié)論(有效)當(dāng)且僅當(dāng)蘊涵式(A1∧A2∧…，AK)?→?B(K＞1)為重言式。3.公理(A、B、C表示任意的合式公式)L1：A?→?(B?→?A)L2：A?→?(B?→?C)?→?(A?→?B)?→?(A?→?C)L3：(((﹁A)?→?(﹁B))?→?(B?→?A))4.?MP分離規(guī)則若┣A→B，且┣A，則B一個使用形式語言的公理系統(tǒng)，通過初始公式(公理)和初始規(guī)則得到的公式就是這個系統(tǒng)的定律。一個形式(公理)系統(tǒng)的任務(wù)也就是證明這些定律的成立。以上是一個有三條基本公理的邏輯公理系統(tǒng)(L1、L2、L3)。公理系統(tǒng)除了給定的推理公理之外，還有基本規(guī)則，這個公理系統(tǒng)中被稱為MP的分離規(guī)則內(nèi)容是：如果A是系統(tǒng)的定律，A蘊涵著另一個形式結(jié)構(gòu)B，則B也是系統(tǒng)的定律，這種規(guī)則稱作公理系統(tǒng)規(guī)則。在公理系統(tǒng)當(dāng)中，通過初始公理得到的一切合式公式，都是公理系統(tǒng)的定律。也就是說一個公理系統(tǒng)的定律來自于系統(tǒng)最基本的公理和規(guī)則(凡可由系統(tǒng)基本公理和規(guī)則推理得到的合式公式均稱作系統(tǒng)的定律)。公理系統(tǒng)的任務(wù)之一是證明其定律在系統(tǒng)中成立。三、自然推理系統(tǒng)自然推理系統(tǒng)建立在形式語言基礎(chǔ)之上，但自然推理系統(tǒng)沒有公理，只有規(guī)則。和公理系統(tǒng)比較，他們之間的主要區(qū)別在于：公理化系統(tǒng)當(dāng)中有人為設(shè)定的公理，而自然推理系統(tǒng)沒有。嚴格來講，公理化系統(tǒng)的作用大于自然推理系統(tǒng)的作用。因為學(xué)科體系的終極目標是要建成科學(xué)的系統(tǒng)，也就是要構(gòu)造學(xué)科邏輯體系，而公理化則是學(xué)科邏輯體系建立的標志，是學(xué)科體系成熟的表現(xiàn)。從這點來看，自然推理沒有辦法達成這種系統(tǒng)化目的。自然推理系統(tǒng)構(gòu)成要素和公理化系統(tǒng)比較，自然推理系統(tǒng)沒有那些繁雜的、作為推理基本出發(fā)點的公理(公理集合)，這樣就有一個好處，那就是自然推理系統(tǒng)沒有必要再去考慮公理本身是不是有效的問題。由于公理選擇是帶有隨意性的，公理選擇跟系統(tǒng)構(gòu)成的目的有關(guān)系，構(gòu)成這個系統(tǒng)的目的是什么，要解決一個什么問題，跟要解決問題的學(xué)科體系本身有直接關(guān)聯(lián)，所以，在選擇公理的時候會有很大的隨意性。而公理又是不能夠證明的(沒辦法證明)，公理只是被普遍認為是科學(xué)的論斷，系統(tǒng)選擇這些公理，有可能會存在問題，這是人們所擔(dān)心的。自然推理系統(tǒng)沒有公理，只包含一些規(guī)則，就避免了公理化系統(tǒng)可能會出現(xiàn)的一些問題。同時，自然推理系統(tǒng)的這些規(guī)則來源于傳統(tǒng)邏輯，是有根據(jù)的，選擇上也沒有隨意性。系統(tǒng)選擇建立在傳統(tǒng)邏輯內(nèi)容之上的規(guī)則，有效性就有保障。自然推理系統(tǒng)當(dāng)中得到證明的定律及公式，將其放到公理化系統(tǒng)當(dāng)中，同樣可以作為公理化系統(tǒng)當(dāng)中的定律及公式使用。所以兩個系統(tǒng)可以相互證明，一個系統(tǒng)中被證明的合式公式放到另一個系統(tǒng)當(dāng)中，同樣也可以得到證明。自然推理系統(tǒng)是一種邏輯系統(tǒng)，這種建立在形式語言基礎(chǔ)上的邏輯系統(tǒng)中有三部分內(nèi)容：(1)符號庫。(2)構(gòu)成規(guī)則。(3)系統(tǒng)規(guī)則。由于符號庫及構(gòu)成規(guī)則已有詳細介紹，這里我們主要介紹一下自然推理系統(tǒng)的規(guī)則及其推理。自然推理系統(tǒng)不是只有一個，自然推理系統(tǒng)的建立與規(guī)則的選擇有關(guān)系，要建立一個怎樣的自然推理系統(tǒng)，要達到一個什么樣的目的，會圍繞目的本身來選擇構(gòu)成這個推理系統(tǒng)的規(guī)則。不同的推理系統(tǒng)，其系統(tǒng)規(guī)則是有所不同的。自然推理系統(tǒng)構(gòu)成要素中的符號庫和構(gòu)成規(guī)則，對于每一個自然推理系統(tǒng)來講都是一樣的，所以自然推理系統(tǒng)的區(qū)別僅跟規(guī)則有關(guān)，自然推理系統(tǒng)從規(guī)則角度來體現(xiàn)它們的差異。現(xiàn)在介紹的這個自然推理系統(tǒng)包含18條規(guī)則：(1)肯定前提規(guī)則(Q)：任何前提A，均可以其自身作為結(jié)論。(2)否定引入規(guī)則(﹁+)：由A推得B∧﹁B，則﹁A(據(jù)排中律)。(3)否定消去規(guī)則(﹁-)：由﹁A推得B∧﹁B，則A(據(jù)排中律)。(4)蘊涵引入規(guī)則(→+)：由假定A可推得B，則A→B。(5)蘊涵消去規(guī)則(→-)：如A(﹁B)及A→B真，則B(﹁A)。(6)合取引入規(guī)則(∧+)：如A及B真，則A∧B。(7)合取消去規(guī)則(∧-)：如A∧B真，則A(B)。(8)析取引入規(guī)則(∨+)：如A(B)真，則A∨B(B∨A)。(9)析取消去規(guī)則(∨-)：如A∨B，﹁A(﹁B)真，則B(A)。(10)等值引入規(guī)則(?+)：如B?→?A及A?→?B真，則A???B。(11)等值消去規(guī)則(?-)：如A???B，則B?→?A及A?→?B。(12)聯(lián)鎖傳遞規(guī)則(SD)：如A?→?B，B?→?C真，則A?→?C。(13)假言易位規(guī)則(YY)：如A?→?B真，則﹁B?→?﹁A。(14)二難推理規(guī)則(EN)：如A∨B，(A?→?C)∧(B?→?C)，則C。(15)雙否引入規(guī)則(SF+)：如A真，則﹁﹁A。(16)雙否消去規(guī)則(SF-)；如﹁﹁A真，則A。(17)等值置換規(guī)則(DZ)：等值的真值形式可相互替換。(18)前提引入規(guī)則(Y)：在證明的任何步驟上都可以引入(假設(shè))前提。自然推理系統(tǒng)的規(guī)則均源自于傳統(tǒng)邏輯，上述系統(tǒng)的蘊涵消去規(guī)則就來自于傳統(tǒng)邏輯，是傳統(tǒng)邏輯當(dāng)中充分條件假言推理的肯定前件式推理形式，即肯定前件就要肯定后件。推理前提已知A真，同時又有A到B的蘊涵成立，那么根據(jù)這個蘊涵就能推出B的結(jié)果。按照傳統(tǒng)邏輯的充分條件假言推理的規(guī)則來理解，這就是肯定前件就要肯定后件的規(guī)則。所以蘊涵消去規(guī)則實際上就來自于充分條件假言推理的“肯定前件就要肯定后件”這樣一條規(guī)則。下面就本自然推理系統(tǒng)的部分規(guī)則進行說明：1.合取引入規(guī)則合取引入規(guī)則同樣來自于傳統(tǒng)邏輯，只不過傳統(tǒng)邏輯當(dāng)中并沒有明確給出有關(guān)合取的規(guī)則，該系統(tǒng)的合取引入規(guī)則是以聯(lián)言推理的組合式和分解式這兩個推理形式為根據(jù)的，傳統(tǒng)邏輯中這兩種推理形式并沒有明文的規(guī)則，但其實它的規(guī)則是被省略了的，一般來講，一個推理結(jié)構(gòu)有可能出現(xiàn)推演無效的時候，才需要通過規(guī)則來規(guī)范，用規(guī)則來避免無效推演形式出現(xiàn)。但如果沒有這種可能(沒有可能出現(xiàn)無效形式的情況下)，規(guī)則就可以省略，聯(lián)言推理的分解式及組合式就屬于這種情況。2.合取消去規(guī)則合取消去規(guī)則的前提是合式公式A及B的合取，?以兩個合式公式的合取為前提，可以對其進行合取消去。由于結(jié)論A或者B不再包含合取的真值聯(lián)結(jié)詞，前提當(dāng)中的合取真值聯(lián)結(jié)詞在結(jié)論中被消去。所以這種規(guī)則叫做合取消去規(guī)則。3.蘊涵引入規(guī)則假設(shè)前提如果蘊涵著一個以合式公式來表示的結(jié)果B，那就表明A作為一個合式公式蘊涵著另一個合式公式，即它們之間存在著一種蘊涵關(guān)系。只要從一個假設(shè)可引出另一個合式公式，就表明建立在這個假設(shè)之上的蘊涵關(guān)系是存在的。由于結(jié)論反應(yīng)兩個合式公式之間的蘊涵關(guān)系，所以這種規(guī)則叫做蘊涵引入規(guī)則。4.析取引入規(guī)則如果已知一個合式公式為真，那么這個合式公式就可以和任意的合式公式構(gòu)成析取。因為如果一個合式公式本身是真的，那么它和其他任意的合式公式所構(gòu)成的析取就能夠保證其為真，即只要這個析取里面兩個合式公式至少有一個是真的，那么析取就可以保證是真實的。所以已知為真的公式可以和任意的公式構(gòu)成析取。由于結(jié)論當(dāng)中引入了析取真值聯(lián)結(jié)詞，因此叫做析取引入規(guī)則。5.二難推理規(guī)則原本前提中有A和B的析取，而到了結(jié)論中不僅僅是析取聯(lián)結(jié)詞被消去，A和B在結(jié)論中也不存在了。這是因為A和B共同蘊涵著一種結(jié)果