第1頁/共4頁廈門雙十中學(xué)2025-2026學(xué)年（上）階段練習(xí)RA3.已知{an}是各項均為正整數(shù)的遞增數(shù)列，{an}前n項和為Sn，若Sn=2024，當(dāng)n取最大值時，an的A.63B.64C.71D.724.我市某中學(xué)高二學(xué)生到一工廠參加勞動實踐，欲將一個底面直徑為2，高為3的實心圓錐體工件切割成一個圓柱體，并使圓柱體的一個底面落在圓錐體的底面上，若不考慮損耗，則得到的圓柱體的最大側(cè)面積A.B.πC.D.6.已知拋物線C1:y2=2px(p>0)，其焦點F到準(zhǔn)線的距離為2，過焦點F且斜率大于0的直線l交拋物線于A,B兩點，以AB為直徑的圓C2與準(zhǔn)線相切于點Q(-1,2)，則圓C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A.(x-3)2+(y-2)2=16B.(x-2)2+(y-3)2=16C.(x-3)2+(y-2)2=8D.(x-2)2+(y-3)2=87.已知函數(shù)f(x)=coswx-·、sinwx(ω>0若f（x）在區(qū)間[0,2π]上有且僅有3個零點和2條對稱軸，則ω的取值范圍是()A.B.第2頁/共4頁「419)「134)「419)「134)9.已知復(fù)數(shù)z，z1，z2，z是z的共軛復(fù)數(shù)，則下列說法正確的是()C.z1.z2=z1.z2D.若z-1=1，則z+1的最小值為110.已知函數(shù)f(x)=x3-ax-2，則()A.存在實數(shù)x0使得f’(x0)=f(x0)B.當(dāng)a=2時，f(x)有三個零點C.點(0,-2)是曲線y=f(x)的對稱中心D.若曲線y=f(x)有兩條過點(-1,0)的切線，則f(a)=211.已知VABC的面積為，若cos2A+cos2B+2sinC=2,cosAcosBsinC=，則(+sin2BB.AB12.在等差數(shù)列{an}中，a1=-2020，其前n項和為Sn，若則S2022=_________.三棱錐O-ABC的內(nèi)切球半徑為___________；若AP=2·、，則三棱錐O-PBC體積的最大值為.第3頁/共4頁15.在VABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c，其外接圓的半徑為且bcosC=acsinB．（1）求角B；（2）若上B的角平分線交AC于點D,BD=，點E在線段AC上，EC=2EA，求VBDE的面積．16.已知三棱錐P-ABC中，側(cè)面PAC是邊長為2的正三角形，AC=2,BC=平面AEF與底面ABC的交線為直線l．（2）若三棱錐P-ABC的體積為，Q為交線l上的動點，若直線PQ與平面AEF的夾角為α,求sinα的取值范圍．17.已知橢圓C的方程為右焦點為F(,0)，且離心率為．（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)M，N是橢圓C上的兩點，直線MN與曲線x2+y2=b2(x>0)相切．證明：M，N，F(xiàn)三點共線18.已知函數(shù)f(xln（1）當(dāng)a=-1時，求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程；（2）是否存在a，b，使得曲線y=f(|(),關(guān)于直線x=b對稱，若存在，求a，b的值，若不存在，說明理（3）若f(x)在(0,+∞)存在極值，求a的取值范圍.第4頁/共4頁19.“熵”常用來判斷系統(tǒng)中信息含量的多少，也用來判斷概率分布中隨機變量·的不確定性大小，一般熵越大表示隨機變量的不確定性越明顯．定義：隨機變量X對應(yīng)取值xi的概率為pi=P(X=xi)，其單位為bit的熵為Hpilog2pi，且pi=1當(dāng)pi=0，規(guī)定pilog2pi=0時對應(yīng)H(X)的大小，并根據(jù)你的理解說明結(jié)論的實際含義；（2）若拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣n次，設(shè)X表示正面向上的總次數(shù)，Y表示第n次反面向上的次數(shù)（0或1p)表示正面向上x1次且第n次反面向上y1次的概率，如n=3時，p．對于兩個離散的隨機變量X,Y，其單位為bit的聯(lián)合熵記為H(X,Yp(xi,1)=1．(ⅰ)當(dāng)n=3時，求H(X,Y)的值；(ⅱ)求證：H(X,Y)<n第1頁/共27頁廈門雙十中學(xué)2025-2026學(xué)年（上）階段練習(xí)RA【答案】D【解析】【分析】根據(jù)集合交并補運算，結(jié)合選項即可逐一求解.【詳解】對于A，2∈B，故A錯誤，故選：D【答案】D【解析】【分析】利用平面向量投影向量公式結(jié)合平面向量數(shù)量積、模長公式計算即可.2222a故選：D3.已知{an}是各項均為正整數(shù)的遞增數(shù)列，{an}前n項和為Sn，若Sn=2024，當(dāng)n取最大值時，an的A.63B.64C.71D.72第2頁/共27頁【答案】C【解析】【分析】因為Sn=2024是定值，要使當(dāng)n取最大值時an也取得最大值，{an}需滿足前m(m=n-1)項是首相為1，公差為1的等差數(shù)列，通過計算{am}的前63項和與Sn=2024作比較，前64項和與Sn=2024作比較即可得出an的最大值.【詳解】因為Sn=2024是定值，要使當(dāng)n取最大值時an也取得最大值，{an}需滿足各項盡可能取到最小為1，公差為1的等差數(shù)列，其中m=n-1；{am}的前m項和為Tm62故選：C.4.我市某中學(xué)高二學(xué)生到一工廠參加勞動實踐，欲將一個底面直徑為2，高為3的實心圓錐體工件切割成一個圓柱體，并使圓柱體的一個底面落在圓錐體的底面上，若不考慮損耗，則得到的圓柱體的最大側(cè)面積A.B.πC.D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)圓柱的底面半徑為O1A=r，高為OO1=x，體積為V，由幾何關(guān)系得x=3-3r，再根據(jù)圓柱的側(cè)面積公式可得圓柱側(cè)面積關(guān)于r的函數(shù)，最后根據(jù)二次函數(shù)的最值即可求解.【詳解】如圖，設(shè)圓柱的底面半徑為O1A=r，高為OO1=x，側(cè)面積為S，在VPOB中，因為O1A//OB，第3頁/共27頁所以解得x=3-3r，所以圓柱的側(cè)面積為S(r)=2πr(3-3r)=-6πr2+6πr=-6π=-6π故圓柱的最大側(cè)面積為，故選：C.AB.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)tanβ=tan(β-α)+α求出tanβ,從而可得α,β的范圍，即可得出2β-α的范圍，再求tan2β和tan(2β-α)的值，即可得結(jié)果.【詳解】因為tantan),，則2β-α∈(-π,0)，又因為tan第4頁/共27頁所以故選：D.6.已知拋物線C1:y2=2px(p>0)，其焦點F到準(zhǔn)線的距離為2，過焦點F且斜率大于0的直線l交拋物線于A,B兩點，以AB為直徑的圓C2與準(zhǔn)線相切于點Q(-1,2)，則圓C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A.(x-3)2+(y-2)2=16B.(x-2)2+(y-3)2=16C.(x-3)2+(y-2)2=8D.(x-2)2+(y-3)2=8【答案】A【解析】【分析】由焦點F到準(zhǔn)線的距離為2，求出p，即得焦點坐標(biāo)，準(zhǔn)線方程，拋物線方程，直線AB斜率為正，C2Q//x得C2點縱坐標(biāo)，用點差法可求得直線AB斜率，再得C2點橫坐標(biāo)，同時得出圓半徑，得圓方程．【詳解】拋物線C1的焦點到準(zhǔn)線距離為2，則p=2（因為p>0焦點為F(1,0)，準(zhǔn)線方程是x=-1，拋物線方程是y2=4x，又C2Q//x軸，Q(-1,2)，所以C2的縱坐標(biāo)為2，設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)，C2(x0,2)，,兩式相減得(y1-y2)(y1+y2)=4(x1-x2)，即C2(3,2)，所以圓C2半徑為r=3-(-1)=4，圓C2方程為(x-3)2+(y-2)2=16．故選：A．第5頁/共27頁7.已知函數(shù)f(x)=coswx-sinwx(ω>0若f（x）在區(qū)間[0,2π]上有且僅有3個零點和2條對稱軸，則ω的取值范圍是()A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】首先根據(jù)三角函數(shù)恒等變換將三角函數(shù)化簡成余弦型函數(shù)，根據(jù)自變量x的取值范圍求解出wx的取值范圍，進(jìn)而根據(jù)已知條件結(jié)合三角函數(shù)圖像求得w的取值范圍【詳解】函數(shù)f=coswxsinwx由于函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,2π]上有且僅有3個零點和2條對稱軸，根據(jù)函數(shù)的圖像：第6頁/共27頁所以整理得：w故選：D．【答案】A【解析】【分析】先構(gòu)造函數(shù)f(x)=,x>0，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性和最值，從而比較a,b，再構(gòu)造函數(shù)g=lnxx>0，通過分析函數(shù)的最值，再利用指對互化，比較c的范圍，即可判斷a,b,c的大小關(guān)系.【詳解】設(shè)fx>0，∴f(x)在(0,e)單調(diào)遞增，在(e,+∞)單調(diào)遞減，第7頁/共27頁∴g≥0即lnx當(dāng)且僅當(dāng)x=1時等號成立，故選：A.9.已知復(fù)數(shù)z，z1，z2，z是z的共軛復(fù)數(shù)，則下列說法正確的是()C.z1.z2=z1.z2D.若z-1=1，則z+1的最小值為1【答案】ACD【解析】【分析】結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運算，共軛復(fù)數(shù)的定義及復(fù)數(shù)模長的公式可判斷A；結(jié)合特殊值法可判斷B；結(jié)合復(fù)數(shù)模長的性質(zhì)可判斷C；結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義可判斷D.2z1z2，故C正確；)為圓心，半徑為1的圓，第8頁/共27頁故選：ACD10.已知函數(shù)f(x)=x3-ax-2，則()A.存在實數(shù)x0使得f,(x0)=f(x0)B.當(dāng)a=2時，f(x)有三個零點C.點(0,-2)是曲線y=f(x)的對稱中心D.若曲線y=f(x)有兩條過點(-1,0)的切線，則f(a)=2【答案】AC【解析】【分析】對A，求出f(x)=x3-ax-2的導(dǎo)函數(shù)，使其和f(x)=x3-ax-2相等，解方程看是否有實數(shù)根，即可求得；對B，根據(jù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)確定單調(diào)區(qū)間以及極值點，看f(x)與x軸交點即可判斷；對C，根據(jù)中心對稱公式即可判斷；對D，設(shè)f(x)=x3-ax-2過(-1,0)的切線的切點為(x0,y0)，由條件可得2x+3x+2-a=0有兩個根，結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究方程的根即可.【詳解】對A，根據(jù)已知f,(x)=3x2-a的導(dǎo)函數(shù)，令f,(x0)=f(x0)則x3-ax-2-3x2+a=0，令g(x)=x3-ax-2-3x2+a，對B，根據(jù)題意知f,(x)=3x2-2，令f,=3x2-2=0得到x在上f,<0，所以f單調(diào)遞減，f是f的極大值，且f(x)的極大值大于f(x)極小值，第9頁/共27頁所以f(x)在定義域內(nèi)有且只有一個零點，故B錯誤；對C，令g(x)=x3-2x，該函數(shù)定義域為R，所以g(x)為奇函數(shù)，(0,0)是g(x)=x3-2x的對稱中心，將g(x)=x3-2x向下移動兩個單位得到f(x)的圖像，所以點(0,-2)是曲線y=f(x)的對稱中心，故C正確；對D，f(x)=x3-ax-2過(-1,0)的切線的切點為(x0,y0)，切線斜率為f,(x0)=3x-a，則切線方程為y-y0=(3x-a)(x-x0)，(-1,0)上小于零，所以u(x0)在(-1,0)單調(diào)遞減，要使u(x0)=0有兩個解，一個極值一定為0，所以f(a)=f(2)=23-2×2-2=2，故D不正確.故選：AC11.已知VABC的面積為，若cos2A+cos2B第10頁/共27頁2BB.AB【答案】ABC【解析】【分析】對cos2A+cos2B+2s的大小，方法二亦可使用正余弦定理討論解決，方法三可結(jié)合射影定理解決，方法四可在法三的基礎(chǔ)上，利用和差化積公式，回避討論過程然后利用cosAcosBsinC算出A,B取值，最后利用三角形面積求出三邊長，即可判斷每個選項.整理可得，sinC=sin2A+sin2B，展開可得sinAcosB+sinBcosA=sin2A+sin2B，下證C.方法一：分類討論若A+B，則sinA=cosB,sinB=cosA可知等式成立；若A+B即AB，由誘導(dǎo)公式和正弦函數(shù)的單調(diào)性可知，sinA<cosB，同理sinB<cosA，與條件不符，則A+B不成立；綜上討論可知，A+B即C方法二：邊角轉(zhuǎn)化第11頁/共27頁2A2B若C，則A+B注意到cosAcosBsinC則cosAcosB>0，于是cosA>0,cosB>0（兩者同負(fù)會有兩個鈍角，不成立于是A,B結(jié)合A+B>A>-B，而A,-B都是銳角，則sinA>sincosB>0，故C∈(0,)不成立，則C方法三：結(jié)合射影定理（方法一改進(jìn)）2A+sin2B，結(jié)合正弦定理可得，c=asinA+bsinB，由射影定理可得c=aco于是asinA+bsinB=acosB+bcosA，則a(sinA-cosB)+b(sinB-cosA)=0，可同方法一種討論的角度，推出A+B方法四：和差化積（方法一改進(jìn)）續(xù)法三：a(sinA-cosB)+b(sinB-cosA)=0，可知sinA-cosB,sinB-cosA同時為0或者異號，即(sinA-cosB)(sinB-cosA)≤0，展開可得，sinAsinB-sinAcosA-cosBsinB+cosAcosB≤0，即cos0，結(jié)合和差化積，cos(A-B)(1-sin(A+B))≤0，由上述分析，可知C由cosAcosBsinC==cosAcosB，由A+B則cosB=sinA，即sinAcosA=，第12頁/共27頁則sin2A同理sin2B，由上述推導(dǎo)，A,B則2A,2B不妨設(shè)A<B，則2A即A，由兩角和差的正弦公式可知sinsinC選項正確由兩角和的正切公式可得，tan于是AB=(J6+、)t=，B選項正確，由勾股定理可知，AC2+BC2=2，D選項錯誤.故選：ABC12.在等差數(shù)列{an}中，a1=-2020，其前n項和為Sn，若，則S2022=_________.【答案】2022【解析】ln,【分析】根據(jù)題意，由條件可得{〔Sn)}是以-2020ln,即可得到結(jié)果.【詳解】設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn=An2+Bn，則An+B，所以是等差數(shù)列．因為所以{的公差為1，又所以是以-2020為首項，1為公差的等差數(shù)列，第13頁/共27頁故答案為：2022【答案】-2【解析】再由兩角和的正弦公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系計算可得.即cosC由正弦定理可得cosC所以sinAcosC=2sinB，所以sinAcosC=2sin(A+C)，所以sinAcosC=2sinAcosC+2sinCcosA，即sinAcosC=-2sinCcosA，因為cosAcosC≠0，所以tanA=-2tanC，所以故答案為：-2三棱錐O-ABC的內(nèi)切球半徑為___________；若AP，則三棱錐O-PBC體積的最大值為.【解析】【分析】根據(jù)題意，可求得三棱錐O-ABC各個面的面積，設(shè)三棱錐O-ABC內(nèi)切球的半徑為r，利用等體積法可求得內(nèi)切球的半徑r；由VO-PBC=VP-OBC，當(dāng)點P到平面OBC的距離最大時，三棱錐O-PBC的體積最大，建立空間直角坐標(biāo)系設(shè)點P坐標(biāo)，利用向量法求出點P到平面OBC的距離最大值得解.第14頁/共27頁設(shè)三棱錐OABC內(nèi)切球的半徑為r，則).r，:r所以當(dāng)點P到平面OBC的距離最大時，三棱錐O一PBC的體積最大，如圖，以O(shè)1為坐標(biāo)原點，O1A,O1B,O1O為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A(,0,0)，O(0,0,)，所以x,y,zV2)，所以點P到平面OBC的距離為d所以三棱錐OPBC的體積最大值為VOPBC第15頁/共27頁【點睛】思路點睛：第一空，先求出三棱錐O-ABC各個面的面積，利用等體積法可求得內(nèi)切球的半徑；第二空，根據(jù)三棱錐等體積轉(zhuǎn)換，VO-PBC=VP-OBC，又S△OBC=2，當(dāng)點P到平面OBC的距離最大時，三棱錐O-PBC的體積最大，建系用向量法求出答案.15.在VABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c，其外接圓的半徑為2，且bcosC=acsinB．（1）求角B；（2）若上B的角平分線交AC于點D,BD點E在線段AC上，EC=2EA，求VBDE的面積．）．【解析】【分析】（1）利用正弦定理以及兩角和的正弦公式化簡可求得tanB結(jié)合角的取值范圍可求得角B（2）利用正弦定理可求得b的值，利用S△ABC=S△BCD+S△ABD可得ac余弦定理可得(a+c)2-ac=36，兩式聯(lián)立可得a=c，然后利用三角形的面積公式可求得VBDE的面積.【小問1詳解】因為bcosC=acsinB，由正弦定理可得sinBcosC=sinAsinCsinB，，所以sinBcosC=sinsinCsinB，所以sinBcosC=sinBcosC+cosBsinCsinCsinB，即sinCcosBsinCsinB=0，:cosBsinB=0，即tanB=-，【小問2詳解】由（1）可知，B，又外接圓的半徑為2；由正弦定理可知所以bsin由余弦定理可知，b2=a2+c2-2accos即(a又:EC=2AE，則DE=1，第16頁/共27頁第17頁/共27頁16.已知三棱錐P-ABC中，側(cè)面PAC是邊長為2的正三角形，AC=2,平面AEF與底面ABC的交線為直線l．（2）若三棱錐P-ABC的體積為，Q為交線l上的動點，若直線PQ與平面AEF的夾角為α,求sinα的取值范圍．【答案】（1）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)線面垂直的判定定理證明PC丄平面AEF，由線面垂直的性質(zhì)定理即可證明結(jié)論；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點坐標(biāo)，設(shè)Q(1,y,0)，求出平面AEF的法向量，根據(jù)空間角的向量求法，結(jié)合不等式知識，即可求得答案.【小問1詳解】由題意：∴E,F分別為棱PC,PB的中點，∴EFⅡBC，:EF丄PC．:PC丄AE．又EF∩AE=E,EF,AE平面AEF，:PC丄平面AEF，【小問2詳解】第18頁/共27頁如圖，在底面ABC內(nèi)過點A作BC的平行線l,，即為平面AEF與底面ABC的交線l，（因為EFⅡBC，則EFⅡl,，A為平面AEF與底面ABC的公共點，故l,為平面AEF與底面ABC的交線l）故底面VABC的面積為SAC.BC=4，設(shè)底面VABC上的高為h，則Shh，于是h，注意到側(cè)面PAC是邊長為2的正三角形，取AC中點D，連接PD，則PD，從而PD即為三棱錐P-ABC的高，故PD丄平面ABC，取AB中點M，連接DM，則DM丄AC，于是，以點D為坐標(biāo)原點．DA,DM,DP所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則A(1,0,0),PC(-1,0,0),B(-1,4,0)，于是設(shè)平面AEF的一個法向是為=(x0,y0,1)，第19頁/共27頁解得，即17.已知橢圓C的方程為右焦點為F(,0)，且離心率為．（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)M，N是橢圓C上的兩點，直線MN與曲線x2+y2=b2(x>0)相切．證明：M，N，F(xiàn)三點共線【答案】（1）y2=12）證明見解析.【解析】（2）必要性：由三點共線及直線與圓相切可得直線方程，聯(lián)立直線與橢圓方程可證MN=·;充分性：設(shè)直線MN:y=kx+m,(km<0)，由直線與圓相切得m2=k2+1，聯(lián)立直線與橢圓方程結(jié)合弦長公式可得進(jìn)而可得k=±1，即可得解.又b2=a2-c2=1，所以橢圓方程為y2=1；當(dāng)直線MN的斜率不存在時，直線MN:x=1，不合題意；當(dāng)直線MN的斜率存在時，設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2)，必要性：第20頁/共27頁由直線MN與曲線x2+y2=1(x>0)相切可得解得k=±1，.x所以必要性成立；充分性：設(shè)直線MN:y=kx+m,(km<0)即kx-y+m=2-所以x1所以所以直線MN:y=x-·i2或y=-x+s2，所以直線MN過點F(·、,0)，M，N，F(xiàn)三點共線，充分性成立；【點睛】關(guān)鍵點點睛：解決本題的關(guān)鍵是直線方程與橢圓方程聯(lián)立及韋達(dá)定理的應(yīng)用，注意運算的準(zhǔn)確性是解題的重中之重.第21頁/共27頁（1）當(dāng)a=-1時，求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程；.（2）是否存在a，b，使得曲線y=f關(guān)于直線x=b對稱，若存在，求a，b的值，若不存在，說明理（3）若f(x)在(0,+∞)存在極值，求a的取值范圍.（2）存在a滿足題意，理由見解析.【解析】【分析】(1)由題意首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后由導(dǎo)數(shù)的幾何意義確定切線的斜率和切點坐標(biāo)，最后求解切線方程即可；(2)首先求得函數(shù)的定義域，由函數(shù)的定義域可確定實數(shù)b的值，進(jìn)一步結(jié)合函數(shù)的對稱性利用特殊值法可得關(guān)于實數(shù)a的方程，解方程可得實數(shù)a的值，最后檢驗所得的a,b是否正確即可；(3)原問題等價于導(dǎo)函數(shù)有變號的零點，據(jù)此構(gòu)造新函數(shù)g(x)=ax2+x-(x+1)ln(x+1)，然后對函數(shù)求導(dǎo)，利用切線放縮研究導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)，分類討論a≤0，a和三中情況即可求得實數(shù)a的取值范圍.【小問1詳解】當(dāng)a=-1時，f(xln則f,ln(x據(jù)此可得f(1)=0,f,(1)=-ln2函數(shù)在(1,f(1))處的切線方程為y-0=-ln2(x-1)，【小問2詳解】第22頁/共27頁令g=fln函數(shù)的定義域滿足0，即函數(shù)的定義域為(-∞,-1)(xx定義域關(guān)于直線x=-對稱，由題意可得b由對稱性可知g取m可得g=g經(jīng)檢驗a=,b=-滿足題意，故a即存在a滿足題意.【小問3詳解】由函數(shù)的解析式可得f,(xln(x由f(x)在區(qū)間(0,+∞)存在極值點，則f,(x)在區(qū)間(0,+∞)上存在變號零點;(xx+ax2f(x)在區(qū)間(0,+∞)存在極值點，等價于g(x)在區(qū)間(0,+∞)上存在變號零點，(x)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞減，此時g(x)<g(0)=0，g(