專題4.3平行四邊形的判定【九大題型】

【浙教版】

”幺國應(yīng)自

【邈型?判斷能否構(gòu)成平行四邊形】.............................................................1

【題型2添加條件構(gòu)成平行四邊形】.............................................................4

【題型3數(shù)圖形中平行四邊形的個數(shù)】............................................................8

【題型4求與已知三點組成平行四邊形的點的個數(shù)】..............................................10

【題型5證明四邊形是平行四選形】............................................................15

【題型6全等三角形拼平行四邊形問題】........................................................20

【題型7利用平行四邊形的判定和性質(zhì)求解】....................................................24

【題型8利用平行四邊形的判定和性質(zhì)證明】....................................................30

【題型9平行四邊形的應(yīng)用】..................................................................41

史三

【知識點1平行四邊形的判定】

⑴定義：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形

(2)定理1：兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形

⑶定理2：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形

(4)定理3：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形

⑸定理4：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形

【題型1判斷能否構(gòu)成平行四邊形】

【例I】(2021秋?湖南永州?九年級?？茧A段練習)如圖，為了體驗四邊形的不穩(wěn)定性，將四根木條用釘子

釘成一個矩形框架然后向右拉動框架，給出如下的判斷：①四邊形"。。為平行四邊形；②對角線

80的長度不變；③四邊形的面積不變：④四邊形'SC。的周長不變，其中所有正確的結(jié)論是()

A.①②B.①④C.①②④D.①③④

【答案】B

【分析】①正確，根據(jù)平行四邊形的判定方法即可判斷：

②錯誤，觀察圖象即可判斷；

③錯誤，面積是變小了；

④正確，根據(jù)平行四邊形性質(zhì)即可判斷.

【詳解】解：???兩組對邊的長度分別相等,

二四邊形ABCD是平行四邊形，故①正確；

V問右扭動框架，

???BD的長度變大，故②錯誤；

???平行四邊形ABCD的底不變，高變小了，

平行四邊形ABCD的面積變小，故③錯誤；

?「平行四邊形ABCD的四條邊不變，

二四邊形ABCD的周長不變，故④正確.

故所有正確的結(jié)論是①④.

故選：B.

【點睛】本題考查平行四邊形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的周長、面積等知識，解題的關(guān)鍵是熟練應(yīng)用這

些知識解決問題.

【變式1-1】（2022春?北京西城?八年級校考期中）下列4":":山的值中，能判定四邊形"'CD是

平行四邊形的是（）

「

A1?2?3?4Q1?4?2?3「-1?2?2?1fj3?2?32?

/\???an????L????L<????

【答案】D

【分析】兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形，所以“和4c是對角，‘6和’”是對角，對角的份數(shù)應(yīng)

相等，據(jù)此即可求解.

【詳解】解：根據(jù)平行四邊形的判定：兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形，所以只有D符合條件.

故選:D.

【點睛】本題考查了平行四邊形的判定，在應(yīng)用判定定理判定平行四邊形時，應(yīng)仔細觀察題目所給的條件,

仔細選擇適合于題目的判定方法進行解答，避免混用判定方法.

【變式1-2]（2021春?河南新鄉(xiāng)?八年級新鄉(xiāng)巾第十中學?？计谥校┰谒倪呅?8CQ卜，對角線ACBD相交于

點。.給出下列四組條件:①的嗎皿叫②AB=嗎AD=BC；③A。=CO80=叫④ABICD,

AD=BC.其中一定這個四邊形是平行四邊形的條件有（）

A.①②③B.②③④C.①②④D.①③④

【答案】A

【分析】根據(jù)平行四邊形的5個判斷定理.：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；兩組對邊分別相等

的四邊形是平行四邊形；一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；兩組對角分別相等的四邊形是平行

四邊形；對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，即可作出判斷.

【詳解】解：①根據(jù)平行四邊形的判定定理：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，可知①能判斷這

個四邊形是平行四邊形；

②根據(jù)平行四邊形的判定定理：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形，可知②能判斷這個四邊形是平

行四邊形；

③根據(jù)平行四邊形的判定定理.：兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，可知③能判斷這個四邊形是

平行四邊形；

④根據(jù)平行四邊形的判定定理：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，可知④不能判斷這個四邊形

是平行四邊形（例可能是等腰梯形）；

故給出下列四組條件中，①②③能判斷這個四邊形是平行四邊形.

故選：A.

【點睛】此題主要考查了平行四邊形的判定定理，解題關(guān)鍵是準確無誤的掌握平行四邊形的判定定理，難

度一般.

【變式1-3］（2022春?浙江舟山?八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知Q4BCD的一組鄰邊A8,BC,用尺規(guī)作圖作

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】C

【分析】根據(jù)各個圖形的做法結(jié)合平行四邊形的判定方法進行判斷即可.

【詳解】解：圖①，由作圖可知A8=C°'AD-BC,根據(jù)"兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形〃可知,

圖①作法與理論依據(jù)正確；

圖②，

由作圖可知，作八C的垂直平分線，得到AC的中點0,再連接B0并延長到點。，使°"=80,根據(jù)“對角

線互相平分的四邊形是平行四邊形”可得，圖2作法與理論依據(jù)正確；

圖③，作同位角相等，得出“8KD,再截取C。=48,根據(jù)“一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形"

可得，圖3作法與理論依據(jù)正確；

圖④，作同位角相等，得出48K",再截取4D=8C,“一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形不一定是

平行四邊形”，因此圖4作法與理論依據(jù)不正確；

綜上所述，作法與理論依據(jù)正確的是圖①、圖②、圖③，共3個.

故選：C.

【點睛】本題考查尺規(guī)作圖，平行四邊形的判定，掌握平行四邊形的判定方法及尺規(guī)作圖的意義是解題的

關(guān)鍵.

【題型2添加條件構(gòu)成平行四邊形】

【例2】（2022春?山東棗莊?八年級統(tǒng)考期末）如圖，平行四邊形中，E,1是對角線'C上的兩點，如

果添加一個條件使四邊形8EDF是平行四邊形，則添加的條件不能是（）

DE=BFB.AE="C."=CED.”=〃

【答案】A

【分析】根據(jù)各選項給出的條件，逐一驗證即可.

【詳解】解：.??四邊形A8C。是平行四邊形，

/.AD=BC,ADIIBC,

：.ZDAE=Z.BCF,

DE=BF,不能得出△A。咋&CBF,

二不能得出四邊形OEB尸是平行四邊形，故A錯誤;

???四邊形人BCO是平行四邊形，

AD=BC,ZDAE=Z.BCF,

AE=CF,

《ADE^△CBF(SAS),

ZAED=NCFB,DE=BF,

ZDEF=^BFE；

D^BF,

.??四邊形。EB/是平行四邊形，故B正確；

???四邊形人BCO是平行四邊形，

：.AD=BC,ZDAE=NBCF；

：AF=CE,

AE=CF,

ADE^△CBF(SAS),

ZAED=iCFB,DE=BF,

ZDEF=4BFE,

：.D』BF,

四邊形。石3尸是平行四邊形，故C正確；

???四邊形A8CO是平行四邊形，

/.AD=BC,ZDAE=Z.BCF,

,/ZADE=ZCBF,

ADE^△CBF(ASA),

DE=CF,ZAED=Z.BFC,

ZDEF=tBFE,

/.D*CF,

■.四邊形。后8尸是平行四邊形，故D正確；

故選：A.

【點睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握判定定理是解題的關(guān)

鍵.平行四邊形的五種判定方法與平行四邊形的性質(zhì)相呼應(yīng)，每種方法都對應(yīng)著一種性質(zhì)，在應(yīng)用時應(yīng)注

意它們的區(qū)別與聯(lián)系.

【變式2-1］（2022春?河南南陽?八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△48C中，點。，E尸分別為邊BC,AB,AC

上的點，連接。并延長到點G,已知則添加下列條件，可以使線段AG,。石互相平分的是（）

AD=EGDF^DG「DEIAC、DG=AE

AA.BD.C.D.

【答案】D

【分析】通過分析線段AG,?！昊ハ嗥椒郑盟倪呅?OGE是立行四邊形，結(jié)合選項，利用平行四邊形的

判定定理即可求解.

【詳解】若線段AG,QE互相平分，則四邊形AOGE是平行四邊形，

:,添加%=AE,

文.FOUE

/.四邊形4OGE是平行四邊形，

.??線段AG,OE互相平分，

故選：D.

【點睛】本題考查了平行四邊形的判定定理，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵.

【變式2-2］（2022春?黑龍江雙鴨山?八年級統(tǒng)考期末）若。是四邊形46co的對角線4c和3Q的交點，

且。8=。。，AC=24cm,則當0A=cm時，四邊形48CZ）是平行四邊形.

【答案】12

【分析】由。A=12cm求出。C,得出。A=OC,再由平行四邊形的判定定理即可得出結(jié)論.

【詳解】解：當。4=12cm時，OC=24-12=12（cm）,

/.OC=OA,

,/OB=OD,

：.四邊形4BCQ是平行四邊形，

故答案為：12.

【點睛】本題考查平行四邊形的判定，熟記對角線互相平分的四邊形為平行四邊形是解題的關(guān)鍵.

【變式2-3］（2022春?河南新鄉(xiāng)?八年級統(tǒng)考期末）如圖，在四邊形48C。中，DE1AC,BF1AC,垂足分

別為點E,F.

⑴請你只添加一個條件（不另加輔助線），使得四邊形。E8尸為平行四邊形，你添加的條件是

（2）添加了條件后，請證明四邊形DEB廣為平行四邊形.

【答案】⑴DE=BF（答案不唯一）

⑵見解析

【分析】（1）由平行四邊形的判定可得出答案；

（2）根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形可得出結(jié)論.

（1）

解：由題意得DEIIBF,由平行四邊形的判定可添加的條件是DE=B/（答案不唯一），

故答案為：。石=8/（答案不唯一）；

（2）

證明：..OEJ_AC,BF±AC,

：.DEWBF,

,/DE=BF,

「?四邊形廠為平行四邊形.

【點睛】此題上要考杳了平行四邊形的判定，熟練掌握平行四邊形的判定方法是解題的關(guān)鍵.

【題型3數(shù)圖形中平行四邊形的個數(shù)】

【例】春?內(nèi)蒙古包頭?八年級統(tǒng)考期末）如圖，在平行四邊形中，與

3（2021488"I8gGHlABfEF

°”相交于點",圖中共有個平行四邊形（）

【答案】D

【分析】根據(jù)平行四邊形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論.

【詳解】解：；四邊形A8CO是平行四邊形，

.ABWCD.ADIBC

??，

.?.EFIIBC,GHIIAB，

EFIAD,GHICD9

?.?AEIOGWF，BEIOHWF，AG10EIBH，DGIOFICH，

四邊形BCFE,四邊形ADFE,匹邊形ABHG,四邊形CDGH,匹邊形AEOG,四邊形BEOH,四邊形DFOG,

四邊形CFO”均為平行四邊形，

???圖中共有個平行四邊形9個.

故選：D

【點睛】此題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【變式3-1]（2021春?重慶?八年級期末）下列圖形都是由同樣大小的平行四邊形按一定的規(guī)律組成，其中

第①個圖形中一共有10個平行四邊形1，第②個圖形中一共有14個平行四邊形，第③個圖形中一共有19

個平行四邊形，......按此規(guī)律排列下去，則第⑥個圖形中平行四邊形的個數(shù)為（）

聞—R17un[[[曰...

①②③④

A.39B.40C.41D.42

【答案】B

【分析】觀察圖形的變化可得10+4=14,14+5=19,19+6=25,25+7=32,32+8=40,即可得結(jié)果.

【詳解】解：觀察圖形的變化可知：

第①個圖形中一共有10個平行四邊形，

第②個圖形中一共有14個平行四邊形，

第③個圖形中一共有19個平行四邊形，

第④個圖形中一共有25個平行四邊形，

第⑤個圖形中一共有32個平行四邊形，

則第⑥個圖形中平行四邊形的個數(shù)為40.

故選:B.

【點睛】本題考查的是平行四邊形的認識，規(guī)律型：圖形的變化類，本題是一道根據(jù)圖形進行數(shù)字猜想的

問題，關(guān)鍵是通過歸納與總結(jié)，得到其中的規(guī)律，然后利用規(guī)律解決一般問題.

【變式3-2］（2021春?浙江杭州?八年級期末）如圖，點4,B,C在同一直線上，點Q,E,F,G在同一直

線上，且AC〃DGAD〃BE〃CF.AF〃BG.圖中平行四邊形有（）個

A.4B.5C.3D.6

【答案】B

【分析】根據(jù)平行四邊形兩組對邊分別平行的判定求解可得.

【詳解】解：如圖,

圖中的平行四邊形有：oABED,MBGF,"CFE,^ACFD,”BQF,

故選B.

【點睛】本題上要考查平行四邊形的判定，解題的美鍵是掌握；（1）兩組對邊分別平行的四邊形是平行四

邊形.（2）兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形.（3）一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.

【變式3-3]（2021春?內(nèi)蒙古呼倫貝爾?八年級統(tǒng)考期末）如圖，由25個點構(gòu)成的5x5的正方形點陣中,橫、

縱方向相鄰的兩點之間的距離都是1個單位.定義：由點陣中的四個點為頂點的平行四邊形叫做陣點平行

四邊形.圖中以4,8為頂點，面積為4的陣點平行四邊形的個數(shù)為（）

A.6個B.7個C.9個D.11個

【答案】D

【分析】根據(jù)平行四邊形的判定，兩組對邊必須平行，可以得出上下各兩個平行四邊形符合要求，以及特

殊四邊形矩形與正方形即可得出答案.

【詳解】解：根據(jù)題意得：一共11個面積為4的陣點平行四邊形.

【點睛】本題考查了平行四邊形的判定，根據(jù)平行四邊形的判定得出結(jié)論是解題的關(guān)鍵.

【題型4求與已知三點組成平行四邊形的點的個數(shù)】

【例4】（2020春?四川廣元?八年級統(tǒng)考期末）已知A,B,C三點的坐標分別是（3,3）,（8,3）,（4,6）,若

以A,B,C,D四點為頂點的四邊形是平行四邊形，貝D點的坐標不可能是（

A.II-6

6)B.(9,6)C.(7,0)D.(0,)

【答案】D

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，分別從以BC為對角線、以AC為對角線、以AB為對角線去分析求解即可

求得答案.

【詳解】解：當以BC為對角線時:CD=AB=5,此時D（9,6）；

當以AC為對角線時,CD=AB=5,此時D(-1,6)；

當以AB為對角線時，AD=BC=4,此時點D(7,0).

「?D點的坐標不可能是：(0,-6；.

故選：D.

【點睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)：平行四邊形的對邊平行且相等.解此題的關(guān)鍵是分類討論數(shù)學思

想的運用.

【變式4-1](2019秋?江蘇南通?八年級校考期末)以不在同一直線上的三個點為頂點作平行四邊形最多能

作()

A.4個B.3個C.2個D.1個

【答案】B

【分析】連接不在同一直線上的三點，得到一個三角形，分別以三角形的三邊為對角線，用作圖的方法，

可得出選項.

如圖，以點4,B,。能做三個平行四邊形：分別是口ABFC,^AEBC.

故選B.

【變式4-2](2022春?湖南邵陽?八年級統(tǒng)考期末)如圖，在平面直角坐標系內(nèi)，以A(3,5),B(1,1),

C(4,1)三點為頂點畫平行四邊形.

D111?1

■■-r-L?卡-r-1—?

?????IIaIIII?

外二”由口本科二鼻手

IIIII-IIIIIII

⑴可以畫多少個平行四邊形？

(2)寫出每個平行四邊形第四個頂點D的坐標.

【答案】（1）可以畫3個平行四邊形；

（2）（0,5）或（6,5）或（2,-3）.

【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，將平行四邊形畫出來即可;

（2）根據(jù)所作平行四邊形可直接得出點。的坐標.

(1)

解：可以畫3個平行四邊形，如圖所示:

(2)

由圖可得：平行四邊形第四個頂點。的坐標為（0,5）或（6,5）或（2,-3）.

【點睛】本題考查了坐標與圖形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)等知識；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題的

關(guān)鍵.

【變式4-3］（2020春?山東濟南?八年級統(tǒng)考期末）在平面直角坐標系屹y中，已知點4（1,1）,3（3,2）.

（1）如圖1,在），軸上是否存在一點P,使出+P3最小，若存在求出點。的坐標；若不存在，請說明理由.

（2）如圖2,點C坐標為（4.1）,點。由原點。沿x軸正方向以每秒1個單位的速度運動，求點。運動幾

秒時，四邊形4BCO是平行四邊形；

（3）點P在x軸上，點。在y軸上，且以A、B、P、。為頂點的四邊形是平行四邊形，請直接寫出點尸以

及對應(yīng)的點Q的坐標.

y

?B

OxD

圖1圖2

【答案】⑴存在點P的坐標,且P(0,%(2)D運動2秒后四邊形ABC。是平行四邊形；(3)P點坐標為(4,0)

或卜2,0)或(2,0),對應(yīng)的Q點坐標為(0,3)或(0,1)或。-1).

【分析】⑴過A點作關(guān)于)，軸的對稱點M,連接BM后與)，軸的交點即為所求的點P,求出BM解析式，再

令v=0進而求出P點坐標；

⑵只能是AC為一條對角線，BD為另一對角線，設(shè)D(m,0),利用BD的中點與AC的中點為同一個點即可求

解;

⑶分類討論：設(shè)P(〃?,0)，QO〃)，再分成①AB為對角線；②AP為對角線；③AQ為對角線共三種情況分別

求解即可.

【詳解】解：(1)過A點作關(guān)于)，軸的對稱點M(-l,1),連接BM后與)，軸的交點即為所求的點P,

設(shè)直線BM的解析式為尸人+瓦代入6(3,2),

1=一k?D(s

2=3女+解之得bf

y=

???直線BM解析式為

S

令1=0,解得尸

s

???存在點P的坐標,且P(0,4),

S

故答案為：存在點P的坐標，使得PA+PB最小，此時P點坐標為(0,4);

(2)當四邊形ABCO是平行四邊形，只能是AC為一條對角線，另一條對角線為BD,

設(shè)D(〃?Q),由中點坐標公式可知：

,1+41+1、信1)

線段AC的中點坐標為:'2,

z。*2、/m4S?、

線段BD的中點坐標為22,即一,

又線段AC與BD中點為同一個點，

產(chǎn)W解得血二乙

故四邊形A8CO是平行四邊形，C點的坐標為(2,0),又速度為1個單位每秒,

經(jīng)過2秒后，四邊形48co是立行四邊形，

故答案為：2秒；

(3)分類討論：設(shè)P(叱0),Q(0,〃)，A(l,l),B(3,2),

情況①：AB為對角線時，另一對角線為PQ,

線段AB的中點坐標為，2,線段PQ的中點坐標為2”,

又線段AB和線段PQ的中點為同一個點，

4

3,故此時P(4,0),Q(0,3);

情況②：AQ為對?角線時，另一定角線為BP,

(L也)(工灼

線段AQ的中點坐標為：，2,線段BP的中點坐標為2

又線段AQ和線段BP的中點為同一個點,

一1

立=髭日二_2

2-"解得n=l,故此時P(-2,0),Q(O,1)：

情況③：AP為對角線時，另一-對角線為BQ,

(等甘)(苧苧)

線段AP的中點坐標為2-，線段BQ的中點坐標為-2,

又線段AQ和線段BP的中點為同一個點，

IFJ+C

f22

V140_〔m=/

??.2一2,解得、=-1,故此時P(2,0),Q(O,-1);

綜上所述，P點坐標為(4,0)或卜2,0)或(2,0),對應(yīng)的Q點坐標為(0,3)或(0,1)或(0,-1).

【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)及判定、平行四邊形的存在性問題等，熟練掌握判定法則及平行四

邊形的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.

【題型5證明四邊形是平行四邊形】

【例5】(2023秋?山東泰安?八年級?？计谀?如圖，在△*嗎」，8c二"點與/分別是邊叫”的中

點,連接“并延長，交嗎卜角/I的平分線于點G求證：四邊形'"6是平行四邊形.

【答案】見解析

【分析】先由="可以知道角相等，再利用角平分線的性質(zhì)進行等角轉(zhuǎn)化得到平行，然后根據(jù)中點得到

邊相等，進而得到全等三角形，最后根據(jù)買得到相等，最后得出結(jié)論.

【詳解】解：BC=AC

,ABAC=LABC

???CG是外角"CD的角平分線

—3CG—T/LACD

..aCD=cBAC+LABC-24BAC

LACG=LBAC

.AEICG

.?點手是”的中點

.AF=FC

△AEFrqCGF

/.在和中

[LACG=乙BAC

IAF=FC

LLAFE=LCFG

.△AEF=CFG（AS$

,AE=CG

「.四邊形是平行四邊形

【點睛】本題考查了三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定，利用全等三角形的判定和性質(zhì)得到邊相等

是解題的關(guān)鍵.

【變式5-1］（2022春?湖北恩施?八年級統(tǒng)考期末）如圖，BE是AA3c的中線，延長8E到。，使ED=BE,

連接AO,CD,補全圖形.判斷四邊形A8C。的形狀，并證明你的結(jié)論.

【答案】四邊形ABC。是平行四邊形，理由見解析

【分析】按題意畫出圖形，證明4c與4?；ハ嗥椒旨纯傻贸鼋Y(jié)淪.

【詳解】解：補全圖形如下，

B

證明：:BE是△ABC的中線，

￡是AC的中點，

又DE=BE,

即E是3。的中點，

「?AC與8?；ハ嗥椒郑?/p>

/.四邊形ABC。是平行四邊形.

【點睛】本題考查了三角形的中線，平行四邊形的判定，熟練掌握平行四邊形的判定是解題的關(guān)鍵.

【變式5?2】（2022春?寧夏中衛(wèi)?八年級?？计谀┤鐖D，△4BC是等邊三角形，點”是射線8c上的一個動

點（點，與點2°重合），△w是以為邊的等邊三角形，過點々乍嗎勺平行線，分別交射線嗎"于

上FG2BE

點，，連接.

△4￡￡￡iADC

（1）求證:2

（2）當點。在線段8c上時.探究四邊形8CGE是怎樣特殊的四邊形？并寫出證明過程.

【答案】（1）見解析

⑵四邊形8CGE是平行四邊形，理由見解析

r八貯、旬用生、劣一百w-r-AB=ACAE=ADJLBAC=LEAD=60’廣+山MAE=LCAD

【分析】(1)根據(jù)等邊二角形的性質(zhì)可得，，，然后求出

再利用邊角邊證明△枚全等；

(2)四邊形""GE是平行四邊形，因為△人5%△皿，所以可得U8E=zC=60：進而證明

U8E="4C,則可得到EBIGC,又EGIIBC,所以四邊形BCGE是平行四邊形.

(1)

證明：必4%和△4D,是等邊三角形，

???AE=ADAB=ACcEAD=LBAC—60°

99?

?：￡EAB=￡EAI>-JLBADLDAC=ABAC-LBAD

乂，，

：-z.EAB=zJ)AC

^AEB^AADC.

在和中，

ABAC

NE48*z-DAC

I,AEAD

.*.△4E石2△AOQpAS]

=：

(2)

解：四邊形'CGE是平行四邊形，理由如下：

由⑴得△皿

:?乙ABE=Z.C=60'

vzfl4C=zC=6(r

，乂9

:.乙ABE=zJAC

,EBNGC

??9

『.EGIIBC

'四邊形8CGE是平行四邊形.

【點睛】本題考查了全等三角形判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，平行四邊形的判定，靈活運用相關(guān)的性

質(zhì)定理、綜合運用知識是解題的美鍵.

【變式5-3】(2022春?江西九江八年級統(tǒng)考期末)如圖，在平行四邊形48CD中，E',分別是8c邊上

的點，且連接嗎口"的交點為叫"和"的交點為。連接EF.

⑴求證：四邊形為平行四邊形;

⑵若加=6m求MN的長.

【答案】(1)見解析

(2產(chǎn)

【分析】(1)由一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形可證四邊形ABF'為平行四邊形;

DN=FNAM—MF

(2)由平行四邊形的性質(zhì)可得，，由三角形中位線定理可求解.

(1)

??inrn

證明：.四邊形是平行四邊形，

AADIBCAD=BC

，?

TDE=CF

9

E=BF

.?泗邊形48”是平行四邊形；

(2)

57DE=CFADWBC

解：，，

‘四邊形是平行四邊形，

???DN=FN

..jorc

?四邊形是平行四邊形.

???AM=MF

???MNIADMN=7/4D=3on

【點睛】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，三角形中位線定理，掌握平行四邊形的對角線互相平分是

解題的關(guān)鍵.

【題型6全等三角形拼平行四邊形問題】

【例6】（2022春?福建廈門?八年級統(tǒng)考期中）如圖，有兩種形狀不同的直角三角形紙片各兩塊，其中一種

紙片的兩條直角邊長分別為1和2,另一種紙片的兩條直角邊長都為2.圖1、圖2、圖3是三張形狀、大

小完全相同的方格紙，方格紙中的每個小正方形的邊民均為1.

⑴請用三種方法將圖中所給四塊直角三角形紙片拼成平行四邊形（非矩形），每種方法要把圖中所給的四

塊直角三角形紙片全部用上，互不重疊且不留空隙，三種方法所拼得的平行四邊形（非矩形）的周長互不

相等，并把你所拼得的圖形按實際大小畫在圖1、圖2、圖3的方格紙上.

要求：①所畫圖形各頂點必須與方格紙中的小正方形頂點重合；

②畫圖時，要保留四塊直角三角形紙片的拼接痕跡.

⑵請證明你在圖1所拼得的四邊形是平行四邊形（非矩形）.

【答案】（1）見解析

（2）見解析

【分析】（1）圖1可以先用邊長為1、2的直角三角形拼出矩形，再分別在邊長為2的兩側(cè)拼上邊長都為2

的直角三角形；圖2可以先用邊長都為2的直角三角形拼出矩形,再分別在邊長為2的兩側(cè)拼上邊長都為2、

1的直角三角形：圖3以四個直隹三角形的直角邊拼出對角線為3的平行四邊形即可；

（2）根據(jù)平行四邊形的判定方法證明即可.

(1)

證明：如圖1中，：AB=CD=3,AD=BC=',

四邊形A3CO是平行四邊形.（同理，圖2和圖3均可根據(jù)兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形進

行證明）

【點睛】本題考查作圖一應(yīng)用與設(shè)計作圖，平行四邊形的判定，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用直

角三角形和平行四邊形的性質(zhì)進行拼接.

【變式6-1］（2021?全國?九年級專題練習）如圖，有兩塊全等的含J"角的直角三角板，將它們拼成形狀不

同的平行四邊形，則最多可以拼成（）

A.1種B.2種C.3種D.4種

【答案】C

【點睛】本題考查了平行四邊形的判定，掌握理解并靈活運用判定方法是解題關(guān)鍵.

【變式6-2］（2021?河南周口?三模）把三角形形狀的紙片放在方框紙上，使其每一個頂點都在格點上，如

圖1所示（方格邊長均為/）.對這個三角形進剪切、拼接后，可以得到一個平行四邊形，如圖2中陰影

部分所示.

剪切、拼接的方案如下：如圖2,取4c的中點M,連接4M;剪下△AMC后，拼接到位置，可得到

平行四邊形AE8M.

我們約定：剪切、拼接時，紙片的每一部分都要被用到，而且不得用所給紙片以外的紙片.

圖1圖2圖3圖4

⑴請你采用不同于圖2的剪切、拼接方案，也得到一個平行四邊形，在圖3中用陰影表示出你得到的平行

四邊形，并補充已知和求證，寫出證明過程.

⑵對這個三角形進行剪切、拼接后，也可以得到一梯形.試在圖4中，用陰影表示出你得到的梯形（不必

說明剪切、拼接方案，但必須保留作圖痕跡）.

【答案】（1）見解析

（2）見解析

【分析】（1）沿中位線裁剪即為平行四邊形.3C是拼成四邊形的一條邊，即可，再根據(jù)拼接方法，寫出

已知、求證，利用平行線的判定定理證明即可；

（2）沿一腰的中點D向底邊剪開，得出FD=DG,進而得出梯形.

（1）

解：所畫圖形如下所示，

已知：沿△ABC的中位線NE裁剪下△ANE,將4NE按如圖所示拼接在一起，即點A與點C重合，點N

與點M重合，AE.與CE重合，得到四邊形8cMM

求證：四邊形3cMN是平行四邊形.

證明：由題意，得AAN磅△CME,

/.ZA=ZACM,AE=CM,

A》'CM,即B/CM,

四邊形8c'MN是平行四邊形.

（2）

【點睛】此題主要考查了翻折變換的性質(zhì)以及平行四邊形性質(zhì)與判定、梯形的性質(zhì)，正確利用全等三角形

的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

【變式6-3】（2020秋?河北石家莊?九年級?？计谥校┤鐖D所示，△履’的頂點在B'S的網(wǎng)格中的格點上.

⑴畫出“血繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)9°得到的"網(wǎng)Q

⑵在圖中確定格點D,并畫出一個以A、B、C、D為頂點的四邊形，使其為中心對稱圖形.

【答案】（1）見解析；（2）見解析.

【分析】（1）由題意可知旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角、旋轉(zhuǎn)方向，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的畫圖方法作圖即可；

（2）如圖有三種情況，構(gòu)造平行四邊形即可.

【詳解】解：(1)如圖即為所求

(2)如圖，D、D，、D〃均為所求.

【點睛】本題考查了圖形的旋轉(zhuǎn)及中心對稱圖形，熟練掌握作旋轉(zhuǎn)圖形的方法及中心對稱圖形的定義是解

題的關(guān)鍵.

【題型7利用平行四邊形的判定和性質(zhì)求解】

【例7)(2022秋?山東淄博?八年級校考期末)如圖，在O48C。中，過對角線上一點。乍EFI8C,GHIAB

【答案】4.5##2

【分析】由條件可證明四邊形'P嗎8EPG為平行四邊形，可證明Sad'—WG,再利用面積的

和差可得出四邊形"EP"和四邊形PF。。的面積相等，由已知條件即可得出答案.

【詳解】解「"IaG//IAB

??泗邊形"PF。BOQAEPHC"%平行四邊形,

同理可得

?*-Sg2-SMES--S”6尸一Sg*

即5G：&dEP/f三5G工程pF。。

?:CG=3BGSOBER=L5

，，

?',5二總,￡尸#=々Mo=3x1.5=45

*,

故答案為：4.5.

【點睛】本題主要考查平行四邊形的判定和性質(zhì)，掌握平行四邊形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，即①兩組

對邊分別平行=四邊形為平行四邊形，②兩組對邊分別相等o四邊形為平行四邊形，③一組對邊平行且相

等0四邊形為平行四邊形，④兩組對角分別相等o四邊形為平行四邊形，⑤對角線互相平分=四邊形為平

行四邊形.

【變式7-1】（2021秋?湖北十堰?八年級統(tǒng)考期末）如圖，在而▽班中，UC3=W,分別以嗎女為

腰向外作等腰直角三角形48。和等腰直角三角形連接。工以的延長線交DE于點凡則與線段'下相等

的是（）

A\BC口"rACn5/4B

A.B.C.D.

【答案】A

【分析】如圖，作D"1CT交”的延長線于H,連接叫證明*%0cA同，四邊形皿嘎平行

四邊形，即可解決問題.

【詳解】解：如圖，作""'CF交c/7的延長線于“，連接EH.

??,UCB=血DzD/MaO'

9

???zJAC+WAH=90?^DAH^ADH^Q1

，，

“BAC二UDH

必8=AD

:ABCAWZUHD(AAg

,

.\4C=D/iBC=AH

，，

?:zJ)HA=“AH3&AC=AE

，，

.DHItAEAH=AE

??，，

?ADHF

“四邊形是平行四邊形，

:.AF=FH

J"=3-8C

故選A.

【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識，

解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考帑考題型.

【變式7-2](2022春?廣東深圳?八年級校考期末)如圖，80垂直平分AC,交AC于E,NBCD—ADF,

/A.LAC,垂足為A,AF=DF=5,AD=6,則4c的長為

A

E

C

D

【答案】9.6

【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到。4=。。，B4=8C,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到/D4CNOC4,

ZBAC=/BC4,證明AB”DF,進而得到四邊形AFD8為平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到BD=AF=5,

A氏OF=5,根據(jù)勾股定理列出方程，解方程得到答案.

【詳解】解：,.MO垂直平分AC,

ADA=DC,BA=BC,

：.ZDAC=ADCA,"AC=NBCA,

：.ZOAC+NBAC=4DCA+ZBCA,即/DAB=4BCD,

'：LBCD=Z.ADF,

/.ZDAB=4ADF,

/.AB^DF,

-：M±AC,DB±AC,

：.AFBD,

???四邊形4b。8為平行四邊形,

/.BD=AF=5,AB=DF=5,

設(shè)8E=x,則OE=5—x,

在R/ZkAEB中,

心一DE2=AE1

在Rt^AED中,

2222

AB-BEAD-DE日內(nèi)二一爐=62.0.^

7

S

解得:

..AC=2AE=9.6,

故AC的長為9.6,

故答案為：9.6.

【點睛】本題考查的是平行四邊形的判定和性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)，掌握垂直平分線上的點到線段

兩端點的距離相等是解題的關(guān)鍵.

【變式7-3］（2022秋?江蘇?八年級期木）【情境】某校數(shù)學興趣小組嘗試自制數(shù)學學具進行自主合作探究.圖

。是一塊邊長為12cm的等邊三隹形學具，「是邊4c上一個動點，由點力向點,運動，速度為1cm人，。是

邊C8延長線上一動點，與點f同時以相同的速度由點耳句C8延長線方向運動，連接PQ,交4B于點設(shè)點,

（2）當皿8=30,時，求￡的值；

⑶【探究】如圖②，過點0作PJ4B,垂足為后，在點匕點Q運動過程中，線段的長度是否發(fā)生變化？

若不變，請求出°F的長度；若變化，請說明理由.

【答案】⑴2*1

⑵4

⑶不變，是定值6

【分析】（1）由線段和差關(guān)系可求解：

（2）由直角三角形的性質(zhì)可列方程，即可求%勺值；

（3）過點0作Q-"%"%長線于點下連接孫P￡由全等三角形的性質(zhì)可證.=EF,由題意可證四

邊形PW是平行四邊形，可得DE=O'；

【詳解】(1)解：班是邊長為12的等邊三角形,

.〃CB=60°,AB=BC=AC=12

??，

、人AP=tcm

設(shè)，

則PC=(12-t)cm,QB=tcm

：,QC=QB+BC=(12+t)cm

二CP+CQ=12-￡+12+f=2km

(2)解.vzXCfi=60°,乙8QO=30'

AZQPC=90€

:?QC=2PC

A12+t=2(12-t)

解得:I

(3)解：線段0F的長度不改變，

如圖：過點0作QFM%"%長線于點F連接EQ'PF

,:PE上AB,QF1AB

AQFWPE

,?,點P、Q速度相同，

AP=BQ

必硬是等邊三角形，

=.ZJ4BC=LFBQ=60S

vAP=BQfLAEP=乙QFB,LA=“BF

必AEP三ABFQIAAS)

AAE=BF

BE+AE=8F+BE

AAB=EF=12

?：PELABfQF1AB

AQFII￡P(guān),QF=EP

???四邊形PEQ’是平行四邊形，

:?DE=DF=?EF=6

2

【點睛】本題考查的是三角形綜合題，等邊三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定定理、平行四邊形的判定與

性質(zhì)，熟練全等三角形判定是解答此題的關(guān)鍵.

【題型8利用平行四邊形的判定和性質(zhì)證明】

【例8）（2022春?吉林長春?八年級統(tǒng)考期末）如圖，以的邊嗎8為邊，作等小'BE和等邊△CDF,

連接DE,“求證：四邊形"況是平行四邊形.

【答案】證明見解析

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，得出血=里48=CD,"48="CD,再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，

舛山A8=BE=/IE=CD=CF=OFMAE=DCF=60’國坯用々，3L蛤口辛京―山WAE=cBCF

得出，，再根據(jù)角N間的數(shù)量關(guān)系，得出，

再根據(jù)'他，得出△A。*=C8F,再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，得出口￡=8F,再根據(jù)平行四邊形的判定定

理，即可得出結(jié)論.

【詳解】證明：.?.四邊形A?,。是平行四邊形，

AD=CBAB=CDLDAB=jBCD

一，，，

?.?△A班和△CDF是等邊三角形，

.AB=BE=AE=CD=CF=DFABAE=DCF=63

??，

,5AB—乙BAE=4CD—乙DCF

.tDAE=cBCF

"△ADEqACBl

在和中，

'4D=CB

LDAE=乙BCF

卜AE=CF

,AADE"CBF0冷

??，

.DE=BF

??，

..BE=DF

?,

.-.四邊形"DE是平行四邊形.

【點睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，解本題的

關(guān)鍵在熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)、定理.

【變式8-1］（2022春?四川成都?八年級?？计谀┤鐖D，在平行四邊形"CD中，對角線4G80相交于點

的中點.

/_\4丁LABO=2^ODE

⑴求證：；

(2)若￡G分別是。3,4%中點.

①判斷△￡?%勺形狀并證明你的結(jié)論；

②當EFJ.EG,且48=2%,求平行四邊形48CD的面積.

【答案】⑴見解析，

⑵①AEFC的形狀為等腰三角形，理由見解析；②24

【分析】(1)由平行四邊形的性質(zhì)易證4c0°="8°,再證△8°是等腰三角形，由等腰三角形三線合

乙ODE=cCDE=^cCDG

一性質(zhì)得出-,即可得出結(jié)論；

(2)①易/，叱由6為獨中點，得出再由E、F分別是℃、°8的中點，得出

由平行四邊形的性質(zhì)得4°=叱即可得出EG=EF,則是等腰三角形；

②先證四邊形陽話是平行四邊形，得出的°="叫zDGE=zFEG,WijpAEFG△DEG—ED都

是等腰直角三角形，設(shè)DG=GE=\則DE=AE=/2I,=-盧-丁，由勾股定理求出”=3,得出

DE=3C,AC=4CE=4R最后由曲產(chǎn)2即可得出答案

??ARCH

【詳解】(1)?四邊形是平行四邊形，

ABICD,AB=CDBD=2D0=28。

9，

???“DO=LABO

vBD^2AB

9

AB=DO=CD

'△8°是等腰三角形，

'.點5為線段℃的中點,

=4CDE-TLCDO="AB。

X?

：=AB0=2M)DE

9

(2)①△5FC的形狀為等腰三角形，理由如下:

???△CD。1小臉一4H￡?CO

是等腰二角形，是中ilf點，

???DE1CO

zDEA=90?

9

???G“肛一

為中點，

???EG=^AD

9

V￡尸八51日。(0B,..上

、分別是、的中點，

???EF=劃

??ARCD

?四邊形