第十章波動(dòng)和聲（Chapter10Waves&Sounds）前言波的基本概念平面簡(jiǎn)諧波方程波動(dòng)方程與波速平均能流密度?聲強(qiáng)與聲壓波的疊加和干涉?駐波多普勒效應(yīng)§1前言一、本章的基本內(nèi)容及研究方法

波動(dòng)是很普遍的現(xiàn)象，在我們周?chē)Ｒ?jiàn)的波有：水波、聲、光、無(wú)線電波，還有宇宙深處許多天體的有韻律的輻射也是波。人類(lèi)就生活在這各種各樣波的“海洋”之中。近代物理證明，波動(dòng)不僅存在于宏觀世界中，甚至對(duì)于單個(gè)的電子、質(zhì)子、中子等微觀粒子而言，它們也具有波的性質(zhì)，稱(chēng)之為物質(zhì)波。不過(guò)，物質(zhì)波與宏觀世界中的波有完全不同的本質(zhì)。盡管各種類(lèi)型波的性質(zhì)不同，但它們有相似的波動(dòng)微分方程和波函數(shù)，且都具有波動(dòng)特有的現(xiàn)象，如折射、反射、平涉和衍射等。本章的內(nèi)容可分為三個(gè)主要部分：第一，以波動(dòng)本質(zhì)——位相依次傳播為中心的有關(guān)波動(dòng)的基本概念，平面簡(jiǎn)諧波的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的建立及方程的物理意義；第二，波的能量；第三，波的疊加和駐波，另外介紹了多普勒效應(yīng)。全章的重點(diǎn)是波動(dòng)的物理圖象，平面簡(jiǎn)諧波運(yùn)動(dòng)學(xué)方程是建立在位相傳播這個(gè)物理圖象上的，不理解位相傳播是波動(dòng)的本質(zhì)，就很難真正領(lǐng)會(huì)波的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程及其物理意義，波動(dòng)的能量特征、波的疊加和駐波的特點(diǎn)都離不開(kāi)位相和位相傳播這個(gè)概念，我們研究機(jī)械波的目的是通過(guò)對(duì)具有直觀性的機(jī)械波的研究，認(rèn)識(shí)波動(dòng)的基本規(guī)律。這對(duì)于我們研究其它形式的波是十分重要的。二、本章的基本要求1、理解波動(dòng)的本質(zhì)及其物理圖象，建立正確的波動(dòng)概念；2、掌握描述波動(dòng)的基本物理量（波長(zhǎng)、波速、波的頻率）的物理意義和相互關(guān)系；3、掌握平面簡(jiǎn)諧波的概念及其方程，理解波的空間周期性和時(shí)間周期性的含義；4、了解波的能量傳播特征及能量密度和能流密度的物理意義及數(shù)學(xué)表達(dá)式；5、了解波的疊加原理及波干涉的一般概念；6、掌握駐波產(chǎn)生的條件，理解駐波方程的導(dǎo)出及駐波的特點(diǎn)；7、了解機(jī)械波的多普勒效應(yīng)及其產(chǎn)生原因。三、本章的思考題及練習(xí)題思考題：教材330-331頁(yè)；練習(xí)題：10.2.510.5.110.5.310.5.510.7.2§2波的基本概念一、波是振動(dòng)狀態(tài)的傳播波是與振動(dòng)密切相關(guān)性的。在宏觀上，可將氣體、液體或固體當(dāng)作連續(xù)體，其體內(nèi)各個(gè)相鄰的質(zhì)元間以彈性力維系著。當(dāng)任一質(zhì)元在外界作用下偏離平衡位置時(shí)，鄰近質(zhì)元作用的彈性回復(fù)力就會(huì)使它發(fā)生振動(dòng)；同時(shí)，這些鄰近質(zhì)元又受到該質(zhì)元的彈性力作用，也會(huì)振動(dòng)起來(lái)，于是振動(dòng)就會(huì)由近及遠(yuǎn)、由此及彼地傳播開(kāi)去。這種機(jī)械振動(dòng)在物質(zhì)中的傳播稱(chēng)為機(jī)械波。各個(gè)質(zhì)元僅在各自的平衡位置附近振動(dòng)，傳播開(kāi)去的只是振動(dòng)或振動(dòng)狀態(tài)。由于位相可以反映振動(dòng)狀態(tài)，所以也可以說(shuō)波動(dòng)是位相的傳播，順著波傳播的指向看過(guò)去，位相依次滯后，這反映了振動(dòng)的傳播需要時(shí)間，振動(dòng)的傳播速度叫作波速，不要把波速與質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)速度混淆起來(lái)！形成機(jī)械波有兩個(gè)條件：波源、介質(zhì)。但光波可以在真空中傳播。二、多種多樣的波●按物理性質(zhì)分：機(jī)械波、電磁波等?！癜床ǖ膫鞑シ较蚝驼駝?dòng)方向間的關(guān)系分：橫波、縱波、混合波（水波及地震波）；在氣、液、固介質(zhì)內(nèi)部能形成縱波，而橫波通常是在固體內(nèi)部傳播的，也能沿液體表面?zhèn)鞑ァ！癜凑諅鞑サ目臻g維數(shù)分：一維（沿弦的波）、二維的（表面波）和三維的；●按波源擾動(dòng)的時(shí)間分：脈沖波、持續(xù)波；●按波傳播過(guò)程中波面形狀分：平面波、球面波、柱面波等。三、描述波傳播的幾個(gè)物理量1、波陣面（波前）：在某一時(shí)刻，振動(dòng)到達(dá)的各點(diǎn)構(gòu)成的面（位相相同）；2、波射線：波的傳播方向，用帶有箭頭的線表示。在各向同性的媒質(zhì)中，波線總是與波陣面垂直；3、波長(zhǎng)：同一波線上兩個(gè)相鄰的相位差為2π，即振動(dòng)狀態(tài)相同的相鄰兩質(zhì)點(diǎn)之間的距離，通常用λ表示。波長(zhǎng)反映了波的空間周期性，即每經(jīng)過(guò)一個(gè)波長(zhǎng)，媒質(zhì)中的各點(diǎn)的振動(dòng)狀態(tài)重復(fù)一次；4、周期：波傳過(guò)一個(gè)波長(zhǎng)的時(shí)間，或一個(gè)完整的波通過(guò)波線上某點(diǎn)所需的時(shí)間，用T表示。周期反映了波的時(shí)間周期性，即每經(jīng)過(guò)一個(gè)周期，媒質(zhì)中各點(diǎn)的振動(dòng)狀態(tài)重復(fù)一次；5、波速：振動(dòng)狀態(tài)在媒質(zhì)中傳播的速度，用

或

表示。由于振動(dòng)狀態(tài)由相位決定，所以波速也可以說(shuō)是相位在媒質(zhì)中的傳播速度，因此又可稱(chēng)為相速。長(zhǎng)度上波的數(shù)目，稱(chēng)為波數(shù)，有的稱(chēng)它為角波數(shù)，而波數(shù)為即單位長(zhǎng)度內(nèi)完整的波的數(shù)目，用或表示。也可以看作是在波的傳播方向上每經(jīng)過(guò)一個(gè)單位距離后波位相的改變量，單位是m-1，它在波動(dòng)中是一個(gè)很有用的物理量?！?平面簡(jiǎn)諧波方程

若平面波的波源作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，則在波已傳到的區(qū)域中各質(zhì)元都按波源振動(dòng)的頻率作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，這樣的波就稱(chēng)為平面簡(jiǎn)諧波?？梢宰C明，其它復(fù)雜的波可視為平面簡(jiǎn)諧波的疊加。思考問(wèn)題的方法：因?yàn)橥徊嫔细髻|(zhì)元的位相相同，所以要描述某一波面上各質(zhì)元的振動(dòng)狀態(tài)，只需任意選擇其上一點(diǎn)作為代表，描述這個(gè)“代表點(diǎn)”的振動(dòng)狀態(tài)，就是描述了波面上所有質(zhì)元的運(yùn)動(dòng)。波射線上的各點(diǎn)，可以看作是各波面的“代表點(diǎn)”。若能描述波射線上各點(diǎn)的振動(dòng)狀態(tài)，也就是描述了媒質(zhì)中各質(zhì)元的運(yùn)動(dòng)，用這樣的方法，把描述空間各點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)變?yōu)橛懻撘恢本€上各點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，問(wèn)題得到了簡(jiǎn)化。問(wèn)題：能否用一個(gè)式子表達(dá)出波線上全部質(zhì)元的振動(dòng)?，F(xiàn)在就無(wú)吸收媒質(zhì)（A不變）中平面簡(jiǎn)諧波情形來(lái)討論這一問(wèn)題。具體過(guò)程：取x

軸沿某一波射線，只要能寫(xiě)出同時(shí)表達(dá)軸上各點(diǎn)振動(dòng)的表達(dá)式，就是沿軸的這一條波線上的波的表達(dá)式。12P1P2Ox下面根據(jù)振動(dòng)狀態(tài)（相位）以波速v

沿x

軸傳播的觀點(diǎn)討論一條波線上的簡(jiǎn)諧波。設(shè)波向x

軸正方向傳播，取平衡位置在坐標(biāo)原點(diǎn)O處的質(zhì)元作參考。設(shè)它在時(shí)刻t

的振動(dòng)位移為（振動(dòng)方程）x現(xiàn)在問(wèn)：在時(shí)刻t，平衡位置坐標(biāo)為x

的一點(diǎn)處的質(zhì)元位移等于什么？在x

處的振動(dòng)狀態(tài)是O

處振動(dòng)狀態(tài)經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后傳到的，所以x

處的相位比O

處相位落后。具體地說(shuō)，在t

時(shí)刻O(píng)

處的相位是，在x

處的相位就應(yīng)是O

處在t

時(shí)刻以前的時(shí)刻的相位。故x

處的振動(dòng)表達(dá)式：因x是任意的值，所以上式適用于向x

軸正方向傳播的波所傳到的任意一點(diǎn)，去掉下標(biāo)x

可得平面簡(jiǎn)諧波的表達(dá)式也稱(chēng)為簡(jiǎn)諧行波表達(dá)式（行波一詞表明是在傳播中的波）若波是向x

軸負(fù)方向傳播，則在x

處t時(shí)刻的相位應(yīng)是O

處在時(shí)刻的相位?！衿矫婧?jiǎn)諧波方程的多種形式下面這些形式是經(jīng)常遇到的，對(duì)于向x

軸正向傳播的波取“-”，向x

軸負(fù)向傳播的波取“+”?！襁M(jìn)一步闡明波動(dòng)方程的意義波動(dòng)方程是含有兩個(gè)變量（x,t）的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，理解它的物理意義，可以分作三步來(lái)認(rèn)識(shí)：首先令x

取任意定值x0，y

將只是

t的函數(shù)，這時(shí)波動(dòng)方程表示的是x0處質(zhì)點(diǎn)在作SHM

的情形。y-t曲線，想象出一部反映質(zhì)元x0圍繞自己平衡位置往復(fù)運(yùn)動(dòng)的“電影”（動(dòng)態(tài)的）；再令t

取任意定值t0，得，它表示各個(gè)質(zhì)元在給定時(shí)刻的位移，y-x曲線稱(chēng)作波形圖，也就是媒質(zhì)在特定時(shí)刻

t0

的“全景照片“（靜止的）；最后，如果x

和

t

都在變化，那么波動(dòng)方程表示波線上各個(gè)不同質(zhì)點(diǎn)在不同時(shí)刻的位移，或更形象地說(shuō)，這個(gè)波動(dòng)方程中包括了不同時(shí)刻的波形，亦即反映了波形的傳播。說(shuō)明如下：在某一時(shí)刻t1

得到一條余弦曲線y-x，而在另一時(shí)刻得到另一條余弦曲線，分別如圖中的實(shí)線和虛線所示。當(dāng)t=t1

時(shí)，可知組成波形的各個(gè)質(zhì)點(diǎn)的位移為式中t1

為給定值，x

為變值。yxOxv當(dāng)時(shí)，組成波形的各個(gè)質(zhì)點(diǎn)的位移為在時(shí)刻，位于處質(zhì)點(diǎn)的位移恰好等于在t1

時(shí)刻，位于x

處質(zhì)點(diǎn)的位移，也就是講，在時(shí)間內(nèi)，整個(gè)波因?yàn)樾窝夭ǖ膫鞑シ较蛞苿?dòng)了一段路程。波速v

就是整個(gè)波形向前傳播的速度?；蛘邚南辔粊?lái)說(shuō)，在t1

時(shí)刻，位于x

處的相位等于兩者相位相等，這表明在時(shí)間內(nèi)，這一振動(dòng)相位從

x

處傳到處，所以波速也叫相速。波速為v，寫(xiě)出簡(jiǎn)諧波的表達(dá)式。[例題]均勻無(wú)吸收媒質(zhì)中有平面簡(jiǎn)諧波向x

軸負(fù)方向傳播。已知在x=x0處質(zhì)元的振動(dòng)式為[解]波在x

處（如圖）的相位應(yīng)比x0

處落后所以這里的初相應(yīng)為得到的結(jié)果可以用下法檢查其合理性。令可得題給的x0

處振動(dòng)式，令x=0，可得在坐標(biāo)原點(diǎn)處的振動(dòng)與x0

處振動(dòng)的相位差即O點(diǎn)相位落后，這是合理的?！?波動(dòng)方程與波速

前面從振動(dòng)狀態(tài)傳播角度，即運(yùn)動(dòng)學(xué)角度，得出了簡(jiǎn)諧行波的表達(dá)式，還可以從動(dòng)力學(xué)角度分析媒質(zhì)中質(zhì)元的受力與形變，從而得到動(dòng)力學(xué)方程即波動(dòng)的微分方程，其解就是前面的波動(dòng)方程。我們不作這樣的分析（數(shù)理方程中出現(xiàn)），而是通過(guò)求偏導(dǎo)數(shù)得出這樣的方程：它并不是包羅萬(wàn)象的，它的適用范圍僅限于線性的無(wú)色散、無(wú)耗散介質(zhì)中的經(jīng)典波動(dòng)，超出這一范圍，形式五花八門(mén)，無(wú)法歸納成少數(shù)幾種標(biāo)準(zhǔn)形式。相速跟頻率無(wú)關(guān)的波叫作無(wú)色散的波?！吧ⅰ币辉~是從光學(xué)借用來(lái)的，各種不同色彩（即各種不同頻率）的光波在一些介質(zhì)，例如水滴或玻璃中的相速各不相同。色散——就是復(fù)雜波在一定條件下分解為各種頻率成分的現(xiàn)象。色散現(xiàn)象是由于在介質(zhì)中光速隨波長(zhǎng)而變，以后在物理學(xué)中把“色散”的概念推而廣之，凡波速與波長(zhǎng)有關(guān)的現(xiàn)象，都叫做“色散”，與k

的依賴(lài)關(guān)系稱(chēng)為色散關(guān)系。這個(gè)方程普遍地適用于各種平面線性波。只不過(guò)方程中的波速是按波的類(lèi)型由媒質(zhì)的彈性和媒質(zhì)的密度決定。例如：固體內(nèi)的橫波沿固體細(xì)棒傳播的縱波緊張柔軟繩上傳播的橫波液體或氣體內(nèi)的縱波§5平均能流密度?聲強(qiáng)與聲壓一、媒質(zhì)中波的能量分布由于波的本質(zhì)是振動(dòng)狀態(tài)的傳播，而能量是對(duì)狀態(tài)的描述，因此，波傳播的過(guò)程，也就是能量的傳播過(guò)程。這是波動(dòng)的一個(gè)重要特征。以橫波為例，研究體元

的動(dòng)能、形變勢(shì)能以及總能的變化規(guī)律。即動(dòng)能、勢(shì)能及總機(jī)械能也以波的形式在傳播。單位體積媒質(zhì)所具有的能量叫能量密度，用表示。它表示在傳播波的媒質(zhì)中，單位體積媒質(zhì)在一周期內(nèi)所具有的平均能量。二、平均能流密度（波的強(qiáng)度）它是一個(gè)矢量，其大小等于單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)與波傳播方向垂直的單位面積的能量，方向沿波的傳播方向，用I

表示。在時(shí)間內(nèi)通過(guò)S

的能量Sx球面簡(jiǎn)諧波的波動(dòng)式：三、聲強(qiáng)與聲強(qiáng)級(jí)聲強(qiáng)：聲波平均能流密度的大小。聲強(qiáng)級(jí)：試驗(yàn)表明，人耳聽(tīng)覺(jué)并非與聲強(qiáng)成正比，而是與聲強(qiáng)的對(duì)數(shù)大致成正比。采用作為聲強(qiáng)標(biāo)準(zhǔn)，

聲強(qiáng)I

與I0

之比的對(duì)數(shù)稱(chēng)為聲強(qiáng)I

的聲強(qiáng)級(jí)。四、聲壓、聲強(qiáng)和聲壓的關(guān)系聲壓：在有聲波傳播的空間，某一點(diǎn)在某一瞬時(shí)的壓強(qiáng)p

與沒(méi)有聲波時(shí)壓強(qiáng)p0的差，叫作該點(diǎn)處該瞬時(shí)的聲壓，dp

=p-p0

聲壓波方程（沿x

軸傳播）：把乘積用z表示，稱(chēng)為媒質(zhì)的特性阻抗，決定于媒質(zhì)的性質(zhì)（都由媒質(zhì)性質(zhì)決定）。對(duì)機(jī)械波而言，z大者稱(chēng)為波密介質(zhì)；z小者稱(chēng)為波疏介質(zhì)。對(duì)光波而言，光的折射率n大的介質(zhì)，稱(chēng)為波密介質(zhì)；n小者稱(chēng)為波疏介質(zhì)。研究聲波產(chǎn)生、傳播和接收，以及聲波對(duì)物質(zhì)作用的理論稱(chēng)為聲學(xué)，它已成為一個(gè)獨(dú)立的分支學(xué)科。五、波的反射和透射?半波損失若介質(zhì)的波阻抗z

處處相同，則對(duì)波的傳播來(lái)說(shuō)，介質(zhì)是均勻的。一個(gè)機(jī)械波在無(wú)限大的均勻介質(zhì)中傳播時(shí)是不會(huì)發(fā)生反射的，但遇到兩介質(zhì)的分界面，由于兩者的波阻抗不同，就會(huì)在介面處發(fā)生波的反射和折射。對(duì)于垂直入射的情況，從理論上可得到入射波i，反射波r

和折射波t

在界面點(diǎn)的位移yi、yr

和yt

之間有如下關(guān)系：OBB12x作定性分析：●，即在均勻的介質(zhì)中不會(huì)發(fā)生波的反射?！瘢@種極端情況相當(dāng)于介質(zhì)2是一種剛性壁，這種情況發(fā)生“半波損失”，一般只要，就有這種現(xiàn)象發(fā)生?！瘢缫桓?，它的一端是自由的，即置于真空或空氣中，這種情況發(fā)生全波反射，一般只要，就有這種現(xiàn)象發(fā)生。此外怎樣理解？折射波的強(qiáng)度可見(jiàn)折射波事實(shí)上是不存在的，由這一點(diǎn)可推斷，在波的反射和折射中保持守恒關(guān)系的是波的強(qiáng)度：，而不是波的振幅。注意：如果波不是垂直入射到介質(zhì)界面，情況就要復(fù)雜得多，結(jié)論也不是如此簡(jiǎn)單?！?波的疊加和干涉

?駐波一、波的疊加?群速●波的疊加原理包含兩個(gè)內(nèi)容，一是波傳播的獨(dú)立性，二是波的可疊加性。具體來(lái)說(shuō)：1、幾列波相遇之后，仍然保持它們各自的特性（頻率、波長(zhǎng)、振幅、振動(dòng)方向等）不變，并按照原來(lái)的方向繼續(xù)前進(jìn)，好象沒(méi)有遇到其它波一樣。2、在相迂區(qū)域內(nèi)任一點(diǎn)的振動(dòng)位移，為各列波單獨(dú)存在時(shí)在該點(diǎn)所引起的振動(dòng)位移的矢量和。它最初是從實(shí)驗(yàn)和觀察中總結(jié)出來(lái)的，從理論上看，波的疊加原理與波動(dòng)方程為線性微分方程是一致的?！駛鬟f信息的載波通常是復(fù)雜波（諧波不攜帶任何信息），按Fourier分解觀點(diǎn)，它是由頻率在一定范圍內(nèi)的一系列簡(jiǎn)諧波疊加而成，有時(shí)也將它稱(chēng)為“波包”。對(duì)于無(wú)色散的波，各種不同頻率的諧波以同一速度傳播，波包當(dāng)然也以同一速度傳播，但是當(dāng)波包通過(guò)有色散的介質(zhì)時(shí)，其中各個(gè)單色分量將以不同的波速前進(jìn)，整個(gè)波包在向前傳播的同時(shí)，形狀也逐漸改變。通常把振幅最大的地方稱(chēng)為波包中心，將波包中心前進(jìn)的速度叫做群速，記作，即信息的傳遞速度。實(shí)際上，載波往往

是頻率很近的一系列諧波的疊加，群速為。

二、波的干涉●基本概念和規(guī)律一般而言，幾列波在空間相遇，其迭加的合成波是很復(fù)雜的。我們現(xiàn)在只討論一種典型而有重要的情形：頻率相同、振動(dòng)方向相同、相位相同或相位差恒定的兩列波的迭加。這樣的兩個(gè)波在空間任一點(diǎn)相遇時(shí)，該點(diǎn)的合振動(dòng)是具有一定振幅的簡(jiǎn)諧振動(dòng)。相遇區(qū)域內(nèi)某些地方振動(dòng)始終加強(qiáng)，而另一些地方振動(dòng)始終減弱，并形成穩(wěn)定的、有規(guī)律的振動(dòng)強(qiáng)弱分布的現(xiàn)象，這種現(xiàn)象稱(chēng)為波的干涉現(xiàn)象。產(chǎn)生干涉現(xiàn)象的波稱(chēng)為相干波。

●

理論分析設(shè)有兩個(gè)相干波源S1、S2，它們的振動(dòng)方向都垂直于圖面，波源的振動(dòng)方程為：S1S2r2r1P在P點(diǎn)的兩個(gè)分振動(dòng)為：（1）在此處合振幅最大，振動(dòng)加強(qiáng)，這稱(chēng)為相長(zhǎng)干涉，或說(shuō)干涉相長(zhǎng)；（2）在此處合振幅最小，振動(dòng)減弱，這稱(chēng)為發(fā)生了相消干涉，特別是，此處不振動(dòng)。一般情況，A

介于以上兩值之間。這樣從理論上解釋了重疊區(qū)域形成固定不變的強(qiáng)弱分布。因?yàn)楹?jiǎn)諧波的強(qiáng)度與振幅的平方成正比，所以得因此，從能量上看，當(dāng)兩相干波發(fā)生干涉時(shí)，在兩波交疊的區(qū)域，合成波在空間各處的強(qiáng)度并不等于兩個(gè)分波強(qiáng)度之和，而是作了重新分布，并且這種新的強(qiáng)度分布是時(shí)間上穩(wěn)定的、空間上強(qiáng)弱相間具有周期性的一種分布。峰谷谷峰相消相長(zhǎng)平面波1平面波2對(duì)于非相干疊加，可以證明，其合成波的強(qiáng)度恰等于分波強(qiáng)度之和，即I=I1+I2。[例題]兩個(gè)同頻率波源S1和S2相距，兩波源振動(dòng)的初相差

為。在通過(guò)S1和S2的直線上，S2外側(cè)各點(diǎn)的合振

幅為多大？S1外側(cè)各點(diǎn)的合振幅又為多大？設(shè)兩列波在S1S2直線上各點(diǎn)的振幅不隨傳播距離變化，都等于A0。[解]設(shè)S2外側(cè)的任一點(diǎn)P距S1、S2的距離分別為r1和

r2，則在P點(diǎn)兩波傳來(lái)振動(dòng)的相位差S1S2S2S1PQr2r1r1r2即兩列波在任一P點(diǎn)的振動(dòng)都是同相的，故在S2外側(cè)任一點(diǎn)合振幅為A=2A0，在兩波源連線上向S2外側(cè)傳播的波疊加后是一列加強(qiáng)了的波。在S1外側(cè)，取任一點(diǎn)Q，同樣求兩列波在Q點(diǎn)的相位差，

則由于這里，可得，即兩列

波傳到S1外側(cè)任一點(diǎn)的振動(dòng)都是反相的，且振幅相等，故合振幅A=0，即在兩波源連線上沒(méi)有向S1外側(cè)傳播的波。這個(gè)例題具體地說(shuō)明了波的干涉使兩波源單獨(dú)存在時(shí)波在空間傳播的情況發(fā)生了顯著的改變，這表現(xiàn)了波動(dòng)性的特征。三、駐波兩列振幅相等沿相反方向傳播的相干波將形成駐波。我們把兩列波以相同的相位相遇的某一點(diǎn)作為坐標(biāo)原點(diǎn)，并取該處的時(shí)刻為計(jì)時(shí)零點(diǎn)，則兩列波可寫(xiě)成：式中x

與t

被分隔開(kāi)，完全失去了行波的特征。下面分析駐波的特征：1、合成后各點(diǎn)都以作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，但各處振幅不同，x點(diǎn)振幅2、在3、在4、相鄰的波腹或相鄰波節(jié)之間的距離為，波腹與相鄰波節(jié)之間的距離為。5、跟坐標(biāo)無(wú)關(guān)，這就是說(shuō)，所有各點(diǎn)振動(dòng)的位相相同，“步調(diào)”一致，并沒(méi)有依次滯后的現(xiàn)象，即并無(wú)波形傳播的現(xiàn)象，

因此叫作駐波（與行波對(duì)照），關(guān)于，現(xiàn)在從

x=0出發(fā)，沿x軸正向考察?？傊?，每越過(guò)一個(gè)節(jié)點(diǎn)，振幅就變一次符號(hào)，對(duì)于“負(fù)”振幅可寫(xiě)為所以相鄰波節(jié)之間各點(diǎn)具有相同位相，波節(jié)兩側(cè)則相位相反，綜觀各點(diǎn)它們同時(shí)達(dá)到最大偏離（有正向，也有負(fù)向），同時(shí)通過(guò)平衡位置。注：駐波的振動(dòng)，并不是各質(zhì)元沒(méi)有相互聯(lián)系地各自作能量守恒的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，在駐波振動(dòng)中，任一質(zhì)元的機(jī)械能還是變化的，在波腹與波節(jié)間有往復(fù)的能量傳播，段與段之間在能量上是隔離的，能量并不傳播向任何一個(gè)方向。在設(shè)計(jì)激光諧振腔和用微觀粒子的波粒二象性解釋玻爾量子化條件時(shí)都要用到駐波的概念。四、弦與空氣柱的本征振動(dòng)（駐波的兩個(gè)實(shí)例）1、弦振動(dòng)[例題]長(zhǎng)度為L(zhǎng)，兩端固定的弦上，設(shè)波速為v，求弦的固有頻率。[解]n=1時(shí)，頻率稱(chēng)為弦的基頻，n=2,3,…時(shí)各頻率各稱(chēng)為弦的n

次諧頻，一般情形，弦上能激起的駐波可以是基頻的駐波和各次諧頻的駐波的疊加。當(dāng)驅(qū)動(dòng)力頻率接近某一固有頻率時(shí)，系統(tǒng)將被激發(fā)，產(chǎn)生振幅很大的駐波，這也是一種共振現(xiàn)象，例如橋梁在風(fēng)力下的共振，實(shí)質(zhì)上就屬于這類(lèi)共振。2、空氣柱的振動(dòng)當(dāng)聲波被限制在管子、圓筒或共它空腔內(nèi)部時(shí)，可以獲得共振，形成穩(wěn)定駐波由管端情況（邊界條件）決定。§7多普勒效應(yīng)

當(dāng)列車(chē)進(jìn)站時(shí)，我們聽(tīng)到汽笛聲不僅越來(lái)越大，而且音調(diào)升高；列車(chē)離去時(shí)，汽笛聲不僅越來(lái)越小，而且音調(diào)降低。反之，若聲源未動(dòng)而觀察者運(yùn)動(dòng)，或者聲源和觀察者都在運(yùn)動(dòng)，也會(huì)發(fā)生觀測(cè)頻率與波源頻率不一致的現(xiàn)象。由于波源或觀察者的運(yùn)動(dòng)而出現(xiàn)觀測(cè)頻率與波源頻率不同的現(xiàn)象，稱(chēng)為多普勒效應(yīng)，是奧地利物理學(xué)家多普勒（J.C.Doppler1803-1853）在1842年發(fā)現(xiàn)的，對(duì)機(jī)械波來(lái)說(shuō)，所謂運(yùn)動(dòng)或靜止都是相對(duì)于媒質(zhì)的。下面分幾種情況來(lái)推導(dǎo)多普勒頻移公式。