_2.2用內(nèi)切球探索圓錐曲線的性質(zhì)[對應(yīng)學(xué)生用書P40][讀教材·填要點(diǎn)]1．球的切線與切平面(1)球的切線：①定義：與球只有唯一公共點(diǎn)的直線叫做球的切線，如果球的切線通過一點(diǎn)P，切點(diǎn)為A，則稱線段PA的長為從點(diǎn)P引的球的切線長．②性質(zhì)：球的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑．從球外任一點(diǎn)引球的所有切線長相等．(2)球的切平面：①定義：與球只有唯一公共點(diǎn)的平面叫做球的切平面．②性質(zhì)：一個球的切平面，垂直于過切點(diǎn)的半徑．2．圓柱面的內(nèi)切球與圓柱面的平面截線．(1)圓柱面的定義：一條直線繞著與它平行的一條直線旋轉(zhuǎn)一周，形成的曲面叫做圓柱面，這條直線叫做圓柱面的母線，平行直線叫做圓柱面的軸．(2)圓柱面的內(nèi)切球：在圓柱面的軸上任取一點(diǎn)C，過C作垂直于軸的平面δ，則平面δ在圓柱面上的截線⊙(C，r)稱為切點(diǎn)圓，以C為圓心，r為半徑作球，該球叫做圓柱面的內(nèi)切球．(3)圓柱面的平面截線：①如果平面δ與圓柱面的軸線垂直，則平面δ截圓柱所得的截線是一個圓，此時δ平面為圓柱面的直截面；②如果平面δ與圓柱面的軸所成的角為銳角，此時稱平面δ為斜截面，平面δ截圓柱所得的截線是一個橢圓．③橢圓的定義：在一個平面內(nèi)，到兩個定點(diǎn)距離和等于定長(大于兩定點(diǎn)的距離)的點(diǎn)的軌跡，叫做橢圓．3．圓錐面及其內(nèi)切球(1)圓錐面：①定義：一條直線繞著與它相交成定角θ(0<θ<eq\f(π,2))的另一條直線旋轉(zhuǎn)一周，形成的曲面叫做圓錐面，這條直線叫做圓錐面的母線，另一條直線叫做圓錐面的軸，母線與軸的交點(diǎn)，叫做圓錐面的頂點(diǎn)，頂點(diǎn)為S的圓錐面通常記作圓錐面S.②性質(zhì)：性質(zhì)1：圓錐面的軸線和每一條母線的夾角相等．性質(zhì)2：如果一個平面垂直于圓錐面的軸線，則其截圓錐面所得的截線是圓．(2)圓錐面的內(nèi)切球及其性質(zhì)：圓錐面與內(nèi)切球的交線是一個圓，并且該圓所在平面垂直于該圓錐面的軸線．(3)圓錐面的平面截線：定理：在空間給定一個圓錐面S，軸線與母線的夾角為α，任取一個不通過S的頂點(diǎn)的平面δ，設(shè)其與軸線的夾角為β(δ與軸線平行時，規(guī)定β＝0)則①當(dāng)β>α?xí)r，平面δ與圓錐面的交線為橢圓；②當(dāng)β＝α?xí)r，平面δ與圓錐面的交線為拋物線；③當(dāng)β<α?xí)r，平面δ與圓錐面的交線為雙曲線．4．圓錐曲線的統(tǒng)一定義定理：除了圓之外，每一條圓錐曲線都是平面上到某個定點(diǎn)F和到某條定直線l的距離的比值等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡，其中F叫做圓錐曲線的焦點(diǎn)，直線叫做圓錐曲線的準(zhǔn)線．[小問題·大思維]用平面截球面和圓柱面所得到的截線分別是什么形狀？提示：聯(lián)想立體圖形及課本方法，可知用平面截球面所得截線的形狀是圓；用平面截圓柱面所得截線的形狀是圓或橢圓．[對應(yīng)學(xué)生用書P41]圓柱面的平面截線[例1]已知圓柱底面半徑為eq\r(3)，平面β與圓柱母線夾角為60°，在平面β上以G1G2所在直線為橫軸，以G1G2中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，求平面β與圓柱截口橢圓的方程．[思路點(diǎn)撥]本題考查平面與圓柱面的截線．解答本題需要根據(jù)題目條件確定橢圓的長軸和短軸．[精解詳析]過G1作G1H⊥BC于H.∵圓柱底面半徑為eq\r(3)，∴AB＝2eq\r(3).∵四邊形ABHG1是矩形，∴AB＝G1H＝2eq\r(3).在Rt△G1G2H中，G1G2＝eq\f(G1H,sin∠G1G2H)＝eq\f(2\r(3),\f(\r(3),2))＝4.又橢圓短軸長等于底面圓的直徑2eq\r(3)，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.借助條件中已經(jīng)建立的直角坐標(biāo)系，通過相關(guān)平面圖形轉(zhuǎn)換確定橢圓的長、短軸的長是關(guān)鍵．1．平面α與圓柱軸線成60°角，截圓柱面所得橢圓焦距為2eq\r(3)，求圓柱面的半徑．解：如圖所示，O為橢圓中心，AA′是橢圓的長軸，其長設(shè)為2a，過O向圓柱母線作垂線，垂足為B，則△OAB是直角三角形，且∠OAB＝60°是平面α與圓柱母線(也是與軸線)所成的角．設(shè)圓柱面半徑為r，則a＝eq\f(r,sin60°)＝eq\f(2\r(3)r,3).橢圓的短軸長2b＝2r，即b＝r，由已知焦距2c＝2eq\r(3)，∴c＝eq\r(3).又在橢圓中，a2＝b2＋c2，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3)r,3)))2＝r2＋(eq\r(3))2.解得r＝3，即圓柱面的半徑為3.圓錐面的平面截線[例2]證明：當(dāng)β>α?xí)r，平面δ與圓錐的交線為橢圓．[思路點(diǎn)撥]本題考查平面與圓錐面的截線．解答本題需要明確橢圓的定義，利用橢圓的定義證明．[精解詳析]如圖，在圓錐內(nèi)部嵌入Dandelin雙球，一個位于平面δ的上方，一個位于平面δ的下方，并且與平面δ及圓錐均相切．當(dāng)β>α?xí)r，由上面的討論可知，平面δ與圓錐的交線是一個封閉曲線．設(shè)兩個球與平面δ的切點(diǎn)分別為F1、F2，與圓錐相切于圓S1、S2.在截口的曲線上任取一點(diǎn)P，連接PF1、PF2.過P作母線交S1于Q1，交S2于Q2，于是PF1和PQ1是從P到上方球的兩條切線，因此PF1＝PQ1.同理，PF2＝PQ2.所以PF1＋PF2＝PQ1＋PQ2＝Q1Q2.由正圓錐的對稱性，Q1Q2的長度等于兩圓S1、S2所在平行平面間的母線段的長度而與P的位置無關(guān)，由此我們可知在β>α?xí)r，平面δ與圓錐的交線是以F1、F2為焦點(diǎn)的橢圓．由平面中，直線與等腰三角形兩邊的位置關(guān)系拓廣為空間內(nèi)圓錐與平面的截線之后，較難入手證明其所成曲線的形狀，尤其是焦點(diǎn)的確定更加不容易，但可以采用與本節(jié)中定理的證明相同的方法，即Danelin雙球法，這時較容易確定橢圓的焦點(diǎn)，學(xué)生也容易入手證明，使問題得到解決．2．已知一圓錐面S的軸線為Sx，軸線與母線的夾角為30°，在軸上取一點(diǎn)O，使SO＝3cm，球O與這個錐面相切，求球O的半徑和切點(diǎn)圓的半徑．解：如圖所示，點(diǎn)H為球O與圓錐面的一個切點(diǎn)，點(diǎn)C為切點(diǎn)圓心，連接OH，HC.則OH⊥SH，∠OSH＝30°，∴OH＝eq\f(1,2)SO＝eq\f(3,2)cm，且∠SOH＝60°，∴HC＝OHsin60°＝eq\f(3,2)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3\r(3),4)(cm)．∴球O的半徑為eq\f(3,2)cm，切點(diǎn)圓的半徑為eq\f(3\r(3),4)cm.[對應(yīng)學(xué)生用書P42]一、選擇題1．下列說法不正確的是()A．圓柱面的母線與軸線平行B．圓柱面的某一斜截面的軸面總是垂直于直截面C．圓柱面與斜截面截得的橢圓的離心率與圓柱面半徑無關(guān)，只與母線和斜線面的夾角有關(guān)D．平面截圓柱面的截線橢圓中，短軸長即為圓柱面的半徑解析：顯然A正確，由于任一軸面過軸線，故軸面與圓柱的直截面垂直，B正確，C顯然正確，D中短軸長應(yīng)為圓柱面的直徑長，故不正確．答案：D2．已知半徑r＝2的圓柱面，一平面與圓柱面的軸線成45°角，則截線橢圓的焦距為()A．2eq\r(2) B．2C．4 D．4eq\r(2)解析：由橢圓長半軸a＝eq\f(2,sin45°)＝2eq\r(2)，短半軸b＝2，得焦距2c＝2eq\r(a2－b2)＝2eq\r(2\r(2)2－22)＝4.答案：C3．球的半徑為3，球面外一點(diǎn)到球心的距離為6，則過該點(diǎn)的球的切線和過切點(diǎn)的半徑所成的角為()A．30° B．60°C．90° D．不確定解析：因為球的切線垂直于過切點(diǎn)的球的半徑，所以所成的角為90°.答案：C4．一圓柱面被一平面所截，平面與母線成60°角，截線上最長的弦長為4eq\r(3)，則該圓柱底面的半徑為()A.eq\r(3) B．2eq\r(3)C．3 D．6解析：圓柱底半徑r＝2eq\r(3)sin60°＝3.答案：C二、填空題5．一平面與半徑為3的圓柱面截得橢圓，若橢圓的長軸長為10，則截面與圓柱面母線的夾角的余弦值為________．解析：因為橢圓的長軸長為10，所以2a＝10，即a＝5.又橢圓短軸長b＝3，∴c＝4.故e＝cosφ＝eq\f(c,a)＝eq\f(4,5).答案：eq\f(4,5)6．一平面與圓柱面的母線成45°角，平面與圓柱面的截線橢圓的長軸長為6，則圓柱面的半徑為________．解析：由2a＝6，即a＝3，又e＝cos45°＝eq\f(\r(2),2)，得b＝c＝ea＝eq\f(\r(2),2)×3＝eq\f(3\r(2),2)，即為圓柱面的半徑．答案：eq\f(3\r(2),2)7．設(shè)圓錐面V是由直線l′繞直線l旋轉(zhuǎn)而得，l′與l交點(diǎn)為V，l′與l的夾角為α(0°<α<90°)，不經(jīng)過圓錐頂點(diǎn)V的平面δ與圓錐面V相交，設(shè)軸l與平面δ所成的角為β，則：當(dāng)________時，平面δ與圓錐面的交線為圓；當(dāng)________時，平面δ與圓錐面的交線為橢圓；當(dāng)________時，平面δ與圓錐面的交線為雙曲線；當(dāng)________時，平面δ與圓錐面的交線為拋物線．答案：β＝90°α<β<90°β<αβ＝α8．半徑分別為1和2的兩個球的球心距為12，則這兩個球的外公切線的長為________，內(nèi)公切線的長為________．解析：設(shè)兩個球的球心為O1，O2，外公切線的切點(diǎn)為A、B，則有|AB|＝eq\r(O1O\o\al(2,2)－R1－R22)＝eq\r(122－2－12)＝eq\r(143)，設(shè)內(nèi)公切線的切點(diǎn)分別為C、D，則|CD|＝eq\r(O1O\o\al(2,2)－R1＋R22)＝eq\r(122－2＋12)＝eq\r(144－9)＝eq\r(135)＝3eq\r(15).答案：eq\r(143)3eq\r(15)三、解答題9．一平面截圓錐的截線為橢圓，橢圓的長軸長為8，長軸的兩端點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離分別是6和10，求橢圓的離心率．則AB＝8，SB＝6，SA＝10，則∠SBA＝eq\f(π,2)，cos∠ASB＝eq\f(3,5)，cos∠BSP＝coseq\f(1,2)∠ASB＝eq\r(\f(1＋cos∠ASB,2))＝eq\f(2\r(5),5).∴cos∠SPB＝sin∠BSP＝eq\f(\r(5),5)，∴e＝eq\f(cos∠SPB,cos∠BSP)＝eq\f(1,2).10．如圖，上面一個Dandelin球與圓錐面的交線為圓S，記圓S所在的平面為δ′，設(shè)δ與δ′的交線為m.在橢圓上任取一點(diǎn)P，連接PF1，在δ中過P作m的垂線，垂足為A，過P作δ′的垂線，垂足為B，連接AB是PA在平面δ′上的射影．若Rt△ABP中，∠APB＝β.求平面δ與δ′所成二面角的大?。猓河梢阎狿B⊥δ′，平面δ′∩平面δ＝m.∴m⊥PB.又PA⊥m，∴m⊥面PAB，∴∠PAB是δ與δ′所成二面角的平面角．又∠APB＝β，∴∠PAB＝eq\f(δ,2)－β.11．定長為3的線段AB的兩個端點(diǎn)在拋物線y2＝x上移動，設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M，求點(diǎn)M到y(tǒng)軸的最短距離．解：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則AF＝x1＋eq\f(1,4)，BF＝x2＋eq\f(1,4)，若AB過F，則AF＋BF＝AB，此時點(diǎn)M到y(tǒng)軸距離為eq\f(3,2)－eq\f(1,4)＝eq\f(5,4)；若AB不過F，則AF＋BF>AB，即x1＋eq\f(1,4)＋x2＋eq\f(1,4)>3，x1＋x2>eq\f(5,2)，從而M的橫坐標(biāo)eq\f(x1＋x2,2)>eq\f(5,4)，顯然弦AB過焦點(diǎn)F時，M到y(tǒng)軸距離最短．設(shè)過F的直線方程為y＝