課程基本信息課例編號學科數(shù)學年級高二學期一課題空間向量的應用（2）教科書書名：出版社：出版日期：年月教學目標教學目標：運用空間向量研究立體幾何中的度量問題的過程中，感受向量法和坐標法的區(qū)別和聯(lián)系。教學重點：運用空間向量研究例題幾何中的度量問題。教學難點：根據條件選擇合適的思路和方法解題。教學過程時間教學環(huán)節(jié)主要師生活動例如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是正方形，側棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點，作EF⊥PB交PB于點F（1）求直線PA與BE所成角的大??；（2）求直線PA與平面DEF所成角的正弦值；（3）求點A到平面DEB的距離.問題1：如何用空間向量求直線PA與BE所成角？通過計算向量PA和BE的數(shù)量積，求其夾角.追問1：向量PA與BE的夾角與直線PA與BE所成角有什么差異？范圍不同，向量夾角可以是鈍角，而直線與直線所成角只會是銳角或直角.追問2：用向量法如何計算向量PA與BE夾角的余弦值？PA（向量法）解：因為PD⊥底面ABCD，所以PD⊥AD，PD⊥DC.因為底面ABCD為正方形，所以AD⊥DC.所以DA?DP=0，DP因為所以=?=?因為DA=DP所以|||=所以所以向量PA，BE夾角為150°.所以直線PA與BE夾角為30°.追問3：如果用坐標法表示PA和BE，還用這個空間直角坐標系，能寫出PA和BE的坐標么？PA（坐標法）解：因為PD⊥底面ABCD，所以PD⊥AD，PD⊥DC.因為底面ABCD為正方形，所以AD⊥DC.所以以D為原點，以DA為x軸，DC為y軸，DP為z軸，建立空間直角坐標系.設DA長為1.可得D(0,0,0)，A(1,0,0)B所以所以=所以向量PA，BE夾角為150°.所以直線PA與BE夾角為30°.問題3：如何用向量法求直線PA與平面DEF所成角？思路一是找到直線PA

在平面DEF

內的射影；思路二是計算平面DEF

的法向量.追問1：你會傾向于采用哪條思路？計算平面DEF

的法向量.追問2：向量PA與平面DEF法向量n的夾角和直線PA與平面DEF所成角θ是什么關系？

sin追問3：求平面DEF

的法向量需要解決什么問題？直接找到與平面DEF垂直的向量；或者找到平面DEF內不共線的兩個向量.（向量法）解：采用（1）的基底向量，因為PB所以PB=

所以PB⊥因為EF⊥PB，所以EF⊥因為PB⊥DE，所以PB是平面DEF的一個法向量.因為所以PA所以所以PA與平面DEF所成角的正弦值等于63（坐標法）解：采用（1）的空間直角坐標系，所以

所以PB⊥因為EF⊥PB，所以EF⊥所以PB是平面DEF的一個法向量.因為=所以PA與平面DEF所成角的正弦值等于63追問4：如果沒有注意到PB是平面DEF的一個法向量，我們會需要計算點F的坐標來求平面DEF的一個法向量，怎樣計算點F的坐標呢？因為點F在PB上，所以PF=k而PB=1,1,?1，所以PF=所以因為EF⊥PB，所以即解得問題3：如何用空間向量求點A到平面DEB的距離？計算向量DA

在平面DEB追問1：還能直接找到平面DEB的法向量么？找不到，只能通過找到平面DEB內不共線的兩個向量來計算平面DEB的法向量.追問2：這時求平面DEB的法向量選擇向量法還是坐標法？選擇坐標法.（3）解：仍采用（1）的空間直角坐標系，可得DE設平面DEB的法向量為m=(x,y,z)則有DE?m令x=1，解得y=?1，z=1，所以m=(1,?1,1)所以點A到平面DEB的距離為DA問題4：在研究立體幾何中度量問題的過程中，對比一下，向量法和坐標法，有什么區(qū)別和聯(lián)系？聯(lián)系：二者本質是相同的，坐標法實際上是向量法的坐標化，區(qū)別：向量法并不要求基底向量互相垂直，只要兩兩數(shù)量積可求就可以了，坐標法依賴空