知識(shí)點(diǎn)：LTI連續(xù)系統(tǒng)微分方程的經(jīng)典解信號(hào)與系統(tǒng)LTI連續(xù)系統(tǒng)的激勵(lì)與響應(yīng)之間的關(guān)系可用n

階常系數(shù)線性微分方程描述：微分方程的全解由齊次解

和特解

組成。微分方程的全解就是該系統(tǒng)的輸出響應(yīng)。LTI連續(xù)系統(tǒng)微分方程的經(jīng)典解齊次解列特征方程求特征根設(shè)齊次解LTI連續(xù)系統(tǒng)微分方程的經(jīng)典解

齊次解的函數(shù)形式僅僅與系統(tǒng)本身特性有關(guān)，而與激勵(lì)的函數(shù)形式無關(guān)，稱為系統(tǒng)的固有響應(yīng)或自由響應(yīng)。固有響應(yīng)（自由響應(yīng)）表1不同特征根所對(duì)應(yīng)的齊次解LTI連續(xù)系統(tǒng)微分方程的經(jīng)典解特征根齊次解二實(shí)根二實(shí)根單實(shí)根

根據(jù)微分方程右端激勵(lì)的形式，設(shè)含待定系數(shù)代入微分方程求出特解。的特解函數(shù)式根據(jù)初始條件確定齊次解系數(shù)，得到全解。

全解=齊次解+特解LTI連續(xù)系統(tǒng)微分方程的經(jīng)典解特解全解

特解的函數(shù)形式由激勵(lì)確定，稱為強(qiáng)迫響應(yīng)。強(qiáng)迫響應(yīng)LTI連續(xù)系統(tǒng)微分方程的經(jīng)典解表2不同特征根所對(duì)應(yīng)的特解LTI連續(xù)系統(tǒng)微分方程的經(jīng)典解例1：某LTI連續(xù)因果系統(tǒng)的微分方程為已知當(dāng)輸入時(shí)，系統(tǒng)的全響應(yīng)為，求該系統(tǒng)的強(qiáng)迫響應(yīng)為

A.B.C.D.B例2：描述某系統(tǒng)的微分方程為,求(1)當(dāng)時(shí)的全解。(2)當(dāng)時(shí)的全解。特征方程：特征根：(1)解：①齊次解：齊次解：LTI連續(xù)系統(tǒng)微分方程的經(jīng)典解當(dāng)

時(shí)，其特解可設(shè)為：將特解代入微分方程得：解得特解：LTI連續(xù)系統(tǒng)微分方程的經(jīng)典解

②特解：待定常數(shù)C1，C2由初始條件確定。解得：全解：

自由響應(yīng)（齊次解）強(qiáng)迫響應(yīng)（特解）LTI連續(xù)系統(tǒng)微分方程的經(jīng)典解

③全解：當(dāng)激勵(lì)時(shí)，其指數(shù)與特征根之一相重，設(shè)特解為：代入微分方程可得：

所以

，但不能求得。LTI連續(xù)系統(tǒng)微分方程的經(jīng)典解齊次解同(1)(2)解：例2：描述某系統(tǒng)的微分方程為,求(1)當(dāng)時(shí)的全解。(2)當(dāng)時(shí)的全解。

因而也不能區(qū)分自由響應(yīng)和強(qiáng)迫響應(yīng)。求得微分方程的全解為：，不能區(qū)分

C1和P0

LTI連續(xù)系統(tǒng)微分方程的經(jīng)典解全解為：

LTI連續(xù)系統(tǒng)微分方程的經(jīng)典解經(jīng)典法求解LTI系統(tǒng)微分方程的不足：若系統(tǒng)激勵(lì)發(fā)生變化，需要重新求解微分方程的特解和全解。若系統(tǒng)初始狀態(tài)發(fā)生變化，需要重新求解微分方程的全解。若系統(tǒng)激勵(lì)比較復(fù)雜，則難以求解微分方程的特解和全解。知識(shí)點(diǎn)：LTI連續(xù)系統(tǒng)的初始值信號(hào)與系統(tǒng)主講人：吉利萍西安郵電大學(xué)在

時(shí)刻，激勵(lì)

尚未

初始值初始值激勵(lì)

在

時(shí)接入系統(tǒng)，的歷史信息。LTI連續(xù)系統(tǒng)的初始值反映的是系統(tǒng)的歷史狀態(tài)，接入系統(tǒng)，該時(shí)刻的值與激勵(lì)無關(guān)。包含了激勵(lì)

的作用，

不便于描述系統(tǒng)激勵(lì)

是在

時(shí)接入系統(tǒng)，則用經(jīng)典法求解微分方程時(shí)，

要確定待定系數(shù)

，應(yīng)利用

時(shí)刻的初始值

。例1:描述某系統(tǒng)的微分方程為已知

求

和。解:中不含有即

在

處連續(xù)沖激函數(shù)系數(shù)平衡法中不含有即

在

處連續(xù)則中不含有則中不含有

一般容易獲知，初始值如何從

求得

？初始值LTI連續(xù)系統(tǒng)的初始值例2:描述某系統(tǒng)的微分方程為已知

求

和

。解:中含有則中含有中不含有

一般容易獲知，初始值如何從

求得

？初始值沖激函數(shù)系數(shù)平衡法即

在

處連續(xù)則中不含有LTI連續(xù)系統(tǒng)的初始值對(duì)微分方程兩端同時(shí)在

無窮小區(qū)間上進(jìn)行積分:

在

處連續(xù)已知LTI連續(xù)系統(tǒng)的初始值

例3：某系統(tǒng)微分方程為解：已知

求

和

。沖激函數(shù)系數(shù)平衡法為不含的某函數(shù)LTI連續(xù)系統(tǒng)的初始值為不含的某函數(shù)把上式代入得：LTI連續(xù)系統(tǒng)的初始值①②③對(duì)式②從0-到0+積分得對(duì)式③從0-到0+積分得

初始值

：LTI連續(xù)系統(tǒng)的初始值

利用沖激函數(shù)系數(shù)平衡法進(jìn)行分析：

當(dāng)微分方程等式右端含有沖激函數(shù)（及其各階導(dǎo)數(shù)）時(shí)，響應(yīng)y(t)及其各階導(dǎo)數(shù)中，有些在t=0處將發(fā)生躍變。①當(dāng)微分方程等式右端不含沖激函數(shù)（及其各階導(dǎo)數(shù)）時(shí)，響應(yīng)y(t)及其各階導(dǎo)數(shù)就不會(huì)躍變，0-值就等于0+初始值。②通過將微分方程兩端在區(qū)間[0-,0+]上積分，并比較方程兩端的系數(shù)，從而由0-初始值求出0+初始值?？偨Y(jié)：如何從已知的

求得

？初始值初始值LTI連續(xù)系統(tǒng)的初始值信號(hào)與系統(tǒng)主講人：吉利萍西安郵電大學(xué)知識(shí)點(diǎn)：LTI系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)

對(duì)于LTI連續(xù)系統(tǒng)

全響應(yīng)

=

零輸入響應(yīng)

+

零狀態(tài)響應(yīng)

齊次方程特征根齊次解非齊次方程，全解=齊次解+特解LTI系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)零輸入響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)

經(jīng)典法求解思路：【注】零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)初始值的確定：對(duì)

時(shí)接入激勵(lì)

的系統(tǒng)，時(shí)刻激勵(lì)尚未接入對(duì)于零輸入響應(yīng)，激勵(lì)為0LTI系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)例1：某LTI系統(tǒng)微分方程為已知，，，求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)和全響應(yīng)。激勵(lì)為0，故零輸入響應(yīng)

滿足齊次方程:特征方程:特征根:

零輸入響應(yīng)

①LTI系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)解:設(shè)零輸入響應(yīng)為:

零輸入響應(yīng)

的

初始值為:代入初始值求得:

故系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)為：LTI系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)特征根:②零狀態(tài)響應(yīng)滿足方程:且

,連續(xù)先求

的

初始值:

LTI系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)滿足方程:令

,方程可寫為:特征根:齊次解:設(shè)為常數(shù),

代入微分方程,求得特解:全解:

代入初始值,

求得

故系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為:

LTI系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)③全響應(yīng)全響應(yīng)

=零輸入響應(yīng)

+零狀態(tài)響應(yīng)

自由響應(yīng)強(qiáng)迫響應(yīng)【總結(jié)】①全響應(yīng)可以分解為零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)，

也可分解為自由響應(yīng)（齊次解）和強(qiáng)迫響應(yīng)（特解）。LTI系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)【總結(jié)】②自由響應(yīng)包含零輸入響應(yīng)的全部和零狀態(tài)響應(yīng)的一部分。LTI系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)③全響應(yīng)全響應(yīng)

=零輸入響應(yīng)

+零狀態(tài)響應(yīng)

自由響應(yīng)強(qiáng)迫響應(yīng)全響應(yīng)

=零輸入響應(yīng)

+零狀態(tài)響應(yīng)

自由響應(yīng)強(qiáng)迫響應(yīng)【總結(jié)】③隨著時(shí)間

t

的增長衰減為

0的項(xiàng)稱為瞬態(tài)響應(yīng)，

穩(wěn)定有界的強(qiáng)迫響應(yīng)稱為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。瞬態(tài)響應(yīng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)LTI系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)③全響應(yīng)謝謝！LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)知識(shí)點(diǎn)：LTI連續(xù)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)（一）信號(hào)與系統(tǒng)主講人：吉利萍西安郵電大學(xué)沖激響應(yīng)的定義：LTI連續(xù)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)（一）單位沖激信號(hào)激勵(lì)下系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)，稱為系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)，簡稱沖激響應(yīng)，一般用表示。沖激響應(yīng)反映了系統(tǒng)的特性。

對(duì)于連續(xù)LTI系統(tǒng)微分方程：沖激響應(yīng)的求解方法：令，則，方程右端為及其各階導(dǎo)數(shù)的線性組合，①利用沖激函數(shù)的系數(shù)平衡法求得初始值；②再令，此時(shí)方程右端等于0，方程為齊次方程；則在時(shí)，具有和方程齊次解相同的形式。LTI連續(xù)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)（一）解：

例1：描述某LTI系統(tǒng)的微分方程為

求其沖激響應(yīng)。令，則，先求

和；已知

處連續(xù)LTI連續(xù)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)（一）令，此時(shí)方程為齊次方程：

初始值

：系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為一齊次解，微分方程的特征根為和。設(shè)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為：代入初始條件求得：由于中不含有，故該系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為：LTI連續(xù)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)（一）階躍響應(yīng)的定義：單位階躍信號(hào)激勵(lì)下系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)，稱為系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)，簡稱階躍響應(yīng)，一般用表示。LTI連續(xù)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)（一）階躍響應(yīng)與沖激響應(yīng)的關(guān)系：微分特性積分特性LTI連續(xù)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)（一）知識(shí)點(diǎn)：LTI連續(xù)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)（二）信號(hào)與系統(tǒng)主講人：吉利萍西安郵電大學(xué)

對(duì)于連續(xù)LTI系統(tǒng)微分方程：沖激響應(yīng)的求解方法：令，則，方程右端為及其各階導(dǎo)數(shù)的線性組合，①利用沖激函數(shù)的系數(shù)平衡法求得初始值；②再令，此時(shí)方程右端等于0，方程為齊次方程；則在時(shí)，具有和方程齊次解相同的形式。LTI連續(xù)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)（二）

例2：某系統(tǒng)微分方程為求其沖激響應(yīng)。解：令，則，已知先求

和。利用沖激函數(shù)的系數(shù)平衡法可以確定：LTI連續(xù)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)（二）為不含的某函數(shù)把上式代入得：LTI連續(xù)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)（二）①②③對(duì)式②從0-到0+積分得對(duì)式③從0-到0+積分得

初始值

：LTI連續(xù)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)（二）令，此時(shí)方程為齊次方程：微分方程的特征根為和。設(shè)系統(tǒng)沖激響應(yīng)為：

初始值

代入，求得：考慮到故該系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為：LTI連續(xù)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)（二）例3:填空題

（1）積分器的單位沖激響應(yīng)為（2）微分器的單位沖激響應(yīng)為（3）積分器的單位階躍響應(yīng)為（4）微分器的單位階躍響應(yīng)為（5）對(duì)連續(xù)信號(hào)延遲的延遲器的單位沖激響應(yīng)為LTI連續(xù)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)（二）知識(shí)點(diǎn)：LTI連續(xù)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)（三）信號(hào)與系統(tǒng)主講人：吉利萍西安郵電大學(xué)解：利用沖激響應(yīng)的定義,例4：某LTI系統(tǒng)，其輸入

與輸出

的關(guān)系為：，求該系統(tǒng)的沖激響應(yīng)。令，則，LTI連續(xù)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)（三），求該系統(tǒng)的沖激響應(yīng)。例5：某LTI系統(tǒng)，其輸入

與輸出

的關(guān)系為：解：利用沖激響應(yīng)的定義,令，則，LTI連續(xù)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)（三）例6：已知一連續(xù)LTI系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)為求該系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)。解：該系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為：利用階躍響應(yīng)與沖激響應(yīng)的關(guān)系：LTI連續(xù)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)（三）例7:已知某LTI連續(xù)系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為，

求下圖所示的信號(hào)

作用于該系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。解：利用階躍響應(yīng)的定義知：利用LTI系統(tǒng)的線性、時(shí)不變性：LTI連續(xù)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)（三）求解系統(tǒng)的全響應(yīng)方法：（1）時(shí)域經(jīng)典法：完全解＝齊次解＋特解（2）雙零法：系統(tǒng)全響應(yīng)＝零輸入響應(yīng)＋零狀態(tài)響應(yīng)（1）求零輸入響應(yīng)：利用經(jīng)典法求解齊次方程。（2）求零狀態(tài)響應(yīng)：利用經(jīng)典法求微分方程的齊次解和特解。若已知系統(tǒng)的沖激響應(yīng)，可用卷積積分求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。麻煩復(fù)雜LTI連續(xù)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)（三）謝謝！LTI連續(xù)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)知識(shí)點(diǎn)：信號(hào)的時(shí)域分解信號(hào)與系統(tǒng)主講人：吉利萍西安郵電大學(xué)思考問題：LTI系統(tǒng)（零狀態(tài)）

任意信號(hào)通過LTI系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)

應(yīng)該如何求得？LTI系統(tǒng)（零狀態(tài)）？信號(hào)的時(shí)域分解首先確定任意信號(hào)

與沖激信號(hào)

之間的關(guān)系。求取較容易信號(hào)的時(shí)域分解LTI系統(tǒng)（零狀態(tài)）

LTI系統(tǒng)（零狀態(tài)）線性組合線性組合

任意信號(hào)

均可以表示為一系列強(qiáng)度不同、接入時(shí)刻不同的

沖激信號(hào)

的和，即信號(hào)的時(shí)域分解知識(shí)點(diǎn)：卷積積分信號(hào)與系統(tǒng)主講人：吉利萍西安郵電大學(xué)h(t)的定義：疊加性：時(shí)不變性：齊次性：卷積積分

LTI系統(tǒng)(零狀態(tài))結(jié)論：卷積積分

LTI系統(tǒng)(零狀態(tài))

卷積積分任意信號(hào)通過LTI系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)就是：激勵(lì)與該系統(tǒng)的沖激響應(yīng)的卷積積分。

為與的卷積積分，簡稱卷積；注意：積分是在虛設(shè)的變量τ下進(jìn)行的，τ為積分變量，

t為參變量。積分結(jié)果仍為

t

的函數(shù)。已知定義在區(qū)間

上的兩個(gè)函數(shù)

和

，則定義積分卷積積分例1：

計(jì)算卷積積分解：卷積積分

利用階躍信號(hào)確定積分限

對(duì)參變量

t注意討論！卷積積分例2：

計(jì)算卷積積分解：

利用階躍信號(hào)確定積分限

對(duì)參變量

t注意討論！卷積積分例3：

計(jì)算卷積積分解：

利用階躍信號(hào)確定積分限知識(shí)點(diǎn)：卷積積分的圖解法信號(hào)與系統(tǒng)主講人：吉利萍西安郵電大學(xué)卷積積分：卷積積分的圖解法卷積過程可分解為四步：（1）換元：（2）反轉(zhuǎn)平移：（3）乘積：（4）乘積的積分：卷積積分中積分限的確定是非常關(guān)鍵的，t為參變量。換為換為反轉(zhuǎn)右移從到對(duì)積分卷積積分的圖解法例1：和如圖所示，求。解：先換元，再選擇簡單的函數(shù)進(jìn)行反轉(zhuǎn)換元反轉(zhuǎn)卷積積分的圖解法例1：和如圖所示，求。解：對(duì)右移，再進(jìn)行相乘積分①卷積積分的圖解法例1：和如圖所示，求。解：對(duì)右移，再進(jìn)行相乘積分②卷積積分的圖解法例1：和如圖所示，求。解：對(duì)右移，再進(jìn)行相乘積分③卷積積分的圖解法例1：和如圖所示，求。解：對(duì)右移，再進(jìn)行相乘積分④卷積積分的圖解法例1：和如圖所示，求。解：對(duì)右移，再進(jìn)行相乘積分⑤卷積積分的圖解法例1：和如圖所示，求。⑤①②③④圖解法一般比較繁瑣，但若只求某一時(shí)刻卷積值時(shí)還是比較方便的。解：卷積積分的圖解法利用圖解法求某一時(shí)刻的卷積值時(shí)，確定積分的上下限是關(guān)鍵。例2：、如圖所示，已知，求換元反轉(zhuǎn)右移2解：卷積積分的圖解法利用圖解法求某一時(shí)刻的卷積值時(shí)，確定積分的上下限是關(guān)鍵。例2：、如圖所示，已知，求

X積分面積為0謝謝！卷積積分知識(shí)點(diǎn)：卷積積分的性質(zhì)信號(hào)與系統(tǒng)主講人：吉利萍西安郵電大學(xué)

卷積積分是一種數(shù)學(xué)運(yùn)算，它有許多重要的性質(zhì)（或運(yùn)算規(guī)則），

靈活地運(yùn)用其性質(zhì)能簡化卷積運(yùn)算。

一、卷積積分的代數(shù)性質(zhì)卷積積分滿足乘法的三大定律：（1）交換律卷積積分的性質(zhì)下面討論均設(shè)卷積積分是收斂的（或存在的）。子系統(tǒng)并聯(lián)時(shí)，總系統(tǒng)的沖激響應(yīng)等于各子系統(tǒng)的沖激響應(yīng)之和。卷積積分的性質(zhì)（2）分配律子系統(tǒng)級(jí)聯(lián)時(shí)，總系統(tǒng)的沖激響應(yīng)等于各子系統(tǒng)的沖激響應(yīng)的卷積。卷積積分的性質(zhì)（3）結(jié)合律

例1：圖中子系統(tǒng)

是一LTI系統(tǒng)。

當(dāng)激勵(lì)時(shí)，該子系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為

。

若給定激勵(lì)為

，求下圖所示系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)

。卷積積分的性質(zhì)利用階躍響應(yīng)和沖激響應(yīng)的關(guān)系，有①先求出子系統(tǒng)的沖激響應(yīng)：②依據(jù)子系統(tǒng)的串并聯(lián)關(guān)系，求出總系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為：③利用卷積積分求出總系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為：卷積積分的性質(zhì)解：已知證明：證明：（1）普通函數(shù)和沖激函數(shù)的卷積沖激函數(shù)是偶函數(shù)卷積積分的性質(zhì)

二、奇異函數(shù)的卷積特性11證明：卷積積分的性質(zhì)（2）普通函數(shù)和階躍函數(shù)的卷積證明：證明：沖激偶函數(shù)是奇函數(shù)卷積積分的性質(zhì)（3）普通函數(shù)和沖激偶函數(shù)的卷積卷積積分的性質(zhì)例2：計(jì)算下列各題。（1）（2）卷積積分的性質(zhì)例2：計(jì)算下列各題。（3）（4）卷積積分的性質(zhì)例2：計(jì)算下列各題。（5）（6）（1）卷積的微分特性

證明：卷積積分的性質(zhì)

三、卷積的微積分特性證明：卷積積分的性質(zhì)（2）卷積的積分特性

在

和

的前提下，卷積積分的性質(zhì)（3）卷積的微積分特性

解：代入卷積定義式：因?yàn)椴粷M足前提條件：例3：

，求

。注意：若利用

，

顯然是錯(cuò)誤的。卷積積分的性質(zhì)解：例4：

如圖，

，求

。卷積積分的性質(zhì)四、卷積的時(shí)移特性若則卷積積分的性