第第頁第12講傾斜角與斜率1.在平面直角坐標系中，結合具體圖形，探索確定直線位置的幾何要素．2.理解直線的傾斜角和斜率的概念，經(jīng)歷用代數(shù)方法刻畫直線斜率的過程，掌握過兩點的直線斜率的計算公式.知識點1直線的傾斜角1．傾斜角的定義當直線l與x軸相交時，取x軸作為基準，x軸正向與直線l向上的方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角．如圖所示，直線l的傾斜角是∠APx，直線l′的傾斜角是∠BPx.2．傾斜角的范圍直線的傾斜角α的取值范圍是0°≤α＜180°，并規(guī)定與x軸平行或重合的直線的傾斜角為0°.注：①每一條直線都有一個確定的傾斜角②已知直線上一點和該直線的傾斜角，可以唯一確定該直線知識點2直線的斜率1．斜率的定義一條直線的傾斜角α的正切值叫做這條直線的斜率．常用小寫字母k表示，即k＝tanα.2．斜率公式經(jīng)過兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直線的斜率公式為k＝eq\f(y2－y1,x2－x1).當x1＝x2時，直線P1P2沒有斜率．注：①若直線l經(jīng)過點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，則直線P1P2的方向向量eq\o(P1P2,\s\up7(→))的坐標為(x2－x1，y2－y1)，也可表示為(1，k)，其中k＝eq\f(y2－y1,x2－x1).②傾斜角不是的直線都有斜率，傾斜角不同，直線的斜率也不同；當時，直線與軸垂直，直線的傾斜角，斜率不存在；當時，斜率，直線的傾斜角，直線與軸重合或者平行③斜率公式與兩點坐標的順序無關，橫縱坐標的次序可以同時調(diào)換知識點3斜率與傾斜角的聯(lián)系傾斜角（范圍）斜率（范圍）不存在1、求直線的傾斜角的方法及兩點注意(1)方法：結合圖形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角．(2)兩點注意：①當直線與x軸平行或重合時，傾斜角為0°，當直線與x軸垂直時，傾斜角為90°.②注意直線傾斜角的取值范圍是0°≤α＜180°.2、利用斜率公式求直線的斜率應注意的事項(1)運用公式的前提條件是“x1≠x2”，即直線不與x軸垂直，因為當直線與x軸垂直時，斜率是不存在的；(2)斜率公式與兩點P1，P2的先后順序無關，也就是說公式中的x1與x2，y1與y2可以同時交換位置．3、在0°≤α<180°范圍內(nèi)的一些特殊角的正切值要熟記.傾斜角α0°30°45°60°120°135°150°斜率k0eq\f(\r(3),3)1eq\r(3)－eq\r(3)－1－eq\f(\r(3),3)4、斜率與傾斜角的關系（1）由傾斜角(或范圍)求斜率(或范圍)利用定義式k＝tanα(α≠90°)解決．（2）由兩點坐標求斜率運用兩點斜率公式k＝eq\f(y2－y1,x2－x1)(x1≠x2)求解．考點一：求直線的傾斜角例1．對于下列命題：①若是直線l的傾斜角，則；②若直線傾斜角為，則它斜率；③任一直線都有傾斜角，但不一定有斜率；④任一直線都有斜率，但不一定有傾斜角．其中正確命題的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】通過直線的傾斜角的范圍判斷①的正誤；直線的斜率的定義，判斷②的正誤；直線的斜率與傾斜角的關系判斷③和④的正誤.【詳解】對于①：若是直線的傾斜角，則；滿足直線傾斜角的定義，則①正確；對于②：直線傾斜角為且，它的斜率；傾斜角為時沒有斜率，所以②錯誤；對于③和④：可知直線都有傾斜角，但不一定有斜率；因為傾斜角為時沒有斜率，所以③正確；④錯誤；其中正確說法的個數(shù)為2.故選：B.變式1．已知直線的傾斜角，直線與的交點為，直線和向上的方向所成的角為，如圖，則直線的傾斜角為________．

【答案】【分析】根據(jù)三角形的外角與內(nèi)角的關系，結合直線傾斜角的定義可得出直線的傾斜角.【詳解】設直線的傾斜角為，因為和向上的方向所成的角為，所以，，故．故答案為：.變式2．直線與直線的夾角為______．【答案】【分析】分析兩條直線的傾斜角，即可得夾角大小.【詳解】直線的傾斜角為，直線的斜率為，傾斜角為，所以兩條直線的夾角為.故答案為：.考點二：求直線的斜率例2．已知直線的一個方向向量為，則直線的斜率為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用直線的方向向量與斜率的關系，即可求出答案.【詳解】因為直線的一個方向向量為，所以直線的斜率．故選：D．變式1．已知等腰直角三角形斜邊上的高所在直線的斜率為，則該等腰直角三角形兩腰所在直線的斜率分別為________，________.【答案】【分析】由已知結合直線的傾斜角與斜率關系及兩角和與差的正切公式可求．【詳解】解：設等腰直角三角形斜邊上的高所在直線的傾斜角為，則，由題意得該等腰直角三角形兩腰所在直線的傾斜角分別為，，因為，，所以該等腰直角三角形兩腰所在直線的斜率分別為為，．故答案為：，．考點三：斜率與傾斜角的關系（一）由傾斜角求斜率值（范圍）例3．（多選）已知經(jīng)過點和的直線的傾斜角，則實數(shù)的可能取值有（

）A．11 B．12 C．13 D．14【答案】ABC【分析】根據(jù)斜率公式求解.【詳解】由題可得，所以，結合選項可得實數(shù)的可能取值有11,12,13，故選:ABC.變式1．過不重合的兩點的直線的傾斜角為，則的取值為________．【答案】【分析】由題意得，可求出的取值.【詳解】由題意知，所以，即，化簡得，解得或，當時，重合，不符合題意舍去，當時，，符合題意，所以，故答案為：變式2．若經(jīng)過點和的直線的傾斜角是鈍角，則實數(shù)的取值范圍是________．【答案】，【分析】根據(jù)傾斜角為鈍角斜率為負，結合直線的斜率公式，解不等式即可得到所求范圍．【詳解】因為直線的傾斜角是鈍角，所以斜率，解得．所以的取值范圍是，．故答案為：，．（二）由斜率求傾斜角的值（范圍）例4．若直線的斜率的取值范圍是，則該直線的傾斜角的取值范圍是________.【答案】【分析】由，結合．即可得出的取值范圍．【詳解】因為，所以，因為所以故答案為：變式1．直線l的斜率為k，且，則直線l的傾斜角的取值范圍是__________．【答案】【分析】畫出直線的區(qū)域，由圖直觀看出直線的傾斜角范圍即可.【詳解】如圖：

當直線l的斜率，直線l的傾斜角的取值范圍為：.故答案為：.考點四：斜率公式的應用（一）利用直線斜率處理共線問題例5．已知三點共線，則的值為________.【答案】【分析】由條件可得，結合兩點斜率公式列方程求的值.【詳解】因為三點共線，所以，所以，解得.故答案為：.變式1．已知點，，，若線段，，不能構成三角形，則的值是________.【答案】【分析】由線段，，不能構成三角形知三點共線，由求得的值.【詳解】因為線段，，不能構成三角形，所以三點共線，顯然直線的斜率存在，故，即，解得，故答案為：4（二）斜率公式的幾何意義的應用例6．若實數(shù)、滿足，，則代數(shù)式的取值范圍為______【答案】【分析】作圖，根據(jù)代數(shù)式的幾何意義，結合圖象即可得出答案.【詳解】如圖，，，，則，.因為，可表示點與線段上任意一點連線的斜率，由圖象可知，，所以有.故答案為：.考點五：直線與線段的相交關系求斜率的范圍例7．已知坐標平面內(nèi)三點A(-1，1)，B(1，1)，．(1)求直線BC，AC的斜率和傾斜角；(2)若D為的邊AB上一動點，求直線CD的斜率和傾斜角α的取值范圍．【答案】(1)直線BC的斜率，傾斜角為；直線AC的斜率，傾斜角為；(2)【分析】（1）根據(jù)兩點間的斜率公式計算斜率，再根據(jù)斜率與傾斜角的關系求解即可；（2）數(shù)形結合，根據(jù)斜率與傾斜角變化的規(guī)律分析即可．【詳解】（1）由斜率公式得：，因為斜率等于傾斜角的正切值，且傾斜角的范圍是，∴直線BC的傾斜角為，直線AC的傾斜角為；（2）如圖，當直線CD由CA逆時針旋轉(zhuǎn)到CB時，直線CD與線段AB恒有交點，即D在線段AB上，此時k由增大到，∴k的取值范圍為，傾斜角α的取值范圍為．變式1．已知．(1)求直線AB和AC的斜率；(2)若點D在線段BC（包括端點）上移動時，求直線AD的斜率的變化范圍．【答案】(1)直線AB的斜率為，直線AC的斜率為(2)【分析】（1）根據(jù)斜率公式運算求解；（2）根據(jù)傾斜角和斜率之間的關系分析求解.【詳解】（1）由斜率公式可得直線AB的斜率，直線AC的斜率，故直線AB的斜率為，直線AC的斜率為.（2）如圖所示，當D由B運動到C時，直線AD的傾斜角增大且為銳角，直線AD的斜率由增大到，所以直線AD的斜率的變化范圍是．

變式2．已知坐標平面內(nèi)三點，為的邊上一動點，則直線斜率的變化范圍是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】作出圖象，求出的斜率，再結合圖象即可得解.【詳解】如圖所示，，因為為的邊上一動點，所以直線斜率的變化范圍是.故選：D.1．直線與直線的夾角是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由斜率得傾斜角后求解，【詳解】直線的傾斜角為，直線的斜率為，傾斜角為，兩條直線的夾角為，故選：A2．圖中的直線的斜率分別為，則有（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】根據(jù)直線斜率的概念，結合圖象，可直接得出結果.【詳解】由圖象可得，，故選：C3．若三點，，，（）共線，則的值等于___________.【答案】【分析】由三點共線，利用斜率的公式可得，進而可求目標式的值.【詳解】由題知，直線的斜率存在，由三點共線可知.由得：，即，又，∴.故答案為：一、單選題1．以下四個命題，正確的是（

）A．若直線l的斜率為1，則其傾斜角為45°或135°B．經(jīng)過兩點的直線的傾斜角為銳角C．若直線的傾斜角存在，則必有斜率與之對應D．若直線的斜率存在，則必有傾斜角與之對應【答案】D【分析】根據(jù)直線的傾斜角和斜率的概念依次判斷選項即可.【詳解】A：直線的斜率為1，則直線的傾斜角為，故A錯誤；B：過點A、B的直線的斜率為，即(為直線的傾斜角)，則為鈍角，故B錯誤；C：當直線的傾斜角為時，該直線的斜率不存在，故C錯誤；D：若直線的斜率存在，則必存在對應的傾斜角，故D正確.故選：D.2．已知一直線經(jīng)過兩，，且傾斜角為，則的值為（）A．－6B．－4C．0D．6【答案】C【分析】由兩點坐標求出直線的斜率，再由斜率等于傾斜角的正切值列式求得的值．【詳解】直線經(jīng)過兩，，又直線的傾斜角為，斜率一定存在，則直線的斜率為，即．故選：C．3．已知直線.則下列結論正確的是（

）A．點在直線上 B．直線的傾斜角為C．直線在軸上的截距為8 D．直線的一個方向向量為【答案】B【詳解】對于A項，當，時，代入直線方程后得，∴點不在直線l上，故A項錯誤；對于B項，設直線l的傾斜角為，∵，∴，又∵，∴，故B項正確；對于C項，令得：，∴直線l在y軸上的截距為，故選項C錯誤；對于D項，∵直線l的一個方向向量為，∴，這與已知相矛盾，故選項D錯誤.故選：B.4．若三點在同一直線上，則實數(shù)等于（

）A． B． C．6 D．12【答案】C【分析】由題意得，列式求解即可.【詳解】因為，又，所以，即.故選：C.5．過點P(2，m)，Q(m，4)的直線的斜率為1，那么m的值為（

）A．1或4 B．4 C．1或3 D．1【答案】D【分析】利用直線的斜率公式求解.【詳解】解：因為直線過點P(2，m)，Q(m，4)，且斜率為1，所以，解得，故選：D6．已知點，直線的傾斜角為，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)斜率公式列式計算即可.【詳解】因為直線的傾斜角為，，可得直線的斜率為，可得.故選：C7．若直線的斜率為，且，則直線的傾斜角為（

）A．或 B．或 C．或 D．或【答案】C【分析】根據(jù)直線的傾斜角與斜率之間的關系求解即可.【詳解】設直線的傾斜角為，因為，所以，當時，即，則；當時，即，則，所以直線的傾斜角為或.故選：C.8．設直線的斜率為，且，則直線的傾斜角的取值范圍為（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】設直線的傾斜角為，則有，，作出()的圖象，由圖可得的范圍，即可得答案.【詳解】設直線的傾斜角為，則有，，作出()的圖象，如圖所示：由此可得.故選：A.9．經(jīng)過兩點，的直線的傾斜角是銳角，則實數(shù)m的范圍是（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】根據(jù)題意列出相應的不等式，即可得答案.【詳解】由題意經(jīng)過兩點，的直線的傾斜角是銳角，可知，且，解得，即實數(shù)m的范圍是，故選：C10．已知兩點，，直線過點，若直線與線段相交，則直線的斜率取值范圍是（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】根據(jù)直線過定點P，畫出圖形，再求出，的斜率，然后利用數(shù)形結合求解.【詳解】如圖所示：

若直線與線段相交，則或，因為，，所以直線的斜率取值范圍是.故選：A.二、填空題11．將直線MN繞原點旋轉(zhuǎn)60°得到直線，若直線的斜率1，則直線MN的傾斜角是______（結果用角度制表示）．【答案】105°或165°【分析】根據(jù)傾斜角與斜率的概念求解.【詳解】直線的斜率1，則直線的傾斜角為45°，當將直線MN繞原點順時針旋轉(zhuǎn)60°時，直線MN的傾斜角為60°＋45°＝105°；當將直線MN繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)60°時，直線MN的傾斜角為180°－(60°－45°)＝165°，故答案為：105°或165°.12．已知過點和的直線的傾斜角為鈍角，則實數(shù)的取值范圍是______.【答案】【分析】根據(jù)斜率和傾斜角關系可得，由可得，解不等式可求得的取值范圍.【詳解】設直線的傾斜角為，則，為鈍角，，則，解得：，即實數(shù)的取值范圍為.故答案為：.13．若直線的斜率為，則直線的傾斜角的取值范圍是______.【答案】【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的取值范圍，結合直線斜率與傾斜角的關系求解即可.【詳解】由題意可得直線的斜率，令直線的傾斜角為，則，解得，故答案為：14．在平面直角坐標系中，銳角的大小如圖所示，則______.【答案】【分析】根據(jù)直線傾斜角的概念，結合正切函數(shù)的和角公式，可得答案.【詳解】由，，則直線的方程為，設其傾斜角為，即，由，則，即，解得.故答案為：.

傾斜角與斜率隨堂檢測1.若直線的一個方向向量為，則它的傾斜角為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意，求出直線的斜率，從而得出結果．【詳解】依題意，是直線的一個方向向量，所以直線的斜率，所以直線的傾斜角為．故選：C．2.已知直線的傾斜角是，則此直線的斜率是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)傾斜角與斜率的關系即可求解.【詳解】因為直線的傾斜角是，所以此直線的斜率是.故選:C.3.若過點，的直線的傾斜角為銳角，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根據(jù)兩點斜率公式求得斜率，再根據(jù)斜率與傾斜角的關系即可求解.【詳解】因為直線的斜率，又因為直線的傾斜角為銳角，所以，解得.故選：C4.已知點，，若點在線段AB上，則的取值范圍（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】設，分別求出，，根據(jù)表示直線的斜率即可得到結果.【詳解】設，則，，因為點在線段上，所以的取值范圍是，故選：A.5.已知點，若直線與線段沒有交點，則的取值范圍是（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】求出直線的斜率，結合圖形得出的范圍．【詳解】直線過定點，且，由圖可知直線與線段沒有交點時，斜率滿足，解得，故選：B．6.過兩點A(5,y)，B(3,－1)的直線的傾斜角是135°，則y等于________．【答案】－3【分析】利用直線斜率與傾斜角關系和斜率公式可得答案.【詳解】因為斜率k＝tan135°＝－1，所以，得y＝－3