第第頁第08講用空間向量研究直線、平面的位置關(guān)系1.理解與掌握直線的方向向量，平面的法向量.2.會用方向向量，法向量證明線線、線面、面面間的平行關(guān)系；會用平面法向量證明線面和面面垂直，并能用空間向量這一工具解決與平行、垂直有關(guān)的立體幾問題.知識點1空間中點、直線和平面的向量表示1．空間直線的向量表示式設(shè)A是直線上一點，a是直線l的方向向量，在直線l上取eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，設(shè)P是直線l上任意一點，(1)點P在直線l上的充要條件是存在實數(shù)t，使eq\o(AP,\s\up6(→))＝ta，即eq\o(AP,\s\up6(→))＝teq\o(AB,\s\up6(→)).(2)取定空間中的任意一點O，點P在直線l上的充要條件是存在實數(shù)t.使eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋ta.(3)取定空間中的任意一點O，點P在直線l上的充要條件是存在實數(shù)t，使eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(AB,\s\up6(→)).注意點：(1)空間中，一個向量成為直線l的方向向量，必須具備以下兩個條件：①是非零向量；②向量所在的直線與l平行或重合．(2)直線上任意兩個不同的點都可構(gòu)成直線的方向向量．與直線l平行的任意非零向量a都是直線的方向向量，且直線l的方向向量有無數(shù)個．(3)空間任意直線都可以由直線上一點及直線的方向向量唯一確定．2．空間平面的向量表示式①如圖，設(shè)兩條直線相交于點O，它們的方向向量分別為a和b，P為平面α內(nèi)任意一點，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使得eq\o(OP,\s\up6(→))＝xa＋yb.②如圖，取定空間任意一點O，空間一點P位于平面ABC內(nèi)的充要條件是存在實數(shù)x，y，使eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→)).我們把這個式子稱為空間平面ABC的向量表示式．③由此可知，空間中任意平面由空間一點及兩個不共線向量唯一確定．如圖，直線l⊥α，取直線l的方向向量a，我們稱向量a為平面α的法向量．給定一個點A和一個向量a，那么過點A，且以向量a為法向量的平面完全確定，可以表示為集合{P|a·eq\o(AP,\s\up6(→))＝0}．注意點：(1)平面α的一個法向量垂直于平面α內(nèi)的所有向量．(2)一個平面的法向量有無限多個，它們相互平行．易錯辨析：（1）空間中給定一個點A和一個方向向量能唯一確定一條直線嗎？答案：能（2）一個定點和兩個定方向向量能否確定一個平面？答案：不一定，若兩個定方向向量共線時不能確定，若兩個定方向向量不共線能確定．（3）由空間點A和直線l的方向向量能表示直線上的任意一點？答案：能知識點2空間平行、垂直關(guān)系的向量表示設(shè)u1，u2分別是直線l1，l2的方向向量，n1，n2分別是平面α，β的法向量．線線平行l(wèi)1∥l2?u1∥u2??λ∈R，使得u1＝λu2注：此處不考慮線線重合的情況．但用向量方法證明線線平行時，必須說明兩直線不重合證明線線平行的兩種思路：①用基向量表示出要證明的兩條直線的方向向量，通過向量的線性運算，利用向量共線的充要條件證明．②建立空間直角坐標(biāo)系，通過坐標(biāo)運算，利用向量平行的坐標(biāo)表示．線面平行l(wèi)1∥α?u1⊥n1?u1·n1＝0注：證明線面平行時，必須說明直線不在平面內(nèi)；(1)證明線面平行的關(guān)鍵看直線的方向向量與平面的法向量垂直．(2)特別強調(diào)直線在平面外．面面平行α∥β?n1∥n2??λ∈R，使得n1＝λn2注:證明面面平行時，必須說明兩個平面不重合．(1)利用空間向量證明面面平行，通常是證明兩平面的法向量平行．(2)將面面平行轉(zhuǎn)化為線線平行然后用向量共線進行證明．線線垂直l1⊥l2?u1⊥u2?u1·u2＝0(1)兩直線垂直分為相交垂直和異面垂直，都可轉(zhuǎn)化為兩直線的方向向量相互垂直．(2)基向量法證明兩直線垂直即證直線的方向向量相互垂直，坐標(biāo)法證明兩直線垂直即證兩直線方向向量的數(shù)量積為0.線面垂直l1⊥α?u1∥n1??λ∈R，使得u1＝λn1（1）基向量法：選取基向量，用基向量表示直線所在的向量，證明直線所在向量與兩個不共線向量的數(shù)量積均為零，從而證得結(jié)論．（2）坐標(biāo)法：建立空間直角坐標(biāo)系，求出直線方向向量的坐標(biāo)，證明直線的方向向量與兩個不共線向量的數(shù)量積均為零，從而證得結(jié)論．（3）法向量法：建立空間直角坐標(biāo)系，求出直線方向向量的坐標(biāo)以及平面法向量的坐標(biāo)，然后說明直線方向向量與平面法向量共線，從而證得結(jié)論．面面垂直α⊥β?n1⊥n2?n1·n2＝0(1)常規(guī)法：利用面面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為線面垂直、線線垂直去證明．(2)法向量法：證明兩個平面的法向量互相垂直1、理解直線方向向量的概念(1)直線上任意兩個不同的點都可構(gòu)成直線的方向向量．(2)直線的方向向量不唯一．2、利用待定系數(shù)法求法向量的步驟3、求平面法向量的三個注意點（1）選向量：在選取平面內(nèi)的向量時，要選取不共線的兩個向量（2）取特值：在求n的坐標(biāo)時，可令x，y，z中一個為一特殊值得另兩個值，就是平面的一個法向量（3）注意0：提前假定法向量n＝(x，y，z)的某個坐標(biāo)為某特定值時一定要注意這個坐標(biāo)不為04、用空間向量證明平行的方法(1)線線平行：證明兩直線的方向向量共線．(2)線面平行：①證明直線的方向向量與平面內(nèi)任意兩個不共線的向量共面，即可用平面內(nèi)的一組基底表示．②證明直線的方向向量與平面內(nèi)某一向量共線，轉(zhuǎn)化為線線平行，利用線面平行判定定理得證．③先求直線的方向向量，然后求平面的法向量，證明直線的方向向量與平面的法向量垂直．在證明線面平行時，需注意說明直線不在平面內(nèi)．(3)面面平行：①證明兩平面的法向量為共線向量；②轉(zhuǎn)化為線面平行、線線平行問題．5、用空間向量證明垂直的方法(1)線線垂直：證明兩直線的方向向量互相垂直，即證明它們的數(shù)量積為零．(2)線面垂直：①基向量法：選取基向量，用基向量表示直線所在的向量，證明直線所在向量與兩個不共線向量的數(shù)量積均為零，從而證得結(jié)論．②坐標(biāo)法：建立空間直角坐標(biāo)系，求出直線方向向量的坐標(biāo)，證明直線的方向向量與兩個不共線向量的數(shù)量積均為零，從而證得結(jié)論．③法向量法：建立空間直角坐標(biāo)系，求出直線方向向量的坐標(biāo)以及平面法向量的坐標(biāo)，然后說明直線方向向量與平面法向量共線，從而證得結(jié)論．(3)面面垂直：證明兩個平面的法向量垂直，或?qū)⒚婷娲怪钡呐卸ǘɡ碛孟蛄勘硎荆键c一：求直線的方向向量例1．已知直線的一個方向向量為，另一個方向向量為，則________，________.變式1．【多選】如圖，在正方體中，E為棱上不與，C重合的任意一點，則能作為直線的方向向量的是（

）A．B．C．D．變式2．已知直線l的一個方向向量，且直線l過A(0，y，3)和B(－1，2，z)兩點，則y－z等于（

）A．0B．1C．2D．3考點二：求平面的法向量例2．已知，則平面的一個單位法向量是（

）A．B．C．D．變式1．已知空間中三個向量，，，則下列說法正確的是（

）A．與是共線向量B．與同向的單位向量是C．在方向上的投影向量是D．平面ABC的一個法向量是考點三：用空間向量證明平行問題判斷直線、平面的位置關(guān)系例3．若平面與的法向量分別是，，則平面與的位置關(guān)系是（

）A．平行B．垂直C．相交不垂直D．無法判斷變式1．已知平面與平面是不重合的兩個平面，若平面α的法向量為，且，，則平面與平面的位置關(guān)系是________.（二）已知直線、平面的平行關(guān)系求參數(shù)例4．已知直線的一個方向向量為，平面的一個法向量，若，則實數(shù)_______．變式1．已知平面的一個法向量為，平面的一個法向量為，若，則的值為______（三）證明直線、平面的平行問題例5．如圖，四棱錐中，側(cè)面PAD為等邊三角形，線段AD的中點為O且底面ABCD，，，E是PD的中點．

證明：平面PAB；變式1．如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面平面，，，，，分別是，的中點.

求證：平面；考點四：利用空間向量證明垂直問題（一）判斷直線、平面的位置關(guān)系例6．若直線l的方向向量為，平面的法向量為，則直線l和平面位置關(guān)系是（

）A．B．C．D．不確定（二）已知直線、平面的垂直關(guān)系求參數(shù)例7．已知直線的方向向量為，平面的法向量為.若，則的值為（

）A．B．C．1D．4變式1．如圖，在正三棱錐D-ABC中，，，O為底面ABC的中心，點P在線段DO上，且，若平面PBC，則實數(shù)（

）A．B．C．D．（三）證明直線、平面的垂直問題例8．如圖，在四棱錐中，平面，底面是梯形，點E在上，．求證：平面平面；一、單選題1．若在直線l上，則直線l的一個方向向量為（

）A．B．C．D．2．如圖，在三棱錐中，底面，，，，D為棱的中點，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A．B．C．D．3．已知直線，則下列結(jié)論正確的個數(shù)是（

）①直線的截距為

②向量是直線的一個法向量③過點與直線平行的直線方程為④若直線，則A．B．C．D．4．不重合的兩條直線，的方向向量分別為，．不重合的兩個平面，的法向量分別為，，直線，均在平面，外．下列說法中錯誤的是（

）A．B．C．D．5．如圖，在空間直角坐標(biāo)系中，有正方體，給出下列結(jié)論：①直線的一個方向向量為；②直線的一個方向向量為；③平面的一個法向量為；④平面的一個法向量為．其中正確的個數(shù)為（

）．A．1B．2C．3D．46．設(shè)，是不重合的兩個平面，，的法向量分別為，，和是不重合的兩條直線，，的方向向量分別為，，那么的一個充分條件是（）A．，，且，B．，，且C．，，且D．，，且7．已知點在平面內(nèi)，是平面的一個法向量，則下列點P中，在平面內(nèi)的是（

）A．B．C．D．二、填空題8．已知直線l在平面外，直線l的方向向量是，平面的法向量是，則l與的位置關(guān)系是___________（填“平行”或“相交”）9．設(shè)平面的一個法向量分別為，則的位置關(guān)系為________．10．若平面的一個法向量為，平面的一個法向量為，且，則____.11．已知是直線l的一個方向向量，是平面α的一個法向量，若l⊥α，則a，b的值分別為________.三、解答題12．如圖，正三棱柱中，分別是棱上的點，.

證明：平面平面；13.如圖，在四棱錐中，平面，，四邊形滿足，，，點M為PC的中點.

求證：；用空間向量研究直線、平面的位置關(guān)系隨堂檢測1.已知直線的一個法向量是，則的傾斜角的大小是（

）A． B． C． D．2.若直線l的一個方向向量為，平面α的一個法向量為，則（）A．l∥α或l?αB．l⊥αC．l?αD．l與α斜交3.直線的方向向量分別為，則（

）A．B．∥C．與相交不平行D．與重合4.已知點在平面內(nèi)，是平面的一個法向量，則下列點中，在平面內(nèi)的是（

）A．B．C