第頁第14講2.1雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①掌握雙曲線的定義，幾何圖形，熟記雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，并能初步應(yīng)用。②通過對雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)，提高求動點軌跡方程的能力。③初步會按特定條件求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，要求掌握雙曲線的定義（相關(guān)的量的掌握）及雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程（滿足的條件），會求與雙曲線有關(guān)的幾何量.知識點01：雙曲線的定義1、定義:一般地,我們把平面內(nèi)與兩個定點,的距離的差的絕對值等于非零常數(shù)(小于)的點的軌跡叫做雙曲線.這兩個定點叫做雙曲線的焦點,兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距.2、集合語言表達(dá)式雙曲線就是下列點的集合:.3、說明若將定義中差的絕對值中的絕對值符號去掉,則點的軌跡為雙曲線的一支,具體是哪一支,取決于與的大小.(1)若,則,點的軌跡是靠近定點的那一支;(2)若,則,點的軌跡是靠近定點的那一支.【即學(xué)即練1】平面內(nèi)到兩個定點的距離之差的絕對值等于的點的軌跡是（

）A．雙曲線B．兩條射線C．一條線段D．一條直線【答案】B【詳解】如圖：設(shè)動點為，到兩個定點的距離之差的絕對值為，則若在線段（不包含兩端點）上，有；若在直線外，有；若在線段的延長線上或線段的反向延長線上（均包含兩端點），則有.故選：B知識點02：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程焦點位置焦點在軸上焦點在軸上標(biāo)準(zhǔn)方程（）（）圖象焦點坐標(biāo)，，的關(guān)系兩種雙曲線，（）的相同點是:它們的形狀、大小都相同,都有,;不同點是:兩種雙曲線的位置不同,它們的焦點坐標(biāo)也不同.【即學(xué)即練2】已知雙曲線對稱軸為坐標(biāo)軸，中心在原點，兩焦點為，直線過雙曲線的一個焦點，P為雙曲線上一點，且，則雙曲線的方程為．【答案】或【詳解】由題意，點為雙曲線上一點，且，可得，即，解得，又由直線過雙曲線的一個焦點，當(dāng)時，可得；當(dāng)時，可得；當(dāng)雙曲線的焦點在軸上時，雙曲線的一個焦點坐標(biāo)為，即，則，此時雙曲線的方程為；當(dāng)雙曲線的焦點在軸上時，雙曲線的一個焦點坐標(biāo)為，即，則，此時雙曲線的方程為，所以雙曲線的方程為或.故答案為：或題型01雙曲線定義的理解【例1】若動點滿足關(guān)系式，則點的軌跡是（

）A．直線B．圓C．橢圓D．雙曲線一支【答案】D【詳解】設(shè)，，則.則由已知可得，，所以點的軌跡是雙曲線的左支.故選：D.【變式1】雙曲線右支上一點A到右焦點的距離為3，則點A到左焦點的距離為（

）A．5B．6C．9D．11【答案】D【詳解】設(shè)雙曲線的實軸長為，則，由雙曲線的定義知，，故選：D題型02利用雙曲線定義求方程【例1】已知點，，動點滿足條件．則動點的軌跡方程為（

）A．B．C．D．【答案】C【詳解】由點，，可得，又由，可得，根據(jù)雙曲線的定義，可得點的軌跡表示以為焦點的雙曲線的右支，且，可得，則，所以點的軌跡方程為.故選：C.【變式1】到點，的距離的差的絕對值等于6的點的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．【答案】【詳解】由題意可設(shè)雙曲線方程為，焦距設(shè)為，由題意可知所求雙曲線的兩焦點為，，故，又雙曲線上的點到點，的距離的差的絕對值等于6，故，所以，故雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：.題型03利用雙曲線定義求點到焦點距離及最值【例1】已知雙曲線的左焦點為，點是雙曲線右支上的一點，點是圓上的一點，則的最小值為（

）A．5B．C．7D．8【答案】C【詳解】記雙曲線的右焦點為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)點為線段與雙曲線的交點時，取到最小值．故選：C．【例2】雙曲線的左?右焦點是、，點在雙曲線上，若，則（

）A．B．C．或D．或【答案】A【詳解】在雙曲線中，，，，設(shè)點，易知，若點在雙曲線的右支上，則，，由雙曲線的定義可得，可得，不合乎題意；若點在雙曲線的左支上，則，，由雙曲線的定義可得，可得，合乎題意.綜上所述，.故選：A.【變式1】已知是雙曲線的兩個焦點，點在雙曲線上，若，則（

）A．1或9B．3或7C．9D．7【答案】C【詳解】解：由題知，，因為在雙曲線上，且，所以，點在雙曲線靠近的那支上，由雙曲線定義知，故；所以，故選：C【變式2】若點在曲線上，點在曲線上，點在曲線上，則的最大值是（

）A．B．C．D．【答案】B【詳解】在雙曲線中，，，，易知兩圓圓心分別為雙曲線的兩個焦點，記點、，當(dāng)取最大值時，在雙曲線的左支上，所以，.故選：B.題型04利用雙曲線定義求雙曲線中線段和差最值【例1】已知點，雙曲線的左焦點為，點在雙曲線的右支上運動.當(dāng)?shù)闹荛L最小時，（

）A．B．C．D．【答案】C【詳解】由雙曲線得到,,，左焦點，設(shè)右焦點.當(dāng)?shù)闹荛L最小時，取到最小值，所以只需求出的最小值即可.===.故選：C.【例2】過雙曲線的左焦點F作圓的一條切線（切點為T），交雙曲線右支點于P，點M為線段FP的中點，連接MO，則的最大值為．【答案】【詳解】如圖所示，連接,設(shè)雙曲線的右焦點為，連接，則，由，因為，所以，設(shè)，則，．可得函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，即，故的最大值為．故答案為：．【變式1】已知雙曲線的左焦點為，M為雙曲線C右支上任意一點，D點的坐標(biāo)為，則的最大值為（

）A．3B．1C．D．【答案】C【詳解】設(shè)雙曲線C的實半軸長為，右焦點為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)M為的延長線與雙曲線交點時取等號.故選：C．【變式2】已知雙曲線的左右焦點分別為?，為雙曲線右支上一點，點的坐標(biāo)為，則的最小值為.【答案】【詳解】

由雙曲線方程知：，，，則，，由雙曲線定義知：，（當(dāng)且僅當(dāng)在線段上時取等號），又，.故答案為：.題型05判斷方程是否表示雙曲線【例1】（多選）對于曲線C：，則下列說法正確的有（

）A．曲線C可能為圓B．曲線C不可能為焦點在y軸上的雙曲線C．若，則曲線C為橢圓D．若，則曲線C為雙曲線【答案】BCD【詳解】當(dāng)曲線C為圓時，則，無解，故錯誤；當(dāng)曲線C為焦點在y軸上的雙曲線時，則，無解，故正確；若，則，，此時曲線C是橢圓，故正確；若曲線C為雙曲線，則，解得，故正確．故選．【變式1】（多選）已知曲線的方程為，則（

）A．曲線可以表示圓B．曲線可以表示焦點在軸上的橢圓C．曲線可以表示焦點在軸上的橢圓D．曲線可以表示焦點在軸上的雙曲線【答案】CD【詳解】對A，若曲線表示圓，則有，無解，A錯；對BC，若曲線表示橢圓，則有，此時，則曲線表示焦點在軸上的橢圓，C對B錯；對D，若曲線表示雙曲線，則有，此時，此時曲線表示焦點在軸上的雙曲線，D對.故選：CD.【變式2】（多選）方程表示的曲線可以是（

）A．圓B．焦點在y軸上的雙曲線C．焦點在y軸上的橢圓D．焦點在x軸上的雙曲線【答案】ABC【詳解】對于A，當(dāng)，即時，方程可化為，該方程表示圓，故A正確；對于B，當(dāng)，即時，方程可化為，該方程表示焦點在y軸上的雙曲線，故B正確；對于C，當(dāng)，即時，方程可化為，該方程表示焦點在y軸上的橢圓，故C正確；對于D，因為由得無解，所以當(dāng)方程化為時，由于，，所以該方程無法表示焦點在x軸上的雙曲線，故D錯誤.故選：ABC.題型06根據(jù)方程表示雙曲線求參數(shù)【例1】已知，則“”是“方程表示雙曲線”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【答案】B【詳解】若方程表示雙曲線，則，即，由能推出，必要性成立，由不能推出，充分性不成立，故“”是“方程表示雙曲線”的必要不充分條件.故選：B.【變式1】若曲線表示雙曲線，那么實數(shù)k的取值范圍是（

）A．B．C．D．【答案】B【詳解】曲線表示雙曲線，所以即可.解得或，所以實數(shù)k的取值范圍是：.故選：B.【變式2】“”是“方程表示雙曲線”的（

）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【答案】A【詳解】因為方程表示雙曲線，所以，解得或，因為由可推出或，，但是由或，不能推出，所以“”是“方程表示雙曲線”的充分不必要條件，故選：A.題型07求雙曲線方程【例1】2023年3月27日，貴州省首屆“美麗鄉(xiāng)村”籃球聯(lián)賽總決賽火爆開賽，被網(wǎng)友稱為“村BA”.從某個角度觀察籃球（如圖1），可以得到一個對稱的平面圖形，如圖2所示，籃球的外輪形狀為圓O，將籃球表面的粘合線看成坐標(biāo)軸和雙曲線的一部分，若坐標(biāo)軸和雙曲線與圓O的交點將圓O的周長八等分，，視AD所在直線為x軸，則雙曲線的方程為（

）A．B．C．D．【答案】A【詳解】解：依題意，設(shè)雙曲線方程為，因為，則，顯然圓O的半徑為3，又因為坐標(biāo)軸和雙曲線與圓O的交點將圓O的周長八等分，雙曲線與圓O交于第一象限內(nèi)的點為，于是，解得，所以雙曲線的方程為.故選：A【變式1】已知雙曲線的焦點為，，過的直線與的左支相交于兩點，過的直線與的右支相交于，兩點，若四邊形為平行四邊形，以為直徑的圓過，，則的方程為（

）A．B．C．D．【答案】D【詳解】解：設(shè)，則，由雙曲線的對稱性和平行四邊形的對稱性可知：，連接，則有，，由于在以為直徑的圓周上，∴，∵為平行四邊形，∥，∴，在直角三角形中，，即，解得，所以，；在直角三角形中，，即，得，又因為，所以，，所以雙曲線的方程為.故選:D.【變式2】過原點的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于，兩點，為的右焦點，若，且，則雙曲線的方程為.【答案】【詳解】如圖所示：設(shè)雙曲線的左焦點為，連接，，，則，四邊形為矩形，.故，，則，，故，.雙曲線的方程為.故答案為：題型08雙曲線中的軌跡方程問題【例1】已知雙曲線與直線有唯一的公共點，過點且與垂直的直線分別交軸、軸于兩點．當(dāng)點運動時，點的軌跡方程是（

）A．B．C．D．【答案】D【詳解】因為雙曲線與直線有唯一的公共點，所以直線與雙曲線相切，聯(lián)立，消去并整理得，所以，即，將代入，得，得，因為，，所以，所以，，即，由可知，所以過點且與垂直的直線為，令，得，令，得，則，，由，得，，代入，得，即，故選：D【變式1】動圓P過定點M(0，2)，且與圓N：相內(nèi)切，則動圓圓心P的軌跡方程是（

）A．B．C．D．【答案】A【詳解】圓N：的圓心為，半徑為，且設(shè)動圓的半徑為，則，即.即點在以為焦點，焦距長為，實軸長為，虛軸長為的雙曲線上，且點在靠近于點這一支上，故動圓圓心P的軌跡方程是故選：A題型09雙曲線中的焦點三角形問題【例1】已知雙曲線的左、右焦點分別為，，直線經(jīng)過且與的右支相交于A，B兩點，若，則的周長為（

）A．6B．8C．10D．12【答案】B【詳解】雙曲線的實半軸長，由雙曲線的定義，可得所以，則三角形的周長為.故選：B【例2】已知，為雙曲線的左、右焦點，點P在雙曲線C上，，則．【答案】【詳解】，，則，，，.故答案為：.【變式1】已知雙曲線，直線l過其上焦點，交雙曲線上支于A，B兩點，且，為雙曲線下焦點，的周長為18，則m值為（

）A．8B．C．10D．【答案】D【詳解】由題意知.又，所以.根據(jù)雙曲線的定義可知，所以，解得，所以.故選：D【變式2】從雙曲線的左焦點引圓的切線，切點為，延長交雙曲線右支于點，若為線段的中點，為坐標(biāo)原點，則的值是.【答案】【詳解】不妨將點置于第一象限.設(shè)是雙曲線的右焦點，連接.分別為的中點，故.又由雙曲線定義得，故.故答案為：課后鞏固練習(xí)一、單選題1．設(shè)P是雙曲線上一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是雙曲線左、右兩個焦點，若|PF1|=9，則|PF2|等于（

）A．1B．17C．1或17D．8【答案】B【詳解】對于，，所以P點在雙曲線的左支，則有；故選：B.2．若方程表示雙曲線，則實數(shù)的取值范圍為（

）A．B．C．D．【答案】D【詳解】方程表示雙曲線,則，解得或，故選：D3．已知，是雙曲線的左、右焦點，點M在雙曲線的右支上，設(shè)M到直線的距離為d，則的最小值為（

）A．7B．C．8D．【答案】D【詳解】根據(jù)雙曲線的第二定義，，又根據(jù)雙曲線的第一定義得，所以，所以當(dāng)點M在雙曲線的右支頂點時達(dá)到最小值，由雙曲線方程得，所以.故選：D4．由倫敦著名建筑事務(wù)所SteynStudio設(shè)計的南非雙曲線大教堂驚艷世界，該建筑是數(shù)學(xué)與建筑完美結(jié)合造就的藝術(shù)品．若將如圖所示的大教堂外形弧線的一段近似看成雙曲線下支的一部分，且此雙曲線的虛軸長為2，離心率為2，則該雙曲線的方程為（

）A．B．C．D．【答案】B【詳解】對于A，，，不符合題意；對于B，，，符合題意；對于C，，實軸在x軸上，不符合題意；對于D，，實軸在x軸上，不符合題意；故選：B.5．已知雙曲線的左、右焦點分別為，，直線經(jīng)過且與的右支相交于A，B兩點，若，則的周長為（

）A．6B．8C．10D．12【答案】B【詳解】雙曲線的實半軸長，由雙曲線的定義，可得所以，則三角形的周長為.故選：B6．如圖，，分別是雙曲線的左、右焦點，，點在雙曲線的右支上，的延長線與軸交于點，的內(nèi)切圓在邊上的切點為，若，則此雙曲線的漸近線方程為（

）

A．B．C．D．【答案】A【詳解】設(shè)內(nèi)切圓與切于點，與切于點，則，，，又由，，，，又，則，，又，，所以，所以此雙曲線的漸近線方程為.

故選：A7．若雙曲線與雙曲線有相同的焦距，且過點，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A．B．C．或D．或【答案】C【詳解】因為和有相同的焦距，又雙曲線的焦距為，所以雙曲線的焦距，又過點，當(dāng)?shù)慕裹c在x軸上，設(shè)雙曲線的方程為，若將點代入，得①，又②，聯(lián)立①②兩式得，，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.當(dāng)?shù)慕裹c在y軸上，設(shè)雙曲線的方程為，將點代入，得③，又④，聯(lián)立③④兩式得，，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，綜上所述，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為或.故選：C.8．已知，分別為雙曲線：的左、右焦點，左右頂點分別為，離心率為，點為雙曲線C上一點，直線的斜率之和為，的面積為，則（

）A．B．C．D．【答案】D【詳解】因為離心率為，則，則，所以雙曲線方程為，設(shè)，則①，因為，所以，所以②，又因為的面積為，所以，即，所以③，由②③得④，將④③代入①得，，所以.故選：D.

二、填空題9．設(shè)雙曲線的左、右焦點分別為，，為雙曲線右支上一點，且，則的大小為．【答案】/【詳解】因為雙曲線，則，，所以，因為為雙曲線右支上一點，所以，又，所以，，，由余弦定理，即，解得，又，所以.故答案為：10．已知圓，圓，若動圓E與，都外切，則圓心E的軌跡方程為.【答案】【詳解】圓的圓心為，半徑；圓的圓心為，半徑，由于動圓E與圓，都外切，設(shè)動圓E的半徑為，則，所以，所以點的軌跡是以，為焦點的雙曲線的右支，設(shè)方程為，則，所以E的軌跡方程為.故答案為：.B能力提升1.已知點P在雙曲線C：上，、是雙曲線C的左右焦點，若的面積為20，則下列說法中正確的是.（填序號）①點P到x軸的距離為；②；③為鈍角三角形；④.【答案】②③【詳解】由已知因為點P在雙曲線上，、是雙曲線C的左、右焦點，的面積為20，所以，所以，.對于①，點P到x軸的距離為4，故①錯誤.對于②，由對稱性，不妨設(shè).因為，，所以，即②正確.對于③，由對稱性，不妨設(shè)，由雙曲線的定義有，結(jié)合，解得，.所以在中，由余弦定理得，所以為鈍角，所以③正確.對于④，由對稱性，不妨設(shè)，由③的判斷過程知，，，則，所以，所以，所以④錯誤.故答案為：②③2．已知雙曲線的右焦點為是雙曲線上一點.(1)求雙曲線的方程；(2)過點作斜率大于0的直線與雙曲線的右支交于兩點，若平分，求直線的方程.【答案】(1)(2)【詳解】（1），又，聯(lián)立得，得或18.當(dāng)時，；當(dāng)時，舍去.所以雙曲線的方程為：.（2）設(shè)，直線與雙曲線聯(lián)立，得，所以①.由直線和雙曲線右支交于兩點，結(jié)合直線斜率為正可得：，解得.由平分，由角平分線定理，則，即.兩邊平方得，，整理可得：.將①代入可得，解得符合題意，所以.

第14講2.1雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程隨堂檢測1.若雙曲線的左、右焦點分別為，點在雙曲線上，且，則（

）A．B．C．或D．或【答案】A【詳解】由雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程得：，由雙曲線定義得:即，解得（舍去）或，故選：A.2.雙曲線：的左右焦點分別為，，一條漸近線方程為，若點在雙曲線上，且，則（

）A．7B．9C．1或9D．3或7【答案】B【詳解】由，可得，則.又因在雙曲線，則由雙曲線定義，有，可得.故選：B3.已知，雙曲線C：的左焦點為F，P是雙曲線C的右支上的動點，則的最大值是（

）A．B．C．D．【答案】D【詳解】若C為雙曲線右焦點C(3,0)，則，|AC|=5,而，僅當(dāng)共線且在之間時等號成立，所以，當(dāng)共線且在之間時等號成立.故選：D4.（多選）關(guān)于、的方程表示的軌跡可以是（

）A．橢圓B．雙曲線C．直線D．拋物線【答案】BC【詳解】當(dāng)時，該方程表示的軌跡是直線；當(dāng)時，該方程表示的軌跡是直線；當(dāng)且時，原方程可化為.當(dāng)或時，，該方程表示的軌跡是雙曲線；當(dāng)，又，則，此時方程為，該方程表示圓；綜上所述，方程所表示的曲線不可能是橢圓或拋物線.故選：BC.5.已知曲線是雙曲線，則實數(shù)k的取值范圍是（

）A．B．C．D．【答案】B【詳解】因為曲線是雙曲線，所以，解得：，所以實數(shù)的取值范圍是，故選：.6.已知雙曲線過點，且與橢圓有公共焦點，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（

）A．B．C．D．【答案】B【詳解】由橢圓，可化為標(biāo)準(zhǔn)方程，可得，因為雙曲線與橢圓有公共的焦點，所以，又因為雙曲線過點，可