第五節(jié)對數(shù)與對數(shù)函數(shù)課程內(nèi)容要求1.理解對數(shù)的概念和運算性質(zhì)，知道用換底公式能將一般對數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對數(shù)或常用對數(shù).2.了解對數(shù)函數(shù)的概念及其單調(diào)性與特殊點.3.知道對數(shù)函數(shù)y=logax(a>0，且a≠1)與指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0，且a≠1)互為反函數(shù).CONTENTS目錄123基礎(chǔ)扎牢——基礎(chǔ)不牢·地動山搖考法研透——方向不對·努力白費思維激活——靈活不足·難得高分4課時跟蹤檢測基礎(chǔ)扎牢—基礎(chǔ)不牢·地動山搖011.對數(shù)由教材回扣基礎(chǔ)概念如果ax=N(a>0，且a≠1)，那么數(shù)x叫做以a為底N的對數(shù)，記作__________，其中a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)，logaN叫做對數(shù)式性質(zhì)對數(shù)式與指數(shù)式的互化：ax=N?___________x=logaNx=logaNN運算法則loga(MN)=_____________a>0，且a≠1，M>0，N>0logaMn=________

(n∈R)換底公式續(xù)表logaM+logaNlogaM-logaNnlogaM2.對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)y=logaxa>10<a<1圖象性質(zhì)定義域為_________值域為_____過定點________，即x=____時，y=____當(dāng)x>1時，_____；當(dāng)0<x<1時，______當(dāng)x>1時，_____；當(dāng)0<x<1時，_____在區(qū)間(0，+∞)上是____函數(shù)在區(qū)間(0，+∞)上是____函數(shù)續(xù)表(0，+∞)R(1，0)10y>0y<0y<0y>0增減3.底數(shù)的大小決定了圖象相對位置的高低不論是a>1還是0<a<1，在第一象限內(nèi)，自左向右，圖象對應(yīng)的對數(shù)函數(shù)的底數(shù)逐漸變大，如圖，0<c<d<1<a<b.在x軸上側(cè)，圖象從左到右相應(yīng)的底數(shù)由小變大；在x軸下側(cè)，圖象從右到左相應(yīng)的底數(shù)由小變大.(無論在x軸的上側(cè)還是下側(cè)，底數(shù)都按順時針方向變大)4.反函數(shù)指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0且a≠1)與對數(shù)函數(shù)________

(a>0且a≠1)互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線______對稱.y=logaxy=x

澄清微點·熟記結(jié)論

練小題鞏固基礎(chǔ)

√

√

√

三、練清易錯易混1.(不熟悉對數(shù)的運算性質(zhì))有下列結(jié)論：①lg(lg10)=0；②lg(lne)=0；③若lgx=1，則x=10；④若log22=x，則x=1；⑤若logmn·log3m=2，則n=9.其中正確結(jié)論的序號是

.

答案：①②③④⑤

考法研透—方向不對·努力白費02命題視角一對數(shù)式的化簡與求值(自主練通)√

√

一“點”就過解決對數(shù)運算問題的常用方法(1)將真數(shù)化為底數(shù)的指數(shù)冪的形式進行化簡.(2)將同底對數(shù)的和、差、倍合并.(3)利用換底公式將不同底的對數(shù)式轉(zhuǎn)化成同底的對數(shù)式，要注意換底公式的正用、逆用及變形應(yīng)用.(4)利用常用對數(shù)中的lg

2+lg

5=1.

命題視角二對數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用√

研究對數(shù)型函數(shù)圖象的思路研究對數(shù)型函數(shù)的圖象時，一般從最基本的對數(shù)函數(shù)的圖象入手，通過平移、伸縮、對稱變換得到.特別地，要注意底數(shù)a>1或0<a<1這兩種不同情況.方法技巧

√

與對數(shù)型函數(shù)有關(guān)的方程或不等式問題常常結(jié)合對數(shù)函數(shù)的圖象來解決，即數(shù)形結(jié)合法，應(yīng)用時要準確畫出圖象，把方程根、不等式的解等問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象之間的問題.方法技巧1.已知函數(shù)y=loga(x+c)(a，c是常數(shù)，其中a>0且a≠1)的大致圖象如圖所示，下列關(guān)于a，c的表述正確的是

(

)A.a>1，c>1 B.a>1，0<c<1C.0<a<1，c>1 D.0<a<1，0<c<1解析：由題圖可以看出0<a<1，logac>0，loga(1+c)<0，故得0<c<1，0<a<1，故選D.針對訓(xùn)練√

√

考法(一)

與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的比較大小問題[例1]

(1)若4x=5y=20，z=logxy，則x，y，z的大小關(guān)系為(

)A.x<y<z B.z<x<yC.y<x<z D.z<y<x[解析]

因為4x=5y=20，根據(jù)指數(shù)與對數(shù)的關(guān)系和y=logax(a>1)為增函數(shù)可知，x=log420>log416=2，故x>2，y=log520，由log55<log520<log525，即1<log520<2，故1<y<2，所以1<y<x，可得logxy<logxx<1，即z<1，綜上z<y<x.命題視角三對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用√(2)設(shè)a=30.3，b=log32，c=log0.23，則

(

)A.a>c>b B.a>b>cC.b>c>a D.b>a>c[解析]

函數(shù)y=3x在R上單調(diào)遞增，則a=30.3>30=1，函數(shù)y=log3x在(0，+∞)上單調(diào)遞增，0=log31<log32<log33=1，即0<b<1，函數(shù)y=log0.2x在(0，+∞)上單調(diào)遞減，c=log0.23<log0.21=0，所以a>b>c.√對數(shù)函數(shù)值大小比較的方法方法技巧單調(diào)性法在同底的情況下直接得到大小關(guān)系，若不同底，先化為同底中間量過渡法尋找中間數(shù)聯(lián)系要比較的兩個數(shù)，一般是用“0”“1”或其他特殊值進行“比較傳遞”圖象法根據(jù)圖象觀察得出大小關(guān)系

√簡單對數(shù)不等式問題的求解策略(1)解決簡單的對數(shù)不等式，應(yīng)先利用對數(shù)的運算性質(zhì)化為同底數(shù)的對數(shù)值，再利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為一般不等式求解.(2)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和底數(shù)a的值有關(guān)，在研究對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性時，要按0<a<1和a>1進行分類討論.(3)某些對數(shù)不等式可轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)圖象問題，利用數(shù)形結(jié)合法求解.方法技巧

解決對數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合問題的注意點(1)要分清函數(shù)的底數(shù)是a∈(0，1)，還是a∈(1，+∞).(2)確定函數(shù)的定義域，無論研究函數(shù)的什么性質(zhì)或利用函數(shù)的某個性質(zhì)，都要在其定義域上進行.(3)轉(zhuǎn)化時一定要注意對數(shù)問題轉(zhuǎn)化的等價性.方法技巧

針對訓(xùn)練√

思維激活—靈活不足·難得高分03類型(一)

利用圖象與性質(zhì)比較大小比較大小時，若題設(shè)涉及指數(shù)式、對數(shù)式，則應(yīng)考慮指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，此外，要特別注意數(shù)字“0”和“1”等在比較大小問題中的橋梁作用.以點帶面?練系統(tǒng)思維——指、對、冪大小比較的方法

√[微點撥]利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)時，要注意考慮a，b，c與特殊數(shù)字“0”“1”的大小關(guān)系，以便比較大小.

√

類型(二)

巧解涉及三元變量的比較大小問題比較大小時，若題設(shè)涉及三個指數(shù)式連等，或三個對數(shù)式連等，則可利用特例法求解，也可在設(shè)元變形的基礎(chǔ)上，靈活運用相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)求解.

[例3]

設(shè)x，y，z為正數(shù)，且2x=3y=5z，則(

)A.3y<2x<5z B.2x<3y<5zC.3y<5z<2x D.5z<2x<3y√

[微點撥]本例可利用特例法或設(shè)元法求解，利用特例法，顯得簡潔、明了；關(guān)鍵根據(jù)對數(shù)換底公式，將x，y，z寫成分式形式，分子相同，分母不同，因此可以利用作差法或作商法比較，也可借助中間值比較大小.當(dāng)然解題時也可直接取一個固定的k值.

√

[微點撥]本例可取特例，在特例的基礎(chǔ)上，結(jié)合排除法解答；也可借助設(shè)元變形，先將目標問題等價轉(zhuǎn)化為考查2k-1，3k-1，5k-1的大小，再對冪函數(shù)f(x)=xk-1的單調(diào)性加以討論分析.提醒：冪函數(shù)y=xa在(0，+∞)上的單調(diào)性可分為三種情況：①若a>0，則單調(diào)遞增；②若a=0，則為常數(shù)函數(shù)；③若a<0，則單調(diào)遞減.04課時跟蹤檢測

√

√

√

√

√二、綜合練——練思維敏銳度1.在同一直角坐標系中，函數(shù)f(x)=2-ax，g(x)=loga(x+2)(a>0，且a≠1)的圖象大致為(

)√

√√√

√√

√5.(多選)已知函數(shù)f(x)=lnx+ln(2-x)，則

(

)A.f(x)在(0，2)上單調(diào)遞增B.f(x)在(0，2)上的最大值為0C.f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱D.f(x)的圖象關(guān)于點(1，0)對稱√√解析：

f(x)=ln

x+ln(2-x)，定義域為(0，2)，f(x)=ln[x(2-x)]=ln(-x2+2x)，令t=-x2+2x，y=ln

t，∵t=-x2+2x，x∈(0，2)，在(0，1)上單調(diào)遞增，在(1，2)上單調(diào)遞減，∴f(x)在(0，1)上單調(diào)遞增，在(1，2)上單調(diào)遞減，故A不正確；f(x)max=f(1)=0，故B正確；∵f(1+x)=ln(1+x)+ln(1-x)，f(1-x)=ln(1-x)+ln(1+x)，∴f(1+x)=f(1-x)，∴f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱，故C正確，D不正確.6.如果函數(shù)f(x)的圖象與函數(shù)g(x)=ex的圖象關(guān)于直線y=x對稱，則f(4x-x2)的單調(diào)遞增區(qū)間為

.

解析：由題意得f(x)=ln

x(x>0).則f(4x-x2)=ln(4x-x2)，0<x<4.若求f(4x-x2)的單調(diào)遞增區(qū)間，就是求y=4x-x2，0<x<4的單調(diào)遞增區(qū)間.結(jié)合圖象知y=4x-x2(0<x<4)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，2)，故f(4x-x2)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，2).答案：(0，2)

三、自選練——練高考區(qū)分度1.(多選)已知x1+log3x1=0，x2+log2x2=0，則(

)A.0<x2<x1<1

B.0<x1<x2<1C.x2lgx1-x1lgx2<0

D.x2lgx1-x1lgx2>0解析：由x1=-log3x1>0可得0<x1<1，同理可得0<x2<1，因為x