七年級(jí)數(shù)學(xué)不等式專題練習(xí)題一、引言不等式是七年級(jí)代數(shù)的核心內(nèi)容之一，是連接方程與函數(shù)的橋梁，也是解決實(shí)際問(wèn)題（如方案選擇、資源分配、最值計(jì)算）的重要工具。本專題圍繞不等式的基本概念、性質(zhì)、解法、解集表示及實(shí)際應(yīng)用，設(shè)計(jì)了分層練習(xí)，旨在幫助學(xué)生鞏固基礎(chǔ)、突破難點(diǎn)，提升解決問(wèn)題的能力。二、知識(shí)點(diǎn)專項(xiàng)練習(xí)（一）不等式的基本概念與性質(zhì)1.概念回顧不等式：用不等號(hào)（>、<、≥、≤、≠）表示不等關(guān)系的式子，如\(3x+2>5\)、\(y-1≤0\)。不等號(hào)類型：嚴(yán)格不等號(hào)：>（大于）、<（小于）；非嚴(yán)格不等號(hào)：≥（大于等于）、≤（小于等于）；不等號(hào)：≠（不等于）。2.性質(zhì)總結(jié)（重點(diǎn)）性質(zhì)內(nèi)容示例性質(zhì)1不等式兩邊加（或減）同一個(gè)數(shù)（或式子），不等號(hào)方向**不變**若\(a>b\)，則\(a+3>b+3\)；\(a-5<b-5\)（當(dāng)\(a<b\)時(shí)）性質(zhì)2不等式兩邊乘（或除以）同一個(gè)**正數(shù)**，不等號(hào)方向**不變**若\(a>b\)，\(c>0\)，則\(ac>bc\)；\(a/c>b/c\)性質(zhì)3不等式兩邊乘（或除以）同一個(gè)**負(fù)數(shù)**，不等號(hào)方向**改變**若\(a>b\)，\(c<0\)，則\(ac<bc\)；\(a/c<b/c\)3.例題解析例1：判斷下列式子是否為不等式：（1）\(3x+2=5\)（2）\(y-1>0\)（3）\(2x≤3\)（4）\(a+b\)解：（2）（3）是不等式（含不等號(hào)）；（1）是等式，（4）是代數(shù)式。例2：應(yīng)用性質(zhì)填空（填“>”“<”或“=”）：（1）若\(x>y\)，則\(x+2\)____\(y+2\)（性質(zhì)1，加同一個(gè)數(shù)，方向不變）；（2）若\(-3x>6\)，則\(x\)____\(-2\)（性質(zhì)3，除以負(fù)數(shù)，方向改變）。4.針對(duì)性練習(xí)（1）下列式子中，不是不等式的是（）A.\(x+1>0\)B.\(2x-3≤5\)C.\(3x=6\)D.\(a≠b\)（2）若\(a<b\)，則下列變形正確的是（）A.\(a+5>b+5\)B.\(3a>3b\)C.\(-2a<-2b\)D.\(a-2<b-2\)（3）填空：若\(2x-1<3\)，則\(2x\)____\(4\)（性質(zhì)1，加1），\(x\)____\(2\)（性質(zhì)2，除以2）。（二）一元一次不等式的解法1.定義回顧一元一次不等式：含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是1，且不等號(hào)兩邊都是整式的不等式，如\(2x-3>1\)、\(\frac{x+1}{2}≤3\)。2.解法步驟（核心）解一元一次不等式的步驟與解一元一次方程類似，但需注意系數(shù)化為1時(shí)，若乘除負(fù)數(shù)，不等號(hào)方向要改變。具體步驟如下：1.去分母：兩邊乘各分母的最小公倍數(shù)（注意：每一項(xiàng)都要乘，不含分母的項(xiàng)也要乘）；2.去括號(hào)：用分配律展開(kāi)括號(hào)（注意：符號(hào)問(wèn)題，負(fù)號(hào)乘括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)要變號(hào)）；3.移項(xiàng)：將含未知數(shù)的項(xiàng)移到左邊，常數(shù)項(xiàng)移到右邊（注意：移項(xiàng)要變號(hào)）；4.合并同類項(xiàng)：化簡(jiǎn)為\(ax>b\)（或\(ax<b\)、\(ax≥b\)、\(ax≤b\)）的形式；5.系數(shù)化為1：兩邊除以\(a\)（注意：\(a>0\)時(shí)，方向不變；\(a<0\)時(shí)，方向改變）。3.例題解析例3：解不等式\(\frac{2x-1}{3}≤\frac{x+1}{2}\)，并寫(xiě)出解集。解：去分母（最小公倍數(shù)6）：\(2(2x-1)≤3(x+1)\)（每一項(xiàng)都乘6）；去括號(hào)：\(4x-2≤3x+3\)（分配律，注意符號(hào)）；移項(xiàng)：\(4x-3x≤3+2\)（含未知數(shù)的項(xiàng)移左，常數(shù)項(xiàng)移右，移項(xiàng)變號(hào)）；合并同類項(xiàng)：\(x≤5\)；系數(shù)化為1：\(x≤5\)（\(x\)的系數(shù)為1，方向不變）。解集：所有小于等于5的數(shù)，即\(x≤5\)。4.針對(duì)性練習(xí)解下列不等式，寫(xiě)出詳細(xì)步驟：（1）\(3(x-1)>2x+1\)；（2）\(\frac{x+5}{2}-1<\frac{3x+2}{3}\)；（3）\(-2x+5≤3x-10\)。（三）不等式解集的表示1.表示方法數(shù)軸表示：用數(shù)軸上的點(diǎn)表示解集（直觀）；規(guī)則：①大于（>）向右畫(huà)，小于（<）向左畫(huà)；②非嚴(yán)格不等號(hào)（≥、≤）用實(shí)心點(diǎn)，嚴(yán)格不等號(hào)（>、<）用空心點(diǎn)。集合表示：用\(\{x|條件\}\)表示，如\(x>2\)可表示為\(\{x|x>2\}\)（七年級(jí)要求了解）。2.例題解析例4：解不等式\(2x-5<3\)，并在數(shù)軸上表示解集。解：移項(xiàng)：\(2x<3+5\)；合并同類項(xiàng)：\(2x<8\)；系數(shù)化為1：\(x<4\)（\(x\)的系數(shù)為2，正數(shù)，方向不變）。數(shù)軸表示：畫(huà)數(shù)軸，找到4的位置；因?yàn)槭荺(<\)，用空心點(diǎn)標(biāo)記4；向左畫(huà)射線（表示所有小于4的數(shù)）。3.針對(duì)性練習(xí)（1）解不等式\(3x+2≥8\)，并在數(shù)軸上表示解集；（2）數(shù)軸上表示的解集為\(x≥-1\)，請(qǐng)寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的不等式；（3）用集合表示不等式\(-2x+1>5\)的解集。（四）一元一次不等式的應(yīng)用1.解題步驟（關(guān)鍵）解決實(shí)際問(wèn)題的核心是找出不等關(guān)系，步驟如下：1.審：審題，明確題目中的數(shù)量關(guān)系（如“不超過(guò)”“至少”“最多”等）；2.設(shè)：設(shè)未知數(shù)（通常設(shè)問(wèn)題中的變量為\(x\)）；3.列：根據(jù)不等關(guān)系列出不等式；4.解：解不等式；5.驗(yàn)：驗(yàn)證解集是否符合實(shí)際意義（如人數(shù)、數(shù)量為正整數(shù)）；6.答：寫(xiě)出答案。2.例題解析例5：某超市促銷，某種飲料原價(jià)每瓶\(x\)元，現(xiàn)打8折銷售，若打折后每瓶?jī)r(jià)格不超過(guò)5元，求原價(jià)\(x\)的最大值。解：審：“打8折后不超過(guò)5元”即折后價(jià)≤5元；設(shè)：原價(jià)為\(x\)元；列：\(0.8x≤5\)；解：\(x≤5÷0.8=6.25\)；驗(yàn)：原價(jià)為正數(shù)，6.25元符合實(shí)際；答：原價(jià)\(x\)的最大值為6.25元（若要求整數(shù)，則為6元）。例6：用一根長(zhǎng)20cm的鐵絲圍成一個(gè)長(zhǎng)方形，若長(zhǎng)方形的長(zhǎng)比寬多2cm，求寬的最大值（結(jié)果取整數(shù)）。解：設(shè)：寬為\(x\)cm，則長(zhǎng)為\((x+2)\)cm；列：長(zhǎng)方形周長(zhǎng)=2×（長(zhǎng)+寬）≤20cm（鐵絲長(zhǎng)度不超過(guò)20cm）；即\(2(x+x+2)≤20\)；解：\(2(2x+2)≤20\)→\(4x+4≤20\)→\(4x≤16\)→\(x≤4\)；驗(yàn)：寬為正整數(shù)，4cm符合實(shí)際；答：寬的最大值為4cm。3.針對(duì)性練習(xí)（1）某班組織春游，需租車前往。若租A型車（每輛坐8人），則剩下2人無(wú)座；若租B型車（每輛坐6人），則至少需要租多少輛才能容納全班45人？（設(shè)租B型車\(x\)輛）（2）某商店銷售某種商品，每件成本為10元，售價(jià)為\(x\)元，若每天銷量為\(50-2x\)件（\(x>10\)），且每天利潤(rùn)不低于80元，求售價(jià)\(x\)的最小值（利潤(rùn)=（售價(jià)-成本）×銷量）；（3）某工廠生產(chǎn)零件，每個(gè)零件需要2個(gè)甲材料和3個(gè)乙材料，現(xiàn)有甲材料100個(gè)，乙材料120個(gè)，求最多能生產(chǎn)多少個(gè)零件？三、綜合測(cè)試題（一）選擇題（每題3分，共15分）1.下列式子中，屬于一元一次不等式的是（）A.\(x+2y>5\)B.\(x^2-3x<0\)C.\(3x-1≤2\)D.\(\frac{1}{x}+1>0\)2.若\(a>b\)，則下列不等式成立的是（）A.\(a-3<b-3\)B.\(2a<2b\)C.\(-a<-b\)D.\(\frac{a}{2}<\frac{2}\)3.不等式\(3x+5>2x-1\)的解集是（）A.\(x>6\)B.\(x>-6\)C.\(x<6\)D.\(x<-6\)4.數(shù)軸上表示\(x≥-2\)的解集，正確的是（）A.空心點(diǎn)-2，向左畫(huà)射線B.實(shí)心點(diǎn)-2，向左畫(huà)射線C.空心點(diǎn)-2，向右畫(huà)射線D.實(shí)心點(diǎn)-2，向右畫(huà)射線5.某商品原價(jià)\(x\)元，現(xiàn)降價(jià)20%后售價(jià)不低于120元，列不等式正確的是（）A.\(0.8x≥120\)B.\(0.2x≥120\)C.\(0.8x≤120\)D.\(0.2x≤120\)（二）填空題（每題4分，共12分）6.不等式\(-3x>9\)的解集是______；7.若\(a<0\)，則不等式\(ax>b\)的解集是______；8.數(shù)軸上表示\(x<3\)的解集，用空心點(diǎn)標(biāo)記______，向______畫(huà)射線。（三）解答題（每題10分，共40分）9.解不等式\(\frac{3x-1}{4}-\frac{x+2}{3}>1\)，并在數(shù)軸上表示解集；10.解不等式\(-2(2x-1)≥3(1-x)\)，寫(xiě)出解集；11.某工廠生產(chǎn)一批零件，每個(gè)零件需要0.5kg鋼材，現(xiàn)有鋼材100kg，若要生產(chǎn)\(x\)個(gè)零件，求\(x\)的最大值（結(jié)果取整數(shù)）；12.某書(shū)店促銷，買滿50元減10元，若小明買了\(x\)本單價(jià)為8元的書(shū)，求\(x\)的最小值，使得小明能享受優(yōu)惠。四、答案與解析（一）選擇題1.C（一元一次不等式定義：一個(gè)未知數(shù)，次數(shù)1，整式）；2.C（性質(zhì)3：\(a>b\)，乘-1，方向改變）；3.B（移項(xiàng)得\(x>-6\)）；4.D（\(≥\)用實(shí)心點(diǎn)，向右畫(huà)）；5.A（降價(jià)20%后為\(0.8x\)，不低于即\(≥\)）。（二）填空題6.\(x<-3\)（除以-3，方向改變）；7.\(x<\frac{a}\)（\(a<0\)，除以\(a\)方向改變）；8.3；左（\(<\)用空心點(diǎn)，向左畫(huà)）。（三）解答題9.解：去分母（12）：\(3(3x-1)-4(x+2)>12\)；去括號(hào)：\(9x-3-4x-8>12\)；合并同類項(xiàng)：\(5x-11>12\)；移項(xiàng)：\(5x>23\)；系數(shù)化為1：\(x>\frac{23}{5}=4.6\)。數(shù)軸表示：空心點(diǎn)4.6，向右畫(huà)射線。10.解：去括號(hào)：\(-4x+2≥3-3x\)；移項(xiàng)：\(-4x+3x≥3-2\)；合并同類項(xiàng)：\(-x≥1\)；系數(shù)化為1：\(x≤-1\)（除以-1，方向改變）。11.解：列不等式：\(0.5x≤100\)；解：\(x≤200\)；答：\(x\)的最大值為200。12.解：列不等式：\(8x≥50\)（滿50元才能減10元）；解：\(x≥