一、垂徑定理與弦、弧的關系（一）核心知識點回顧垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦且平分弦所對的兩條?。黄椒窒遥ǚ侵睆剑┑闹睆酱怪庇谙仪移椒窒宜鶎Φ膬蓷l??；弦的垂直平分線經(jīng)過圓心且平分弦所對的兩條弧。關鍵技巧：作弦心距構造直角三角形，結合勾股定理求弦長、半徑或弦心距。（二）例題解析例題1已知⊙O的直徑為10，弦AB⊥CD于點E，若AB=8，CD=6，求OE的長。解題思路：1.過圓心O作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N（垂徑定理），則AM=4，CN=3；2.四邊形OMEN為矩形（兩組垂直），故OE=√(OM2+ON2)；3.計算弦心距：OM=√(OA2-AM2)=√(52-42)=3，ON=√(OC2-CN2)=√(52-32)=4；4.因此OE=√(32+42)=5。（三）專項訓練題訓練題1已知⊙O的半徑為5，弦AB=6，弦CD=8，且AB∥CD，求AB與CD之間的距離。（答案：1或7）二、圓周角與圓心角的綜合應用（一）核心知識點回顧圓周角定理：同弧或等弧所對的圓周角相等，且等于該弧所對圓心角的一半；直徑所對圓周角為直角；90°圓周角所對弦為直徑。關鍵技巧：利用圓周角與圓心角的關系轉化角度，結合等腰三角形、直角三角形性質解題。（二）例題解析例題2如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，過C作⊙O的切線交AB延長線于D，若AC=CD，求∠A的度數(shù)。解題思路：1.連接OC（切線性質：OC⊥CD）；2.AC=CD→∠A=∠D（等腰三角形性質）；3.OA=OC→∠A=∠OCA（等腰三角形性質）；4.∠COD=∠A+∠OCA=2∠A（外角性質）；5.在Rt△OCD中，∠COD+∠D=90°→2∠A+∠A=90°→∠A=30°。（三）專項訓練題訓練題2如圖，AB為⊙O的直徑，點C在⊙O上，點D在AB延長線上，且∠BCD=∠A，求證：CD是⊙O的切線。（提示：連接OC，證OC⊥CD）三、切線的性質與判定（一）核心知識點回顧切線性質：圓的切線垂直于過切點的半徑（可逆，用于判定）。切線判定：經(jīng)過半徑外端且垂直于該半徑的直線是圓的切線（需連半徑、證垂直）。（二）例題解析例題3如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑作⊙O，交BC于D，過D作DE⊥AC于E，求證：DE是⊙O的切線。解題思路：1.連接OD（需證OD⊥DE）；2.AB=AC→∠B=∠C（等腰三角形性質）；3.OB=OD→∠B=∠ODB（等腰三角形性質）；4.∠ODB=∠C→OD∥AC（同位角相等，兩直線平行）；5.DE⊥AC→OD⊥DE（平行線性質）；6.故DE是⊙O的切線（切線判定定理）。（三）專項訓練題訓練題3如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC為直徑作⊙O，交AB于D，過D作DE⊥BC于E，求證：DE是⊙O的切線。（提示：連接OD，證OD∥BC）四、圓與多邊形的綜合（一）核心知識點回顧圓內接四邊形性質：對角互補（∠A+∠C=180°）；外角等于內對角（∠DCE=∠A）。圓外切四邊形性質：對邊之和相等（AB+CD=AD+BC）。（二）例題解析例題4如圖，四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，AB=CD，∠A=∠C，求證：AD=BC。解題思路：1.∠A=∠C→弧BCD=弧BAD（同圓中，相等圓周角對相等弧）；2.弧BCD=弧BC+弧CD，弧BAD=弧BA+弧AD（弧的分解）；3.AB=CD→弧AB=弧CD（等弦對等?。?；4.弧BC+弧CD=弧BA+弧AD→弧BC=弧AD（等量代換）；5.故AD=BC（等弧對等弦）。（三）專項訓練題訓練題4如圖，四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，對角線AC⊥BD于E，求證：AB2+CD2=AD2+BC2。（提示：用勾股定理展開）五、弧長與扇形面積的實際應用（一）核心知識點回顧弧長公式：\(l=\frac{n\pir}{180}\)（\(n\)為圓心角度數(shù)，\(r\)為半徑）。扇形面積公式：\(S=\frac{n\pir^2}{360}=\frac{1}{2}lr\)（\(l\)為弧長）。關鍵技巧：陰影部分面積常通過“整體減部分”或“組合圖形”計算（如扇形、三角形、多邊形的組合）。（二）例題解析例題5如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，以AC為直徑作⊙O，交AB于D，求陰影部分的面積（結果保留π）。解題思路：1.連接OD、CD（AC為直徑→∠ADC=90°，直角三角形性質）；2.AC=BC=2→∠A=∠B=45°（等腰直角三角形性質）；3.OD=OA=1→∠AOD=90°（等腰三角形內角和）→∠COD=90°（平角性質）；4.扇形COD面積：\(\frac{90\pi\times1^2}{360}=\frac{\pi}{4}\)（扇形面積公式）；5.△BCD面積：△ABC面積-△ACD面積=\(\frac{1}{2}\times2\times2-\frac{1}{2}\times2\times1=2-1=1\)（直角三角形面積）；6.陰影部分面積=扇形COD面積+△BCD面積=\(\frac{\pi}{4}+1\)（組合圖形面積）。（三）專項訓練題訓練題5如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，以A為圓心，AB為半徑作弧BD，以BC為直徑作半圓，求陰影部分的面積（結果保留π）。（答案：\(2-\frac{\pi}{2}\)）答案與解析訓練題1解析過O作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，得AM=3，CN=4；OM=4，ON=3；同側：OM-ON=1；異側：OM+ON=7；答案：1或7。訓練題2解析連接OC，OA=OC→∠A=∠OCA；∠BCD=∠A→∠BCD=∠OCA；AC為直徑→∠ACB=90°→∠OCA+∠OCB=90°→∠BCD+∠OCB=90°→OC⊥CD；故CD是⊙O的切線。訓練題3解析連接OD，OA=OD→∠A=∠ODA；∠ACB=90°→∠A+∠B=90°；DE⊥BC→∠B+∠BDE=90°→∠A=∠BDE→∠ODA=∠BDE；∠ODA+∠ODB=180°→∠BDE+∠ODB=180°→OD∥BC；DE⊥BC→OD⊥DE→DE是⊙O的切線。訓練題4解析在Rt△ABE中，AB2=AE2+BE2；在Rt△CDE中，CD2=CE2+DE2；故AB2+CD2=AE2+BE2+CE2+DE2；同理，AD2+BC2=AE2+DE2+BE2+CE2；結論：AB2+CD2=AD2+BC2。訓練題5解析正方形面積=4；扇形ABD面積=π；半圓面積=π/2；陰影部分面積=正方形面積-扇形ABD面積-半圓面積=4