分式混合運(yùn)算專項(xiàng)練習(xí)題匯編一、引言分式混合運(yùn)算是代數(shù)運(yùn)算的重要組成部分，是連接整式運(yùn)算與分式方程、函數(shù)的橋梁。熟練掌握分式混合運(yùn)算，不僅能深化對分式概念的理解，還能為后續(xù)學(xué)習(xí)分式方程、反比例函數(shù)、分式不等式等內(nèi)容奠定堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。本匯編聚焦分式混合運(yùn)算的核心考點(diǎn)，按照“基礎(chǔ)鞏固—能力提升—拓展應(yīng)用”的梯度設(shè)計習(xí)題，覆蓋運(yùn)算順序、乘除約分、加減通分、乘方運(yùn)算等關(guān)鍵技能，旨在幫助學(xué)習(xí)者系統(tǒng)強(qiáng)化分式混合運(yùn)算能力，提升解題的準(zhǔn)確性與靈活性。二、分式混合運(yùn)算知識梳理在進(jìn)行分式混合運(yùn)算前，需明確以下核心規(guī)則：（一）運(yùn)算順序分式混合運(yùn)算遵循“先乘方，再乘除，后加減；有括號的先算括號內(nèi)的”原則，與整式混合運(yùn)算順序一致。（二）分式乘除運(yùn)算規(guī)則1.乘法：分子相乘作為新分子，分母相乘作為新分母，即\(\frac{a}\cdot\frac{c}1fjnx9l=\frac{ac}{bd}\)（\(b,d\neq0\)）；2.除法：轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算，即\(\frac{a}\div\frac{c}v1fdpz1=\frac{a}\cdot\fracrnd1dpv{c}\)（\(b,c,d\neq0\)）；3.乘除運(yùn)算中，先因式分解再約分可簡化計算。（三）分式加減運(yùn)算規(guī)則1.同分母分式：分母不變，分子相加減，即\(\frac{a}{c}\pm\frac{c}=\frac{a\pmb}{c}\)（\(c\neq0\)）；2.異分母分式：先通分（找最簡公分母，通常為各分母因式分解后的最小公倍數(shù)），轉(zhuǎn)化為同分母分式后再加減，即\(\frac{a}\pm\frac{c}1b1x9z1=\frac{ad\pmbc}{bd}\)（\(b,d\neq0\)）。（四）運(yùn)算律的應(yīng)用加法交換律、結(jié)合律，乘法交換律、結(jié)合律、分配律均適用于分式混合運(yùn)算，但需注意分母不為0的限制條件。三、專項(xiàng)練習(xí)題（一）基礎(chǔ)鞏固題（共5題）目標(biāo)：掌握分式乘除、加減的基本運(yùn)算，熟悉約分與通分技巧。1.計算：\(\frac{2x}{3y}\cdot\frac{9y^2}{4x^2}\div\frac{3y}{2x}\)2.計算：\(\frac{1}{x+1}+\frac{2}{x-1}-\frac{3}{x^2-1}\)3.計算：\(\frac{a^2-a}{a^2-1}\cdot\frac{a+1}{a}\)4.計算：\(\frac{3}{2x}-\frac{1}{x+1}\)5.計算：\(\frac{5}{x^2-4}\div\frac{10}{x+2}\)（二）能力提升題（共5題）目標(biāo)：突破乘方、括號與復(fù)雜因式分解的綜合運(yùn)算，強(qiáng)化運(yùn)算順序的遵守。1.計算：\(\left(\frac{a^2-4}{a^2-9}\right)^2\cdot\left(\frac{a-3}{a+2}\right)^3\)2.計算：\(\left(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}\right)\div\frac{2}{x^2-1}\)3.計算：\(\frac{x^2+2x+1}{x^2-1}\cdot\frac{x-1}{x+1}-\frac{1}{x}\)4.計算：\(\left(\frac{2a}{a-1}+\frac{a}{1-a}\right)\div\frac{a}{a^2-1}\)5.計算：\(\frac{3}{m^2-4m+4}+\frac{1}{2-m}\)（三）拓展應(yīng)用題（共3題）目標(biāo)：聯(lián)系實(shí)際問題，體會分式混合運(yùn)算的應(yīng)用價值。1.工程問題：甲單獨(dú)完成一項(xiàng)工程需\(x\)天，乙單獨(dú)完成需\(x+5\)天，兩人合作一天的工作量是多少？（用分式表示并化簡）2.濃度問題：現(xiàn)有濃度為\(\frac{1}{10}\)的鹽水\(a\)千克，加入濃度為\(\frac{1}{5}\)的鹽水\(b\)千克，混合后鹽水的濃度是多少？（濃度=溶質(zhì)質(zhì)量/溶液質(zhì)量）3.路程問題：小明騎自行車從A地到B地，速度為\(v\)千米/小時，返回時速度提高到\(v+2\)千米/小時，求往返的平均速度。（平均速度=總路程/總時間）四、答案與解析（一）基礎(chǔ)鞏固題解析1.答案：1解析：先將除法轉(zhuǎn)化為乘法（乘以倒數(shù)）：\(\frac{2x}{3y}\cdot\frac{9y^2}{4x^2}\cdot\frac{2x}{3y}\)分子相乘：\(2x\cdot9y^2\cdot2x=36x^2y^2\)分母相乘：\(3y\cdot4x^2\cdot3y=36x^2y^2\)約分后結(jié)果為1（分子分母相等）。2.答案：\(\frac{3x-2}{x^2-1}\)（\(x\neq\pm1\)）解析：通分，最簡公分母為\((x+1)(x-1)=x^2-1\)：\(\frac{(x-1)+2(x+1)-3}{x^2-1}=\frac{x-1+2x+2-3}{x^2-1}=\frac{3x-2}{x^2-1}\)。3.答案：1（\(a\neq0,\pm1\)）解析：因式分解分子分母：\(\frac{a(a-1)}{(a+1)(a-1)}\cdot\frac{a+1}{a}\)約分后：\(1\)（分子分母全部約掉）。4.答案：\(\frac{x+3}{2x(x+1)}\)（\(x\neq0,-1\)）解析：通分，最簡公分母為\(2x(x+1)\)：\(\frac{3(x+1)-2x}{2x(x+1)}=\frac{3x+3-2x}{2x(x+1)}=\frac{x+3}{2x(x+1)}\)。5.答案：\(\frac{1}{2(x-2)}\)（\(x\neq\pm2\)）解析：因式分解分母：\(x^2-4=(x+2)(x-2)\)，將除法轉(zhuǎn)化為乘法：\(\frac{5}{(x+2)(x-2)}\cdot\frac{x+2}{10}=\frac{5(x+2)}{10(x+2)(x-2)}=\frac{1}{2(x-2)}\)。（二）能力提升題解析1.答案：\(\frac{(a-2)^2(a-3)}{(a+3)^2(a+2)}\)（\(a\neq\pm2,\pm3\)）解析：因式分解分子分母：\(a^2-4=(a+2)(a-2)\)，\(a^2-9=(a+3)(a-3)\)原式展開為：\(\frac{(a+2)^2(a-2)^2}{(a+3)^2(a-3)^2}\cdot\frac{(a-3)^3}{(a+2)^3}\)約分后：\(\frac{(a-2)^2(a-3)}{(a+3)^2(a+2)}\)（保留因式分解形式更簡潔）。2.答案：1（\(x\neq\pm1\)）解析：先算括號內(nèi)的減法（通分）：\(\frac{(x+1)-(x-1)}{(x-1)(x+1)}=\frac{2}{x^2-1}\)再除以\(\frac{2}{x^2-1}\)（即乘以倒數(shù)）：\(\frac{2}{x^2-1}\cdot\frac{x^2-1}{2}=1\)。3.答案：\(1-\frac{1}{x}\)（\(x\neq0,\pm1\)）解析：因式分解分子分母：\(\frac{(x+1)^2}{(x+1)(x-1)}\cdot\frac{x-1}{x+1}-\frac{1}{x}\)約分前兩項(xiàng)：\(1-\frac{1}{x}\)（前兩項(xiàng)相乘后為1）。4.答案：\(a+1\)（\(a\neq0,1\)）解析：先算括號內(nèi)的加法（注意\(1-a=-(a-1)\)）：\(\frac{2a}{a-1}-\frac{a}{a-1}=\frac{a}{a-1}\)再除以\(\frac{a}{a^2-1}\)（即乘以\(\frac{(a+1)(a-1)}{a}\)）：\(\frac{a}{a-1}\cdot\frac{(a+1)(a-1)}{a}=a+1\)。5.答案：\(\frac{1-m}{(m-2)^2}\)（\(m\neq2\)）解析：因式分解分母：\(m^2-4m+4=(m-2)^2\)，將\(2-m\)轉(zhuǎn)化為\(-(m-2)\)：\(\frac{3}{(m-2)^2}-\frac{1}{m-2}=\frac{3-(m-2)}{(m-2)^2}=\frac{5-m}{(m-2)^2}\)？等一下，等一下，剛才算錯了：\(\frac{1}{2-m}=-\frac{1}{m-2}\)，所以原式是\(\frac{3}{(m-2)^2}-\frac{1}{m-2}\)，通分分母是\((m-2)^2\)，所以分子是\(3-(m-2)=3-m+2=5-m\)？不對，等一下，題目是\(\frac{3}{m^2-4m+4}+\frac{1}{2-m}\)，即\(\frac{3}{(m-2)^2}+\frac{1}{-(m-2)}=\frac{3}{(m-2)^2}-\frac{1}{m-2}\)，通分后是\(\frac{3-(m-2)}{(m-2)^2}=\frac{3-m+2}{(m-2)^2}=\frac{5-m}{(m-2)^2}\)，或者寫成\(\frac{-(m-5)}{(m-2)^2}\)，但可能我剛才在出題的時候有沒有寫錯？比如第5題是不是\(\frac{3}{m^2-4m+4}+\frac{1}{m-2}\)？不，題目是\(\frac{3}{m^2-4m+4}+\frac{1}{2-m}\)，所以正確結(jié)果應(yīng)該是\(\frac{5-m}{(m-2)^2}\)，或者整理為\(\frac{-(m-5)}{(m-2)^2}\)，但可能我剛才在思考的時候犯了一個小錯誤，現(xiàn)在糾正過來。等一下，再檢查一遍：\(\frac{3}{(m-2)^2}+\frac{1}{2-m}=\frac{3}{(m-2)^2}-\frac{1}{m-2}=\frac{3-(m-2)}{(m-2)^2}=\frac{3-m+2}{(m-2)^2}=\frac{5-m}{(m-2)^2}\)，對，沒錯。（三）拓展應(yīng)用題解析1.答案：\(\frac{2x+5}{x(x+5)}\)（\(x>0\)，因?yàn)樘鞌?shù)為正）解析：甲一天工作量為\(\frac{1}{x}\)，乙一天工作量為\(\frac{1}{x+5}\)，合作工作量為兩者之和：\(\frac{1}{x}+\frac{1}{x+5}=\frac{(x+5)+x}{x(x+5)}=\frac{2x+5}{x(x+5)}\)。2.答案：\(\frac{a+2b}{10(a+b)}\)（\(a>0,b>0\)）解析：溶質(zhì)質(zhì)量=濃度×溶液質(zhì)量，混合后溶質(zhì)質(zhì)量為\(\frac{1}{10}a+\frac{1}{5}b\)，溶液質(zhì)量為\(a+b\)，濃度為：\(\frac{\frac{a}{10}+\frac{5}}{a+b}=\frac{\frac{a+2b}{10}}{a+b}=\frac{a+2b}{10(a+b)}\)（通分分子后化簡）。3.答案：\(\frac{2v(v+2)}{2v+2}\)（或化簡為\(\frac{v(v+2)}{v+1}\)，\(v>0\)）解析：設(shè)A、B兩地距離為\(s\)千米（\(s>0\)，可約掉），去程時間為\(\frac{s}{v}\)，返程時間為\(\frac{s}{v+2}\)，總路程為\(2s\)，總時間為\(\frac{s}{v}+\frac{s}{v+2}\)，平均速度為：\(\frac{2s}{\frac{s}{v}+\frac{s}{v+2}}=\frac{2s}{s(\frac{1}{v}+\frac{1}{v+2})}=\frac{