2025年計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)理論知識(shí)考試試題及答案試題一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10分）1.下列哪一項(xiàng)不是經(jīng)典線性回歸模型（CLRM）中“嚴(yán)格外生性”假設(shè)（E(ε_(tái)i|X)=0）的含義？A.解釋變量與隨機(jī)誤差項(xiàng)同期不相關(guān)B.解釋變量與隨機(jī)誤差項(xiàng)的所有前期值不相關(guān)C.解釋變量與隨機(jī)誤差項(xiàng)的所有后期值不相關(guān)D.隨機(jī)誤差項(xiàng)的條件均值為02.在存在異方差的情況下，普通最小二乘法（OLS）估計(jì)量仍然具備的性質(zhì)是？A.無偏性B.有效性C.一致性D.漸近正態(tài)性3.工具變量（IV）估計(jì)量的一致性要求工具變量滿足的關(guān)鍵條件是？A.工具變量與內(nèi)生解釋變量相關(guān)（相關(guān)性）且與誤差項(xiàng)不相關(guān)（外生性）B.工具變量與誤差項(xiàng)相關(guān)且與內(nèi)生解釋變量不相關(guān)C.工具變量與內(nèi)生解釋變量和誤差項(xiàng)均相關(guān)D.工具變量的數(shù)量等于內(nèi)生解釋變量的數(shù)量4.對(duì)于面板數(shù)據(jù)模型y_it=α_i+βx_it+ε_(tái)it（i表示個(gè)體，t表示時(shí)間），若采用固定效應(yīng)模型（FE），則α_i的處理方式是？A.將α_i視為隨機(jī)變量，與x_it無關(guān)B.將α_i視為固定參數(shù)，通過組內(nèi)離差消除C.將α_i與x_it的交互項(xiàng)納入模型D.假設(shè)α_i與x_it嚴(yán)格外生5.廣義矩估計(jì)（GMM）的核心思想是？A.通過最小化樣本矩與總體矩的加權(quán)距離估計(jì)參數(shù)B.通過最大化似然函數(shù)估計(jì)參數(shù)C.通過普通最小二乘法直接估計(jì)參數(shù)D.通過工具變量的線性組合構(gòu)造估計(jì)量二、簡(jiǎn)答題（每題10分，共40分）1.簡(jiǎn)述經(jīng)典線性回歸模型（CLRM）的六個(gè)基本假設(shè)，并說明這些假設(shè)如何保證OLS估計(jì)量的優(yōu)良性質(zhì)（BLUE）。2.解釋“內(nèi)生性問題”的定義、主要來源及對(duì)OLS估計(jì)的影響。3.比較懷特檢驗(yàn)（WhiteTest）與布羅施-帕甘檢驗(yàn)（Breusch-PaganTest）在異方差檢驗(yàn)中的異同。4.面板數(shù)據(jù)模型中，固定效應(yīng)模型（FE）與隨機(jī)效應(yīng)模型（RE）的核心區(qū)別是什么？如何通過豪斯曼檢驗(yàn)（HausmanTest）選擇模型？三、計(jì)算題（每題20分，共40分）1.假設(shè)我們有如下二元線性回歸模型：y=β?+β?x?+β?x?+ε，其中ε滿足經(jīng)典假設(shè)。根據(jù)樣本數(shù)據(jù)（n=100）計(jì)算得到以下結(jié)果：-X'X=[[100,200,300],[200,500,700],[300,700,1200]]（第一行為常數(shù)項(xiàng)、x?、x?的交叉積）-X'y=[500,1300,2200]（第一行為常數(shù)項(xiàng)與y的交叉積，第二行為x?與y的交叉積，第三行為x?與y的交叉積）（1）寫出OLS估計(jì)量的正規(guī)方程組，并計(jì)算β?、β?、β?的估計(jì)值；（2）若已知?dú)埐钇椒胶蚏SS=200，計(jì)算回歸模型的可決系數(shù)R2和調(diào)整可決系數(shù)R?2；（3）檢驗(yàn)β?是否顯著不為0（α=0.05，t分布臨界值t?.???(97)≈1.984）。2.考慮以下模型：y=β?+β?x+ε，其中x存在測(cè)量誤差（即觀測(cè)到的x=x+u，u為測(cè)量誤差，與真實(shí)x和ε均不相關(guān)）。假設(shè)工具變量z與x相關(guān)（Cov(z,x)=σ_zx≠0），與u和ε均不相關(guān)（Cov(z,u)=0，Cov(z,ε)=0）。（1）證明OLS估計(jì)量β??_OLS是有偏且不一致的；（2）推導(dǎo)工具變量估計(jì)量β??_IV的表達(dá)式，并證明其一致性；（3）若已知Cov(z,y)=5，Cov(z,x)=2，計(jì)算β??_IV的估計(jì)值。四、論述題（10分）結(jié)合計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)理論，論述“模型設(shè)定偏誤”的主要類型及其對(duì)實(shí)證分析的影響，并舉例說明如何檢驗(yàn)和修正模型設(shè)定偏誤。答案一、單項(xiàng)選擇題1.C（嚴(yán)格外生性要求解釋變量與誤差項(xiàng)的所有期（包括前期、當(dāng)期）不相關(guān)，但不要求與后期誤差項(xiàng)不相關(guān)；后期誤差項(xiàng)是未來的，解釋變量無法影響，因此C錯(cuò)誤。）2.A（異方差不影響OLS的無偏性和一致性，但會(huì)破壞有效性和漸近正態(tài)性的標(biāo)準(zhǔn)誤估計(jì)。）3.A（工具變量需滿足相關(guān)性（與內(nèi)生變量相關(guān)）和外生性（與誤差項(xiàng)不相關(guān)），才能保證IV估計(jì)量的一致性。）4.B（固定效應(yīng)模型將個(gè)體效應(yīng)α_i視為固定參數(shù)，通過組內(nèi)離差（即對(duì)每個(gè)個(gè)體取時(shí)間均值后相減）消除α_i，從而估計(jì)β。）5.A（GMM通過構(gòu)造樣本矩與總體矩的加權(quán)距離（如Wald準(zhǔn)則），并最小化該距離來估計(jì)參數(shù)，是矩估計(jì)的推廣。）二、簡(jiǎn)答題1.經(jīng)典線性回歸模型（CLRM）的六個(gè)基本假設(shè)及對(duì)BLUE的作用：（1）線性性：模型形式為y=Xβ+ε，保證參數(shù)估計(jì)的線性性；（2）嚴(yán)格外生性：E(ε|X)=0，保證OLS估計(jì)量無偏（E(β?|X)=β）；（3）無完全多重共線性：rank(X)=k（k為參數(shù)個(gè)數(shù)），保證X'X可逆，正規(guī)方程有唯一解；（4）同方差性：Var(ε|X)=σ2I，保證OLS估計(jì)量在所有線性無偏估計(jì)量中具有最小方差（有效性）；（5）無自相關(guān)：Cov(ε_(tái)i,ε_(tái)j|X)=0（i≠j），與同方差共同構(gòu)成球形誤差假設(shè)，確保協(xié)方差矩陣的簡(jiǎn)潔形式；（6）正態(tài)性（可選）：ε|X~N(0,σ2I)，保證OLS估計(jì)量的精確正態(tài)性，用于小樣本檢驗(yàn)。BLUE（最佳線性無偏估計(jì)量）的成立依賴于假設(shè)（1）-（5）：線性性由假設(shè)（1）保證，無偏性由（2）保證，有效性由（2）-（4）共同保證（高斯-馬爾可夫定理）。2.內(nèi)生性問題的定義、來源及影響：內(nèi)生性指解釋變量與誤差項(xiàng)存在相關(guān)性（Cov(X,ε)≠0）。主要來源包括：（1）遺漏變量：遺漏與被解釋變量相關(guān)且與解釋變量相關(guān)的變量，導(dǎo)致誤差項(xiàng)包含該變量，與解釋變量相關(guān)；（2）測(cè)量誤差：解釋變量的觀測(cè)值存在誤差（如x=x+u），若u與誤差項(xiàng)相關(guān)或與x相關(guān)，導(dǎo)致Cov(x,ε)≠0；（3）反向因果：被解釋變量y與解釋變量x相互影響（如y影響x），導(dǎo)致x與ε相關(guān)（ε包含y的其他影響因素，與x相關(guān)）。內(nèi)生性會(huì)導(dǎo)致OLS估計(jì)量有偏且不一致（plimβ?≠β），無法得到真實(shí)的因果效應(yīng)估計(jì)。3.懷特檢驗(yàn)與布羅施-帕甘檢驗(yàn)的異同：相同點(diǎn)：均用于檢驗(yàn)異方差，基本思想是通過殘差平方與解釋變量（或其平方、交叉項(xiàng)）的回歸判斷異方差是否存在。不同點(diǎn)：（1）布羅施-帕甘檢驗(yàn)假設(shè)異方差形式為Var(ε_(tái)i)=σ2h(z_i'γ)，其中z_i是解釋變量的子集（通常為原解釋變量），檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為LM=nR2（R2為殘差平方對(duì)z_i回歸的可決系數(shù)），服從χ2(q)（q為z_i的個(gè)數(shù)）；（2）懷特檢驗(yàn)不假設(shè)異方差的具體形式，使用原解釋變量、其平方項(xiàng)及交叉項(xiàng)作為輔助回歸的解釋變量（如對(duì)模型y=β?+β?x?+β?x?+ε，輔助回歸為ε?2=α?+α?x?+α?x?+α?x?2+α?x?2+α?x?x?+ν），檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量同樣為LM=nR2，服從χ2(p)（p為輔助回歸中解釋變量個(gè)數(shù)）。懷特檢驗(yàn)更一般，但可能因引入過多變量導(dǎo)致低檢驗(yàn)功效；布羅施-帕甘檢驗(yàn)假設(shè)更嚴(yán)格，但計(jì)算更簡(jiǎn)單。4.固定效應(yīng)與隨機(jī)效應(yīng)模型的區(qū)別及豪斯曼檢驗(yàn)：核心區(qū)別：固定效應(yīng)模型（FE）假設(shè)個(gè)體效應(yīng)α_i與解釋變量x_it相關(guān)（Cov(α_i,x_it)≠0），因此將α_i視為固定參數(shù)，通過組內(nèi)離差消除；隨機(jī)效應(yīng)模型（RE）假設(shè)α_i與x_it不相關(guān)（Cov(α_i,x_it)=0），將α_i視為隨機(jī)變量，與誤差項(xiàng)合并為復(fù)合誤差項(xiàng)v_it=α_i+ε_(tái)it，使用廣義最小二乘法（GLS）估計(jì)。豪斯曼檢驗(yàn)的原理：若RE的假設(shè)成立（α_i與x_it無關(guān)），則FE與RE估計(jì)量均為一致估計(jì)量，但RE更有效；若假設(shè)不成立，F(xiàn)E仍一致而RE不一致。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為H=(β?_FE-β?_RE)'[Var(β?_FE)-Var(β?_RE)]?1(β?_FE-β?_RE)，漸近服從χ2(k)（k為待估參數(shù)個(gè)數(shù)）。若H統(tǒng)計(jì)量超過臨界值，則拒絕RE假設(shè)，選擇FE；否則選擇RE。三、計(jì)算題1.（1）正規(guī)方程組為X'Xβ?=X'y，即：\[\begin{cases}100β??+200β??+300β??=500\\200β??+500β??+700β??=1300\\300β??+700β??+1200β??=2200\end{cases}\]解方程組：首先，用矩陣求逆法。令X'X=A，X'y=b，則β?=A?1b。計(jì)算A的逆矩陣：A=\(\begin{bmatrix}100&200&300\\200&500&700\\300&700&1200\end{bmatrix}\)，計(jì)算行列式|A|=100(5001200-700700)-200(2001200-700300)+300(200700-500300)=100(600000-490000)-200(240000-210000)+300(140000-150000)=100110000-20030000+300(-10000)=11,000,000-6,000,000-3,000,000=2,000,000伴隨矩陣C的元素：C??=(+1)^(1+1)(5001200-700700)=110,000C??=(+1)^(1+2)(2001200-700300)=-(240,000-210,000)=-30,000C??=(+1)^(1+3)(200700-500300)=140,000-150,000=-10,000C??=(+1)^(2+1)(2001200-300700)=-(240,000-210,000)=-30,000C??=(+1)^(2+2)(1001200-300300)=120,000-90,000=30,000C??=(+1)^(2+3)(100700-200300)=-(70,000-60,000)=-10,000C??=(+1)^(3+1)(200700-500200)=140,000-100,000=40,000C??=(+1)^(3+2)(100700-200300)=-(70,000-60,000)=-10,000C??=(+1)^(3+3)(100500-200200)=50,000-40,000=10,000因此，A?1=(1/|A|)C'=(1/2,000,000)\(\begin{bmatrix}110,000&-30,000&40,000\\-30,000&30,000&-10,000\\-10,000&-10,000&10,000\end{bmatrix}\)計(jì)算β?=A?1b，其中b=[500,1300,2200]'：β??=(110,000500-30,0001300+40,0002200)/2,000,000=(55,000,000-39,000,000+88,000,000)/2,000,000=104,000,000/2,000,000=52β??=(-30,000500+30,0001300-10,0002200)/2,000,000=(-15,000,000+39,000,000-22,000,000)/2,000,000=2,000,000/2,000,000=1β??=(-10,000500-10,0001300+10,0002200)/2,000,000=(-5,000,000-13,000,000+22,000,000)/2,000,000=4,000,000/2,000,000=2（2）總離差平方和TSS=ESS+RSS，其中ESS=y'Xβ?-(1/n)(y'ι)2（ι為全1向量）。但更簡(jiǎn)單的方式是利用R2=1-RSS/TSS。首先計(jì)算y的樣本均值?=(X'y的第一個(gè)元素)/n=500/100=5（因?yàn)閄的第一列是全1向量，X'y的第一個(gè)元素是Σy_i）。TSS=Σ(y_i-?)2=Σy_i2-n?2。而X'y的第一個(gè)元素是Σy_i=500，第二個(gè)元素是Σx?y_i=1300，第三個(gè)是Σx?y_i=2200。另外，X'X的對(duì)角線元素為Σ1=100，Σx?2=500，Σx?2=1200（假設(shè)X的第一列是全1，第二列是x?，第三列是x?）。ESS=β??Σy_i+β??Σx?y_i+β??Σx?y_i-n?2=52500+11300+22200-10025=26,000+1,300+4,400-2,500=29,200RSS=200，因此TSS=ESS+RSS=29,200+200=29,400R2=1-RSS/TSS=1-200/29,400≈0.9932調(diào)整可決系數(shù)R?2=1-(RSS/(n-k))/(TSS/(n-1))=1-(200/97)/(29,400/99)≈1-(2.0619)/(296.97)≈0.9930（3）檢驗(yàn)H?:β?=0vsH?:β?≠0。OLS估計(jì)量的方差Var(β??)=σ?2(X'X)?1的(2,2)元素，其中σ?2=RSS/(n-k)=200/(100-3)=200/97≈2.0619。(X'X)?1的(2,2)元素為30,000/2,000,000=0.015（來自A?1矩陣的第二行第二列）。因此，se(β??)=√(σ?20.015)=√(2.06190.015)=√0.0309≈0.1758t統(tǒng)計(jì)量=β??/se(β??)=1/0.1758≈5.687>1.984，拒絕H?，β?顯著不為0。2.（1）OLS估計(jì)量β??_OLS=(Cov(x,y))/Var(x)。由于x=x+u，y=β?+β?x+ε，代入得：Cov(x,y)=Cov(x+u,β?+β?x+ε)=β?Var(x)+Cov(x,ε)+Cov(u,ε)根據(jù)假設(shè)，Cov(x,ε)=0（原模型無內(nèi)生性，但x存在測(cè)量誤差），Cov(u,ε)=0（u與ε不相關(guān)），因此Cov(x,y)=β?Var(x)Var(x)=Var(x+u)=Var(x)+Var(u)（u與x不相關(guān)）因此，β??_OLS=β?Var(x)/[Var(x)+Var(u)]=β?/[1+Var(u)/Var(x)]<β?（若Var(u)>0），故OLS估計(jì)量向下偏誤，且plimβ??_OLS=β?/[1+Var(u)/Var(x)]≠β?，不一致。（2）工具變量估計(jì)量β??_IV=Cov(z,y)/Cov(z,x)。代入y=β?+β?x+ε，x=x+u：Cov(z,y)=Cov(z,β?+β?x+ε)=β?Cov(z,x)+Cov(z,ε)=β?Cov(z,x)（因Cov(z,ε)=0）Cov(z,x)=Cov(z,x+u)=Cov(z,x)+Cov(z,u)=Cov(z,x)（因Cov(z,u)=0）因此，β??_IV=β?Cov(z,x)/Cov(z,x)=β?，故plimβ??_IV=β?，具有一致性。（3）根據(jù)β??_IV=Cov(z,y)/Cov(z,x)=5/2=2.5。四、論述題模型設(shè)定偏誤的主要類型及影響：（1）遺漏相關(guān)變量：模型遺漏了與被解釋變量y和解釋變量X相關(guān)的變量z，導(dǎo)致誤差項(xiàng)包含z，與X相關(guān)（內(nèi)生性），OLS估計(jì)量有偏且不一致。例如，研究教育對(duì)收入的影響時(shí)，遺漏能力變量（能力與教育、收入均正相關(guān)），會(huì)高估教育